Subido por Hernan Hoggan

Resolución del tema 2

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Tema 2
Matemática B-Segundo Parcial
29/06/2022
Apellido y Nombre:
Carrera:
a
1
1
Legajo:
Comisión:
2
b
1.25
1.5
3
bi
bii
a
0.75 0.5
0.5
1.5
a
4
5
b
1.5
1.5
1) a) ¿Es posible asignarle un valor a la siguiente integral? Justifique.
� 2
0
���(�)��
���3 (�)
���(�)
Respuesta: La integral es impropia pues la función �(�) = ���3(�) �� �������� �� [0, �2) y
→1
����
� ���(�)��
0
0 ���3 (�) con
= ∞. Primero resolvemos la integral definida
lim
�−(���(�))3
�→2
→0+
�
0
Tomando límite:
���(�)��
���3 (�)
=
�=����
��=−������
���(�) −��
lim
�− 1
�3
�→ 2
La integral
� 2 ���(�)��
es
0
���3 (�)
���(�)
1
−��
�3
= 2�12
���(�)
1
lim
�
2
1
1
−
2���2 (�) 2
→1
1
1
−
2���2 (�) 2
1 ���(�)
−
� − 2�2 1
�→ 2
�→�2
= lim
=
<�<
→0+
=∞
divergente. No es posible asignarle un valor.
b) Analice si la siguiente serie es absolutamente convergente, condicionalmente
convergente o divergente.
Respuesta:
∞
�=1
(−1)� . �
�
∞ (−1) . �
�=1
�+1
�
∞ (−1) . �
�=1
�+1
es condicionalmente convergente pues
diverge (ver demostración (1) abajo) y
�+1
(ver demostración (2) abajo)
�
∞ (−1) . �
�=1
�+1
converge
(1) Estudiemos por criterio de comparación en el límite la convergencia de
(−1)� . �
∞
�=1
�+1
=
Cn
∞
�
�=1 �+1
tomando como bn =
1
�
→ lim bcnn = lim
�→∞
�→∞
�
�+1
1
n
= lim
n
�→∞ n+1
=
n
= lim
n(1+1n)
�→∞
1
= lim
1
�→∞ (1+n)
= 1 > 0. Luego, como
�
∞
�=1 �+1
con p = 12 ≤ 1 y lim bcnn=1>0 , entonces,
�→∞
∞
1
�=1 n
es divergente por ser serie-p
es divergente también.
�
∞ (−1) . �
�=1
�+1
(2) Estudiemos por criterio de Leibniz la convergencia de
(i)
(ii)
�
bn = �+1
bn =
>0 ∀n≥1
�
�+1
es decreciente pues:
1
(x+1)− x
x
2 x
f(x)=
es decreciente en [1,∞) ya que f ´(x)=
= 1−x 2≤0 en [1,∞)
x+1
2 x(x−1)
(x+1)2
(iii)
n
lim bn = lim n+1 = lim
�→∞
�→∞
Luego, por criterio de Leibniz
2) Calcule
�
1
1+4�
x+z = 1;� =0
n
1
�→∞ n(1+n)
= lim
1
1
�→∞ n(1+n)
�
∞ (−1) . �
�=1
�+1
1
1
�→∞ n (1+ n )
= lim
converge
→∞
→0
=0
�� , siendo S la porción del cilindro � = �2 limitado por los planos
Respuesta: Parametrizamos la superficie de manera trivial: �: �(�, �) =< �2 , �, � > . Pero
nos falta dar límites para los parámetros � ; � de tal manera que la parametrización
recorra cada punto de �. Para encontrar estos límites, debemos proyectarla en el plano
��. Noten que la región estará limitada por � = 0 y por la proyección de la curva
2
→ � = 1 − �2
intersección entre el cilindro � = �2 y el plano � = 1 − � → � = �
�=1−�
Superficie
Región de proyección
z
z
→ � = 1 − �2
2
S
y
S
y
2
� = {(�, �) ∈ � , 0 ≤ � ≤ 1 − � ; − 1 ≤ � ≤ 1}



�: �(�, �) =< �2 , �, � >con(�, �) ∈ � = {(�, �) ∈ �2 , 0 ≤ � ≤ 1 − �2 ; − 1 ≤ � ≤ 1}
�
� =± ����×���� =± 2�
�(�, �, �) =
1
1+4�
0
� �
2
1 0 =± 1,−2�,0 → � = 1+4�
0 1
→ �(�2 , �, �) =
1
1+4�2
�(�,�,�)
� ����
1
��
1+4�
�
=
=
1
(1
−1
1
−1
1−�2
0
2
�(� , �, �) � ���� =
1
1+4�2
3
− �2 )�� = � − �3
1
−1
1+4�2
1
−1
1−�2
0
1. ���� =
= 1 − 13 −( − 1 + 13) = 43
3) Dado �(�, �) = ���(�2 ) + 1, ���(�2 ) y los segmentos del dibujo
con las orientaciones indicadas:
a) Calcule
�1
C23
�. ��
bi) ¿Es � conservativo en �2 ? bii) ¿Qué valor le asigna a
�2 ∪�3
�. ��? Justifique.
C1
Respuesta:
a) Una parametrización para la curva �1 : ∗ �(�) = 2�, − 2� con 0 ≤ � ≤ 1 →
∗ �´(�) = 2, − 2
�1
�. �� =
1
0
�(�(�))
�´(�)
1
(2���(4�2) + 2 −
0
1
2�� = 2� 10 = 2
0
2���(4�2 ))��
���(4�2 ) + 1, ���(4�2 ) . 2, − 2 �� =
=
=
bi) �(�, �) = ���(�2) + 1, ���(�2 ) es conservativo pues tiene componentes con
derivadas parciales continuas en �2 , �2 es simplemente conexo y
2 ))
2 )+1)
rot(�) = 0,0, �(���(�
− �(���(�
= 0,0,0
��
��
bii) �(�, �) = ���(�2 ) + 1, ���(�2 ) tiene componentes continuas en �2 y por b)
sabemos que � es conservativo en �2 , por lo tanto la integral � �. �� es independiente
del camino en �2 . Como �1 y �2 ∪ �3 tienen mismo punto inicial y mismo punto final
entonces
→
�2∪�3
�. ��=
�1
�. �� = 2
4) Evalúe las siguientes integrales, aplicando si es posible algún teorema:
a)
�
(
1
���(�)
1
− 2�)�� + ���2(�) �� , siendo � la frontera del triángulo de vértices
(0, − 1), (1,0) � (0,1) recorrida en sentido antihorario. Realice gráficos aclaratorios.
� =− �
con orientación antihoraria
�
� + (� + 1)2 = 1
mirada desde � > 0. Realice gráficos aclaratorios.
b)
��� − ���� + ����, siendo �:
2
C3
Respuesta: a)
y
�
2
�=
�=−
R
R
�
2
�=
x
�
2
D1
�=−
�
2
� es una curva cerrada, suave a trozos (pues es la frontera de la región triangular), simple,
con orientación antihoraria y frontera de la región R del plano xy (ver dibujo).
�=
�
�
1
1
− 2�
���(�)
���2(�)
,
tiene componentes con derivadas parciales continuas en
D = (x, y): x ≠ π2 + k2 π ⋀ y ≠ π2 + k1 π , con k1 ∈ Z, k2 ∈ Z , por lo tanto � tiene
< x < π2 , −π
< y < π2 } ⊆ D
componentes con derivadas parciales continuas en D1 = {(x, y): −π
2
2
y � ∪ � ⊆ �1 . Aplicamos el teorema de Green y se tiene que :
�
b)
�. �� =
�
�� ��
− ��
��
2
Á���(�)= �ℎ
=1
2
���� = 2
�
1 ���� =2.1=2
x2+(y+1)2=1
z=-y
x2+(y-1)2=1
C
C
C
�
� es una curva cerrada, suave, frontera de la superficie orientable �: � = �(�, �) =− � con
(�, �) ∈ � = {(�, �): �2 + (� + 1)2 ≤ 1} (su representación vectorial, S: �(�, �) = �, �, − �
con (�, �) ∈ � ).
La curva � está recorrida con orientación antihoraria vista desde � > 0.
Elegimos sobre � el normal � con segunda componente positiva, que es la orientación
inducida sobre la superficie, por el sentido de recorrido de � según la regla de la mano
derecha. El campo vectorial �(�, �, �) = �, − ��, �� tiene componentes con derivadas
parciales continuas en �3 (por ser polinómicas) y � ∪ � ⊆ �3 , por lo tanto,por el teorema de
Stokes se tiene que:
�
=
�
��� − ���� + ���� =
�
��� �(�, �, �(�, �)). − �� , − �� , 1 ����
=
�
���(�). ��� =
�
���(∗)�(∗∗)
�����
1 ���� = Á���(�)
=
� ��
�� �í���−
�� �� ����� 1
=
�
�
�
�
�
� = 0, − (� − 1), − � →
( ∗ )���(�) =
�� �� ��
� −�� ��
�(�,�)
→ ����(�, �, −� ) =
( ∗∗ )� =±
��
��
×
�=−�
�+1−�=1
�
0, � + 1, − � . 0,1,1 ���� =
�. 12 = �
−(−�−1)
0, � + 1 , − �
� � �
=± 1 0 0 =± 0,1,1
��
0 1 −1
��
5) Dado �(�, �, �) = �2 , − 2��, � y �: frontera del sólido limitado por
� − 1 = 1 − �2 − �2 ; � = �2 + �2 , �2 + �2 + �2 = 1 con normal exterior.
Muestre que el flujo de � a través de � puede calcularse por medio de una integral triple.
Plantee el cálculo de dicha integral usando coordenadas esféricas.
Respuesta:
S1
�
V
S2
S3
�
� = �1 ∪ �2 ∪ �3 es una superficie orientable, cerrada, con
� exterior. S es frontera del sólido acotado V.
� = �2, − 2��, � tiene componentes con derivadas
parciales continuas en
D = (�, �, �) �3 : � > 0 , � ∪ � ⊆ �. Podemos
aplicar el teorema de Gauss y se tiene que:
�
�
�.� �� =
�
���(�)
1
2 �
�����
Para describir al sólido V en coordenadas esféricas
gráfico de dicho sólido:
z
=
������
�� ���.
� �����
�������
1
�∗ 2 �����
1
2 �
|�� |
�2���� ������
ì x = r cos( q ) sen ( j )
ï
T : í y = r sen ( q ) sen ( j )
ï
z = r cos( j )
î
�����
(∗)
, observemos el
p
j =j máx
6
V
j=
p
2
Los puntos en el cono son los que tienen mayor coordenada j dentro del sólido:
x2 + y2
p . Por lo tanto, se tiene que 0 £ j £ p
= tg (j ) ® j =
4
z
4
z = x2 + y2 ® 1 =
La proyección del sólido en el plano xy es un círculo centrado en el origen, entonces 0 £ q £ 2p
Notemos que si trazamos cualquier semirrecta que salga del origen y atraviese al
sólido, sobre el segmento de la semirrecta violeta que queda contenido en el sólido, el
punto que tiene menor coordenada r es el que está sobre la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 ( r = 1)
y el punto con mayor r está sobre la semiesfera superior de
.
2
2
2
2
2
2
2
x + y + ( z - 1) = 1 ( x + y + z = 2 z ® r = 2 r cos j ® r = 2 cos j ) . Por lo tanto se tiene que 1 £ r £ 2 cosj
--------------------------------------------------------------------------------------div( F ) =
¶( x 2 ) ¶(-2 xy) ¶( z )
1
1
+
+
= 2x - 2x +
=
¶x
¶y
¶z
2 z 2 z
--------------------------------------------------------------------------------------Luego, retomando las integrales en (*):
�
�.� �� =
�
���(�)
1
2 �
�����
=
������
�� ���.
� �����
�������
2� � 4 2����
1
0
0
1
2 �����
1
2 �
�2 ���� ������
�����
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