Tema 2 Matemática B-Segundo Parcial 29/06/2022 Apellido y Nombre: Carrera: a 1 1 Legajo: Comisión: 2 b 1.25 1.5 3 bi bii a 0.75 0.5 0.5 1.5 a 4 5 b 1.5 1.5 1) a) ¿Es posible asignarle un valor a la siguiente integral? Justifique. � 2 0 ���(�)�� ���3 (�) ���(�) Respuesta: La integral es impropia pues la función �(�) = ���3(�) �� �������� �� [0, �2) y →1 ���� � ���(�)�� 0 0 ���3 (�) con = ∞. Primero resolvemos la integral definida lim �−(���(�))3 �→2 →0+ � 0 Tomando límite: ���(�)�� ���3 (�) = �=���� ��=−������ ���(�) −�� lim �− 1 �3 �→ 2 La integral � 2 ���(�)�� es 0 ���3 (�) ���(�) 1 −�� �3 = 2�12 ���(�) 1 lim � 2 1 1 − 2���2 (�) 2 →1 1 1 − 2���2 (�) 2 1 ���(�) − � − 2�2 1 �→ 2 �→�2 = lim = <�< →0+ =∞ divergente. No es posible asignarle un valor. b) Analice si la siguiente serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. Respuesta: ∞ �=1 (−1)� . � � ∞ (−1) . � �=1 �+1 � ∞ (−1) . � �=1 �+1 es condicionalmente convergente pues diverge (ver demostración (1) abajo) y �+1 (ver demostración (2) abajo) � ∞ (−1) . � �=1 �+1 converge (1) Estudiemos por criterio de comparación en el límite la convergencia de (−1)� . � ∞ �=1 �+1 = Cn ∞ � �=1 �+1 tomando como bn = 1 � → lim bcnn = lim �→∞ �→∞ � �+1 1 n = lim n �→∞ n+1 = n = lim n(1+1n) �→∞ 1 = lim 1 �→∞ (1+n) = 1 > 0. Luego, como � ∞ �=1 �+1 con p = 12 ≤ 1 y lim bcnn=1>0 , entonces, �→∞ ∞ 1 �=1 n es divergente por ser serie-p es divergente también. � ∞ (−1) . � �=1 �+1 (2) Estudiemos por criterio de Leibniz la convergencia de (i) (ii) � bn = �+1 bn = >0 ∀n≥1 � �+1 es decreciente pues: 1 (x+1)− x x 2 x f(x)= es decreciente en [1,∞) ya que f ´(x)= = 1−x 2≤0 en [1,∞) x+1 2 x(x−1) (x+1)2 (iii) n lim bn = lim n+1 = lim �→∞ �→∞ Luego, por criterio de Leibniz 2) Calcule � 1 1+4� x+z = 1;� =0 n 1 �→∞ n(1+n) = lim 1 1 �→∞ n(1+n) � ∞ (−1) . � �=1 �+1 1 1 �→∞ n (1+ n ) = lim converge →∞ →0 =0 �� , siendo S la porción del cilindro � = �2 limitado por los planos Respuesta: Parametrizamos la superficie de manera trivial: �: �(�, �) =< �2 , �, � > . Pero nos falta dar límites para los parámetros � ; � de tal manera que la parametrización recorra cada punto de �. Para encontrar estos límites, debemos proyectarla en el plano ��. Noten que la región estará limitada por � = 0 y por la proyección de la curva 2 → � = 1 − �2 intersección entre el cilindro � = �2 y el plano � = 1 − � → � = � �=1−� Superficie Región de proyección z z → � = 1 − �2 2 S y S y 2 � = {(�, �) ∈ � , 0 ≤ � ≤ 1 − � ; − 1 ≤ � ≤ 1} �: �(�, �) =< �2 , �, � >con(�, �) ∈ � = {(�, �) ∈ �2 , 0 ≤ � ≤ 1 − �2 ; − 1 ≤ � ≤ 1} � � =± ����×���� =± 2� �(�, �, �) = 1 1+4� 0 � � 2 1 0 =± 1,−2�,0 → � = 1+4� 0 1 → �(�2 , �, �) = 1 1+4�2 �(�,�,�) � ���� 1 �� 1+4� � = = 1 (1 −1 1 −1 1−�2 0 2 �(� , �, �) � ���� = 1 1+4�2 3 − �2 )�� = � − �3 1 −1 1+4�2 1 −1 1−�2 0 1. ���� = = 1 − 13 −( − 1 + 13) = 43 3) Dado �(�, �) = ���(�2 ) + 1, ���(�2 ) y los segmentos del dibujo con las orientaciones indicadas: a) Calcule �1 C23 �. �� bi) ¿Es � conservativo en �2 ? bii) ¿Qué valor le asigna a �2 ∪�3 �. ��? Justifique. C1 Respuesta: a) Una parametrización para la curva �1 : ∗ �(�) = 2�, − 2� con 0 ≤ � ≤ 1 → ∗ �´(�) = 2, − 2 �1 �. �� = 1 0 �(�(�)) �´(�) 1 (2���(4�2) + 2 − 0 1 2�� = 2� 10 = 2 0 2���(4�2 ))�� ���(4�2 ) + 1, ���(4�2 ) . 2, − 2 �� = = = bi) �(�, �) = ���(�2) + 1, ���(�2 ) es conservativo pues tiene componentes con derivadas parciales continuas en �2 , �2 es simplemente conexo y 2 )) 2 )+1) rot(�) = 0,0, �(���(� − �(���(� = 0,0,0 �� �� bii) �(�, �) = ���(�2 ) + 1, ���(�2 ) tiene componentes continuas en �2 y por b) sabemos que � es conservativo en �2 , por lo tanto la integral � �. �� es independiente del camino en �2 . Como �1 y �2 ∪ �3 tienen mismo punto inicial y mismo punto final entonces → �2∪�3 �. ��= �1 �. �� = 2 4) Evalúe las siguientes integrales, aplicando si es posible algún teorema: a) � ( 1 ���(�) 1 − 2�)�� + ���2(�) �� , siendo � la frontera del triángulo de vértices (0, − 1), (1,0) � (0,1) recorrida en sentido antihorario. Realice gráficos aclaratorios. � =− � con orientación antihoraria � � + (� + 1)2 = 1 mirada desde � > 0. Realice gráficos aclaratorios. b) ��� − ���� + ����, siendo �: 2 C3 Respuesta: a) y � 2 �= �=− R R � 2 �= x � 2 D1 �=− � 2 � es una curva cerrada, suave a trozos (pues es la frontera de la región triangular), simple, con orientación antihoraria y frontera de la región R del plano xy (ver dibujo). �= � � 1 1 − 2� ���(�) ���2(�) , tiene componentes con derivadas parciales continuas en D = (x, y): x ≠ π2 + k2 π ⋀ y ≠ π2 + k1 π , con k1 ∈ Z, k2 ∈ Z , por lo tanto � tiene < x < π2 , −π < y < π2 } ⊆ D componentes con derivadas parciales continuas en D1 = {(x, y): −π 2 2 y � ∪ � ⊆ �1 . Aplicamos el teorema de Green y se tiene que : � b) �. �� = � �� �� − �� �� 2 Á���(�)= �ℎ =1 2 ���� = 2 � 1 ���� =2.1=2 x2+(y+1)2=1 z=-y x2+(y-1)2=1 C C C � � es una curva cerrada, suave, frontera de la superficie orientable �: � = �(�, �) =− � con (�, �) ∈ � = {(�, �): �2 + (� + 1)2 ≤ 1} (su representación vectorial, S: �(�, �) = �, �, − � con (�, �) ∈ � ). La curva � está recorrida con orientación antihoraria vista desde � > 0. Elegimos sobre � el normal � con segunda componente positiva, que es la orientación inducida sobre la superficie, por el sentido de recorrido de � según la regla de la mano derecha. El campo vectorial �(�, �, �) = �, − ��, �� tiene componentes con derivadas parciales continuas en �3 (por ser polinómicas) y � ∪ � ⊆ �3 , por lo tanto,por el teorema de Stokes se tiene que: � = � ��� − ���� + ���� = � ��� �(�, �, �(�, �)). − �� , − �� , 1 ���� = � ���(�). ��� = � ���(∗)�(∗∗) ����� 1 ���� = Á���(�) = � �� �� �í���− �� �� ����� 1 = � � � � � � = 0, − (� − 1), − � → ( ∗ )���(�) = �� �� �� � −�� �� �(�,�) → ����(�, �, −� ) = ( ∗∗ )� =± �� �� × �=−� �+1−�=1 � 0, � + 1, − � . 0,1,1 ���� = �. 12 = � −(−�−1) 0, � + 1 , − � � � � =± 1 0 0 =± 0,1,1 �� 0 1 −1 �� 5) Dado �(�, �, �) = �2 , − 2��, � y �: frontera del sólido limitado por � − 1 = 1 − �2 − �2 ; � = �2 + �2 , �2 + �2 + �2 = 1 con normal exterior. Muestre que el flujo de � a través de � puede calcularse por medio de una integral triple. Plantee el cálculo de dicha integral usando coordenadas esféricas. Respuesta: S1 � V S2 S3 � � = �1 ∪ �2 ∪ �3 es una superficie orientable, cerrada, con � exterior. S es frontera del sólido acotado V. � = �2, − 2��, � tiene componentes con derivadas parciales continuas en D = (�, �, �) �3 : � > 0 , � ∪ � ⊆ �. Podemos aplicar el teorema de Gauss y se tiene que: � � �.� �� = � ���(�) 1 2 � ����� Para describir al sólido V en coordenadas esféricas gráfico de dicho sólido: z = ������ �� ���. � ����� ���é����� 1 �∗ 2 ����� 1 2 � |�� | �2���� ������ ì x = r cos( q ) sen ( j ) ï T : í y = r sen ( q ) sen ( j ) ï z = r cos( j ) î ����� (∗) , observemos el p j =j máx 6 V j= p 2 Los puntos en el cono son los que tienen mayor coordenada j dentro del sólido: x2 + y2 p . Por lo tanto, se tiene que 0 £ j £ p = tg (j ) ® j = 4 z 4 z = x2 + y2 ® 1 = La proyección del sólido en el plano xy es un círculo centrado en el origen, entonces 0 £ q £ 2p Notemos que si trazamos cualquier semirrecta que salga del origen y atraviese al sólido, sobre el segmento de la semirrecta violeta que queda contenido en el sólido, el punto que tiene menor coordenada r es el que está sobre la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 ( r = 1) y el punto con mayor r está sobre la semiesfera superior de . 2 2 2 2 2 2 2 x + y + ( z - 1) = 1 ( x + y + z = 2 z ® r = 2 r cos j ® r = 2 cos j ) . Por lo tanto se tiene que 1 £ r £ 2 cosj --------------------------------------------------------------------------------------div( F ) = ¶( x 2 ) ¶(-2 xy) ¶( z ) 1 1 + + = 2x - 2x + = ¶x ¶y ¶z 2 z 2 z --------------------------------------------------------------------------------------Luego, retomando las integrales en (*): � �.� �� = � ���(�) 1 2 � ����� = ������ �� ���. � ����� ���é����� 2� � 4 2���� 1 0 0 1 2 ����� 1 2 � �2 ���� ������ �����