Semana 4 Álgebra semana 04 Academia ADUNI Material Didáctico División de polinomios DIVISIÓN DE POLINOMIOS Esquema de Horner Dados dos polinomios de grados no nulos llamate en hallar otros dos únicos polinomios llamados cociente y residuo, de tal manera que cumplan la siguiente identidad denominada identidad fundamental de la división. D(x) ≡ d(x) · q(x) + R(x) coef divisor dos dividendo y divisor. Efectuar la división consis- coeficientes del dividendo b0 . a0 a1 a2 – b1 cambian de signo * – b2 a3 a4 * * q0 q1 q2 * * * r0 r1 Luego q(x) = q0 x2 + q1x + q2 y R(x) = r0 x + r1 Propiedades 1. º[q]= º[D] – º[d] 2. Máx. (º[R]) = º[d] – 1 Por ejemplo, en la división algebraica 3 x5 5 x2 7 x 1 x2 2x 9 • • Divida 3 x3 + x2 + 2x + 5 3 x2 + x − 1 Resolución 3 º[q]= 5 – 2 = 3, entonces el grado del cociente es 3. Máx. (º[R])=2 –1=1, entonces el residuo puede ser lineal: R(x) = Ax + B. Observación • • Aplicación Si A = 0, el residuo puede ser constante: R(x) = B. Si A = B = 0, el residuo es idénticamente nulo: R(x) = 0. MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS Método de Horner Es un método general para dividir polinomios de cualquier grado. Sean D(x) = a0 x4 + a1x3 + a2 x2 + a3 x + a4 y d(x) = b0 x2 + b1x + b2 3 –1 1 2 –1 1 1 1 0 5 0 0 3 5 q(x) = x R(x) = 3x + 5 Regla de Ruffini Se aplica cuando el divisor es lineal. d(x) = Ax + B, A ≠ 0 Esquema Ax+B=0 a0 B x= – A a0 ÷A q0 a1 a2 a3 a4 * * * * b1 b2 b 3 R q1 q2 q3 coeficientes de q(x) Semestral Intensivo Virtual ADUNI Álgebra Resto = 4x – 3( – 2) + 2x – 1 Aplicación Divida el polinomio P(x) = 6x4 + x3 – x2 + 6x + 5 entre 3x – 1. R(x) = 6x + 5 Teorema de René Descartes Resolución Utilizamos la regla de Ruffini. 3x – 1=0 1 x= 3 ÷3 P( x ) ax − b 6 1 –1 6 5 2 1 0 2 6 3 0 6 2 1 0 2 7 Ejemplos P( x ) 3x − 2 P( x ) Entonces q(x) = 2x3 + x2 + 2 ∧ R(x) = 7 Teorema del resto Se utiliza para determinar el resto de una división. 2x + 2 P( x ) x Se utiliza cuando el divisor es factorizable. Aplicación Halle el resto de dividir x5 − 3 x2 + 2x − 1 Resolución Resolución x2 + 2 = 0 → x2 = – 2 x4 = 4 x5 = x4 · x = 4x → resto = P(−1) Algoritmo de la división Aplicación x +2 2 → resto = P 3 → resto = P(0) Criterios • Igualar a cero el divisor. • Despejar adecuadamente (no resolver). • Reemplazar en el dividendo y el resultado, en el resto (R(x)). 2 b → resto = P a Halle el resto de dividir x5 − x + 1 ( x − 2) ( x + 1) x 5 − x + 1 ≡ ( x − 2) ( x + 1) Q( x ) + ax +b resto x = 2 31 = 2a + b x=–1 30 = 3a a = 10 ∧ b = 11 R(x) = 10x + 11 (–) 1 = – a + b Academia ADUNI Material Didáctico Problemas resueltos 1. En la división 3 1 x 4 − 3 x 2 + mx + n 3 x − x−2 se obtuvo por residuo 2x + 3. Calcule el valor de m + n. x − 3x 4+2m+n=7 2m+n=3 x=–1 – 2 – m+n=1 – m+n=3 3m=0 m=0 ∧ n=3 4. 5 ∴ q(x) = 2x3 + x2 – x – 2 Dado el polinomio P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 + mx2 + nx – 2 al dividirlo entre 3x3 + x2 – 2, su cociente es igual al residuo. Halle el valor de m · n. Resolución Aplicamos el método de Horner. Por dato, Q(x) ≡ R(x) 2 Resolución Aplicamos la regla de Ruffini. 2 coeficiente del cociente 3. –1 coef. residuo 2x5 + x4 − 6 x3 − 2x2 + 5 x − 2 2x − 3 3 2 0 3 0 0 –1 2 –6 1 –3 –1 3 –2 6 1 –1 – 2 1 1 2 Determine el resto de la siguiente división. Resolución Aplicamos el método de Horner. 2 4 ∴ m·n=1 (–) 2 –3 –2 0 m=1 ∧ n=1 2x2 − x + 3 4 –2 por dato son iguales Determine el cociente en la siguiente división. 4 x5 + 3 x3 − 1 2 1 –1 1 ∴ m+n=3 2. n coef. cociente + mx + n ≡ ( x 2 − x − 2) Q( x ) + 2 x + 3 x=2 m 2 0 –2 –3 Resolución Aplicamos el algoritmo de la división. 2 5 0 1 0 2 4 –2 –1 1 –6 –2 5 –2 3 6 0 –3 3 4 0 –2 2 1 resto ∴ R(x) = 1 5. Dado el polinomio P(x) = 3x5 – 2x4 – 3x3 – 4x2 + mx + 2 halle el resto de dividir P(x) entre 3x – 2 si el término independiente del cociente es 1. Resolución Aplicamos el método de Ruffini. 3 –2 –3 2 0 3 0 1 0 2 3 3÷ –4 m 2 –2 –4 2 –3 –6 3 4 –1 –2 1 coeficientes del cociente ∴ R(x) = 4 resto término independiente Semestral Intensivo Virtual ADUNI 6. Álgebra Sea P(x) un polinomio cúbico, tal que al dividirlo entre 2x2 – x + 1, su resto es 2x – 1; además, la suma de coeficientes es 1 y su término independiente es 2. Halle el resto de dividir P(x) entre x + 1. P( ) x → resto = P(−1) x +1 Resolución P( – 1) = (2 + 1 + 1)(3 + 3) – 2 – 1 Por dato P( ) → resto = 2 x − 1 2 x 2x − x + 1 Por el algoritmo de la división P( x ) = (2 x 2 − x + 1) Q( x ) + 2 x − 1 grado 3 grado 1 Nos piden En (*), x = – 1 ∴ P( – 1) = 21 7. Halle el resto de dividir x5 − 3 x3 + 5 x2 − x + 7 x2 − 1 Resolución Aplicamos el teorema del resto. Sea Q(x) = ax + b P( x ) = (2 x 2 − x + 1) ( ax + b) + 2 x − 1 ∑ coef ( P ) = 1 = P(1) = 2 ( a + b) + 1 a+b=0 x2 – 1 = 0 → x2 = 1 x4 = 1 Entonces T.I.(P) = 2 = P(0) = b – 1 b=3 ∧ a=–3 x5 = x ⋅ x4 = x 1 x3 = x ⋅ x2 = x 1 Entonces P( x ) = (2 x 2 − x + 1) ( −3 x + 3) + 2 x − 1 (*) R( x ) = x − 3 x + 5 − x + 7 = −3 x + 12 ∴ R(x) = – 3x + 12 Academia ADUNI Material Didáctico Ejercicios de reforzamiento 1. 5. Al dividir P(x) entre x2 – x + 2 se obtiene como divisor a x3 + x2 + 2x – 4 y como resto a 2x + 5. Calcule P(2) + P( – 1). A) 32 2. B) 42 C) 36 D) 28 A) 12 6. Con respecto a la siguiente división, calcule el cociente y resto, respectivamente. x 3 + 2x 4 − x + 3 Se tiene A(x) = (3x5 + x4 + 4x3 + 5x2 – 4) kg de queso, y se le partió en porciones de B(x) = (3x – 2) kg. ¿Cuántas porciones se logró obtener? D) x4 +x3 + 2x2 + 3x + 2 C) x2 + 3x + 2 y x +1 7. D) x2 + 2x + 2 y x – 1 Determine el cociente y resto de la siguiente división: 3 x 2 + x 3 + 10 x 4 + 8 x + 3 5x − 2 B) t2 + 5t+10 C) t2 + 4t+13 D) t2 + 5t+12 B) 3x3 +x2 +x + 2 y 6 C) 2x3 +x2 +x – 2 y – 7 8. D) 2x3 +x2 +x + 2 y 7 restos Un corredor ha recorrido D(t) = (t3 + 3t2 + 2t – 24) km en un tiempo t seg, y en cada paso logra avanzar d(t) = (t – 2) km, t ≥ 2 seg. ¿Cuántos pasos logró dar el corredor ? A) t2 + 6t+12 A) 2x3 +x2 +x + 2 y 8 los D) 18 C) x4 +x3 + 2x2 + 3x + 4 B) x2 – 2x + 3 y x +1 Determine divisiones: C) 16 B) x4 +x3 + 3x2 + 3x + 2 A) x2 + 2x – 2 y x – 1 4. B) 13 A) x4 + 2x3 + 2x2 + 3x + 2 2 − 3x + 2x 2 3. Si N(t) = 3t4 + 10t3 + 9t + 15 representa el número de alumnos que hay, en un tiempo t, y si se le agrupa en cantidades de A(t) = 3t2 + 4t + 1, determine cuántos alumnos sobran. de las siguientes ( x − 3)12 + ( x − 1)3 + 2 ( x − 4 )4 + 3 x + 2 x−2 ( x 2 − 4)3 + x 3 + x 4 − 6 Sea N(x) la representación del número de monedas que se tiene. Al agrupar en cantidades de 2x + 3 monedas se obtienen (x2 + 4x + 1) grupos, sobrando 7 monedas. ¿Cuántas monedas sobran si lo agrupamos en cantidades de (x + 1) monedas? A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 2 x −3 A) 48 y 3x + 2 B) 42 y 3x + 2 C) 50 y 2x + 3 D) 48 y x + 2 9. Al dividir P(x) entre x3 + 2x2 + ax – a se obtiene como divisor x2 – 2x – 1 y como residuo x + 3. Determine la suma de coeficientes de P(x). A) – 2 B) – 3 C) 4 D) – 3 Semestral Intensivo Virtual ADUNI Álgebra 10. Al dividir A(x), un trinomio cuadrático mónico, entre (x – 2) y (x – 3) se obtiene como residuos a 8 y 14, respectivamente. ¿Cuánto se debe aumentar a A(x) para que sea divisible entre (x – 1)? A) 5 B) 3 C) – 4 D) – 3 3 2 3 V(t) = 3t + 8t + 11t + 6t + 2 cm , representa la cantidad de vino, después de t minutos. Si se llena en botellas de N(t) = 3t2 + 2t + 1 cm3 de capacidad, determine la expresión que represente la cantidad de botellas. A) t2 + 3t+ 2 2x 2 − x + 1 halle el valor de m. A) 1 B) 0 C) 2 D) –2 2x 4 + 7x 3 + 6 x 2 + x + b 2x − 1 se obtiene q(x) como cociente, halle q(1) – b. A) 13 B) 10 C) 19 D) 16 16. ¿Cuál es el número que se le debe restar al B) t2 + 2t+ 3 siguiente polinomio P( x ) = 2 x 5 − x 3 − 2 x 2 + 1 para que sea divisible por ( x − 2)? Dé como respuesta la suma de las cifras de dicho número. 2 C) t + 4t+ 2 D) t2 + 2t+ 2 12. Una maquina produce caramelos y la cantidad está determinada por la expresión C(t) = 2t4 + 3t3 + 8t2 + 5t + 14 y la cantidad de caramelos que se coloca en bolsas, para un tiempo t, está determinado por Q(t) = 2t2 + t + 3. ¿Cuántos caramelos quedarían sin poder colocarse en una bolsa? A) 5 2 x 5 − 3 x 4 + 2 x 2 + mx + 1 15. Al efectuar la división exacta 11. Se llena un recipiente de vino, 4 14. A partir de la siguiente división exacta: B) 8 C) 4 D) 6 13. Al vender un artículo a S/(3x + 7) y sabiendo que el costo de producción de un artículo es de S/(2x + 1) se obtiene una ganancia de G(x) = 2x3 + x2 + 4x + 420. Determine el número de artículos que se vendió, en términos de x. A) 2x2 – 10x +70 B) 2x2 – 11x +71 C) 2x2 – 11x +70 D) x2 – 11x +70 A) 10 B) 19 C) 13 D) 16 17. El alumno Gustavo efectúa la división algebrai- ca de los polinomios P(x) y f(x) = x2 – 5x + 3, obteniéndose los polinomios cociente (x2 + x + 5) y resto (3x + 1). Al hallar P(x), comete un error en el término independiente del cociente, obteniendo que P(2) = 4. Indique qué número colocó por error. A) 4 B) – 4 C) – 5 B) 6 18. Si P(x) es un polinomio cúbico mónico divisible en forma separada por los polinomios (x2 – 4) y (x + 5), halle el resto de dividir P(x) con x2 + x + 1. A) – 9x – 20 B) – 9x – 24 C) 9x + 24 D) – 24x – 9
