Universidad Distrital ‘’Francisco José de Caldas” Ingenierı́a Electrónica Parcial 1 - diciembre 13 de 2021 Asignatura: Comunicaciones Digitales Profesor: Ivan Ladino Observaciones: El Parcial es individual. No se acepta plagio de ningún tipo. El parcial inicia a las 14:00 del dı́a de hoy 13 de diciembre del 2021 y termina hoy a las 16:00. Se evalúa cada punto, a partir de las explicaciones de cada paso en el desarrollo matemático y en el desarrollo del hardware y los modelos funcionales. El desarrollo del parcial debe ser perfectamente legible y con letra clara, se sube escaneado. El parcial se entrega en la plataforma Moodle institucional, bajo ninguna circunstancia se aceptan entregas por otro medio distinto y tampoco fuera del plazo. Enunciado del parcial (1) Dado que: H(X) = H(Y ) = − − !! x y x y !! P (x, y)log(P (x)) P (x, y)log(P (y)) demuestre que: I(X, Y ) ≤ H(X) + H(Y ) A partir de que I(X; Y ) = H(X) − H(X|Y ), entonces tenemos que comprobar: − !! x P (x, y)log(P (x))− y !! x y P (x, y)log(1/P (x|y)) ≤ − !! x P (x, y)log(P (x))− !! y x P (x, y)log(P (y)) y lo que se reduce a: − log(P (x)) + log(P (x|y)) ≤ −(log(P (x) + log(P (y))) = −log(P (x)P (y)) (1.1) Como el logaritmo es una función monótona entonces la expresión anterior equivale a P (x) P (x|y) 1 P (x|y) ≥ P (x)P (y) ≥ P (y) lo cual es obvio. (2) Suponga que tiene un esquema QAM16 (4 bits), diseñe un decodificador que a partir de la medición de distancia, decodifique cada uno de los cuatro bits. (3) Suponga que dispone de tres señales base: ϕ1 (t), ϕ2 (t), y ϕ3 (t); diseñe: 1-1 (a) Un modulador de 3 bits de tal forma que se garantice la máxima resistencia al ruido, mida la distancia mı́nima entre los puntos de la constelación. Una constelación simétrica de 3 bits se puede conseguir ubicando un punto por cada uno de los ocho cuadrantes del espacio de tres dimensiones y con la misma magnitud en cada una de las tres señales base, en otras palabras la constelación forma un cubo donde los ocho sı́mbolos están ubicados en sus 8 vértices. El cubo de la constelación además debe estar centrado y con cada borde es paralelo a una de las tres señales base, ver figura a continuación: sm3 (−1, 1, 1) (−1, −1, 1) (1, −1, 1) (1, 1, 1) ϕ3 (t) ϕ2 (t) (−1, −1, −1) (1, −1, −1) sm1 ϕ1 (t) sm2 (−1, 1, −1) (1, 1, −1) Figura 1.1: Constelación 3D Por la geometrı́a simple de la constelación es evidente que la distancia mı́nima el caso de √ es 2√(para 2 + d2 + d2 = la figura), pero en el caso en que la energı́a de cada punto sea e , es decir que e = d √ 3d, con d el valor absoluto de cada una de las valores de las coordenadas de cada punto; por ejemplo la coordenada del punto (1, √ 1,√1) vendrı́a a ser (d, d, d), por lo tanto la distancia mı́nima entre dos puntos cualquiera es (2/ 3) ee. Ahora bien para el diseño del modulador es supremamente simple gracias a la simplicidad de la constelación. La codificación se encuentra en la figura (1.1) con d = 1, como se observa si b1 = 1 entonces la primera coordenada es 1 de lo contrario es −1, igualmente, si si b2 = 1 entonces la segunda coordenada es 1 de lo contrario es −1, de la misma forma, si b3 = 1 entonces la tercera coordenada es 1 de lo contrario es −1, por lo tanto el codificador el modulador y de codificador corresponde a la parte izquierda de la figura (1.9) hasta el sumador donde sale se entrega la señal sm (t). 1 1 b1 0 ϕ1 (t) −1 × ϕ1 (t) 1 × # sm1 !T " + b1 + b2 + b3 1 b2 0 0 ϕ2 (t) −1 × 1 " sm (t) × sm2 !T " ϕ2 (t) 1 × b3 0 ϕ3 (t) −1 # × ϕ3 (t) 0 # sm3 !T " 0 Figura 1.2: Modulador - Demodulador (b) Un demodulador que garantice la máxima resistencia al ruido. Como el proceso de codificación es tan simple, el decodificador también lo es, por lo tanto el decodificador mostrado en la figura (1.2) en el lado derecho es evidente y trivial. El proceso de recuperación de los valores sm1 , sm2 , y sm3 es el mismo empleado para los demás esquemas de modulación.
