Profesor: Del Toro Paz Darío.
Alumno: Oscar Fernando Domínguez Dueñas.
Carrera: Lic. Administración de Empresas.
Materia: Matemáticas Aplicadas.
Actividad 7 Resumen.
Sistemas De Ecuaciones De Primer Grado
El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las
matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico
y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al
empleo de matrices y determinantes.
Sistemas de ecuaciones lineales
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas
en las que aparecen una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una
de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + ¿ =
k, donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o
variables, y k el término independiente (también un valor constante).
Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas
se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas
cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas, que adopta la forma
general siguiente:
Tipos de sistemas lineales
En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios
casos:
Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible
determinado.
Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.
Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son
equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas
algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros
cuya resolución sea más sencilla.
Método de igualación
Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en
despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones
resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y
se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales.
Sea, por ejemplo, el sistema:
Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:
Entonces,
Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2.
Método de sustitución
La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema
de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita en una
de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con
una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en
cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra
incógnita.
Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si se despeja
, y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:
-17 y = -17, y = 1. Como
, entonces x = 2.
Método de reducción
La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el
método de reducción, consta de los siguientes pasos:
Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que
convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.
Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.
Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en
cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.
Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:
<7div>
conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas
ecuaciones:
:
Sistemas De Ecuaciones De Segundo Grado E Inecuaciones Con Varias
Incógnitas
El estudio de los sistemas en que aparecen ecuaciones de segundo grado aplica,
en esencia, las mismas técnicas de resolución utilizadas en los sistemas de
ecuaciones lineales. Estos procedimientos generales son también extensibles a la
resolución de sistemas de inecuaciones.
Sistemas de ecuaciones cuadráticas
Se llama sistema de ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas,
a todo aquel en el que aparece al menos una ecuación de orden 2. Los sistemas de
ecuaciones de segundo grado son de tipo no lineal, y para su resolución se usan
los procedimientos aplicados en los sistemas de primer grado o lineales (ver t6).
Considerando que el sistema estuviera formado por dos ecuaciones:
Por igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se
igualan los resultados. En la ecuación resultante (que puede ser de segundo
grado, bicuadrada o irracional), se obtienen las raíces de la segunda incógnita,
que se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar las
soluciones de la otra incógnita.
Por sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la
otra. Se resuelve entonces la ecuación resultante (cuadrática, bicuadrada o
irracional) y se calculan las raíces.
Por reducción, se multiplican las ecuaciones por coeficientes o por las variables
hasta conseguir que la suma (o resta) de las dos ecuaciones equivalentes que
resultan permita anular una de las incógnitas. Se resuelve después la ecuación
(cuadrática, bicuadrada o irracional) resultante, y se calculan las raíces.
Como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido
que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, se habrán introducido así
soluciones «falsas ». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas
de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales
del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la
igualdad.
Resolución por métodos gráficos
Los sistemas de ecuaciones de segundo grado pueden resolverse también por
métodos gráficos. Para ello, ha de tenerse en cuenta que:
Las ecuaciones de primer grado (lineales) se representan mediante rectas.
Las ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) son representativas de
curvas cónicas, ya sean circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas.
Al representar gráficamente las ecuaciones en un plano, pueden darse varios casos:
Si las dos cónicas, o una cónica y una recta, del sistema se cortan en uno o dos
puntos, el sistema es compatible determinado.
Cuando se obtienen dos cónicas coincidentes, el sistema es compatible
indeterminado.
Si las dos cónicas, o la cónica y la recta, no se cortan en ningún punto del plano,
el sistema es incompatible (carece de solución).
Inecuaciones lineales con varias incógnitas
Una inecuación lineal con varias incógnitas responde a la fórmula general
siguiente:
ax + by + cz + ... + d < 0 (inecuación en sentido estricto), o bienax + by + cz + ... +
d £ 0 (inecuación en sentido amplio).
Para obtener la solución de la inecuación, se despeja una de las incógnitas. Por
ejemplo, en una inecuación lineal con dos incógnitas, del tipo ax + by + c < 0,
despejando se obtendría que: y < (-ax - c)/b.
Esta solución tiene una interpretación gráfica interesante si se considera que la
igualdad y = (-ax - c)/b corresponde una recta en el plano. Por tanto, la
desigualdad para el signo menor (<) incluye todos los puntos del plano situados
por debajo de dicha recta. Así, la resolución de una inecuación lineal es
un semiplano, tal que:
Si se trata de una inecuación en sentido estricto, no incluye a los puntos de la
recta que limita al semiplano.
Si es una desigualdad en sentido amplio, los puntos de la recta son también
soluciones de la inecuación.
Sistemas de inecuaciones y ecuaciones lineales
Dado un sistema formado por una inecuación lineal y una ecuación también lineal,
la solución es el conjunto de puntos de la semirrecta que representa a la ecuación
lineal contenida en el semiplano solución de la inecuación.
Cuando el sistema está formado por dos inecuaciones lineales, la solución es la
porción del plano que contiene los dos semiplanos correspondientes a la solución
de cada una de las inecuaciones.
Resolución gráfica de un sistema formado por una inecuación y una ecuación
lineales.
Resolución gráfica de un sistema formado por dos inecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que
tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones,
pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las
incógnitas entre sí.
Ejemplo de un sistema:
{3x+2y=1x−5y=6{3x+2y=1x−5y=6
Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (xx e yy.
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada
incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.
La solución al sistema del ejemplo anterior es
x=1y=−1x=1y=−1
Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay
una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se
dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos
ya que en esta página sólo se estudian los sistemas determinados.
Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al
menos tantas ecuaciones como incógnitas.
En esta página resolvemos sistemas de dos ecuaciones (lineales) con dos
incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en
la obtención de una ecuación de primer grado.
Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas
(por ejemplo, xx) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo,
obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, yy. Una vez
resuelta, calculamos el valor de xx sustituyendo el valor de yy que ya
conocemos.
Sistema 1
Despejamos en la primera ecuación la xx:
Y la sustituimos en la segunda:
Calculamos xx sabiendo y=2y=2:
Por tanto, la solución del sistema es
Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones como, por
ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las
incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola
incógnita.
Sistema 2
Despejamos en ambas ecuaciones la yy:
Igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación:
Sustituyendo xx en la primera de las ecuaciones anteriores obtenemos yy:
Por tanto, la solución del sistema es
Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma
incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación
con una sola incógnita.
Sistema 3
Multiplicamos la primera ecuación por la fracción 1/5 y la segunda por la fracción
1/7:
De este modo, evitamos coeficientes altos que complican las operaciones.
Ahora, multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda por 2 y las sumamos:
Sustituimos el valor de y=−8/5y=−8/5 en la primera ecuación y la resolvemos:
Por tanto, la solución del sistema es
REFERENCIAS
Sistemas de ecuaciones de primer grado - Hiru.eus
https://www.hiru.eus › matematicas › sistemas-de-ecuaci.
Sistemas de ecuaciones de segundo grado e inecuaciones ...
https://www.hiru.eus › matematicas › sistemas-de-ecuacio
Métodos de sustitución, de igualación y de reducción
https://www.matesfacil.com › ESO › Ecuaciones › resue.
