Estadística Víctor Hugo César Ramírez Herramientas para contar puntos muestrales Cuando el número de eventos simples de un espacio muestral es muy grande y la numeración manual de todo punto muestral es tediosa o hasta imposible, contar el número de puntos del espacio muestral y del evento de interés puede ser la única forma eficiente de calcular la probabilidad de un evento. De hecho, si un espaci cio o muest estral contiene N pun puntos mues muestr tral ales es igualmente probables y un evento A contiene exactamente na puntos muestrales, muestrales, es fácil ver que: = Teorema: Con m elementos a1, a2,…, am y n elementos b1, b2,…, bn, es posible formar mn =m × n pares que contengan un elemento de cada grupo. Ejemplo Un experimento incluye lanzar un par de dados y observar los números de sus caras superiores. Encuentre el número de puntos muestrales en S, el espacio muestral para el experimento. Solución: Sea m, el número de resultados posibles del dado a. Sea n, el número de resultados posibles del dado b. Aplicando la regla: = 66 = 36 Ejemplo 2 • Considere un experimento que consiste en registrar el cumpleaños para cada una de 20 personas seleccionadas al azar. Si no se presta atención a los años bisiestos y se supone que hay sólo 365 cumpleaños distintos posibles, encuentre el número de puntos del espacio muestral S para este experimento. Si suponemos que cada uno de los posibles conjuntos de cumpleaños es igualmente probable, ¿cuál es la probabilidad de que cada persona de las 20 tenga un cumpleaños diferente? Solución Tomamos como referencia la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que cada persona de las 20 tenga un cumpleaños diferente? Tomamos en cuenta la regla: = Sustituyendo en la ecuación y suponiendo que no se trata de un año bisiesto: = 365364363 … 346 = 0.5886 365 Definición Un arreglo ordenado de r objetos distintos se denomina permutacion. El número de formas de ordenar n objetos distintos tomados r a la vez estará designado por el símbolo . Ejemplo Los nombres de 3 empleados se han de sacar al azar, sin restitución, de un tazón que contiene los nombres de 30 empleados de una pequeña compañía. La persona cuyo nombre sea sacado primero recibe $100 y aquellos cuyos nombres se saquen en segundo y tercero recibirán $50 y $25, respectivamente. ¿Cuántos puntos muestrales están asociados con este experimento? Solución Debido a que los premios otorgados son diferentes, el número de puntos muestrales es el número de arreglos ordenados de r = 3 de entre los posibles n = 30 nombres. Entonces, el número de puntos muestrales en S es: = 30! = 24,360 27! 30 29 28 = 24,360 Teorema Ejemplo Ha surgido una disputa laboral respecto a la distribución de 20 trabajadores a cuatro trabajos de construcción diferentes. El primer trabajo (considerado muy indeseable) requirió de 6 trabajadores; el segundo, tercero y cuarto utilizaron 4, 5 y 5 trabajadores, respectivamente. La disputa surgió sobre una supuesta distribución aleatoria de los trabajadores a los trabajos que pusieron a los 4 miembros de un grupo étnico particular en el trabajo 1 . Al considerar si la asignación representaba una injusticia, un panel de mediación pedía la probabilidad del evento observado. Determine el número de puntos muestrales del espacio muestral S para este experimento. Esto es, determine el número de formas en que los 20 trabajadores se pueden dividir en grupos de los tamaños apropiados para llenar todas las posiciones de trabajo. Encuentre la probabilidad del evento observado si se supone que los trabajadores son asignados en forma aleatoria a los trabajos. Solución El número de formas de asignar los 20 trabajadores a los cuatro trabajos es igual al número de formas de dividir los 20 en cuatro grupos de tamaños n1 = 6, n2 = 4, n3 = n4 = 5. Entonces: Por una asignacion aleatoria de trabajadores a los trabajos queremos decir que cada uno de los N puntos muestrales tiene probabilidad igual a 1/N. Si A denota el evento de interés y na el número de puntos muestrales en A, la suma de las probabilidades de los puntos muestrales en A es P(A) = na(1/N) = na/N. El número de puntos muestrales en A, na, es el número de formas de asignar trabajadores a los cuatro trabajos, con los 4 miembros del grupo étnico pasando todos al trabajo 1. Los 16 trabajadores restantes necesitan ser asignados a los trabajos restantes. Debido a que quedan dos vacantes para el trabajo 1, esto se puede hacer en: Por lo que: = 30270240 9777287520 = 0.0031 Así que la probabilidad de que los trabajadores de un grupo étnico en específico hayan sido seleccionados para hacer el trabajo 1 es: ҧ = 1 − 0.0031 ҧ = 0.9969 Definición Teorema Demostración Ejemplo Ahora… Recordando que: Obtenemos:
