Máximos y Mínimos de las derivadas. Grupo de trabajo N°11 Integrantes: Edgar Pinta Henry Redin Víctor Siza Kevyn Vargas Patricio Quishpe Máximos y mínimos Entre todos los valores que puede tener una función f ( x ) , puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. Los denominamos máximos y mínimos de una función Máximos y mínimos absolutos: Extremos absolutos: son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio. • El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio. Extremos relativos: de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio. •La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha. •Un punto es un máximo relativo cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente. •La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha •Un punto es un mínimo relativo cuando la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Grafica de una función: METODO PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION: Existen 2 métodos para su resolución: Método 1: CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA Obtener la primera derivada. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función. Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo. Sustituir en la función original f ( x ) el o los valores de la variable independiente (x) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico Método 2:CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Este método es más utilizado que el anterior. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva. Calcular la primera y segunda derivadas Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación Sustituir las raíces (el valor o valores de x) de la primera derivada en la segunda derivada. Si el resultado es positivo hay mínimo. Si la segunda derivada resulta ser negativa hay un máximo. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo Para encontrar máximos o mínimos, debemos hallar los valores que hacen nula a su derivada primera Ejemplo: Para la resolución del problema podemos tomar cualquiera de los métodos expuestos anteriormente 𝑓 𝑥 = 2𝑥 4 𝑓 ′ 𝑥 = 8𝑥 3 8𝑥 3 = 0 𝑓 ′′ 𝑥 = 24𝑥 2 𝑓 ′′′ 𝑥 = 48𝑥 𝑓4 𝑥 = 48 > 0 La única raíz es cero Si sigue siendo nulo se sigue derivando La derivada que no se anula es de orden 4, que es par, y el valor que toma la derivada cuarta para x = 0 es 48, mayor que cero, por lo que el punto crítico hallado es un mínimo relativo. Para ver las coordenadas de este mínimo, se hallará la imagen f(0). 𝑓 𝑥 = 2𝑥 4 𝑓 0 = 2 ∗ 04 =0 Las coordenadas de este mínimo local son (0, 0). El punto es también un mínimo absoluto de la función, pues es el valor menor de su rango Resolución de Ejercicios de máximos y mínimos Según la primera y segunda derivada Para calcular se utilizará el criterio de la segunda derivada Ejercicio N°1: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟑 Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada: • 𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 3 − 16𝑥 • 𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 16 Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación • 𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 3 − 16𝑥 = 4𝑥(𝑥 2 − 4) =0 Las soluciones de esta ecuación son: 𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = 2 ; 𝑥3 = −2 Finalmente se evalúa para f’’(x) en los puntos críticos. Determinemos si 𝑓 ′′ 𝑥 𝑎 𝑠𝑡 > 0 o 𝑓 ′′ 𝑥 𝑎 𝑠𝑡 < 0 Entonces tenemos que: • 𝑓 ′′ 𝑥1 = 12(0)2 −16 = −16 < 0 • 𝑓 ′′ 𝑥2 = 12(2)2 −16 = 32 > 0 • f ′′ 𝑥3 = 12 −2 = 32 > 0 2 − 16 Ahora por el criterio de la segunda derivada. La función f(x) tiene un máximo local en: • 𝑥=0 Y tienes dos mínimos locales en: • 𝑥=2 • 𝑥 = −2 Los valores correspondientes de la función son: • 𝑓 0 = (0)4 −8 0 2 +3=3 • 𝑓 2 = (2)4 −8 2 2 + 3 = −13 • 𝑓 −2 = (−2)4 −8 −2 2 + 3 = −13 La siguiente figura muestra la gráfica de la función f 𝒙 propuesta. Para calcular se utilizará el criterio de la segunda derivada Ejercicio N°2: 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝒙𝟑 Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada: • 𝑓 ′ 𝑥 = 3 − 3𝑥 2 • 𝑓 ′′ 𝑥 = −6𝑥 Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la ecuación • 𝑓 ′ 𝑥 = 3 − 3𝑥 2 • =0 Las soluciones de esta ecuación son: 𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = −1 Finalmente se evalúa para f’’(x) en los puntos críticos. Determinemos si 𝑓 ′′ 𝑥 𝑎 𝑠𝑡 > 0 o 𝑓 ′′ 𝑥 𝑎 𝑠𝑡 < 0 Entonces tenemos que: • 𝑓 ′′ 𝑥1 = −6(𝑥1 ) = −6 1 = −6 < 0 • 𝑓′′(𝑥2 ) = −6𝑥2 = −6 −1 = −6 > 0 Ahora por el criterio de la segunda derivada. La función f(x) tiene un máximo local en: • 𝑥=1 Y tienes un mínimo local en: • 𝑥 = −1 Los valores correspondientes de la función son: • 𝑓 1 = (3)1 − 1 3 =2 • 𝑓 −1 = 3 −1 − −1 3 = −2 La siguiente figura muestra la gráfica de la función f 𝒙 propuesta. Ejercicio N°4 Resolución 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 Encontrar los máximos y mínimos • primer paso derivar la función. • segundo paso es igualar a cero y resolver la ecuación. resolver ya sea factorizando o con la fórmula general o en algunos casos se puede despejar en este caso podemos despejar la x. 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 3 3𝑥 2 − 3 = 0 3𝑥 2 = 3 3 = 3 𝑥2 = 1 𝑥2 𝑥=± 1 𝑥 = ±1 𝑥1 = 1 𝑥2 = −1 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 Paso tres es volver a derivar (segunda derivada). Paso cuatro sustituir las soluciones en la segunda derivada. Si el resultado es positivo va a ser un mínimo. Si el resultado es negativo va a ser un máximo. 𝑥1 = 1 𝑓 ′′ 1 = 6 1 = 6 𝑓 ′′ 1 = 6 mínimo 𝑥2 = −1 𝑓 ′′ −1 = 6 −1 𝑓 ′′ −1 = −6 maximo Paso cinco obtenemos las coordenadas en Y. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 𝑥1 = 1 𝑓 1 = 13 − 3 1 + 2 𝑓 1 =0 1,0 es un mínimo 𝑥2 = −1 𝑓 −1 = −13 − 3 −1 + 2 𝑓 −1 = 4 −1,4 es un máximo Máximos: −1,4 Mínimos: 1,0 Ejercicio N°6 Resolución 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 2 − 6x − 12 𝑎=6 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 1 𝑏 = −6 −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 𝑐 = −12 −6 ± (−6)2 −4(6)(−12) 𝑥= 2(6) Encontrar los máximos y mínimos Encontrar la derivada Igualamos a cero y resolvemos resolver ya sea factorizando o con la fórmula general en este caso con la formula general. 6 ± 36 + 288 𝑥= 12 6 ± 324 𝑥= 12 𝑥1 = 2 𝑥= 6 ± 18 12 𝑥2 = −1 𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 2 − 6x − 12 Paso tres es volver a derivar (segunda derivada). 𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 - 6 𝑥1 = 2 Paso cuatro sustituir las soluciones en la segunda derivada. Si el resultado es positivo va a ser un mínimo. Si el resultado es negativo va a ser un máximo. 𝑓 ′′ 2 = 12(2) - 6 𝑓 ′′ 2 = 18 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑥2 = −1 𝑓 ′′ −1 = 12(−1) - 6 𝑓 ′′ −1 = −18 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 Paso cinco obtenemos las coordenadas en Y. Remplazando en la ecuación original 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 1 𝑥1 = 2 𝑓 2 = 2(2)3 −3 2 2 − 12(2) + 1 𝑓 2 =16 -12 – 24 + 1 𝑓 2 = - 19 2, −19 es un mínimo 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 1 𝑥2 = −1 𝑓 −1 = 2(−1)3 −3 −1 2 𝑓 −1 = −2 − 3 + 12 + 1 𝑓 −1 = 8 −1,8 es un máximo − 12(−1) + 1 Ahora verificaremos donde la función es creciente, decreciente, cóncava y convexa. Ejemplos: Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: Bibliografías: Funciones.xyz. (2021). Máximos y mínimos de una función (extremos relativos). Funciones.xyz. Disponible en https://www.funciones.xyz/maximos-y-minimos-de-una-funcionextremos-relativos/ Serra, B. R. (2020). Máximos y mínimos de una función. Universo Formulas. Disponible en https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimos-funcion/ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/ejercicios-resueltosde-maximos-y-minimos.html https://www.problemasyecuaciones.com/funciones/extremos/maximo-minimo-punto-criticoproblemas-resueltos-ejemplos-regla-derivada.html https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/derivada-maximo-minimo/
