a) Una situación o problema teniendo en cuenta una población en especial de la región donde usted vive o trabaja, donde se apliquen de los conceptos básicos de probabilidad en un campo de las ciencias o en la vida cotidiana. Desde el concepto de probabilidad se sabe que es una ciencia de mucho interés en nuestras vidas diarias, ya que se realizan estudios de poblaciones desde diferentes ámbitos o contextos, donde se analiza cierta información, basándose en los datos o resultados que nos lleven a comprobar o refutar dichas situaciones. Desde el escenario que voy a abordar y viéndolo desde mi practica pedagógica en la I.E. Manuela Beltrán, especialmente en el área de las matemáticas se ha podido observar las dificultades que han tenidos los estudiantes del grado octavo lo cual se le dificulta resolver operaciones básicas y donde sea necesario dividir y multiplicar, de la misma manera la forma de resolver problemas matemáticos relacionados con la vida cotidiana, la docente a tomado la iniciativa de realizar explicaciones pero a pesar de los refuerzos realizados la dificulta persiste. La docente al finalizar el periodo desea evaluar y mirar si ha habido un avance o mejora en los estudiantes, la docente desea aplicar una prueba, analizar los resultados, presentarlos ante al área de matemáticas con el objetivo de recompensar algunos estudiantes. b) Debe explicar claramente que conceptos se aplican y en que consiste el problema o la situación seleccionada. Para poder comprender el desarrollo de la actividad y proceso que desea llevar la docente y con la finalidad de conocer si ha habido un avance significativo en el aprendizaje de las operaciones básicas del área de las matemáticas, existen algunas notaciones y conceptos claves en el estudio: La probabilidad: esta se representa con la letra P. Un suceso: es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento. Un suceso simple: es un resultado o un suceso que ya no puede desglosarse en componentes más simples. El espacio muestral: de un procedimiento son todos los posibles resultados. Es decir, el espacio muestral está formado por todos los resultados que ya no puede desglosarse más. Variable discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos. Probabilidad condicionada: calcular la probabilidad de un suceso dada la ocurrencia de otro suceso. Distribución binomial: es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. Tabla estadística: es un arreglo de filas y columnas dispuestas metódicamente de modo tal que se puedan presentar y organizar los datos para clasificarlos adecuadamente para comparar e interpretar las características de dos o más variables. Gráfico estadístico es una representación visual de una serie de datos estadísticos. Una población: es el total de individuos o conjunto de ellos que presentan o podrían presentar el rasgo característico que se desea estudiar. Muestra: es un subconjunto de datos perteneciente a una población de datos. La situación que se presenta es el bajo rendimiento de aprendizaje y las dificultades que muestran los estudiantes del grado octavo de la I.E. Manuela Beltrán para resolver operaciones básicas sobre todo dividir y multiplicar, conceptos básicos del área de las matemáticas. La docente a tomado la iniciativa de reforzar en el transcurso del periodo realizando explicaciones y talleres donde los estudiantes retomen conceptos claves que le facilitaran el desarrollo de cualquier problema matemático. Ella opta por realizar un estudio probabilístico que consta de una evaluación donde quiere medir la posibilidad de que cada uno de los posibles resultados de dicha evaluación, aplicar la prueba analizando los datos y para finalizar desea saber la probabilidad de que sean escogidos algunos estudiantes con fin de darle un reconocimiento. La docente quiere conocer los resultados posibles para poder ser calculados de manera teórica especialmente cuando son igual de probables. c) De igual manera debe crear un ejercicio relacionado con la situación o problema elegida, presentando su solución paso a paso, con conclusión de la solución y evidenciando los conceptos de probabilidad. Para este caso tenemos lo siguiente: Población son los estudiantes Muestra: estudiantes de grado octavo, grupos 801, 802, 803 y 804 La docente realiza el siguiente estudio probabilístico: Primer paso: es diseñar una evaluación para mirar el avance en el aprendizaje de las operaciones básicas, la evaluación consta de 12 preguntas con tres opciones de respuesta con una verdadera, se aprueba el examen con 6 preguntas correctas, la docente quiere saber cual es la probabilidad que cada estudiante pueda pasar el examen. Segundo paso: la docente organiza los resultados de la aplicación de la evaluación arrojando los siguientes resultados: Curso 801 802 803 804 Total Aprobó Reprobó 25 6 21 11 28 7 19 22 93 46 La docente basándose en la tabla y seleccionando un estudiante al azar necesita saber cuál es la probabilidad de: 1. ¿que haya aprobado sabiendo que es del grupo 803? 2. ¿que sea del grupo 802 si el estudiante escogido reprobó el examen? 3. ¿que el estudiante escogido haya reprobado el examen si rindió la prueba con el grupo 804? Tercer paso: sabiendo el promedio de los aprobados la docente desea premiar a unos estudiantes, para esto ella selecciona al azar 5 estudiantes de lo cual necesita saber cual es la probabilidad que de ellos al menos 3 hayan aprobado el examen. Desarrollo: Paso uno: Estamos hablando de una distribución binomial en este caso la variable es una variable aleatoria discreta. Representa el número de aprobados entre n pruebas elementales siempre que se cumplan las siguientes condiciones: Para cada prueba, son posibles dos tipos de resultados: A (éxito) y A* (fracaso) La probabilidad de éxito (π) es la misma en cada prueba: probabilidad constante de éxito π (probabilidad de fracaso=1-π) Se repite la prueba elemental un número fijo n Según lo anterior, podemos concluir que la distribución binomial se define como una serie de experimentos o ensayos en los que solo podemos tener 2 posibles resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito la variable aleatoria. Al aplicar la formula de distribución binomial se tiene que cumplir lo siguiente: 𝑛 𝑃(𝑥) = ( ) 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 𝑥 n = Número de ensayos/experimentos x = Número de éxitos p = Probabilidad de éxito q = Probabilidad de fracaso (1-p) 𝑛 = 12 𝑥=6 𝑝 = 0,33 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,33 = 0,67 Y donde 𝑃(𝑥 ≥ 6) = 𝑃(𝑥 = 6) + 𝑃(𝑥 = 7) + 𝑃(𝑥 = 8) + 𝑃(𝑥 = 9) … + 𝑃(𝑥 = 12) Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula: 𝑛 𝑛! 𝐶𝑛,𝑥 = ( ) = 𝑥 𝑥! (𝑛 − 𝑥)! 𝑃(𝑥) = 𝑛! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 𝑥! (𝑛 − 𝑥)! Remplazamos y desarrollamos 𝑃(6) = 12! ∗ 0,336 ∗ 0,6712−6 6! (12 − 6)! 𝑃(6) = 924 ∗ 0.00129 … ∗ 0.09045 … 𝑃(6) = 0.1079 … 𝑃(7) = 12! ∗ 0,337 ∗ 0,6712−7 7! (12 − 7)! 𝑃(7) = 792 ∗ 0.00043 … ∗ 0.13501 … 𝑃(7) = 0.0456 … 𝑃(8) = 12! ∗ 0,338 ∗ 0,6712−8 8! (12 − 8)! 𝑃(8) = 495 ∗ 0.00014 … ∗ 0.20151 … 𝑃(8) = 0.0140 … 𝑃(9) = 12! ∗ 0,339 ∗ 0,6712−9 (12 9! − 9)! 𝑃(9) = 220 ∗ 0.000047 … ∗ 0.30077 … 𝑃(9) = 0.0031 … 𝑃(10) = 12! ∗ 0,3310 ∗ 0,6712−10 10! (12 − 10)! 𝑃(10) = 66 ∗ 0.000017 … ∗ 0.4489 𝑃(10) = 0.0005 … 𝑃(11) = 12! ∗ 0,3311 ∗ 0,6712−11 11! (12 − 11)! 𝑃(11) = 12 ∗ 0.000005645 ∗ 0.67 𝑃(11) = 0.000045 … 𝑃(12) = 12! ∗ 0,3312 ∗ 0,6712−12 12! (12 − 12)! 𝑃(12) = 1 ∗ 0.0000019 ∗ 1 𝑃(12) = 0.0000019 … Y donde la probabilidad de pasar el examen está dada por: 𝑃(𝑥 ≥ 6) = 𝑃(𝑥 = 6) + 𝑃(𝑥 = 7) + 𝑃(𝑥 = 8) + 𝑃(𝑥 = 9) … + 𝑃(𝑥 = 12) 𝑃(𝑥 ≥ 6) = 0.1079 + 0.0456 + 0.0140 + 0.0031 + 0.0005 + 0 + 0 𝑃(𝑥 ≥ 6) = 0.1711 = 17% Los estudiantes tienen un 17% de pasar el examen Hacemos la representación gráfica: Paso dos: Se sabe que los resultados de los exámenes esta representado en la siguiente tabla: Curso 801 802 803 804 Total Aprobó Reprobó 25 6 21 11 28 7 19 22 93 46 Hablamos de una probabilidad condicionada: calcular la probabilidad de un suceso dada la ocurrencia de otro suceso, en donde A es el suceso de la probabilidad que deseamos calcular y B es el suceso que condiciona la probabilidad a calcular, es decir, la probabilidad de A condicionada por B. Para calcular esta probabilidad vamos a usar la formula que esta dada por: Si dos sucesos A y B son dependientes, entonces la probabilidad de que ocurra el suceso A, sabiendo que ha ocurrido el suceso B es: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) 𝑐𝑜𝑛 𝑃(𝐵) ≠ 0 𝑃(𝐵) Analicemos por pregunta: 1. ¿que haya aprobado sabiendo que es del grupo 803? Para este caso nos están preguntando la probabilidad del suceso 𝐴 = 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑏ó 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛 Con la condición: 𝐵 = 𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 803 Calculamos las probabilidades: Probabilidad que pertenezca al grupo 803: Para este caso son 35 de un total de 139 estudiantes. Sabemos que: 𝑃(𝐵) = 35 = 0.252 139 Buscamos la probabilidad que pertenezca al grupo 803 y que haya aprobado el examen está dada por: Tenemos que 28 estudiantes aprobaron el examen en el grupo 803 de un total de 139 estudiantes, por lo tanto: 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) = 28 = 0.202 139 Ahora calculamos la probabilidad condicional: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) 𝑃(𝐵) 0.202 = 0.8 0.252 En conclusión, la probabilidad que es estudiante escogido al azar haya aprobado el examen sabiendo que pertenecía al grupo 803 es de un 0.8 Siguiente pregunta: 2. ¿que sea del grupo 802 si el estudiante escogido reprobó el examen? Para este caso nos están preguntando que la probabilidad del suceso A es: 𝐴 = 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 802 Con la condición B: 𝐵 = 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑜𝑏ó 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛 Calculamos las probabilidades: Probabilidad que el estudiante reprobara el examen, Para este caso son 46 de un total reprobados de 139 estudiantes que presentaron el examen. Sabemos que: 𝑃(𝐵) = 46 = 0.33 139 Buscamos la probabilidad que pertenezca al grupo 802 y que haya reprobado el examen está dada por: Tenemos que 11 estudiantes reprobaron el examen en el grupo 802 de un total de 139 estudiantes, por lo tanto: 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) = 11 = 0.079 139 Ahora calculamos la probabilidad condicional: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) 𝑃(𝐵) 0.079 = 0.24 0.33 En conclusión, la probabilidad de que el estudiante escogido al azar haya pertenecido al grupo 803 y sabiendo que reprobó el examen es de 0.24 Siguiente pregunta: 3. ¿que el estudiante escogido haya reprobado el examen si rindió la prueba con el grupo 804? Nos están preguntando el suceso B: 𝐵 = 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑜𝑏ó 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑒𝑛 Con la condición A: 𝐴 = 𝑃𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 804 Calculamos las probabilidades: En este suceso tenemos que 41 pertenecen al grupo 804 de un total de 139 estudiantes: 𝑃(𝐴) = 41 = 0.295 139 Probabilidad que el estudiante pertenezca al grupo 804 y que haya reprobado el examen en este caso tenemos que 22 estudiantes reprobaron el examen de un total de 139: Por lo tanto: P(A ∧ B) = 22 = 0.158 139 Ahora calculamos la probabilidad condicionada: 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵|𝐴) = 0.158 = 0.54 0.295 Para concluir, la probabilidad de que el estudiante escogido al azar haya reprobado el examen sabiendo que pertenece al grupo 804 es de 0.54 Paso tres: Para este paso también se nos presenta un caso de probabilidad binomial: Sabiendo que: sabiendo el promedio de los aprobados la docente desea premiar a unos estudiantes, para esto ella selecciona al azar 5 estudiantes de lo cual necesita saber cuál es la probabilidad que de ellos al menos 3 hayan aprobado el examen Lo primero que hay que hacer es definir las variables del experimento: n = Número de ensayos/experimentos x = Número de éxitos p = Probabilidad de éxito q = Probabilidad de fracaso (1-p) 𝑛=5 𝑥=3 𝑝 = 0,6 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0.6 = 0,4 Ya solo sustituimos en la formula: 𝑃(𝑥) = 𝑃(3) = 𝑛! 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 𝑥! (𝑛 − 𝑥)! 5! ∗ 0.63 ∗ 0.45−3 3! (5 − 3)! 𝑃(3) = 10 ∗ 0.216 ∗ 0.16 𝑃(3) = 0.3456 𝑃(4) = 5! ∗ 0.64 ∗ 0.45−4 4! (5 − 4)! 𝑃(4) = 5 ∗ 0.1296 ∗ 0.4 𝑃(4) = 0.2592 𝑃(5) = 5! ∗ 0.65 ∗ 0.45−5 5! (5 − 5)! 𝑃(5) = 1 ∗ 0.07776 ∗ 1 𝑃(5) = 0.0778 Y donde la probabilidad de seleccionar al azar y que hayan aprobado el examen es: 𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) 𝑃(𝑥 ≥ 3) = 0.3456 + 0.2592 + 0.0778 𝑃(𝑥 ≥ 3) = 0.6826 = 68.26% La probabilidad que al menos 3 de los 5 aprueben el examen es de 68.26%
