Subido por María Guadalupe Ramos Oloarte

Máximos y Mínimos

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Matemática Aplicada
Tema:
Ing. Claudio Salazar y Ayala
Máximos y Mínimos de una Función.
(Criterio de la Primera Derivada)
Aplicando la derivada de una Función, hemos determinado los intervalos en los
cuales la Función es Creciente o Decreciente; ahora se utilizará para analizar los
puntos en que la Función cambia de Creciente a Decreciente o viceversa.
Para poder calcular el valor Máximo o Mínimo de una función, esta (la función)
debe ser derivable y continua.
El punto dónde la Función cambia de Creciente a Decreciente o viceversa, se
conoce como Punto Crítico o Valor Crítico de la Función y es representado con la letra
“C”; se identifica fácilmente ya que en ese punto la recta tangente a la curva es
paralela al eje “x”.
Si “C” es un número que está dentro del dominio de una función, entonces a
“C” se le denomina “Punto Crítico o Valor Crítico de la Función” si su derivada valuada
en “C” es igual a cero, es decir, f ¢(C ) = 0.
Máximo:
La función f (C ) tendrá un valor Máximo en la función si “C” existe
en un intervalo y f (C ) ñ f ( x) para todos los valores de “x” en un intervalo dado.
Ejemplo:
y
Máximo
f (C )
f ( x4 )
f ( x2 )
f ( x5 )
f ( x1 )
x
x1
x2
C
x4
x5
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Matemática Aplicada
Ing. Claudio Salazar y Ayala
Mínimo:
La función f (C ) tendrá un valor Mínimo en la función si “C” existe
en un intervalo y f (C ) á f ( x) para todos los valores de “x” en un intervalo dado
y
f ( x5 )
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x4 )
Mínimo
f (C )
x
x1
C
x2
x4
x5
Punto de Inflexión:
Se dice que “C” es un punto de Inflexión si la función
no presenta ni Máximo ni Mínimo.
y
f ( x5 )
f ( x4 )
f (C )
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x1
x2
C
x4
x5
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Matemática Aplicada
Ing. Claudio Salazar y Ayala
Método para calcular los Máximos y Mínimos de una función:
1.- Calcular la Primera Derivada de la función.
2.- Se iguala la primera derivada con cero y se resuelve la ecuación resultante para
obtener los valores críticos.
3.- Se analizan los valores críticos, uno por uno (en primer lugar, se analiza un valor
un poco menor que el valor crítico; después, se analiza un valor un poco mayor que
él), con la finalidad de determinar los signos de la primera derivada, antes y después
de cada valor crítico.
4.- Si el signo de la primera derivada es: Inicialmente Positivo y después Negativo, la
función presenta un Máximo, para el valor crítico que se analiza.
5.- Si el signo de la primera derivada es: Inicialmente Negativo y después Positivo, la
función presenta un Mínimo, para el valor crítico que se analiza.
6.- Si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni Máximo ni
Mínimo, para el valor crítico que se analiza.
90° < θ < 180°
0° < θ < 90°
θ = 0°
m=−
m=+
m=0
La derivada es Negativa
La derivada es Positiva
𝑓 ´ (𝑥) = 0
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