Matemática Aplicada Tema: Ing. Claudio Salazar y Ayala Máximos y Mínimos de una Función. (Criterio de la Primera Derivada) Aplicando la derivada de una Función, hemos determinado los intervalos en los cuales la Función es Creciente o Decreciente; ahora se utilizará para analizar los puntos en que la Función cambia de Creciente a Decreciente o viceversa. Para poder calcular el valor Máximo o Mínimo de una función, esta (la función) debe ser derivable y continua. El punto dónde la Función cambia de Creciente a Decreciente o viceversa, se conoce como Punto Crítico o Valor Crítico de la Función y es representado con la letra “C”; se identifica fácilmente ya que en ese punto la recta tangente a la curva es paralela al eje “x”. Si “C” es un número que está dentro del dominio de una función, entonces a “C” se le denomina “Punto Crítico o Valor Crítico de la Función” si su derivada valuada en “C” es igual a cero, es decir, f ¢(C ) = 0. Máximo: La función f (C ) tendrá un valor Máximo en la función si “C” existe en un intervalo y f (C ) ñ f ( x) para todos los valores de “x” en un intervalo dado. Ejemplo: y Máximo f (C ) f ( x4 ) f ( x2 ) f ( x5 ) f ( x1 ) x x1 x2 C x4 x5 1 Matemática Aplicada Ing. Claudio Salazar y Ayala Mínimo: La función f (C ) tendrá un valor Mínimo en la función si “C” existe en un intervalo y f (C ) á f ( x) para todos los valores de “x” en un intervalo dado y f ( x5 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x4 ) Mínimo f (C ) x x1 C x2 x4 x5 Punto de Inflexión: Se dice que “C” es un punto de Inflexión si la función no presenta ni Máximo ni Mínimo. y f ( x5 ) f ( x4 ) f (C ) f ( x2 ) f ( x1 ) x x1 x2 C x4 x5 2 Matemática Aplicada Ing. Claudio Salazar y Ayala Método para calcular los Máximos y Mínimos de una función: 1.- Calcular la Primera Derivada de la función. 2.- Se iguala la primera derivada con cero y se resuelve la ecuación resultante para obtener los valores críticos. 3.- Se analizan los valores críticos, uno por uno (en primer lugar, se analiza un valor un poco menor que el valor crítico; después, se analiza un valor un poco mayor que él), con la finalidad de determinar los signos de la primera derivada, antes y después de cada valor crítico. 4.- Si el signo de la primera derivada es: Inicialmente Positivo y después Negativo, la función presenta un Máximo, para el valor crítico que se analiza. 5.- Si el signo de la primera derivada es: Inicialmente Negativo y después Positivo, la función presenta un Mínimo, para el valor crítico que se analiza. 6.- Si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni Máximo ni Mínimo, para el valor crítico que se analiza. 90° < θ < 180° 0° < θ < 90° θ = 0° m=− m=+ m=0 La derivada es Negativa La derivada es Positiva 𝑓 ´ (𝑥) = 0 3
