1 Tarea 1 – El Concepto de Integral Gustavo Andrés Gómez Pacheco Grupo: 100411A_1141 Tutor: Wilder Pastor Murcia Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Curso: Calculo Integral Aguachica-Cesar 2022 2 Tabla de contenido Introducción ........................................................................................................................................ 3 Solución de actividad .......................................................................................................................... 4 Bibliografía ........................................................................................................................................ 14 3 Introducción en el siguiente documento se ve la solución a cada una de las preguntas puestas en la guía de actividades, desarrollando punto por punto asignado por el tutor, se refleja también el uso del programa virtual GeoGebra donde se valida la información dada en el trabajo echo paso a paso, con esto se verifica y se da por terminado cada ejercicio. 4 Solución de actividad Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. Recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio b. ∫ 1 𝑑𝑥 2𝑥 3/2 1 1 ∫ −3/2 𝑑𝑥 2 𝑥 ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 1 𝑥 −3/2+1 1 = = 1+𝑐 𝑛 + 1 2 −3/2 + 1 𝑥2 Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann: Ejercicio b. 5 • Aproxime la integral definida ∫2 (√𝑥 + izquierdo, con n= 5. 𝑥2 4 + 3)𝑑𝑥, mediante la suma de Riemann del punto RTA: 5 ∫ (√𝑥 + 2 ∆𝑥 = 𝑥2 + 3)𝑑𝑥 4 𝑏−𝑎 𝑛 a=2 b=5 n=5 ∆𝑥 = 5−1 3 = 5 5 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 i=0,1,2,3,4 5 𝑥0 = 2 + 0 × 3 =2 5 𝑥1 = 2 + 1 × 3 = 2.6 5 𝑥2 = 2 + 2 × 3 = 3.2 5 𝑥3 = 2 + 3 × 3 = 3.8 5 𝑥4 = 2 + 4 × 3 = 4.4 5 𝑥𝑖 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 𝑥2 +3 4 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(2) = √2 + 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(2) = √2.5 + 22 + 3 = 5.41 4 2.52 + 3 = 6.30 4 𝑓(𝑥2 ) = 𝑓(3.2) = √3.2 + 3. 22 + 3 = 7.35 4 𝑓(𝑥3 ) = 𝑓(3.8) = √3.8 + 3.82 + 3 = 8.56 4 𝑓(𝑥4 ) = 𝑓(4.4) = √4.4 + 4.42 + 3 = 9.94 4 Remplazamos en la suma 𝑛 𝐴𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 𝑖=1 𝑛 𝐴 ≈ ∆𝑥 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑖=1 5 𝐴 ≈ ∆𝑥 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑖=1 𝐴 ≈ ∆𝑥 × (𝑓(𝑥0 ), 𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 ), 𝑓(𝑥3 ), 𝑓(𝑥4 )) 𝐴≈ 3 × (5.42 + 6.30 + 7.35 + 8.56 + 9.94) 5 𝐴≈ 3 × (37.56) 5 6 𝐴 ≈ 22.54𝑢2 • Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=5, n=15 y compara con el resultado de la integral definida. • Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. 7 • ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos? RTA: Se puede concluir con el ejercicio anterior que, entre más rectángulos tengamos nos acercamos más al área real bajo la curva. Tipo de ejercicios 3 – Teoremas de integración. Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones. Aplicar el siguiente Teorema de integración en cada ejercicio: 𝑏(𝑥) 𝑑 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ) = 𝑓(𝑏(𝑥)) × (𝑏 ′ (𝑥)) − 𝑓(𝑎(𝑥)) × (𝑎′ (𝑥)) (∫ 𝑑𝑥 𝑎(𝑥) Ejercicio b. 2𝑥 3 𝑓(𝑥) = ∫ √𝑥 √𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡 8 Datos: 𝑓(𝑡) = √𝑡 cos(𝑡) 1 𝑎(𝑥) = √𝑥 = 𝑥 2 𝑏(𝑥) = 2𝑥 3 Se sustituye b(x) en la función 𝑓(𝑏(𝑥)) = √2𝑥 3 cos(2𝑥 3 ) 𝑓(𝑏(𝑥)) = 𝑥√2𝑥 cos(2𝑥 3 ) Derivamos b(x) 𝑏’(𝑥) = 6𝑥 2 Se sustituye a(x) en la función 𝑓(𝑎(𝑥)) = √√𝑥 cos(√𝑥) Derivamos 1 1 1 𝑎′ (𝑥) = 𝑥 −1/2 = 1/2 = 2 2𝑥 2√𝑥 3 2𝑥 𝑑 (∫ √𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡) = 𝑓(𝑏(𝑥)) × (𝑏 ′ (𝑥)) − 𝑓(𝑎(𝑥)) × (𝑎′ (𝑥)) 𝑑𝑥 √𝑥 3 2𝑥 𝑑 1 (∫ √𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡) = 𝑥√2𝑥 cos(2𝑥 3 ) × 6𝑥 2 − √√𝑥 cos(√𝑥) × 𝑑𝑥 √𝑥 2√𝑥 3 2𝑥 √√𝑥 cos(√𝑥) 𝑑 (∫ √𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡) = 6𝑥 3 √2𝑥 cos(2𝑥 3 ) − 𝑑𝑥 √𝑥 2√𝑥 9 Tipo de ejercicios 4 – Integral definida. Calcular la siguiente integral definida: Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos: • Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa Geogebra. • Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. Ejercicio b. 1 ∫ (5 + 𝑥√𝑥) 𝑑𝑥 0 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) | = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎 𝑎 Regla de integración parea sumar ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 1 ∫ (5𝑑𝑥 + 𝑥√𝑥)𝑑𝑥 0 Se integra (5dx) ∫ 5𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑑𝑥 = 5 Se integra (𝑥√𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑥√𝑥 (𝑑𝑥) Propiedad de los exponentes 𝑛 𝑚 √𝑎𝑛 = 𝑎 𝑚 1 3 𝑥 √𝑥(𝑑𝑥) = 𝑥 1 × 𝑥 2 = 𝑥 2 𝑑𝑥 Regla de potencia 𝑥 𝑛 (𝑑𝑥) = 𝑣 𝑛+1 𝑛+1 3 𝑥 2+1 = 3 2+1 5 3 3 2 5 𝑥2 = +1= + = = 5 2 2 2 2 2 √𝑥 5 5 2√𝑥 2 × = 1 2 5 10 Remplazamos limites 1 2√15 2√05 𝑓(𝑥) (5(1) + ) − (5(0) + ) 0 5 5 5 2 (5 + × 12 ) − (0) 5 2 2 2 (5 + 1 × ) = 1 × = 5 5 5 2 (5 + ) 5 El 5 se convierte en fracción 5= 5×5 5 Se combinan fracciones 5×5+2 27 ( )= = 5.4 5 5 Geogebra 11 Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann Ejercicio c. 4 • Aproxime la integral definida ∫2 (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥, mediante la suma de Riemann del punto derecho, con n=5. • Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=5, n=14 y compara con el resultado de la integral definida. • Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. • ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos? 4 ∫2 (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥, 𝑛 = 5 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 ∆𝑥 = 𝑏−𝑎 𝑛 𝑎 = 2 𝑏 = 4 𝑛 = 5. ∆𝑥 = 4−2 2 = 5 5 ∆𝑥 = 𝑎 = 2, 2 5 12 14 16 18 , , , ,4 = 𝑏 5 5 5 5 12 99 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓 ( ) = = 3.96 5 25 𝑓(𝑥2 ) = 𝑓 ( 14 131 )= = 5.24 5 25 𝑓(𝑥3 ) = 𝑓 ( 16 171 )= = 6.84 5 25 𝑓(𝑥4 ) = 𝑓 ( 18 219 )= = 8.76 5 25 𝑓(𝑥5 ) = 𝑓(4) = 11 ∆𝑥 = 2 (3.96 + 5.24 + 6.84 + 8.76 + 11) = 14.32 5 4 ∫ (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 ≈ 14.32𝐴 2 12 13 Nombre Ejercicios Link video explicativo Estudiante sustentados Gustavo 2-c https://youtu.be/4A4wHrCblEc Gómez 14 Bibliografía Rivera, A. (2014). Cálculo y sus Fundamentos para Ingeniería y Ciencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 541 - 546). Recuperado de https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39430?page=1 Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral: La Integral Indefinida y Métodos de Integración. Editorial Unimagdalena. (pp. 80 – 83). Recuperado de https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/70095?page=1 Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 135 – 141; 176 - 181). Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=1 Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 181 184). Recuperado de: https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40465?page=1
