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Tarea 1 – El Concepto de Integral
Gustavo Andrés Gómez Pacheco
Grupo: 100411A_1141
Tutor: Wilder Pastor Murcia
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD
Curso: Calculo Integral
Aguachica-Cesar
2022
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Tabla de contenido
Introducción ........................................................................................................................................ 3
Solución de actividad .......................................................................................................................... 4
Bibliografía ........................................................................................................................................ 14
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Introducción
en el siguiente documento se ve la solución a cada una de las preguntas puestas en la guía de
actividades, desarrollando punto por punto asignado por el tutor, se refleja también el uso del
programa virtual GeoGebra donde se valida la información dada en el trabajo echo paso a paso, con
esto se verifica y se da por terminado cada ejercicio.
4
Solución de actividad
Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades
matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. Recuerde que no debe hacer uso
de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe su
respuesta derivando el resultado.
Ejercicio b.
∫
1
𝑑𝑥
2𝑥 3/2
1
1
∫ −3/2 𝑑𝑥
2 𝑥
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1 1 𝑥 −3/2+1
1
=
= 1+𝑐
𝑛 + 1 2 −3/2 + 1
𝑥2
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann:
Ejercicio b.
5
• Aproxime la integral definida ∫2 (√𝑥 +
izquierdo, con n= 5.
𝑥2
4
+ 3)𝑑𝑥, mediante la suma de Riemann del punto
RTA:
5
∫ (√𝑥 +
2
∆𝑥 =
𝑥2
+ 3)𝑑𝑥
4
𝑏−𝑎
𝑛
a=2
b=5
n=5
∆𝑥 =
5−1 3
=
5
5
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥
i=0,1,2,3,4
5
𝑥0 = 2 + 0 ×
3
=2
5
𝑥1 = 2 + 1 ×
3
= 2.6
5
𝑥2 = 2 + 2 ×
3
= 3.2
5
𝑥3 = 2 + 3 ×
3
= 3.8
5
𝑥4 = 2 + 4 ×
3
= 4.4
5
𝑥𝑖 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑓(𝑥) = √𝑥 +
𝑥2
+3
4
𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(2) = √2 +
𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(2) = √2.5 +
22
+ 3 = 5.41
4
2.52
+ 3 = 6.30
4
𝑓(𝑥2 ) = 𝑓(3.2) = √3.2 +
3. 22
+ 3 = 7.35
4
𝑓(𝑥3 ) = 𝑓(3.8) = √3.8 +
3.82
+ 3 = 8.56
4
𝑓(𝑥4 ) = 𝑓(4.4) = √4.4 +
4.42
+ 3 = 9.94
4
Remplazamos en la suma
𝑛
𝐴𝑥 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥
𝑖=1
𝑛
𝐴 ≈ ∆𝑥 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑖=1
5
𝐴 ≈ ∆𝑥 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑖=1
𝐴 ≈ ∆𝑥 × (𝑓(𝑥0 ), 𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 ), 𝑓(𝑥3 ), 𝑓(𝑥4 ))
𝐴≈
3
× (5.42 + 6.30 + 7.35 + 8.56 + 9.94)
5
𝐴≈
3
× (37.56)
5
6
𝐴 ≈ 22.54𝑢2
• Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=5, n=15 y compara con el resultado de la
integral definida.
• Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.
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• ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?
RTA:
Se puede concluir con el ejercicio anterior que, entre más rectángulos tengamos nos acercamos más
al área real bajo la curva.
Tipo de ejercicios 3 – Teoremas de integración.
Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones. Aplicar el
siguiente Teorema de integración en cada ejercicio:
𝑏(𝑥)
𝑑
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ) = 𝑓(𝑏(𝑥)) × (𝑏 ′ (𝑥)) − 𝑓(𝑎(𝑥)) × (𝑎′ (𝑥))
(∫
𝑑𝑥 𝑎(𝑥)
Ejercicio b.
2𝑥 3
𝑓(𝑥) = ∫
√𝑥
√𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡
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Datos:
𝑓(𝑡) = √𝑡 cos(𝑡)
1
𝑎(𝑥) = √𝑥 = 𝑥 2
𝑏(𝑥) = 2𝑥 3
Se sustituye b(x) en la función
𝑓(𝑏(𝑥)) = √2𝑥 3 cos(2𝑥 3 )
𝑓(𝑏(𝑥)) = 𝑥√2𝑥 cos(2𝑥 3 )
Derivamos b(x)
𝑏’(𝑥) = 6𝑥 2
Se sustituye a(x) en la función
𝑓(𝑎(𝑥)) = √√𝑥 cos(√𝑥)
Derivamos
1
1
1
𝑎′ (𝑥) = 𝑥 −1/2 = 1/2 =
2
2𝑥
2√𝑥
3
2𝑥
𝑑
(∫ √𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡) = 𝑓(𝑏(𝑥)) × (𝑏 ′ (𝑥)) − 𝑓(𝑎(𝑥)) × (𝑎′ (𝑥))
𝑑𝑥 √𝑥
3
2𝑥
𝑑
1
(∫ √𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡) = 𝑥√2𝑥 cos(2𝑥 3 ) × 6𝑥 2 − √√𝑥 cos(√𝑥) ×
𝑑𝑥 √𝑥
2√𝑥
3
2𝑥
√√𝑥 cos(√𝑥)
𝑑
(∫ √𝑡 cos(𝑡) 𝑑𝑡) = 6𝑥 3 √2𝑥 cos(2𝑥 3 ) −
𝑑𝑥 √𝑥
2√𝑥
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Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.
Calcular la siguiente integral definida: Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos:
• Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa
Geogebra. • Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.
Ejercicio b.
1
∫ (5 + 𝑥√𝑥) 𝑑𝑥
0
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) | = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑎
𝑎
Regla de integración parea sumar
∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
1
∫ (5𝑑𝑥 + 𝑥√𝑥)𝑑𝑥
0
Se integra (5dx)
∫ 5𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑑𝑥 = 5
Se integra (𝑥√𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑥√𝑥 (𝑑𝑥)
Propiedad de los exponentes
𝑛
𝑚
√𝑎𝑛 = 𝑎 𝑚
1
3
𝑥 √𝑥(𝑑𝑥) = 𝑥 1 × 𝑥 2 = 𝑥 2 𝑑𝑥
Regla de potencia
𝑥 𝑛 (𝑑𝑥) =
𝑣 𝑛+1
𝑛+1
3
𝑥 2+1
=
3
2+1
5
3
3 2 5 𝑥2
= +1= + = =
5
2
2 2 2
2
√𝑥 5 5 2√𝑥 2
× =
1
2
5
10
Remplazamos limites
1
2√15
2√05
𝑓(𝑥) (5(1) +
) − (5(0) +
)
0
5
5
5
2
(5 + × 12 ) − (0)
5
2
2 2
(5 + 1 × ) = 1 × =
5
5 5
2
(5 + )
5
El 5 se convierte en fracción
5=
5×5
5
Se combinan fracciones
5×5+2
27
(
)=
= 5.4
5
5
Geogebra
11
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
Ejercicio c.
4
• Aproxime la integral definida ∫2 (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥, mediante la suma de Riemann del
punto derecho, con n=5.
• Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=5, n=14 y compara con el resultado de
la integral definida.
• Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.
• ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?
4
∫2 (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥, 𝑛 = 5
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
𝑎 = 2 𝑏 = 4 𝑛 = 5.
∆𝑥 =
4−2 2
=
5
5
∆𝑥 =
𝑎 = 2,
2
5
12 14 16 18
, , , ,4 = 𝑏
5 5 5 5
12
99
𝑓(𝑥1 ) = 𝑓 ( ) =
= 3.96
5
25
𝑓(𝑥2 ) = 𝑓 (
14
131
)=
= 5.24
5
25
𝑓(𝑥3 ) = 𝑓 (
16
171
)=
= 6.84
5
25
𝑓(𝑥4 ) = 𝑓 (
18
219
)=
= 8.76
5
25
𝑓(𝑥5 ) = 𝑓(4) = 11
∆𝑥 =
2
(3.96 + 5.24 + 6.84 + 8.76 + 11) = 14.32
5
4
∫ (𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 ≈ 14.32𝐴
2
12
13
Nombre
Ejercicios
Link video explicativo
Estudiante sustentados
Gustavo
2-c
https://youtu.be/4A4wHrCblEc
Gómez
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Bibliografía
Rivera, A. (2014). Cálculo y sus Fundamentos para Ingeniería y Ciencias. México: Grupo Editorial
Patria. (pp. 541 - 546). Recuperado de
https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39430?page=1
Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral: La Integral Indefinida y Métodos de Integración. Editorial
Unimagdalena. (pp. 80 – 83). Recuperado de
https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/70095?page=1
Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria.
(pp. 135 – 141; 176 - 181). Recuperado de:
https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39432?page=1
Alvarado, M. (2016) Cálculo Integral en Competencias. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 181 184). Recuperado de: https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40465?page=1
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