ASIGNATURA:CÁLCULO DIFERENCIAL
September 23, 2021
Septiembre 23, 2021
Unidad I: Numeros Reales
Alumno: Rivera Mendez Bryan Raziel
Resuelve las siguientes desigualdades:
1.-
x2 − 4x + 4 > 0
Sea A XϵR | x2 − 4x + 4 > 0 |
xϵR Entonces...
xϵR ⇐⇒ x2 − 4x + 4 > 0
Factorizando quedaria
Por el Teorema 12 y la U.M
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
2.-
(x − 2)(x − 2) > 0(x − 2)
(x − 2)2 > 0
(x − 2)(x − 2)(x − 2)−1 > 0(x − 2)−1
(x − 2) > 0
x>2
xϵR(2, ∞)
8x3 + 3x2 − 5x < 5x + 1
Sea A xϵR | 8x3 + 3x2 − 5x < 5x + 1
xϵR Entonces...
xϵR ⇐⇒ 8x3 + 3x2 − 5x < 5x + 1
⇐⇒ 8x3 + 3x2 − 5x − 5x − 1 < 5x − 5x + 1 − 1
⇐⇒ 8x3 + 3x2 − 10x − 1 < 0
⇐⇒ ( 18 )8x3 + 3x2 − 10x − 1 < 0( 18 )
1
⇐⇒ x3 + 38 x2 − 10
8 x− 8 <0
8
11
2
⇐⇒ (x − 8 )(x + 8 x + 18 ) < 0
Teorema 14, Corolario 3
Hay 2 ocpiones
1
1.- ⇐⇒ x − 88 < 0 y x2 + 11
8 x+ 8 >0
8
11
1
2
2.- ⇐⇒ x − 8 > 0 y x + 8 x + 8 < 0
Como no se puede factorizar hay que completar el cuadrado:
1
11 2
( 2b )2 = ( 16
) = 121
256
121
1
121
1.- ⇐⇒ x < 88 y x2 + 11
8 x + 256 ) + 8 − 256 > 0
11
121
1
121
8
2
<0
2.- ⇐⇒ x > 8 y x + 8 x + 256 ) + 8 − 256
8
11
121
32
2
1.- ⇐⇒ x < 8 y x + 8 x + 256 ) + 256 − 121
256 > 0
121
89
1.- ⇐⇒ x < 88 y x2 + 11
x
+
)
−
>
0
8
256
256
121
89
2.- ⇐⇒ x > 88 y x2 + 11
8 x + 256 ) − 256 < 0
8
11
121
89
2
1.- ⇐⇒ x < 8 y x + 8 x + 256 ) > 256
11
121
89
8
2
2.- ⇐⇒ x > 8 y x + 8 x + 256 ) < 256
Factorizar como un binomio al cuadrado
2
(x + ( 11
16 ))
1.- ⇐⇒ x <
2.- ⇐⇒ x >
2
y (x + ( 11
16 )) >
11 2
y (x + ( 16 )) <
8
8
8
8
89
256
89
256
1.-Teorema 18
√
√
⇐⇒ x < 88 y x + 11
> 1689 o x + 11
< − 1689
16
16
√
√
⇐⇒ x < 88 y x > 89−11
o x < − 89−11
16
16
2.-Teorema 19 √
√
89−11
11
11
<
x
+
−
<
⇐⇒ x > 88 y − 89−11
256√
16
16
256
√
⇐⇒ xϵR(−
3x
2
3.-
−
3
7
≤
5x
3
Sea A xϵR | 3x
2 −
xϵR Entonces
89−11
,
16
+
3
7
≤
89−11
8
256 )u( 8 , ∞)
5−7x
7
5x
3
+
5−7x
7
3
5x
5−7x
xϵR ⇐⇒ 3x
2 − 7 ≤ 3 +
7
63
18
70
30
⇐⇒ 42 x − 42 ≤ 42 x + 42 − 42
42 x
Hay 2 opciones
70
42
18
18
70
70
30
18
42
42
1.- ⇐⇒ 63
42 x − 42 x + 42 x − 42 + 42 < 42 x − 42 x + 42 + 42 − 42 x + 42 x
U.A,A5
70
42
18
18
70
70
30
18
42
42
2.- ⇐⇒ 63
42 x − 42 x + 42 x − 42 + 42 = 42 x − 42 x + 42 + 42 − 42 x + 42 x
35
48
1.- ⇐⇒ 42 x < 42
35
48
2.- ⇐⇒ 42
x = 42
35 −1 35
48 35 −1
1.- ⇐⇒ ( 42 ) 42 x < 42
( 42 ) U.M Y M5
48
1.- ⇐⇒ x < 35
48
2.- ⇐⇒
x=
35
χϵR 48
35
, ∞ 3x 3
5−7x
Sea A xϵR | 2 − 7 ≤ 5x
3 +
7
xϵR Entonces
3
5x
5−7x
xϵR ⇐⇒ 3x
2 − 7 ≤ 3 +
7
18
70
30
42
x
−
≤
x
+
⇐⇒ 63
42
42
42
42 − 42 x
63
70
42
18
⇐⇒ 42 x − 42 x + 42 x − 42 + 18
42 ≤
4.-
(=)
70
70
30
42 x − 42 x + 42
2x2 − x − 10 > 0
1
2
(2x2 − x − 10)
1
2
>0
2
18
42
+ 42
− 42
42 x + 42 x U.A,A5
2
1 2
2
(=) x2 − 12 x − 5 > 0 2b = 22 = 14 =
1
1
1
> 0 ó x2 + 21 x + 16
(=)x2 − 12 x − 16
<0
1 2
1 2
(=) x − 16 > 0 ó x + 16 < 0
1
1
ó x < 16
(=) x > − 16
1
16
1
xϵ(− 16
, ∞)
5.-
|6x + 1| > 4x + 10
(=) 6x + 1 > 4x + 10 = 6x + 1 < (4x + 10) ó 6x + 1 < 4x + 10
(=) 6x + 1 < −4x − 10 ó 6x + 1 > 4x + 10
(=) (1) + 4x6x < −4x + 4x − 10 ó 6x + 1 > 4x + 10
(=) −1 10x + 1 < −10 − 1 ó 6x − 4 + 1 < 4x − 4x + 10
(=) 10x < −11 ó −1 + 2 − 1 > 10 − 1
11
ó 2x > 9
(=) x < − 10
11
(=) x − 10 ó x 29
xϵ −∞, − 11
10 ∪
9
2, ∞
6.- Pruebe que si
entonces
a > 1,
entonces
a2 > a,
y si
0 < a < 1,
2
a <a
2
(=) a > 1 + a2
<a
<a
y 0<a<1−a (=)a > 1 y a < 1 = 0
(=)a > 1 y a < −1
(=)a > 1 y a < −1
xϵ (1, −1)
7.-Pruebe que si a y b son 2 numeros reales cualquiera,
etonces..
||a| − |b|| ≤ |a| + |b|
Sea A{χϵR||a| − |b|| ≤ |a| + |b|}
Resolvemos por el T22
χϵREntonces ...
χϵR ⇐⇒ ||a| − |b|| ≤ |a| + |b|
Por el Corolario 4
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|
|a| − |b| ≤ |a − b|
|b| = |(b − a) + a| ≤ |b − a| + |a|
|b| − |a| ≤ |b − a|
|b − a| = |a − b|
|b| − |a| ≤ |a − b|
3
8.- Pruebe que si ab=0 entonces a=0 o b =0
Sea A{χϵR | ab = 0}
χϵR ab = 0 ⇐⇒ a = 0 b = 0
Por el Teorama 1 y el teorema 7
⇐⇒ ab = 0
⇐⇒ a(a)−1 b = 0(a)−1 M5 y U.M
⇐⇒ 1(b) = 0
⇐⇒ b = 0
si ⇐⇒ b = 0 entonces ab = 0
⇐⇒ 1(b) = 0
⇐⇒ a(a)−1 (b) = 0(1)
⇐⇒ a(a(a)−1 )b = 0(a)
⇐⇒ a(1)b = 0
⇐⇒ ab = 0
9.- Demuestre que si
x ∈ (2, 4),
entonces
1 1
( 11
, 7)
n
o
1
1 1
Sea A χϵR | 2x+3
∈ ( 11
, 7)
1
2x+3
∈
1
1 1
χϵR | 2x+3
∈ ( 11
, 7 ) ⇐⇒ x ∈ (2, 4)
⇐⇒ 2 < x < 4
⇐⇒ 2(2 < x < 4)
⇐⇒ 4 < 2x < 8
⇐⇒ 4 + 3 < 2x + 3 < 8 + 3
⇐⇒ 7 < 2x + 3 < 11
1
⇐⇒ 17 > 12 x + 3 > 11
1
1 1
χϵR( 2x+3 ) ∈ ( 11 , 7 )
10.- Pruebe que si la intersección de dos intervalos abiertos,
es distinta del conjunto nulo, entonces la unión de estos
intervalos, es un intervalo abierto
Por la denicion 3
El intervalo abierto determinado por los números a y b, donde a ≤ b,es el
conjunto de todos los numeros x para los que a < x < b
{χϵ | a < x < b} n {χϵ | a < x < b} ⇐⇒ (a, b) ̸= 0
{χϵ | a < x < b} U {χϵ | a < x < b} ⇐⇒ (a, b)U (a, b)
4
