Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 FISICA IV Introducción Los principios de la materia se hallan divididos en dos grupos: los Hadrones, compuestos de Quarks, y los leptones, que integran el resto. Los protones y neutrones del núcleo de un átomo están integrados por Quarks, por lo tanto estas partículas subatómicas corresponden a la familia de los Hadrones. Los electrones por su parte son leptones. En la naturaleza, las interacciones se dividen en cuatro categorías. Por orden de energía, figuran las fuerzas nucleares fuertes, que sólo interactúan con Hadrones; las fuerzas electromagnéticas, que interactúa con Hadrones y leptones cargados; las fuerzas nucleares débiles, que interactúan con todos los Hadrones y leptones, y, finalmente, la más débil con mucho, la gravedad, que interactúa con todo. Las interacciones están representadas por campos de espín entero que no obedecen el principio de exclusión de Pauli. Eso quiere decir que pueden tener muchas partículas en la misma posición. En el caso del electromagnetismo y de la gravedad, las interacciones son también de largo alcance, lo que significa que los campos producidos por un gran número de partículas de materia pueden sumarse hasta constituir un campo susceptible de detección en una escala macroscópica. Por estas razones ellos fueron los primeros en constituirse en objetos de estudio y consagrar sus teorías clásicas: la gravedad de Newton en el siglo XVII y el electromagnetismo de Maxwell en el XIX. Pero estas teorías resultaban básicamente incompatibles entre sí, porque la newtoniana no variaba si el conjunto del sistema poseía una velocidad uniforme cualquiera, mientras que la teoría de Maxwell definía una velocidad preferida, la de la luz. Al final tuvo que ser la teoría newtoniana de la gravedad la que fue preciso modificar para hacerla compatible con las propiedades de invariancia de la teoría de Maxwell. Einstein realizó esta modificación con la teoría general de la relatividad, en 1915. Por cierto, en la búsqueda de “la teoría del todo”, las fuerzas gravitacionales son las más incompatibles con el resto de las interacciones. El camino que Stephen Hawking propone para hacerlas compatibles es la gravedad cuántica. La teoría general de la relatividad y la electrodinámica de Maxwell eran lo que se denominaba teorías clásicas; es decir, implicaban cantidades continuamente variables y que, al menos en principio, podían medirse con una precisión arbitraria. Pero se suscitó un problema al tratar de emplear tales teorías para construir un modelo del átomo. Se había descubierto que el átomo consistía en un pequeño núcleo de carga positiva rodeado por una nube de electrones con cargas negativas. Se supuso de un modo natural que los electrones giraban en torno del núcleo, como la Tierra gira alrededor del Sol. Sin embargo, la teoría clásica 1 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 predecía que los electrones irradiarían ondas electromagnéticas que restarían energías y determinarían la caída en espiral de los electrones al núcleo produciendo el colapso del átomo. Este problema quedó superado por lo que indudablemente es el mayor logro de la física teórica de este siglo, el descubrimiento de la teoría cuántica. Su postulado básico es el principio de incertidumbre de Heisenberg, que declara que ciertos pares de cantidades físicas, como la posición y el momento de una partícula, no pueden ser medidos simultáneamente con una precisión arbitraria. En el caso del átomo esto significa que en su estado energético más bajo, el electrón no podría hallarse en reposo en el núcleo, porque, entonces, su posición quedaría exactamente definida (en el núcleo) y su velocidad también se hallaría exactamente definida (sería cero). Por el contrario, tanto la posición como la velocidad se situarían dentro de cierta región de probabilidades en torno del núcleo. En tal estado, el electrón no podría irradiar energía en forma de ondas electromagnéticas, porque carecería de un estado energético inferior al que poseía. Campo magnético y fuerza magnética En la actualidad, en todo el mundo se emplean las fuerzas magnéticas y sus efectos en beneficio del desarrollo científico y tecnológico, por ejemplo los experimentos con el acelerador de partículas llamadas Hadrones utilizadas para profundizar en el conocimiento del universo y sus orígenes. El reciente descubrimiento de la partícula de Dios que de manera general explica el origen de la materia. Las fuerzas magnéticas originadas en el devanado de los motores eléctricos, en los hornos de microondas, en los dispositivos de almacenamiento masivo de información digital como cintas Betacam y dvcpro, discos duros y discos flexibles, en los cinescopios de las televisiones y en algunas impresoras, por citar algunos ejemplos. Magnetismo Los inicios del estudio de los fenómenos magnéticos, tuvieron lugar en la antigua Grecia, en la ciudad de Magnesia, actualmente llamada Manisa, provincia de Turquía. Los antiguos griegos observaron que cierto material mineral al que nombraron magnetita, atraía partículas de hierro. Hoy sabemos que la magnetita es óxido de hierro (Fe3O4) y que de este material están construidos los imanes permanentes. 2 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Los aspectos más conocidos del magnetismo son los asociados con los imanes permanentes, los cuales atraen objetos de hierro no magnetizados y también atraen o repelen a otros imanes. Una aguja de brújula que se alinea con el magnetismo terrestre es un ejemplo de esta interacción. Pero la naturaleza fundamental del magnetismo es la interacción de cargas eléctricas en movimiento. A diferencia de las fuerzas eléctricas, que actúan sobre cargas eléctricas en reposo o movimiento, las fuerzas magnéticas actúan únicamente sobre cargas en movimiento. En los imanes, las propiedades magnéticas son más notorias en los extremos del imán, que se denominan polos magnéticos; polo Norte (N) y polo Sur (S). De forma similar a que “cargas eléctricas del mismo signo se repelen y de distinto signo se atraen”. Polos magnéticos del mismo tipo se repelen y de distintos tipos se atraen. El Monopolo magnético Es imposible aislar un único polo magnético, de modo que si un imán se parte en dos, en cada trozo vuelve a haber un polo Norte y uno Sur. Esto nos permite asegurar la inexistencia del monopolo magnético Un monopolo magnético es una partícula hipotética que consiste en un imán con un solo polo magnético. La idea la planteó Paul Dirac en 1931 y con ella se podría explicar la cuantización de la carga eléctrica. Con los monopolos magnéticos, además, se pueden escribir las ecuaciones de Maxwell de forma completamente simétrica ante un intercambio de las cargas magnéticas y eléctricas. Un campo magnético tiene siempre asociados dos polos magnéticos (norte y sur), al igual que un imán. Si se corta un imán en dos partes, cada una tendrá a su vez dos polos magnéticos. Si se sigue el proceso hasta tener únicamente un electrón girando en una órbita, el campo magnético que el electrón genera, tiene también, dos polos. Por lo tanto, clásicamente, los monopolos no existen. 3 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Aunque el monopolo magnético no existe, su existencia se hace necesaria en algunas teorías del origen del Universo, sin embargo; hasta ahora todos los intentos de crear un monopolo magnético en aceleradores de partículas han fracasado. Ley de Gauss para el magnetismo.- El flujo magnético ( B ) sobre una superficie cerrada, originado por un dipolo magnético es igual a cero. B B dA 0 Esta ecuación indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. Esto expresa que sobre una superficie cerrada, no es posible encerrar una fuente o sumidero de campo. Por lo que una supuesta partícula que emite un campo magnético B dentro de una superficie cerrada, tiene un flujo magnético a través de esa superficie igual a cero ya que entran en esa superficie tantas líneas de campo magnético como salen por la presencia de dipolos magnéticos (polo Norte y polo Sur). De esta forma se expresa la inexistencia del monopolo magnético. Si en algún momento se demuestra que esta integral tiene un valor distinto de cero, se demostrará también la existencia de monopolos magnéticos, y la Ley de Gauss para el campo magnético deberá modificarse para adoptar la forma: B dA 0 De forma análoga al campo eléctrico E, en magnetismo hablamos en términos de un vector llamado campo magnético B representado por sus líneas de campo de modo que en cada punto del espacio el campo es tangente a dichas líneas. El hecho de que los polos magnéticos nunca se puedan dar por separado se traduce en que las líneas de campo son siempre cerradas, saliendo del polo Norte y entrando por el polo Sur. 4 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Cuando un trozo de hierro, un imán o un hilo de corriente se colocan en una región en la que existe un campo magnético B , estos objetos se ven sometidos a una fuerza que tiende a orientarlos de una forma determinada. Materiales magnéticos El comportamiento de los materiales en presencia de un campo magnético sólo puede explicarse a partir de la mecánica cuántica, ya que se basa en una propiedad del electrón conocida como espín. Se clasifican fundamentalmente en los siguientes grupos: El espín o momento angular intrínseco se refiere a una propiedad física de las partículas subatómicas, por la cual toda partícula subatómica tiene un momento angular intrínseco de valor fijo. Se trata de una propiedad intrínseca de la partícula como lo es la masa o la carga eléctrica. Los físicos, Goudsmit y Uhlenbeck descubrieron que, si bien, la teoría cuántica de la época no podía explicar algunas propiedades de los espectros atómicos, añadiendo un número cuántico adicional, el "número cuántico de espín", se lograba dar una explicación más completa de los espectros atómicos. Pronto, el concepto de espín se amplió a todas las partículas subatómicas, incluidos los protones, los neutrones y las antipartículas. El espín proporciona una medida del momento angular intrínseco de toda partícula. En contraste con la mecánica clásica donde el momento angular se asocia a la rotación de un objeto extenso, el espín es un fenómeno exclusivamente cuántico, que no se puede relacionar de forma directa con una rotación en el espacio. La intuición de que el espín corresponde al momento angular debido a la rotación de la partícula en torno a su propio eje sólo debe tenerse como una imagen mental útil, puesto que, tal como se deduce de la teoría cuántica relativista, el espín no tiene una representación en términos de coordenadas espaciales, de modo que no se puede referir ningún tipo de movimiento. Ferromagnéticos: constituyen los imanes por excelencia, son materiales que pueden ser magnetizados permanentemente por la aplicación de un campo magnético externo. Por encima de una cierta temperatura (temperatura de Curie) se convierten en paramagnéticos. Como ejemplos de materiales ferromagnéticos podemos citar el hierro, el níquel, el cobalto y aleaciones de éstos. Temperatura de Curie.- Se denomina temperatura de Curie (o punto de Curie) a la temperatura por encima de la cual un material ferromagnético pierde su magnetismo, comportándose como un material puramente paramagnético. Pierre Curie descubrió, junto a su hermano Jacques, el efecto piezoeléctrico en cristales, estableciendo que la susceptibilidad magnética de las sustancias paramagnéticas depende del inverso de la temperatura, es decir, que las propiedades magnéticas cambian en función de la temperatura. En todos los ferromagnéticos encontró un descenso de la magnetización hasta que la temperatura llegaba a un valor crítico, llamada temperatura de Curie (TC), donde la magnetización se hace igual a cero; por encima de la temperatura de Curie, los ferromagnéticos se comportan como sustancias paramagnéticas. 5 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Paramagnéticos: cada átomo que los constituye actúa como un pequeño imán pero se encuentran orientados al azar de modo que el efecto magnético se cancela. Cuando se someten a la aplicación de un B adquieren una imanación paralela a él que desaparece al ser retirado el campo externo. Dentro de esta categoría se encuentran el aluminio, el magnesio, titanio, el wolframio y el aire. Diamagnéticos: en estos materiales la disposición de los electrones de cada átomo es tal que se produce una anulación global de los efectos magnéticos. Bajo la acción de un campo magnético B externo, la sustancia adquiere una imanación débil y en el sentido opuesto al campo aplicado. Son diamagnéticos por ejemplo el cobre, el bismuto, la plata, el plomo y el agua. Materiales Diamagnéticos Materiales Paramagnéticos Materiales Ferromagnéticos Cobre Plata Estaño Cinc Aluminio Platino Titanio Hierro Cobalto Níquel Campo Magnético El campo magnético se define como la región del espacio alrededor de un imán permanente o de un conductor que transporta una corriente eléctrica. El campo magnético es una cantidad física vectorial, se denota por medio del vector B. Aunque las fuerzas eléctricas y magnéticas son muy diferentes entre sí, ambas conservas ciertas similitudes a partir de la idea del campo eléctrico y magnético que les dan origen, por ejemplo: I.- a) Una distribución de carga estática genera un campo eléctrico en el entorno, y; b) afecta a cualquier otra carga ( q 0 ) estática o en movimiento dentro del espacio ocupado por dicho campo. La fuerza eléctrica que experimenta la carga en cualquier punto del campo, se expresa en la forma: F q0 E 6 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 II.- a) Una carga eléctrica en movimiento o un conjunto de cargas en movimiento (corriente eléctrica) generan un campo magnético en su entorno, y; b) el campo magnético interactúa con cualquier carga o conjunto de cargas en movimiento dentro de esta región. En el curso de FIV iniciaremos con el II b); es decir, dado un campo magnético B, determinar la interacción magnética del campo B con la carga o cargas en movimiento dentro de este campo. Una vez comprendidos estos conceptos y aplicados en la solución de problemas, regresaremos al II a). Aquí trataremos los orígenes del campo magnético, sus propiedades cualitativas y cuantitativas en relación a las líneas de inducción magnética y las fuerzas de interacción con cargas en movimiento. Fuerza magnética sobre una carga en movimiento La base de los experimentos realizados para determinar la fuerza magnética generada por un campo magnético B, sobre una partícula de carga q 0 son los siguientes: Al colocar la carga de prueba q 0 en un punto P dentro del campo magnético. Se observa que la fuerza magnética es igual a cero. Se proyecta ahora q 0 con una velocidad v sobre el punto P. Si la fuerza magnética existe, esta actúa siempre lateralmente, es decir; en ángulo recto con respecto a la dirección de v . Si se proyecta q 0 sobre el punto P , pero en distintas direcciones, no importa cual sea la dirección de v , la fuerza magnética siempre actúa en ángulo recto con esta dirección. Al variar la dirección de v sobre el punto P , la magnitud de la fuerza cambia desde cero cuando es paralela a B hasta un valor máximo cuando está en ángulo recto con esa dirección. En ángulos intermedios la magnitud de la fuerza varía según el sen ( ) dónde es el ángulo menor entre v y B. Al variar la magnitud de la velocidad v , la magnitud de F varía en proporción directa. Finalmente; al variar la magnitud de la carga, F varía en proporción directa. Al cambiar sólo el signo de la carga, cambia el sentido de F 7 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Derivado de los experimentos anteriores se adoptó el producto vectorial de v y B como modelo matemático para la fuerza magnética ya que se adapta de manera precisa a lo observado. F q0 vXB 8 F F Fuerza magnética. q0 Carga eléctrica en movimiento. v Velocidad de q 0 + B Campo magnético. v B Regla de la mano derecha de Lorentz Adoptaremos para este curso la regla de la mano derecha empleada por Lorentz para determinar la dirección y el sentido de la fuerza magnética. “Si las cargas en movimiento dentro de un campo magnético son negativas, reciba directamente con la palma de la mano derecha al campo magnético, oriente las puntas de los cuatro dedos de la palma en el mismo sentido que la velocidad de las cargas, el pulgar extendido de manera natural señala la dirección y sentido de la fuerza magnética. Proceda de la misma forma, pero con la mano izquierda si las cargas son positivas”. Utilice la siguiente figura para que practique la regla de la mano derecha de Lorentz. q 0 q0 0 q0 v q 0 De acuerdo a la expresión siguiente, la unidad de B en el SI se llama Tesla (T). Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 F N N N Tesla (T ) T m Am q 0 vsen( ) Am C s Un tesla se define como el campo magnético que ejerce una fuerza de 1 Newton sobre una carga de 1 Coulomb que se mueve a velocidad de 1 m/s dentro del campo y perpendicularmente a las líneas de campo. B En el sistema C.G.S la unidad del campo B es el Gauss. (G ) 1T 10 4 G Propiamente F es perpendicular a los vectores coplanarios v y B , así como al plano formado por ambos. (Propiedad del producto vectorial). La magnitud de F es F q 0 vBsen , siendo el ángulo menor entre v y B Si se proyecta q 0 con velocidad constante v , dentro de un campo magnético B uniforme, la variable motivo de análisis será el ángulo de incidencia de la partícula con el campo B. Aquí se estudian tres casos posibles del ángulo de incidencia de la carga dentro del campo B. Caso I.- La partícula cargada se proyecta de forma paralela (o anti paralela) al campo magnético, v B En este caso, el ángulo 0 o y sen 0; por lo tanto F 0. Si no actúa ninguna fuerza sobre q 0 , la partícula describe un MRU a través del campo magnético; es decir, conserva constante la velocidad. v x t Caso II.-La carga q 0 ingresa perpendicularmente al campo magnético ( v B ) Para este caso, la magnitud de la fuerza es máxima, F q0 v B . Si la región del campo magnético se extiende lo suficiente, la partícula describirá una trayectoria circular con rapidez tangencial (v ) constante. 9 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 X X X X X Xe X X X X X X X X X X- X X X X X X X X X X X X X X X eX - X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Xe X X X X X X X X X X X - X X X Fig. 6. Trayectoria circular de un electrón proyectado de forma perpendicular a un campo B uniforme Puesto que la función de la fuerza magnética es desviar permanentemente la trayectoria de la partícula, la fuerza centrípeta no realiza ningún trabajo sobre la carga, ya que ésta se desplaza de forma perpendicular a la fuerza. Si además de carga, la partícula tiene masa m, la fuerza magnética se subordina a la Segunda Ley de Newton. F q0 v B F ma q0 v B ma Pero a v 2 r , luego q0 v B mv2 ; r Entonces el radio de la circunferencia es: mv r (1) q0 B Caso III.- La carga se proyecta sobre B con una velocidad v y en ángulo agudo, ( 0 90 ). Este caso es una combinación de los anteriores ya que las componentes de la velocidad v son paralelas y perpendiculares al campo, respectivamente. 10 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 La carga experimenta de manera simultánea los dos movimientos descritos previamente; a raíz de ello, genera una trayectoria helicoidal cuyo eje tiene la dirección de las líneas de inducción magnética. Si la velocidad es paralela con el campo (v B) p v x v B v cos( ) T MRU p Paso; es la distancia entre dos círculos sucesivos de la hélice, medida en dirección del eje de la hélice. p Tv cos( ) (2) T Periodo; es el tiempo que tarda la carga en recorrer el paso. p T (3) v cos( ) Si la velocidad es perpendicular con el campo (v B) v v B vsen( ) q 0 Br m MCU ( 4) En el MCU, v es la velocidad tangencial de q 0 cuya rapidez es constante. Velocidad tangencial (v ) .- Es la longitud de arco que describe la partícula por unidad de tiempo. Para una vuelta completa: v Perimetro 2 r (m / s) (5) T T La velocidad angular (w) .- Es el ángulo central en radianes que describe la partícula, por unidad de tiempo. Para una revolución w 2 (rad / s); por lo tanto, T v w r (6) wr v B vsen( ) q0 B r m 11 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 w q0 B m (7 ) La frecuencia ( f ) .- Número de ciclos o revoluciones por segundo. La unidad de la frecuencia es el Hertz (Hz ) f 1 T En términos de la frecuencia: La velocidad tangencia, v 2 r f La velocidad angular, w 2 f (8) Igualando ecuaciones (7) y (8). q0 B 2 f m f q0 B 2 m (9 ) La frecuencia es una característica determinada de una partícula que se mueve dentro de un campo magnético determinado. T 2 m q0 B (10) Ejercicio: Una partícula (el núcleo del átomo de He), se proyecta sobre un campo magnético uniforme de B 4 X 10 3 i Teslas con una velocidad de 2.0x104 m/s y un ángulo de 60° con el campo magnético: a) b) c) d) Trace la hélice y: Encuentre el radio. Calcule el paso. La frecuencia f 12 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 El ciclotrón Es un dispositivo diseñado para acelerar partículas cargadas utilizando la acción simultánea de un campo magnético estacionario y un campo eléctrico alterno originado por un voltaje alterno aplicado a las “des” del ciclotrón. La frecuencia del voltaje debe entrar en resonancia con la frecuencia del ciclotrón para obtener los efectos energizantes deseados sobre las partículas. Principio de funcionamiento del ciclotrón Las partículas cargadas salen de la fuente ubicada en el centro del dispositivo y son aceleradas por el campo eléctrico que existe en el hueco de las “des”. Entran a una de las “des” huecas de cobre y son desviadas en semicírculo por el campo magnético. En el instante en que salen de la “de”, el voltaje alterno cambia el sentido del campo eléctrico quien vuelve a acelerarlas, éstas entran a la otra “de” y son desviadas en un semicírculo mayor que el anterior. Este proceso se repite. El tiempo que tarda una partícula en trazar cada uno de los semicírculos es el mismo (vea ecuación 10). Para que el proceso de acelerar y desviar se efectúe de manera sincronizada, es necesario ajustar la frecuencia de oscilación del voltaje a la del ciclotrón. Cuando las frecuencias se igualan, el ciclotrón entra en resonancia, a la frecuencia se le llama frecuencia ciclotrón. Su modelo matemático está determinado por la ecuación (9). 13 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Cuando las partículas abandonan el ciclotrón, adquieren una velocidad en función del radio R de las “des”, obtenida de la ecuación (1). v qBR m 14 Y una energía cinética igual a, K q2B2R2 1 mv 2 2 2m Problema.- Dentro de un ciclotrón, un protón describe una circunferencia de radio 0,35 m antes de salir despedido. Si el campo magnético del ciclotrón es de 1,48 T, calcular: a) Velocidad del protón y energía cinética (MeV) en ese instante. b) La frecuencia de la tensión alterna que se aplica a las “des”. Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Fuerza de Lorentz Había señalado previamente, que un campo eléctrico afecta tanto a una carga q 0 estática, como en movimiento; en ambos casos, la fuerza eléctrica viene dada por FE q0 E . Los vectores FE y E siempre tienen la misma dirección y en función del signo de la carga, tienen o no el mismo sentido. De acuerdo a la segunda Ley de Newton, si m es la masa de q0 , entonces q0 E ma También sabemos que un campo magnético B interactúa únicamente con cargas en movimiento. Si la carga está en reposo, el campo magnético no afecta su estado de equilibrio. La fuerza de interacción magnética (FB ) como ya se indicó, es una fuerza lateral al desplazamiento de q 0 y adquiere su valor máximo cuando v es perpendicular con B. La fuerza de Lorentz (F ) es de naturaleza electromagnética, su acción se manifiesta sobre toda carga que se desplaza en una región del espacio donde coexista un campo eléctrico y otro magnético. F FE FB F q0 E q0 vXB F q0 ( E vXB) (11) La magnitud de la fuerza de Lorentz es: F q0 ( E vBsen ( )) (12) Particularmente, si , la carga se proyecta en ángulo recto al campo 2 magnético, y la fuerza de Lorentz adquiere su valor máxima, Fmax q0 ( E vB) (13) Si desea eliminar los efectos de la fuerza de Lorentz ( F 0) sobre la carga en movimiento, la expresión matemática de dicha fuerza es igual a cero; significa que los vectores FE y FB son iguales en magnitud pero de sentido contrario, 15 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 q0 E q0 vxB 0 q0 E q0 vB v E B (14) De acuerdo a la ecuación (14) La velocidad de la carga q 0 permanece invariable cuando entra, se desplaza y sale de la región en la que se encuentran E y B; es decir, describe un MRU. A usted le corresponde orientar los campos eléctrico y magnético en los problemas que requieran que la fuerza de Lorentz sea igual a cero. Si en la región ya dispone del campo eléctrico, oriente el campo magnético de tal forma que las fuerzas de ambos campos se anulen. Por el contrario, si el campo magnético ya está dispuesto, varíe la orientación del campo eléctrico hasta que la fuerza de Lorentz sea igual a cero. Ejercicios.- a) Un protón se proyecta en ángulo recto hacia el campo magnético indicado en la figura 1. Trace la trayectoria del protón dentro de B. Considere que sólo describe un segmento de arco. B X X X X X X v X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Fig. 1 Protón proyectado con velocidad v a la región de campo magnético B Si en esa misma región se orienta un campo eléctrico cuya fuerza sea igual en magnitud y dirección pero de sentido contrario que la fuerza magnética, la fuerza E de Lorentz se anula y el protón atraviesa la región con MRU y rapidez, v B e) En la fig. 2, trace las líneas de campo eléctrico E cuya orientación garantice que la fuerza de Lorentz sobre el protón sea igual a cero. 16 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 B X X X X X X X X X X X X X X v X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 17 Fig. 2. Líneas de campo eléctrico para que la fuerza de Lorentz sea nula. Al dispositivo diseñado por campos cruzados se le llama selector de velocidades. E Todas las partículas se desplazan por ahí a velocidad constante, tendrán, v . B Efecto Hall Si usted coloca un material conductor en forma de cinta dentro de un campo magnético B uniforme y le aplica a la cinta una intensidad de corriente eléctrica convencional i orientada de tal manera que la velocidad va de los portadores de carga del conductor formen un ángulo recto con B, entonces al interior del conductor se genera una fuerza magnética ( FB qv a XB) ortogonal a la velocidad va que desvía y acumula portadores de carga positivos en el extremo superior de la cinta conductora, vea figura 4. i B X X X X X X X X X X X X X X X + b X X X FB X Xv a X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X a Fig. 4 Cinta que conduce una corriente convencional cuyos portadores se desplazan perpendicularmente a un campo B uniforme i Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 En el instante en que las cargas positivas se acumulan a lo largo del extremo superior, las cargas negativas hacen lo propio en el extremo inferior; esto último, debido al déficit de portadores de carga positivos. El efecto de acumulación de cargas en los extremos de la cinta, es lo que se conoce como efecto Hall (vea figura 5). Debido al efecto Hall, se crea un campo eléctrico E uniforme en el interior del conductor, dirigido verticalmente hacia abajo que interactúa con los portadores de carga. Las fuerzas eléctrica y magnética que actúan sobre cada portador, tienen la misma dirección y magnitud, pero sentido contrario. En el equilibro dinámico, todos los portadores de carga al interior del conductor tienen una velocidad de arrastre (v a ) o velocidad de deriva expresada por: va E B B i b X X X X X X X X X X X X X X X + + + + + + + + + + + + + + + +F+ B +++++++ ++++ + X X X X X X X X X X X X X X X X va X X X X E X + X X X X X X X X X E X X - - - - - - - - - - - - - - - - - -F-E- - - - - - - - - - - - - - X X X X X X X X X X X X X X i X X a Fig. 5 Efecto Hall. Acumulación de cargas en los extremos del conductor que dan origen a una diferencia de potencial y por ende a un campo eléctrico. Esta es la velocidad de arrastre o de deriva de los portadores de carga dentro del conductor. En términos generales, la velocidad de arrastre de cualquier conductor, se puede expresar en términos de la densidad de carga como se indica a continuación: No. de portadores de carga Sea n Volúmen del conductor n N N nV V (6) Sea q la cantidad de carga que se desplaza en un segmento l en un instante t. Por el principio de cuantización de la carga: 18 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 q Ne (7) Sustituya la ecuación (6) en la ecuación (7) q nVe (8) 19 El volumen del elemento conductor V Al , Sustituya el volumen en la ecuación (8), q nVe nAel (9) Así, la rapidez de transferencia de carga, q nAel t t Definición de intensidad de corriente eléctrica, i Velocidad de arrastre de los portadores de carga, q t l va t Podemos concluir que la intensidad de corriente eléctrica es, i nAve (10) i , es igual a: A j ven (11) Y la densidad de corriente eléctrica j La velocidad de arrastre (velocidad de deriva), v j ne La velocidad de arrastre en función de los campos, v Igualando las dos últimas expresiones, j E ne B (12) E B Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 La diferencia de potencial V que se origina en los extremos del conductor, viene dada por: V Eb 20 V E b Donde b es el ancho del conductor. Sustituya la última expresión en la ecuación (12) y despeje V j V ne Bb V Bjb ne (13) . La diferencia de potencial V se llama voltaje Hall o efecto Hall. Efecto Hall.- Es la diferencia de potencial que se origina a través de los extremos de una cinta conductora, debido a la acumulación en los extremos, de cantidades iguales de partículas que portan cargas eléctricas de signo opuesto. Esta diferencia de potencial es medible. Además se puede saber cuál extremo de la cinta está a mayor y menor potencial, entonces es factible saber las cargas que transfiere la corriente eléctrica, es decir; se puede saber el signo de los portadores de carga. También se puede calcular la densidad de carga eléctrica mediante la siguiente expresión: Bj n (14) Ee Con este experimento, Hall demostró que los portadores de carga son los electrones y encontró la ecuación para medir la densidad de carga eléctrica ( n ), aportaciones importantes si se toma en cuenta que hasta entonces no se había encontrado el electrón. Posteriormente J.J. Thompson lo descubrió. Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Fuerza magnética sobre un conductor por el que fluye una corriente eléctrica Usted dispone de un conductor de sección transversal A y longitud l que transporta una corriente eléctrica i convencional y estacionaria, como se indica en la figura siguiente, el conductor se coloca dentro de un campo magnético B uniforme. El desplazamiento de los portadores de carga dentro del conductor es perpendicular al campo magnético B. De acuerdo a lo establecido, cada portador de carga dentro del conductor recibe la acción de una fuerza lateral, dada por: FB q0 va XB F il XB B i va FB va + va FB + i FB + l Fig. 6 Fuerza magnética resultante de magnitud (F=Bil) sobre un conductor de longitud l por el que fluye una corriente eléctrica i La fuerza neta es igual a la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre cada portador de carga. Puesto que el flujo de corriente eléctrica está limitado en el volumen del conductor, la fuerza resultante actúa lateralmente sobre éste y en su centro geométrico, que, por ser material homogéneo, coincide con su centro de gravedad. Si Q es la carga total que se desplaza por l en un tiempo t , entonces la fuerza neta que actúa sobre Q viene dada por: F QvxB Pero Q es un múltiplo de la carga q 0 de cada portador, es decir; Q Nq0 Ne La densidad de carga en el elemento es n No. de portadores de c arg a N Volúmen del conductor Al N nAl La carga neta es Q Ne, Q nAle (15) 21 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Por lo tanto la expresión para la fuerza resultante sobre el conductor es, F nAl evXB (nAve)l XB F il XB (16) 22 Para este arreglo en particular en el que los vectores l y B son perpendiculares, la magnitud de la fuerza resultante es, F Bil (17) Para determinar el sentido de la fuerza magnética, se utiliza el mismo principio que para las cargas en movimiento; es decir, el campo magnético se recibe con la palma de la mano izquierda si la corriente eléctrica es la convencional (cargas positivas) y con la palma derecha si es la real (cargas negativas). En ambos casos, los dedos extendidos indican el sentido de la velocidad de los portadores de carga, y el pulgar extendido de forma natural, indica el sentido de la fuerza magnética. En general, para encontrar el valor de la fuerza neta, considere que el campo B es uniforme y que el alambre es lineal, aunque en realidad pueden ocurrir los eventos siguientes, I. Que B no sea uniforme, pero el alambre sea lineal; para este caso: dF il XdB II. Que B sea uniforme y el conductor no sea lineal, en este caso: dF idsXB Ejercicios.- Encontrar la fuerza magnética resultante sobre los siguientes segmentos de alambre conductor. l l 1.5 l 1.5 l R R R 2 .0 l 1.- Campo magnético B uniforme y segmentos lineales de alambre conductor 2.-Campo magnético B uniforme y segmento de arco (semi-circulo) Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 ¿De acuerdo al resultado obtenido en el ejercicio 2, es válido el siguiente enunciado? “La fuerza neta ejercida por un campo B uniforme sobre un circuito cerrado de corriente es nula”; es decir: F idl XB 0 : _________________________________ Torca magnética (momento de torsión en una espira) Cuando se coloca un lazo o espira de corriente eléctrica dentro de un campo magnético, éste genera una torca sobre la espira. A continuación explico la interacción entre estos elementos. Sea B un campo magnético uniforme dentro del cual se coloca una espira rectangular de largo a y ancho b, con su plano orientado en ángulo recto con el campo, como se indica en la figura 7. Por la espira circula una corriente i en sentido horario. b B X X X X X X X B X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X aX X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Fig. 7 Espira rectangular de lados a y b por la que circula una corriente i X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Fig. 8 Espira en equilibrio estable bajo la acción de las fuerzas magnéticas La intensidad de la fuerza magnética sobre cada lado a del rectángulo es F Bia y sobre cada lado b es F Bib. Las fuerzas se muestran en la figura 8. Puesto que la fuerza resultante sobre cada par de lados opuestos es igual a cero. La espira está en equilibrio de traslación. La suma de torcas también es cero, se cumple la segunda condición de equilibrio. La espira está en equilibrio estable. Si mantiene el campo magnético invariable y cambia el sentido de la corriente, entonces las fuerzas magnéticas sobre cada lado de la espira tienen el sentido que se indica en la figura 9. La espira está en equilibrio de traslación y de rotación. La espira está en equilibrio inestable. 23 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 B X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 24 Fig. 9 Espira en equilibrio inestable bajo la acción de las fuerzas magnéticas En la figura 10, el campo magnético está orientado horizontalmente de izquierda a derecha. B B F 0 b F Bib F Bib b F 0 a a Fig. 10 Espira rectangular de lados a y b, corriente en sentido horario Fig. 11 Espira rectangular de lados a y b, corriente en sentido anti-horario En los lados a de la espira, la fuerza magnética es cero ya que el ángulo entre a y B es cero: F iaXB F iaBsen (0) ; F 0 En los lados b se crea un par de fuerzas de magnitud F ibB , orientadas hacia z (entrando y saliendo de la hoja, respectivamente). La suma de fuerzas es igual a cero, la espira está en equilibrio de traslación pero no de rotación. El par de a fuerzas hacen girar a la espira en sentido horario, siendo el eje de giro . En el 2 a a lado izquierdo b de la espira, la torca 1 FX 1 F y en el lado derecho, 2 2 a 2 F 2 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 La torca resultantes sobre la espira es la suma de 1 y 2 . 1 2 iabB . El área de la espira es A ab, entonces iAB ; en forma vectorial iAXB Para una sola espira, iAXB (18) Para N espiras NiAXB (19) Ejercicio.- En la figura 11 se invirtió el sentido de la corriente: a) Escriba la magnitud de la fuerza en cada lado de la espira. b) Trace las fuerzas en los lados b de la espira. c) Trace el eje de giro del par de fuerzas. d) ¿Qué sucede con el sentido de la torca resultante? _____________________ e) ¿Cuál es la magnitud de la torca resultante? ___________________________ Físicamente el campo magnético hace girar a la espira, de acuerdo a la definición de torca, gira el vector de superficie A hacia el vector B hasta que ambos quedan alineados. Sentido del vector de superficie ( A) Para determinar el sentido de A, se toma el conductor con la mano derecha, la punta del pulgar extendido encima del conductor apunta en el mismo sentido que el de la velocidad de los portadores de carga (No se puede decir que en el mismo sentido que el de la corriente i debido a que i es un escalar) sin embargo, tome i como referencia. Los dedos enrollados sobre el conductor indican el sentido del vector A. En la figura 8, la espira no gira debido a que el vector de superficie A tiene la misma dirección y sentido que B. iABsen ( ) 0 Particularmente para este caso, corriente horario, la espira está en equilibrio estable. Si un agente externo le aplica un pequeño giro en la dirección de su plano y luego la suelta, ésta regresará a su posición de equilibrio. En la figura 8, corriente anti-horario, la espira no gira debido a que su vector de superficie A tiene la misma dirección pero sentido contrario que B. 25 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 iABsen (0) 0 La espira, en este caso, está en equilibrio inestable. Si un agente externo aplica un pequeño giro a la espira en la dirección de su plano y luego la suelta, esta completará el giro hasta que su vector A se alinea con B. En general, si el vector de superficie de una espira, forma un ángulo con un campo magnético estacionario B , entonces el campo orienta al vector A hacia B girando un ángulo , como se indica en la figura siguiente A i B i b a Momento dipolar magnético El vector NiA se llama momento dipolar magnético y se denota por , así, su modelo matemático queda expresado de la forma: Para una sola espira iA Para N espiras NiA (20) 26 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 El momento dipolar magnético es una cantidad física vectorial, tiene el mismo sentido que el vector A. La expresión de la torca magnética en función del momento dipolar magnético es: xB (21) Ejemplos: Motor eléctrico Un motor eléctrico funciona de forma inversa a un generador. Convierte energía eléctrica en energía mecánica. El principio de funcionamiento de los motores eléctricos se muestra en la figura siguiente. Si se coloca una espira en un campo magnético y se hace pasar una intensidad de corriente a través de ella, el campo ejerce una fuerza sobre los lados de la espira, y estas fuerzas ejercen un momento de torsión. La espira empezará a rotar, por lo que se habrá transformado energía eléctrica en energía mecánica. Ejemplo: Galvanómetro Ejemplo: 27 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Cuestionario primer examen ¿Qué es el magnetismo? _____________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 28 ¿Qué es un imán permanente? ________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ A los materiales que pueden ser magnetizados permanentemente mediante la acción de un campo magnético externo, se les llama: _______________________ Son aquellos materiales que no se ven afectados por la acción de un campo magnético externo. (BEPE) Diamagnéticos (EFBP) Ferromagnéticos (PEFE) Paramagnéticos (BPEF) Exomagnéticos ¿Qué es un material diamagnético? _____________________________________ __________________________________________________________________ De acuerdo a su comportamiento magnético, el cobre es un material de tipo: (PEPE) Diamagnético (PEFE) Ferromagnético (PEFB) Paramagnético (PBFE) Exomagnéticos Nombre que se le asigna a la temperatura límite para la cual un material ferromagnético se convierte en un material paramagnético: __________________ ¿Qué significa que un material ferromagnético se convierta en un material paramagnético?_____________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ A los extremos de un imán en donde son más notorias las interacciones magnéticas, se les llama: (PFBE) Monopolos magnéticos (PEFB) Dipolos magnéticos (PBFE) Polos magnéticos (PBEF) Dominios magnéticos Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Si usted acerca el polo de un imán hacia el polo de otro imán y ambos son del mismo tipo, entonces los imanes: (PBEF) Se repelen (BEFP) No son afectados (PEFB) No interactúan (PEFB) Se atraen 29 ¿Qué es un monopolo magnético? ______________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Es la región del espacio en donde se manifiestan los efectos de los imanes así como el de las cargas en movimiento: ___________________________________ Escriba las propiedades de las líneas de campo magnético: __________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Al ángulo que forma el campo magnético terrestre con el ecuador, se le llama: __________________________________________________________________ Nombre que recibe el ángulo que forma al campo magnético terrestre con el meridiano Greenwich. ________________________________________________ Explique qué son los Cinturones de Van Allen y cómo se forman: _____________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Las líneas de campo magnético son trayectorias curvas, por lo que el vector B de campo magnético en cualquier punto de la trayectoria se representa mediante: (FEPB) La tangente a la trayectoria (FBPE) La secante a la trayectoria (FBEP) La normal a la trayectoria (FEBP) La recta radial a la trayectoria Un campo eléctrico afecta a las partículas con carga eléctrica cuyo estado inicial: (PEFB) es de reposo o movimiento (PEBF) es sólo de reposo (PBEF) es de reposo y movimiento (PBFE) es sólo de movimiento Un campo magnético afecta a las partículas con carga eléctrica cuyo estado inicial (PEFB) es de reposo o movimiento (PBFE) es únicamente de reposo (PFEB) es de reposo y movimiento (PEBF) es sólo de movimiento Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Si se comprueba la existencia del monopolo magnético, explique por qué se modificaría la Ley de Gauss para el magnetismo y escriba su modelo matemático bajo este contexto. __________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Escriba el modelo matemático de la Ley de Gauss para el magnetismo y explique su significado dentro de la teoría magnética: ______________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Explique la regla de la mano derecha aplicada a la interacción de las partículas en movimiento dentro de un campo magnético externo. ________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ¿En realidad una brújula se orienta hacia el Norte geográfico?, justifique su respuesta: _________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Escriba la definición de 1 Tesla: ________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Unidad del campo magnético en el sistema CGS y su equivalencia en el SI __________________________________________________________________ En la expresión F qvXB ¿qué características tiene F con respecto a v y a B ? (FEPB)Es tangente a ambos vectores (FBPE) Es perpendicular a ambos vectores (FBEP) Es perpendicular sólo a v (FEBP) Es ortogonal sólo a B En la expresión F qvXB ¿qué par de vectores son coplanares? (FEPB) F y v (FBPE) F y B (FBEP) B y q (FEBP) v y B 30 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Se proyecta una partícula q con una velocidad v en ángulo agudo sobre un campo magnético uniforme B. ¿Por qué describe una trayectoria helicoidal? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Si se proyecta una partícula q con una velocidad v en ángulo recto con un campo magnético uniforme B. ¿Por qué describe una trayectoria circular? _____________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Movimiento que describe una partícula q proyectada con una velocidad v en la misma dirección de un campo magnético uniforme B. ______________________ En un ciclotrón, ¿Cuáles son las funciones principales de los campos eléctrico y magnético, respectivamente? (FEPB)Ambos aportan energía a los iones (FBPE) Acelerar y desviar a los iones (FBEP) Desviar y acelerar a los iones (FEBP) Ambos desarrollan trabajo vs iones Nombre que recibe la diferencia de potencial que se origina lateralmente sobre un conductor ubicado dentro de un campo magnético B y que transporta una corriente eléctrica i. _________________________________________________ En un ciclotrón, ¿qué significa que el voltaje alterno (oscilador eléctrico) entre en resonancia con el propio ciclotrón? _____________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ¿Por qué la fuerza magnética no realiza trabajo mecánico sobre una partícula q cuando ésta se proyecta con una velocidad v sobre un campo magnético B ? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ¿Está presente la fuerza de Lorentz en el experimento de Hall?, si su respuesta es afirmativa, ¿cuál es su magnitud? ______________________________________ Explique el principio de funcionamiento de un ciclotrón ______________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 31 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 ¿Cuál es la diferencia entre las densidades de carga y de corriente eléctrica? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Ángulo de incidencia en radianes, de una partícula q en un campo magnético B para que ésta experimente la fuerza magnética máxima. (FEPB) 0 (FBPE) 3 (FBEP) (FEBP) 2 2 Explique por qué en el experimento de Hall, los portadores de carga fluyen con velocidad constante _________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Al dispositivo que utiliza la acción simultánea de un campo eléctrico y otro magnético, orientados perpendicularmente entre sí para que ambos canceles sus efectos sobre iones específicos, se llama: _______________________________ La fuerza magnética que actúa sobre un material conductor de longitud L que transporta una corriente eléctrica i, ubicado dentro de un campo magnético B es siempre perpendicular al par de vectores: (FEPB) L y v (FBEP) B y v (FBPE) i y v (FEBP) L y B Magnitud de la fuerza magnética resultante que se ejerce sobre una espira circular de radio r , cuando ésta se coloca dentro de un campo magnético B uniforme. (FEPB) F Bi (2 r ) (FBPE) F Bi ( r ) (FBEP) F 0 (FEBP) F BiL Escriba la definición de momento dipolar magnético ________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Escriba la definición de torca magnética _________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 32 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Si el campo B magnético y el momento dipolar magnético de una espira son antiparalelos, se dice que la espira está en equilibrio de tipo: _________________ Si el campo B magnético y el momento dipolar magnético de una espira son paralelos, se dice que la espira está en equilibrio de tipo: ____________________ Ángulo entre y B para el que la torca magnética es máxima. _____________ Explique cuáles son los efectos mecánicos que experimenta una espira ubicada dentro de un campo magnético __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ ( ( ) Modelo matemático de la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga en movimiento ) Modelo matemático de la Ley de Gauss para el dipolo magnético ) Modelo matemático de la velocidad de los iones al pasar por un selector de velocidades ) Carga y masa del Deuterón ( ) Carga y masa de la partícula alfa ( ) Modelo matemático de la Fuerza de Lorentz (DFPB) F q 0VXB (DFBP) F q 0 E q 0VXB ( ) Modelo matemático de la intensidad de corriente en función de la densidad de carga (BFPD) v ( (PDFB) B B dA 0 ( ) Modelo matemático de la fuerza magnética sobre un conductor de longitud L ubicado dentro de un campo magnético B uniforme y que transporta una corriente i ) Modelo matemático del voltaje Hall ( ) Modelo matemático de la Torca magnética (FPBD) B B dA 0 ( ) Modelo matemático del momento dipolar magnético (FBPD) (2e, 4uma) ( ) Modelo matemático de la fuerza magnética ejercida por un campo magnético sobre una espira por la que fluye una corriente eléctrica i ) Modelo matemático de la Ley de Gauss para el monopolo magnético ) Magnitud de la densidad de corriente para una conductor de longitud finita L ) Modelo matemático del momento dipolar magnético (FBDP) V Eb ( ( ( ( ( (DBFP) (1e, 2uma) (PDBF) j ven (DBPF) F iLXB (BFDP) XB E B (FPDB) NiAXB (FPDB) F q0 E q0 BXV (BPDF) F idl XB 0 (BPFD) i nAve 33 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Ley de Biot-Savart La segunda parte del electromagnetismo consiste en conocer el origen del campo magnético B. Desde 1820, Jean Christian Oersted, descubrió de forma experimental, que el flujo de corriente eléctrica transportada por un conductor genera en su entorno un campo de naturaleza magnética cuyos efectos sobre la aguja de una brújula se ponían de manifiesto al hacerla girar hasta orientarla en dirección perpendicular a la velocidad de los portadores de carga del conductor. La aguja queda orientada en la dirección del campo magnético creado por la propia corriente eléctrica. Este experimento fue el principio de una serie de aportaciones de científicos de renombre cuyos trabajos dieron lugar al electromagnetismo. Entre los científicos más destacados tenemos a Gilbert, Tesla, Oersted, Jean Baptista Biot, Félix Savart, Gauss, Ampere, Faraday, Maxwell, Hertz y Einstein. Fueron los físicos Franceses Biot y Savart, contemporáneos de Oersted, quienes a través de sus investigaciones obtuvieron la expresión matemática para el campo magnético creado por un elemento de corriente eléctrica. El modelo matemático de Biot y Savart se conoce como Ley de Biot – Savart. dB k dB idl X r r2 k idl X r r3 0 idl X r 4 r 2 Modelo matemático de la Ley de Biot-Savart 34 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 El campo total en un punto del espacio creado por un conductor por el que circula una corriente eléctrica, es la suma vectorial de los campos originados por cada elemento de corriente. Este es el principio de superposición de vectores que corresponde a la integral definida: B k l l0 idlsen ( ) r2 o bien B 0 4 l l0 idlsen ( ) r2 La ley de Biot-Savart indica el campo magnético creado por corrientes eléctricas estacionarias (densidad de corriente constante), por lo que el campo total B se puede expresar de la forma: B ki l l0 0 i l dlsen ( ) dlsen ( ) B o bien 4 l0 r2 r2 La constante k se llama constante de proporcionalidad magnética. El valor exacto Tm que se le asignó a k en el SI es 1x10 7 A Tm Tm k 1x10 7 o bien k 0 0 4x10 7 4 A A 0 es la permeabilidad magnética del vacío. Permeabilidad magnética.- Es la capacidad que tienen las sustancias o medios para atraer y permitir el paso de las líneas de campo magnético a través de ellos. Utilizando la Ley de la fuerza magnética aplicada a dos conductores paralelos por los que circulan corrientes iguales, es que se definió la unidad de la corriente Tm . Más adelante se eléctrica, el ampere. Con base a esta definición k 1x10 7 A explicará a detalle la definición de ampere y el valor de k Aplicaciones de la Ley de Biot-Savart Ejemplo 1.- Encontrar el campo magnético en un punto P ubicado en las proximidades de un alambre conductor de longitud infinita que transporta una corriente eléctrica i, como se indica en la figura. P 35 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Solución: Seleccione un elemento de corriente idx sobre el conductor Trace el vector de posición r desde idx hasta el punto P , trace también el vector unitario r Sea el ángulo formado por los vectores idx y r̂ Trace la perpendicular desde P hasta el conductor y denótela por R Sea x la distancia horizontal desde idx hasta la perpendicular. dxsen( ) La Ley de Biot- Savart queda expresada por B ki r2 La integral contiene tres variables dependientes: x, r , . Generalmente la integral se resuelve por sustitución trigonométrica en función de las variables asociadas a la longitud, en esta ocasión dichas variables son x y r. En el triángulo rectángulo R que acaba de construir sobre el alambre conductor infinito sen , entonces: r x Rdx x dx B ki B kiR x r 3 x ( x 2 R 2 ) 3 / 2 x dx x ( x R 2 ) 3 / 2 Proceda ahora a resolver la integral: B kiR 2 dxsen( ) en función de la variable r2 con la intención de brindarle una opción de solución adicional y diferente. En este curso se resuelve la integral B ki El procedimiento de solución es el siguiente: Localice, en el triángulo rectángulo que acaba de construir sobre el alambre conductor infinito, dos funciones trigonométricas que relacionen las variables x y r con la constante R , respectivamente. Estas funciones son ctg ( ) r x y csc( ) . Realmente esta es R R una sustitución trigonométrica implícita. x ctg ( ) x Rctg ( ) dx R csc 2 ( )d R r r R csc( ) r 2 R2 csc2 ( ) R dxsen( ) Sustituya en la integral B ki los valores de dx y r 2 r2 csc( ) B ki R csc2 ( ) sen( ) ki sen( )d B 2 2 R R csc ( ) Aplique los límites de integración del ángulo en radianes. 36 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 B i ki 2 ki 2ki 0 sen( )d B cos( ) B B 0 2R R 1 R R Campo magnético para un alambre conductor de longitud infinita: B B 2ki o bien R 0i 2R 37 Campo magnético para un alambre conductor de longitud semi-infinita. Del problema anterior, utilice la mitad del alambre conductor, como se indica en la figura siguiente, siga el mismo procedimiento e integre desde a 0 2 P Debe obtener la mitad del campo que en el problema anterior: B B ki o bien R 0i . 4R Ejemplo 2.- Espira circular de radio R. Encontrar el campo magnético en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular de radio R a una distancia x del plano de la espira que conduce una corriente i, como se indica en la figura. idl r R dB i x dBx Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Solución: Trace el elemento diferencial de corriente idl y el simétrico correspondiente en la espira. Trace los vectores de posición (r ) desde cada elemento diferencial idl y el de su simétrico hasta el punto p. El elemento idl y su simétrico generan un campo magnético dB perpendicular a r y a idl . Por simetría se eliminan las componentes de dB perpendiculares al eje de la espira y se superponen las componentes paralelas a dicho eje. kidl sen(90 0 ) kidl De acuerdo a la Ley de Biot-Savart dB 2 r2 r kids dBx dB cos B x 2 cos . Todos los elementos dentro de la integral son r ki cos 2R ds . Aplique límites y sustituya constantes a excepción de dl Bx r 2 0 R cos por su valor; es decir, cos r kiR 2ki 2kiA Bx 3 2R R 2 . Pero A R 2 , entonces Bx 3 3 r (R 2 x 2 ) 2 (R 2 x 2 ) 2 Como k 0 tenemos que Bx 4 0 iA 2 ( R x ) 2 2 3 2 , Campo magnético en el centro de una espira circular de radio R. En la expresión anterior, haga x 0 y obtendrá el campo en el centro de la espira. iA 2kiA En este punto el campo magnético tiene su valor máximo. Bo 3 Bo 0 3 R 2R i Bo 0 2R NiA Para una bobina de N espiras y radio R , B0 0 3 ; 2R N 0 i B0 0 3 B0 2R 2R Ejercicio.- Analice el caso para el que x es mucho mayor que R ( x R) 38 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Campo magnético para un segmento de arco Para cualquier segmento de arco de radio R que subtiende un ángulo central . 1 El área del segmento viene dada por A (base)( Altura) . A su vez, la base es la 2 longitud del segmento de arco y la altura el radio R , entonces 1 1 1 (arco)( radio ) A ( R )( R) A R 2 2 2 2 2 i iA iR Bo 0 3 Bo 0 3 Bo 0 . El ángulo está en radianes. 4R 2R 4R A Ejemplo 3.- Alambre conductor de longitud finita. Encontrar el campo magnético en el punto P creado por un conductor de longitud L finita que transporta una corriente eléctrica i, como se indica en la figura. L i X r0 R 0 r̂ r idx r1 1 P Solución: Aplique la ley de Biot-Savart, kidxsen( ) dxsen( ) B , B ki 2 r r2 x ctg ( ) ctg ( ) dx R csc 2 ( )d R r csc( ) csc( ) r 2 R 2 csc 2 ( ) R B ki dxsen( ) R csc 2 ( ) sen( ) ki 1 B ki R 2 csc 2 ( ) R 0 sen( )d r2 i ki [ cos( )]10 B 0 [cos( 0 ) cos(1 )] R 4R i La expresión B 0 [cos( 0 ) cos(1 )] representa el modelo matemático de B 4R originado por un conductor de longitud finita L en un punto p arbitrario. B 39 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Dirección de las líneas de campo magnética Regla de la mano derecha Para determinar la dirección de las líneas de campo magnético, se toma el conductor con la mano derecha, la punta del pulgar extendido sobre el conductor indica el sentido de la corriente y los dedos enrollados sobre el conductor indican el sentido del campo magnético B. Esta regla es similar a la empleada para determinar el sentido del vector de superficie. Ejercicio.- Alambre de longitud infinita, trace las líneas de campo magnético. En todos los puntos por encima del alambre, el campo magnético sale del eje z. En todos los puntos por debajo del conductor, las líneas de campo magnético entran en dirección z. Si se invierte el sentido de la corriente sobre el conductor, también se invierte el sentido de las líneas de inducción magnética. Problema.- Encontrar el campo magnético en el punto P de la figura siguiente. i R P i 40 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Solución: De acuerdo a lo que se ha establecido, los alambres son semi-infinitos y están unidos por medio de un semicírculo de radio R. i El campo B1 del alambre superior en el punto P es B1 0 , hacia z. 4R El campo B2 debido al arco en el punto P , es el de un semicírculo, el ángulo central subtendido por este segmento de arco es igual a i i i B2 0 B2 0 B2 0 , hacia z. 4R 4R 4R El campo B3 debido al alambre inferior en el punto P , es igual al del alambre superior. i B3 0 , hacia z. 4R El campo resultante B B1 B2 B3 0i 4R (1 2 ) hacia z. Problema.- Encontrar el campo magnético en el centro de una espira cuadrada de lado L Solución: 0i [cos( 0 ) cos(1 )] o bien calcular el campo 4R magnético para uno de los alambres en un punto P ubicado sobre la mediatriz de L a una distancia R del alambre, como se indica en la figura; mediante el siguiente procedimiento: Puede utilizar la expresión B l 2 R y P r r̂ idy Seleccione un elemento de corriente idy Trace el vector de posición (r ) del elemento idy al punto P. Sea y la distancia del elemento al origen. El ángulo entre idy y r es . i 41 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 El elemento idy origina un dB en el punto P en la dirección z (entrando) cuya expresión viene dada por la ley de Biot-Savart. kidysen kidysen dysen B 2 2 B 2ki 2 2 2 0 0 r r r2 Por sustitución trigonométrica: r csc r R csc r 2 R 2 csc 2 R y ctg y Rctg dy R csc 2 ( )d R Sustituya r 2 y dy en la integral y cambie límites de integración como se indica. l l dB B 2ki 2 0 R csc 2 ( ) d sen R 2 csc 2 ( ) 2ki 2 B sen( )d R 0 2ki B cos( ) cos( 0 ) R 2 B L 2ki cos( 0 ) 2ki 2 kiL R R r0 Rr0 0 iL 2 0 iL 0 iL L 4R 4 R 2 L2 2R 4 R 2 L2 4R R 2 ( ) 2 2 La magnitud de B en un punto sobre la mediatriz de un alambre de longitud L es: 0 iL B 2R 4 R 2 L2 La espira cuadrada está constituida por 4 alambres de longitud L , por lo tanto el campo resultante en el centro del cuadrado viene dado por: 2 0 iL B R 4 R 2 L2 Pero R B L , al sustituir este valor en la expresión anterior, resulta: 2 2 0 iL l 2 L 2 ( ) 4( ) 2 L2 4 0 i 2L 2 2 0i 2 2 0 i ; B L L 42 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Problema.- Encuentre el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lado L y ancho w que transporta una corriente eléctrica i como se muestra en la figura. w R=L/2 43 R=w/2 L Solución: Utilice la expresión del campo B originado por un conductor de lado L y multiplíquela por 2 para que obtenga el campo originado por los dos lados de longitud L. 0 iL B 2R 4 R 2 L2 0 iL BL BL w w 4( ) 2 L2 2 2 2 0 iL w w 2 L2 Efectúe el mismo procedimiento para los lados de ancho w 0 iw B 2R 4 R 2 L2 Bw 0 iw L L 2 2 2 0 iw ( ) 4( ) 2 w 2 Bw L w 2 L2 El campo resultante es la suma de ambos campos: B BL B w B B B 2 0 iL w w L 2 2 0 i w 2 L2 2 ( + 2 0 iw L w 2 L2 2 0 i L w L2 w 2 ) B ( ) w L Lw ( w 2 L2 ) 2 0 i L2 w 2 Lw Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Problema.- Encuentre el campo magnético B en un punto p situado sobre el eje de una espira cuadrada de lado L a una altura h de su centro. B z Campo magnético B en un punto P sobre el eje de una espira cuadrada B P h R R 0 L 2 L 2 44 R r0 r0 0 B i Solución: Puede emplear la expresión general del campo magnético en un punto P debido a un conductor de longitud finita L que conduce una corriente i, es decir, B ki [cos 0 cos 1 ] R O bien, puede emplear el campo magnético generado por un conductor de longitud L en un punto p ubicado sobre la mediatriz; B 0 iL 2R 4 R 2 L2 . La última expresión es válida ya que el punto P está sobre la mediatriz de cada lado de la espira a una altura h.; por lo que, la intensidad de B para cada lado es, ki Ki B [cos 0 cos 1 ] B [2 cos 0 ] . R R L/2 L . De acuerdo a la figura, cos 0 B r0 2r0 Entonces, B ki L ( )....(1) R r0 L L2 En la figura, r0 (( ) 2 R 2 )1 / 2 r0 ( R 2 )1 / 2 2 4 r0 [ L 4R ] 2 2 2 1/ 2 ...(2). r0 R 0 L 2 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 El campo resultante Bz tiene la dirección vertical, ya que por simetría, las componentes horizontales para cada par de lados opuestos de la espira se anulan; por lo tanto, el campo resultante es, Bz 4B cos ...(3). 45 Sustituya la ecuación (1) en la ecuación (3). B z 4 B cos . B z 4kiL cos ....(4) Rr0 L/2 L ....(5) R 2R Sustituya la ecuación (5) en la ecuación ( 4). En la figura, cos 2kiL2 ...(6) r0 R 2 También en la figura, R 2 B R h L2 h2 , 4 L 4h ...(7) 4 Sustituya la ecuación (7) en la ecuación ( 2) R2 2 B 4kiL 4kiL L Bz cos B z Rr0 Rr0 2 R Bz Bz 2 L 2 L2 4h 2 1 / 2 )] (2 L2 4h 2 ) 1 / 2 4 r0 ...(8). 2 2 Sustituya las ecuaciones (7) y (8) en la ecuación (6). [ L2 4( 2kiL2 16kiL2 (2 L2 4h 2 )1 / 2 L2 4h 2 (2 L2 4h 2 )1 / 2 ( L2 4h 2 ) 2 4 En términos de 0 , la expresión del campo magnético B sobre el eje de una Bz espira cuadrada por la que fluye una intensidad de corriente eléctrica i, viene dada por: Bz 4 0 ia 2 (2a 2 4 z 2 )1 / 2 (a 2 4 z 2 ) Ejercicio.- Encuentre el campo magnético en un punto P ubicado sobre el eje de una pirámide de base rectangular de longitud l y ancho w. Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Fuerza magnética entre dos conductores largos, paralelos. Problema.- En la figura 1, se muestran dos conductores largos (de longitud infinita) paralelos separados una distancia d que transportan corrientes eléctricas i1 e i2 , encontrar la fuerza magnética sobre cada conductor. d B2 i1 F21 F12 i2 i1 i2 B1 Solución: El conductor del lado derecho induce un campo magnético que afecta al conductor izquierdo y viceversa. Las líneas de campo magnético son círculos concéntricos con el eje de cada conductor, como se indica en la figura 2. La corriente i1 origina un campo magnético B1 sobre el conductor 2 dirigido verticalmente hacia abajo ya que es tangente al círculo del campo magnético en ese punto. La magnitud de B1 viene dada por, B1 0 i1 2 d La fuerza magnética sobre un tramo de longitud l de este conductor es: F12 i2 l XB1 d F12 i2 lB1 sen(90) F12 i2 lB1 Sustituya B1 F12 0 i 2 i1 l 2d 0 i1 , obtiene, 2 d l i1 i2 El sentido de la fuerza está dirigido hacia el conductor 1, y actúa sobre la línea que une a ambos conductores. 46 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 El campo magnético B2 creado por la corriente i 2 sobre el conductor 1 tiene una magnitud: B2 0 i2 2 d La fuerza magnética sobre un tramo de longitud l del conductor 1 es: F21 i1l XB2 d F21 i1lB2 sen(90) i Sustituya B2 0 2 , obtiene, 2d F21 0 i1i2 l 2d 47 l i1 i2 El sentido de la fuerza está dirigido del conductor 1 hacia el conductor 2, sobre la línea que los une. Las fuerzas F12 y F21 son de igual magnitud y de sentido contrario, son fuerzas de acción-reacción, son fuerzas de atracción. De lo anterior se concluye, Dos alambres conductores paralelos se atraen. El campo resultante en el plano mediatriz de la línea que une ambos conductores es igual a cero. Fuerza magnética entre dos conductores largos, anti-paralelos Si usted cambia el sentido de la corriente i 2 del conductor del lado derecho, las líneas de inducción magnética cambian de sentido, comportándose como se indica en la siguiente figura. d F12 F21 i1 i2 B2 B1 Las fuerzas F12 y F21 son de igual magnitud y de sentido contrario, son fuerzas de acción-reacción, son fuerzas de repulsión. De lo anterior se concluye, Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Dos alambres conductores anti-paralelos se repelen. El campo resultante en el plano bisectriz de la línea que une ambos conductores es igual a la suma vectorial de ambos campos. Las fuerzas de repulsión sobre los conductores anti-paralelos tienen la misma magnitud que las de atracción de los conductores paralelos, es decir; i i F12 i 2 l 0 1 y F21 i1l 0 2 . 2 d 2 d Condiciones iniciales aplicadas a la fuerza entre conductores paralelos Si las corrientes en ambos conductores son iguales, i1 i2 i d 1m Si los alambres tienen un metro de longitud, F F l 1m Si los alambres se separan un metro, l 1m d 1m Si las corrientes son de un ampere. i 1A i 1A i 1A Entonces la magnitud de la fuerza es: 0 4x10 7 F ( N ) F 2 X 10 7 N F 2 2 A partir de que dos alambres paralelos conducen una corriente de un ampere, separados una distancia de un metro, en el vacío, y experimentan una fuerza magnética de F 2 X 10 7 N por unidad de longitud, es que se asigna el valor de la Tm permeabilidad magnética del vacío: 0 4X 10 7 A Definición de Ampere.- Si la fuerza de atracción o repulsión entre dos conductores rectos paralelos largos, separados por una distancia de un metro, en el vacío, es igual a 2 X 10 7 N , entonces cada conductor transporta una corriente eléctrica de un ampere. Definición de Coulomb o Colombio: Es la cantidad de carga eléctrica que atraviesa la sección de un circuito eléctrico en un segundo, cuando circula por el circuito una intensidad de corriente eléctrica de un ampere. 48 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Ley de Ampere La Ley de Ampere para la electrodinámica guarda algunas similitudes con la Ley de Gauss de la electrostática. En electrostática, se aplica la ley de Gauss en aquellos casos específicos para los cuales las distribuciones de carga guardan un alto grado de simetría, como son; distribuciones de cargas lineales, superficiales y volumétricas. En electrodinámica, la ley de Ampere se aplica en aquellos problemas en los que la corriente eléctrica guarda un alto grado de simetría, tal es el caso de; conductores de densidad de corriente homogénea (corriente estacionaria), conductores lineales de longitud infinita, solenoides y toroides. Ambas ecuaciones forman parte de las cuatro ecuaciones de Maxwell En la Ley de Gauss, se traza una superficie cerrada llamada “superficie gaussiana” que encierra cierta cantidad de carga y es motivo de análisis para la obtención del flujo eléctrico, es decir, del número de líneas que atraviesan perpendicularmente la superficie gaussiana. Con base a este análisis se obtiene el campo eléctrico generado sobre la superficie gaussiana. El modelo matemático de la Ley de Gauss es: q E E dA 0 En la ley de Ampere, se traza una trayectoria cerrada llamada “superficie de ampere” o “anillo de ampere” que encierra cierta cantidad de intensidad de corriente eléctrica. Esta es una trayectoria plana, a diferencia de la “superficie gaussiana” que es precisamente una superficie por la que inciden las líneas de campo eléctrico. En la ley de Ampere la trayectoria es plana y se analiza la componente del campo magnético en la dirección tangencial a dicha trayectoria. El sentido del recorrido de integración representa el vector dl en la integral de Ampere. Por convención: Si se recorre una trayectoria de Ampere en la dirección anti horario, el recorrido es positivo, en sentido horario es negativo. De esta manera se establece que las corrientes eléctricas que entran en un anillo amperiano son negativas y las que salen son positivas. Demostración de la ley de Ampere. Sea un conductor de longitud infinita que transporta una corriente eléctrica i, saliendo del plano z , como se indica en la figura. Encierre el conductor en una 49 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 trayectoria cerrada plana e irregular. De acuerdo a la ley de Biot-Savart, el campo i magnético en un punto p sobre la trayectoria viene dado por B 0 y es 2 r perpendicular al vector r . p i r r d ds dl B Tome un elemento de la trayectoria, y a partir de P , trace el vector tangente dl del elemento. El elemento está trazado de manera ampliada pero en el límite el arco y la cuerda ds que subtiende son iguales, es decir; ds rd. Del triángulo rectángulo se tiene que ds dl cos . Igualando estas ecuaciones: dl cos rd. dl cos rd ...(1) B 0i i r 0 ...(2) 2 r 2B Sustituya ( 2) en (1) 0i i d Bdl cos 0 d . Aplique la integral cerrada en ambos 2B 2 términos de la igualdad. 0i Bdl cos 2 d . En toda la trayectoria el ángulo es igual a 2 ¨0 i Bdl cos 2 [2 ] Bdl cos 0 i. El término Bdl cos es la magnitud del producto escalar de los vectores B y dl ; de esta manera B dl Bdl cos . Integrando obtenemos las aportaciones a través de toda la trayectoria cerrada: dl cos B dl i 0 Ley de ampere: La integral de línea sobre una trayectoria cerrada, del producto escalar de los vectores campo magnético B y recorrido de integración dl , es directamente proporcional a la corriente neta encerrada. Modelo matemático de la ley de Ampere: B dl i 0 A Se llama i A a la corriente neta encerrada en el anillo de ampere. 50 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Recorrido de la trayectoria de Ampere dl El recorrido de la trayectoria, se refiere al sentido en el cual se recorre el anillo de ampere para efectuar la integral. El vector dl representa el recorrido o desplazamiento sobre la trayectoria. Por convicción: Si recorre una trayectoria de ampere en sentido anti-horario, el recorrido es positivo. Si recorre una trayectoria de ampere en sentido horario, el recorrido es negativo. De esta manera se establece que las corrientes eléctricas que entran en un anillo amperiano son negativas y las que salen son positivas. Anillo de ampere i B dl i dl B Figura1.-Corriente eléctrica saliendo del anillo de ampere, los vectores B y corriente es positiva. dl forman cero grados. La Figura 2.-Corriente eléctrica entrando a la trayectoria Fig. 2 amperiana, los vectores B y dl forman 180°. La corriente es negativa En la figura 1 la corriente eléctrica sale, los vectores B y dl forman cero grados. En la figura 2 los vectores forman 180°, la corriente eléctrica entra; de esta forma se establece el signo de la corriente eléctrica que atraviesa una trayectoria de ampere. Aplicaciones de la ley de Ampere 1.- Conductor lineal infinito que transporta una corriente i constante. Problema.- Encontrar el campo magnético creado por un conductor lineal infinito por el que fluye una corriente eléctrica i , en un punto p ubicado en las proximidades del eje del conductor, como se indica en la figura. p 51 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Solución: En la figura se muestra el sistema corriente eléctrica i punto p , orientado en la dirección del eje z positivo con la intención de obtener una mejor visualización de las líneas de campo magnético, las cuales, como es de su conocimiento, son círculos concéntricos al eje del conductor. Elija como anillo de ampere, el círculo de radio r R que representa la distancia del eje del conductor al punto p. Efectúe el recorrido en sentido anti-horario; así, los vectores B y dl son paralelos. dl p B Aplique la ley de Ampere, Recorrido Anillo de ampere B dl 0 i Bdl cos 0 0 i R B dl 0 i B[2r ] 0 i i i B 0 2r 2.- Conductor lineal volumétrico e infinito que transporta una corriente i estacionaria. Problema.- Un conductor sólido de radio R porta una corriente eléctrica i uniformemente distribuida en la superficie del conductor, como se muestra en la figura siguiente. Utilice la ley de Ampere para encontrar el campo magnético en los puntos: a) r R b) r R R c) r R i Solución: a) Para r R. Si la corriente sale de la página, los vectores B y dl son paralelos entre sí y tangentes al anillo de ampere. B dl iA r R 52 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Sea i A la corriente encerrada en la trayectoria de ampere, entonces: B dl i 0 A Como la corriente es estacionaria, ésta se distribuye de manera uniforme en toda la superficie del conductor, por lo tanto la densidad de corriente j es constante. La densidad de corriente en la trayectoria de ampre ( j A ) es igual a la densidad de corriente ( j ) en toda la superficie del conductor. j i iA i i r 2i A i A A AA R2 R 2 r 2 B dl 0 i A r2 i R2 El campo B es constante en los puntos sobre el anillo de ampere. La integral sobre la trayectoria de ampere se convierte en la integral definida siguiente: 2r i r2 r2 B dl 0 2 i B[2r ] 0 2 i B 0 2 r 0 R 2R R Bds cos(0) 0 b) Si r R, entonces i i A únicamente se sustituyen estas condiciones en el resultado de a). El anillo de ampere se muestra en la siguiente figura: B i B 0 2R Anillo de ampere r dl R i iA B c) Para r R B dl i dl r 0 i B 0 2r R i iA Anillo de ampere 53 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 3.- Solenoide: Es un dispositivo eléctrico diseñado para generar un campo magnético idealmente uniforme en su núcleo. El núcleo es de material ferromagnético al que se le aplica un devanado o embobinado por el que se hace circular una corriente eléctrica continua. El solenoide ideal es aquel cuya longitud L es muy grande comparada con su sección transversal y el campo magnético fuera del devanado es igual a cero. L De acuerdo a la regla de la mano derecha, las líneas de campo magnético tienen la dirección mostrada en ambas figuras. Para encontrar el campo B en el núcleo del solenoide, se utiliza la ley de Ampere. Se traza un anillo amperiano, en este caso un rectángulo de vértices a, b, c, y d, como se indica en las figuras siguientes: L b a b c a d c Corte longitudinal del solenoide d Sea i A la corriente encerrada en el anillo. Sea N1 el número de espiras encerradas en el anillo, entonces iA N1i N N1 L bc Ahora, efectúe la integración sobre cada lado de la trayectoria cerrada. Sea n el número de espiras por unidad de longitud, entonces n B dl i 0 A b c d a b c d B dl B dl B dl B dl B dl 0 i A a b c a b b B dl Bdl cos 90 0 a c B dl Bdl cos 0 0 i A B[c b] 0 i A B(bc) 0 i A ( dl e i son negativos) b 54 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 B d c 0iA bc B 0 ( N 1i) bc pero n N1 , entonces B 0 ni bc d B dl Bdl cos 90 0 c a a d d B dl Bdl cos 90 0 (La magnitud de B es cero fuera del solenoide ideal) 4.- Toroide.- Es un devanado cerrado que conduce una corriente i continua, enrollado sobre un material ferromagnético (núcleo) en forma de dona que crea en el núcleo un campo magnético variable. El campo magnético del toroide se mide tomando como marco de referencia el eje del toroide. r2 r > r2 r < r1 r1 h En los puntos internos del toroide, la magnitud de B es igual a cero por que la corriente encerrada es cero; 0 r r1 Para r1 r r2 , el campo B es variable. Para este caso, sea N el número de espiras y n el número de espiras por unidad de longitud. Debido a las aportaciones de cada espira, las líneas de campo magnético son círculos sobre el núcleo del toroide y concéntricos con el eje. Considere a r como el radio del anillo de ampere en el intervalo r1 r r2 . B dl 0i A i A Ni B dl 0 Ni De acuerdo a la trayectoria de ampere, la corriente encerrada es negativa, entonces hacemos el recorrido (dl ) en sentido horario. 55 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 B u 0 Ni N n B 0 ni 2r 2r Para r r2 , el campo magnético es cero debido a que la corriente neta encerrada es igual a cero. 56 Ejemplo.- aplicación de la ley de Biot-Savart y la ley de Ampere a) Encontrar el campo magnético en el punto P1 ubicado en el plano de una lámina infinita de corriente de ancho w, que transporta una corriente i 0 . El punto está a una distancia d de uno de los extremos de la lámina, como se indica en la figura 1. b) Encontrar el campo magnético en el punto P2 de la figura 1. P1 w d P2 Figura 1 Solución: a) Seleccione un elemento diferencial dx del conductor, como se muestra en la figura 2. P1 dB w r d x dx Figura 2 P2 El dx contiene a un alambre de longitud infinita que se extiende hacia z. La corriente que conduce éste alambre es di. di El dB originado por di en P1 es igual a dB 0 ...(1) 2 r Donde r es el vector de posición trazado del elemento a P1 . La magnitud de r es r d x ...(2) La corriente es estacionaria linealmente (densidad lineal), por lo tanto i dx di i0 di 0 ...(3) guarda la siguiente proporción: dx w w Sustituya ecuaciones ( 2) y (3) en (1) e integre. Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 B x 0 B 0i xw 2W (d x) dx B 0i 2W xw x 0 i dx B 0 [ln( d x)] xx 0w (d x) 2W 0i d w ln( ) 2W d 57 b) Para este inciso aplique la ley de Ampere. En la parte superior de la lámina, el campo se dirige horizontalmente hacia la derecha y en la parte inferior hacia la izquierda. l B P1 d B Figura 3 P2 Anillo de ampere Trace la trayectoria de ampere rectangular que pase por P2 y recórrala en sentido horario. En los lados verticales del rectángulo, el campo B es cero. En los lados horizontales de longitud l el campo es el mismo y se suma. B dl 0 i A l B dl 2B dl. 0 2Bl 0 i A , pero i A N1i0 y n N1 , l entonces B 1 0 ni 0 2 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Cuestionario segundo examen 1.- Escriba la definición de la Ley de Biot-Savart: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2.- Escriba la definición de la Ley de Ampere: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3.- Magnitud y unidades de la permitividad eléctrica del vacío. ______________________ 4.- Magnitud y unidades de la permeabilidad magnética del vacío. ___________________ 5.- ( ) La permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del vacío, se relacionan con la velocidad de propagación de la luz en la forma: (PFEB) C 0 0 (PFEB) C 0 0 (PFEB) C 00 (PFEB) C 1 0 0 6.- Escriba la regla de la mano derecha utilizada para determinar la dirección de las líneas de campo magnético en un punto específico. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 7.- ( ) Las leyes de Ampere y de Biot-Savart se utilizan para establecer las propiedades: (BEFE) Del vector B (PEFE) De la corriente eléctrica (BEFP) Del vector de FB (BPFE) De las líneas de B 8.- ( ) Condición necesaria para utilizar la ley de Ampere. (BEEF) Simetría en la corriente eléctrica (PEEF) Simetría en B (PFEB) Campos magnéticos variables (BEEF) Corriente eléctrica alterna 9.- ( ) La Ley de Biot-Savart se utiliza cuando las corrientes eléctricas son: (BEFE) variables (PEFE) únicamente constantes (PEFB) constantes y estacionarias (BPEF) alternas 10.- ( ) A partir de la ley de Biot-Savart, el modelo matemático del campo magnético creado por una carga q0 en movimiento, viene dado por (BEEF) B 0 vXrˆ 4 r 2 (PEEF) B 0 q0vXrˆ 4 q0 v Xrˆ (BEEF) B 0 r 2 4 r 2 (BEEF) B 4 v Xrˆ 0 r 2 58 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 11.- En las figuras siguientes, trace las líneas de campo magnético creadas por las corrientes eléctricas infinitas indicadas. 59 12.- ( ) Para determinar la dirección y sentido de las líneas de campo magnético, se utiliza. (BEEF) La ley de Biot-Savart (BEEF) La regla de la mano derecha (PEEF) La ley de Ampere (BEEF) La regla de la mano izquierda 13.- En la figura siguiente: q0 d a) Trace la fuerza magnética originada por la corriente eléctrica sobre la carga q0 en movimiento y escriba su magnitud: __________________________________ b) Trace la fuerza magnética originada por la carga q0 sobre el conductor que transporta la corriente eléctrica y escriba su magnitud: ____________________ c) ¿Son fuerzas de acción-reacción?: _____________________________________ d) ¿Es q0 atraída o rechazada por el conductor?: ____________________________ 14.- Cambie el signo de q0 y haga el mismo análisis que en la pregunta anterior. q0 - d 15.- En las figuras siguientes, trace el vector de campo magnético neto en el punto P indicado y escriba su magnitud. P . B= ____________ .P h R R . P r P . B= ________ B=________ L 2 L R P . B= ________ L 2 B= __________ R P . B=___________ Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 16.- ( ) ¿Qué tipo de trayectorias describen las líneas de campo magnético generadas por una corriente lineal infinita? (BEEF) Círculos concéntricos con el eje del conductor (PEEF) Círculos aleatorios (BEEF) trayectorias cerradas anamórficas (BEEF) sopes de compaches 60 17.- En las figuras siguientes, trace el vector fuerza magnética sobre cada uno de los conductores infinitos y escriba la magnitud de la fuerza por unidad de longitud. i d d F ____________ l F ________________ l F _______________ l 18.- En las siguientes figuras, encuentre el campo magnético B sobre la línea mediatriz a la distancia d. d d B _____________ B _______________ 19.- ¿Existe alguna diferencia entre la regla de la mano derecha para indicar el sentido del momento dipolar magnético y el sentido del campo magnético originado por una espira? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 20.- Al circuito cerrado por el que circula una corriente constante, se le llama: __________ 21.- A la trayectoria plana, cerrada e hipotética que encierra cierta cantidad de corriente eléctrica, trazada para encontrar el campo magnético en un punto del espacio, se le llama: ________________________________________________________________________ 22.- Sobre la mediatriz de la distancia d que separa a dos corrientes eléctricas iguales anti-paralelos e infinitas, se lanza un protón con una velocidad v, como se indica en la figura. ¿Hacia dónde es deflexionado el protón? ________________________________ v 23.- Sobre la mediatriz de la distancia d que separa a dos corrientes iguales paralelas e infinitas, se lanza un electrón con una velocidad inicial v, como se indica en la figura. ¿Hacia dónde es deflexionado el electrón? ____________________________________ v Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 24.- Una carga eléctrica positiva, se proyecta de manera perpendicular al eje de un alambre conductor infinito que transporta una corriente eléctrica i, con una velocidad v, como se indica en la figura. ¿Qué movimiento describe la carga debido al efecto del campo magnético del conductor? ____________________________________________ 61 i v 25.- ( ) Dos solenoides largos y coaxiales, uno dentro del otro conducen corrientes iguales pero opuestas, si el campo magnético en el solenoide interior es nulo ¿cuál es la relación del número de espiras del solenoide interior al exterior? ________________________________________________________________________ 26.- ¿Qué es un solenoide? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 27.- ¿Qué es un toroide? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 28.- En los casos siguientes trace el momento dipolar magnético ( ) de la espira e indique gráficamente los efectos mecánicos que experimenta la espira bajo la acción del campo magnético del conductor infinito. 29.- Escriba las diferencias y semejanzas entre la ley de Gauss para la electrostática y la ley de Ampere para el magnetismo. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 30.- Escriba las diferencias y semejanzas entre la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 31.- Escriba la definición de 1 Ampere: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 32.- Escriba la definición de 1 Coulomb. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 33.- Se proyecta un electrón de forma perpendicular al eje de un solenoide, ¿qué trayectoria describe el electrón? En el campo magnético del solenoide? ______________ 34 .- Magnitud del campo magnético fuera de un solenoide ideal ____________________ 35.- Magnitud del campo magnético en los puntos fuera del toroide ________________ ( ) Modelo matemático de la ley de Biot-Savart ( ) Modelo matemático de la ley de Ampere (BEFP) B (PEFE) 0 iA 2 x 3 i B dl 0 ni ( ) Campo magnético originado por una corriente (PEPE) B 0 semi-infinita en un punto a una distancia R del conductor. 2r ( ) Campo magnético dentro de un solenoide ideal (BPFE) B 0ni ( )Campo magnético dentro de un toroide de radio r (EFBP) B 0 Ni 2r ) Modelo matemático de B creado por una carga i (EPEF) B 0 [cos 0 cos1 ] 2R q 0 en movimiento ( ( ) Fuerza por metro de longitud sobre dos conductores infinitos paralelos y separados un metro en el vacío que conducen corrientes de un ampere. ( ) Campo magnético originado por un conductor de longitud L, que conduce una corriente i, en un punto a una distancia R del conductor ( ) Modelo matemático de B en un punto lejano ubicado sobre el eje x de una espira circular de radio R ( ) Campo magnético en el centro de una espira circular de radio R. ( ) Fuerza magnética por unidad de longitud entre dos conductores paralelos separados una distancia d que conducen corrientes iguales (PBFE) F 2 X 10 7 (PBEF) dB 0 4 (FEBP) N m idl Xrˆ r2 B dl i 0 idl Xrˆ r2 (FBEP) B 0 4 (PEFB) B ki [cos0 cos1] 2R 62 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 (EFEP) B 0 Ni (PEBE) B 0i 4R (BEPE) F 1X 10 7 N m 47.- ¿Cómo determina el sentido de las líneas de inducción magnética sobre un conductor que conduce una corriente i ?, explique: __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 48.- ¿Campo magnético originado por un segmento de arco de un alambre conductor que subtiende un ángulo central expresado en radianes? i B 0 4R 49.- Campo magnético en el centro de una espira circular de radio R. iA B 0 3 2R 50.- Campo magnético para un alambre conductor largo i B 0 2R 51.- Fuerza magnética por unidad de longitud entre dos conductores paralelos separados una distancia d que conducen corrientes iguales. 2 F 0i l 2d 52.- Trace las líneas de inducción magnética de la lámina de longitud infinita y ancho b que transporta una corriente eléctrica i0 , en las formas indicadas b b 63 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 LEY DE FARADAY DE LA INDUCCIÓN ELECTROMAGÉNTICA Hasta aquí se ha realizado el análisis de los campos magnéticos originados por cargas en movimiento así como sus efectos sobre una carga o un flujo de cargas en movimiento. Se han considerado campos magnéticos uniformes, corrientes estacionarias y conductores estáticos en la mayoría de los problemas que hemos resuelto, sin excluir el estudio de los campos variables en el espacio. Sin embargo, existen otras situaciones reales y diferentes en las que el campo magnético varía con el tiempo, la corriente eléctrica varía también con el tiempo, el flujo magnético es una variable temporal, los conductores se desplazan o giran dentro de un campo magnético. Todas estas posibilidades de variación las analizó Faraday en 1830, los resultados empíricos los plasmó en sus tratados de electromagnetismo apoyándose en los conceptos de campo y líneas de fuerza inventados por él para explicar el comportamiento de los fenómenos electromagnéticos. Debido a que Faraday no tuvo acceso a una formación matemática sólida, en sus trabajos no aparece ecuación alguna, lo que si aparece en esta obra, entre muchas otras aportaciones, es la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Si una corriente eléctrica crea un campo magnético, puede un campo magnético inducir una corriente eléctrica? A continuación y dentro de un marco teórico-práctico, se dará atención y respuesta a la pregunta anterior mediante el análisis de los dos puntos siguientes: 1. Sabemos que toda carga en movimiento crea un campo magnético; ahora estudiaremos la forma en que todo campo B en movimiento induce una corriente eléctrica en un conductor cerrado que se encuentre en las proximidades del campo magnético B. 2. También sabemos que si ubicamos una espira en un campo B uniforme, éste obliga a girar a la espira. Veremos, que si giramos un conductor cerrado dentro de un campo B estacionario, se induce en el conductor una corriente eléctrica. Note la perfecta simetría que existe en los casos anteriores; la naturaleza nos ofrece diversas formas simétricas que guardan los fenómenos naturales, las fuerzas electromagnéticas, para nuestra fortuna, conservan la paridad o simetría. En ambos puntos se menciona la existencia de un movimiento relativo entre la fuente del campo magnético y el conductor. Se llama fuerza electromotriz inducida (fem) a la diferencia de potencial que induce la corriente en el contexto del movimiento relativo, y la corriente creada se 64 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 llama corriente inducida. Generalizando los efectos del movimiento relativo se puede afirmar, que la variación o razón de cambio del número de líneas de campo magnético B que atraviesan perpendicularmente una superficie cerrada; es decir; el flujo magnético B , genera una fem que a su vez induce una corriente eléctrica. 65 Fuerza electromotriz (fem) de movimiento o cinemática Sea una barra conductora de longitud L que se mueve por medio de un agente externo a velocidad constante v en las inmediaciones de un campo magnético uniforme B, como se muestra en la figura 1. xxxxxxxxxxxxx x x xa x x x x x x x x x x xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xL x x x vx x x x x x x x x xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx x x xb x x x x x x x x x x Figura 1.- barra conductora en movimiento xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx x x x+ xFx x x x x x x x x B xxxxxxxxxxxxx x x x x xvx x x x x x x x xxxxxxxxxxxxx x x x-x x x x x x x x x x xxxxxxxxxxxxx Figura 2.- fuerza inducida por movimiento xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xx+ x xFx x x x x x x x x B xxxxxxxxxxxxx x x x x xvx x x x x x x x xxxxxxxxxxxxx F x x x-x x Ex x x x x x x x xxxxxxxxxxxxx Figura 3.- fuerzas en equilibrio en la barra Debido al movimiento de la barra, se crea en su interior una fuerza de naturaleza magnética que actúa sobre las cargas eléctricas. La expresión de la fuerza es, FB qv XB, figura 2. El efecto de ésta fuerza obliga a la acumulación de cargas positivas en la parte superior, y cargas negativas en la parte inferior de la barra, independientemente del signo de los portadores de carga que considere en movimiento. Esta fuerza es la responsable del movimiento de cargas eléctricas en la barra conductora y es de naturaleza no eléctrica. La acumulación de cargas en los extremos a y b de la barra, trae consigo la creación de: Un campo eléctrico E en el conductor, dirigido verticalmente hacia abajo. Una diferencia de potencial V Va Vb Una fuerza eléctrica FE qE de igual magnitud y sentido contrario que FB a + FB FE qvBsen(90) qE vB E En forma vectorial, qv XB qE E vXB L - b Si la barra continúa su movimiento dentro del campo B. en un instante determinado las cargas dejan de acumularse por que se logra el equilibrio Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 electrostático en los extremos de la barra. A partir de ese instante, la fuerza de Lorentz dentro de la barra es nula, figura 3. Sin variar el desplazamiento de la barra, se coloca un conductor en forma de U invertida por el que se desliza la barra con la misma velocidad v, ver figura 4. El contacto instantáneo de ambos conductores forma un circuito cerrado que proporciona un medio de fluidez a la carga acumulada en los extremos de la barra generando o induciendo de esta manera, una corriente eléctrica convencional que recorre el circuito en sentido horario. Esta corriente se llama corriente inducida y es ocasionada por la fuerza FB de naturaleza magnética. Conductor en forma de U invertida xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx Fx xLx x x xvx x x x x x x xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx Figura 4.- Corriente convencional inducida. En la figura 4, la fuerza lateral F que experimenta la barra en movimiento, se debe a la corriente inducida i que ésta transporta; la magnitud de F es BiL y tiene sentido opuesto al desplazamiento. Para que la barra deslice a velocidad constante, el agente externo que la mueve, requiere de una fuerza de magnitud BiL. El agente externo invierte potencia ( P F v ) para mover la barra; es decir, realiza trabajo sobre ella. Si el desplazamiento de la barra induce la corriente, podemos afirmar entonces que la barra en movimiento se comporta como un generador de corriente eléctrica. Generador.- Dispositivo que convierte energía mecánica en energía eléctrica. A continuación se justifica esta aseveración. A medida que la barra se desliza hacia la derecha, el área del circuito cerrado tiende a disminuir y con ello disminuye el número de líneas de campo magnético que atraviesan perpendicularmente esta superficie y en consecuencia disminuye el flujo magnético ( B ) 66 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 El flujo magnético es una cantidad física escalar, su modelo matemático se expresa en la forma, B B dA BdAcos( ). Las unidades de B en el SI son (Tesla)(m2) y se llaman Weber (Wb). 1Wb 1 Tm2 A De acuerdo al sentido de la corriente inducida, el vector de superficie en el circuito cerrado rectangular es paralelo con el vector B; la magnitud del flujo magnético es B BA. Suponga que en un intervalo de tiempo t el desplazamiento de la barra es x, como se indica en la figura 5. i a xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx L x xFx x x x x x x x x x x x x x x x xvx x x x x x x xxxxxxxxxxxxx xx x L A v x b A xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx x x x x x xFigura x x x5-I xxxxx B Figura 5.- Flujo magnético Figura 5-II El área barrida por el deslizamiento de la barra sobre el conductor, en este intervalo es A Lx . El flujo magnético en esta pequeña superficie es B B A BAcos ; por lo tanto, la razón de cambio del flujo en el intervalo de tiempo t se expresa en la forma, B BA cos t t De acuerdo al sentido de la corriente inducida en la barra, el vector de superficie del elemento A tiene la misma dirección pero sentido contrario que el vector B (vea figura 5-II), el flujo magnético es, B BA cos( ). L B x BL t t x b En el límite cuando t 0 i a B B BA BLx t t t t A v A Figura 5-II B 67 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 d B dx BL dt dt d B d B BLv. La relación es la “razón de cambio del flujo magnético”. dt dt 68 Fuerza electromotriz inducida (fem) El negativo de la razón de cambio del flujo magnético se llama fuerza electromotriz (fem) y se denota por . d B . dt Para la barra en movimiento BLv. Cuando un voltaje es generado por una batería, una pila o por la fuerza magnética de acuerdo con la ley de Faraday, este voltaje se llama fuerza electromotriz o fem. La fem es el trabajo que realiza una fuerza de naturaleza no eléctrica para desplazar una carga eléctrica de un punto a otro dentro de un campo eléctrico E. El término “fuerza electromotriz” se conserva por cuestiones históricas. La fem es un dispositivo diseñado para convertir cualquier forma de energía no eléctrica en energía eléctrica, ejemplos: pila, batería, acumulador, generador, etc. En el ejemplo que se acaba de presentar, la fem es creada o inducida de inicio por el movimiento de la barra, por esta razón se llama fuerza electromotriz inducida. Observe que si la barra se detiene 0. Con el concepto de fem que se ha establecido se concluye que en el instante mismo en el cual la barra hace contacto con el conductor, el circuito eléctrico se cierra y se induce una corriente eléctrica i que circula por el circuito mientras permanece constante el movimiento de la barra. La fem inducida es, d . dt La barra en movimiento se comporta como la fem ( ) en un circuito cerrado al que le proporciona una diferencia de potencial e induce una corriente i que alimenta al circuito. En la figura 6 se muestra una fem ideal, sin resistencia interna. i R Figura 6.- fem, símbolo y sentido. Ley de Ohm Ri Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Con el resultado obtenido del análisis del movimiento relativo de la barra con respecto al campo B, se puede definir la ley de Faraday en la forma: Ley de Faraday.- La fem inducida en un circuito cerrado es igual al negativo de la razón de cambio del flujo magnético. 69 El modelo matemático de la ley de Faraday es de N espiras, N d dt . Si el circuito se compone d . dt Se puede analizar el movimiento de la barra para determinar la fem inducida desde otro punto de vista. Se demostró, que la fem inducida por la barra en movimiento es BLv. Para confirmar este resultado utilice la expresión de la diferencia de potencial que obtuvo en electrostática para dos puntos ubicados dentro de un campo eléctrico, esta es, b V E dr . a El vector dr representa el desplazamiento de los portadores de carga en el interior de la barra, desde extremo de menor al de mayor potencial eléctrico; es decir, desde b hasta a. El desplazamiento se efectúa en el mismo sentido que la corriente inducida. En el interior de la barra E vXB, entonces, b b V E dr V (v XB) dr V a V a r r b (vXB) dr a r ( vXB)dr b a v XB vBsen( ) vBsen(90 ) vB. Puesto que el vector vB es paralelo al vector dr, tenemos, b a (vB) dr b a a (vB)dr cos(0) vB dr BLv BLv b La fem inducida por la barra, como ya se mencionó, se debe al movimiento relativo de ésta con respecto al campo magnético estático y uniforme. Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 La fem es el trabajo que realiza la fuerza magnética sobre los portadores de carga para desplazarlos desde extremo de menor al de mayor potencial eléctrico. Desde esta perspectiva, W FL q0vBL BLv q0 q0 q0 La potencia es el trabajo o la energía acumulada por unidad de tiempo en el circuito, o disipada temporalmente en forma de calor por la resistencia equivalente del circuito (efecto Joule). Para propiciar el movimiento de la barra, el agente externo invierte potencia mecánico ( P F v) , esta se convierte en potencia eléctrica ( P i) Fv i, pero F BiL; entonces ( BiL)v i. BLv La inducción electromagnética.- es el fenómeno que origina la producción de una fuerza electromotriz (f.e.m. o voltaje) en un medio o cuerpo expuesto a un campo magnético variable, o bien en un medio móvil respecto a un campo magnético estático. Cuando dicho cuerpo es un conductor, se produce una corriente inducida. La fem inducida se puede obtener mediante el movimiento de un imán sobre el eje de un conductor cerrado de una vuelta o varias vueltas (bobina), alejando o acercando el imán hacia el conductor o bobina. El mismo resultado se obtiene si se mantiene fijo el imán y se aleja o se acerca el conductor. Cualquier cambio del entorno magnético en que se encuentra una bobina, originará un voltaje (una fem inducida en la bobina). No importa cómo se produzca el cambio, el voltaje será generado en la bobina. El cambio se puede producir por una variación en la intensidad del campo magnético, el movimiento de un imán entrando y saliendo del interior de la bobina, moviendo la bobina hacia dentro o hacia fuera de un campo magnético, girando la bobina dentro de un campo, etc. Lo relevante es el movimiento relativo entre el conductor y la fuente del campo magnético. Ley de Lenz Heinrich Lenz comprobó que la corriente debida a la fem inducida se opone al cambio de flujo magnético, de forma tal que la corriente tiende a mantener el flujo. Esto es válido tanto para el caso en que la intensidad del flujo varíe, o que el objeto conductor se mueva respecto al campo B. Cuando se genera una fem por variación en el flujo magnético, de acuerdo con la ley de Faraday, el sentido de la fem inducida es tal que produce una corriente 70 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 cuyo campo magnético se opone al cambio que lo produjo. El campo magnético inducido en el interior de cualquier espira, siempre actúa para mantener constante el flujo magnético de la espira. En las ilustraciones siguientes, si el campo B aumenta, el campo inducido actúa en oposición. Si está disminuyendo, el campo magnético actúa en la dirección del campo aplicado para tratar de mantenerlo constante. Ley de Lenz.- En un circuito cerrado, el sentido de la corriente inducida es tal que se opone a las causas que la originan. El signo negativo en la ley de Faraday representa precisamente esta oposición. Análisis del sentido de la corriente inducida. La razón de cambio del flujo magnético es el parámetro indicado para establecer el sentido de la corriente inducida. Por ejemplo en la figura 8, la superficie formada por la barra y el conductor en forma de U se reduce conforme la barra se mueve. La reducción en el área implica una disminución temporal en el flujo magnético, el sentido de la corriente inducida se opone a esta disminución “sumando” líneas de campo magnético al campo B, por lo tanto, el campo B y el campo magnético ( Bi ) originado por la corriente inducida tienen el mismo sentido. i a L v Bi b Figura 8 B Por el contrario, si el flujo magnético presenta un incremento con el tiempo, la corriente inducida se opone a este incremento generando líneas de campo magnético que se “restan” con B, en este caso, los- campos magnéticos tienen sentidos contrarios 71 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 a i Bi L v b B Figura 9 Hacer referencia a la razón de cambio del flujo d ( ) dt 72 implica considerar la variación de por lo menos una de sus componentes respecto al tiempo. A continuación se muestran algunos ejemplos. De la definición de flujo, B A BAcos Si aplica la función derivada, se tiene: d d ( BAcos ) Si divide ambos miembros de la igualdad por dt, entonces d d ( BA cos ) . De esta dt dt expresión se puede observar que B, A y pueden variar con el tiempo. Si es el campo el que varía con el tiempo, la razón de cambio del flujo se indica en la forma, d dB A cos dt dt La causa por la que el campo magnético varía con el tiempo, por ejemplo para un alambre de longitud infinita, es la distancia (r ), siempre y cuando se mantenga constante la corriente eléctrica. B 0i 0i 1 2r 2 r El campo magnético B está en función de la distancia r , B f (r ) dB dB dr dt dr dt Por lo tanto, la razón de cambio del flujo en la ecuación se calcula utilizando la regla de la cadena del cálculo diferencial. d dB A cos dt dt d dB dr A cos dt dr dt Si la razón de cambio del flujo se debe a la variación en el área A, por ejemplo si se tiene una espira circular cuyo radio r se reduce a velocidad constante. Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 d dA B cos dt dt Nuevamente se emplea la regla de la cadena para expresar la razón de cambio del área A en la siguiente forma. 73 dA dA dr dt dr dt La razón de cambio del flujo expresado en función de la razón de cambio del área, se obtiene sustituyendo en la ecuación. d dA B cos dt dt d dA dr B cos dt dr dt La razón de cambio del flujo también depende de la razón de cambio del ángulo, como se indica a continuación. d d ( BA cos ) dt dt d d BA (cos ) dt dt Como wt Entonces d d BA (cos wt ) dt dt d BAwsenwt dt La fem y por lo tanto, la corriente inducida quedan expresadas por una función senoidal. Este es el principio de funcionamiento de un generador de corriente alterna. Gira a velocidad angular constante, una espira rectangular dentro de un campo magnético uniforme. Existen más variaciones del flujo en función del tiempo, por ejemplo, cuando varía la corriente en el devanado de un solenoide. Se deja de ejercicio la aplicación de la regla de la cadena para una bobina de la mitad del radio de un solenoide. Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 El transformador Es un dispositivo electromagnético que permite aumentar o disminuir el voltaje en un circuito eléctrico de corriente alterna, manteniendo constante la potencia. La potencia que ingresa al equipo, en el caso de un transformador ideal es igual a la que se obtiene a la salida. Los transformadores reales presentan un pequeño porcentaje de pérdidas, dependiendo de su diseño y tamaño, entre otros factores. El transformador es un dispositivo que convierte la energía eléctrica alterna de un cierto nivel de voltaje, en energía alterna de otro nivel de voltaje, basándose en el fenómeno de la inducción electromagnética. Está constituido por dos bobinas de material conductor, devanadas sobre un núcleo cerrado de material ferromagnético, pero aisladas entre sí eléctricamente. La única conexión entre las bobinas la constituye el flujo magnético común que se establece en el núcleo, el cual está fabricado bien sea de hierro o de láminas apiladas de acero, aleación apropiada para optimizar el flujo magnético. Las bobinas o devanados se denominan “primario” y “secundario” según correspondan a la entrada o salida del sistema en cuestión. Este elemento eléctrico se basa en la inducción electromagnética, ya que si aplicamos una fuerza electromotriz alterna en el devanado primario, debido a la variación de la intensidad y sentido de la corriente alterna, se produce la inducción de un flujo magnético variable en el núcleo de hierro. Este flujo originará por inducción electromagnética, la aparición de una fuerza electromotriz en el devanado secundario. El voltaje en el devanado secundario dependerá directamente del número de espiras que tengan los devanados y del voltaje del devanado primario. Relación de Transformación La relación de transformación indica el aumento o decremento que sufre el valor del voltaje de salida con respecto al voltaje de entrada, esto quiere decir, la relación entre le voltaje de salida y el de entrada. 74 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 La relación entre la fuerza electromotriz inductora p , la aplicada al devanado primario y la fuerza electromotriz inducida s , la obtenida en el secundario, es igual a la relación del número de espiras de los devanados primario N p y secundario N s , según la ecuación: 75 p s NP NS La relación de transformación del voltaje entre el devanado del primario y el devanado del secundario depende de los números de vueltas que tenga cada uno. Si el número de vueltas del secundario es el triple del primario, en el secundario habrá el triple de voltaje. NP Vp I s N S Vs Ip Dónde: V p es el voltaje en el devanado primario o voltaje de entrada, Vs es el voltaje en el devanado secundario o voltaje de salida, I P es la corriente en el devanado primario o corriente de entrada, e I S es la corriente en el devanado secundario o corriente de salida. A la relación entre el número de espiras del primario y las del secundario se le llama relación de espiras del transformador o relación de transformación. Ahora bien, como la potencia eléctrica aplicada en el primario, en caso de un transformador ideal, debe ser igual a la obtenida en el secundario: P1 P2 V1 I1 V2 I 2 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 Cuestionario para tercer parcial 1.- En términos generales, se genera una fem que a su vez induce una corriente en el marco de un movimiento relativo entre un campo magnético y un conductor, escriba un ejemplo de inducción electromagnética: _________________________________________________________________ 2.- ¿Es realmente la fuerza electromotriz (fem), una fuerza?, explique. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3.- ¿De qué naturaleza o tipo es la fuerza que induce la corriente eléctrica en el proceso de inducción electromagnética? ______________________________________________ 4.- ( ) Modelo matemático de la fuerza inductora de la corriente eléctrica durante el proceso de inducción electromagnética de la figura 1. (PEFE) F iLXB (PBEF) F qE (PEFB) F iLXv (PFEB) F qv XB 5.- En la figura 1, trace la fuerza inductora que actúa sobre la barra en movimiento. 6.- Magnitud y sentido del desplazamiento de los portadores de carga sobre la barra. ________________________________________________________________________ 7.- En la figura 1, trace el sentido de la corriente inducida i en el circuito (bacd) si el campo B es uniforme en toda la región. i a c A L v A R d b B Figura 1 B 8.- En la figura 1, trace las líneas de campo magnético debidas a la corriente inducida en el circuito (bacd) 9.- Explique por qué decidió asignarle el sentido a las líneas de campo magnético que trazó en la pregunta anterior. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 10.- Aplique la regla de la mano derecha a la corriente inducida en la barra y trace los vectores de superficie A y A 76 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 11.- Si la barra conductora (ab) desliza a velocidad constante, ¿qué papel desempeña la barra si ésta es parte del circuito cerrado (bacd) ? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 12.- En el espacio siguiente, dibuje el circuito eléctrico correspondiente al circuito (bacd) 13.- ( ) Modelo matemático de la fuerza mínima que requiere el agente externo para desplazar la barra a velocidad constante. (PEFE) F iLXv (PBEF) F qvXB (PEFB) F qE (PFEB) F iLXB 14.- Magnitud de la potencia mecánica que invierte el agente externo para deslizar la barra con velocidad v constante _____________________________________________ 15.- Si R es la resistencia del circuito, escriba la magnitud de la potencia eléctrica disipada en la resistencia debido al efecto Joule. ________________________________ 16.- Ley de Ohm aplicada al circuito eléctrico que dibujó en la pregunta 12. (PEFE) Vi (PBEF) i 2 R (PEFB) V2 R (PFEB) Ri 17.- Desde la parte superior y sobre un conductor en forma de U invertida e inclinada un ángulo , como se indica en la figura, desliza a velocidad constante v una barra de longitud L y resistencia R. El sistema barra-U está inmerso en un campo B uniforme dirigido verticalmente hacia abajo. Encuentre la velocidad v de la barra. ‘ 18.- Si detiene instantáneamente la barra, ¿cuál es el valor de la fem? _______________ 19.- Si el agente externo desliza la barra en sentido opuesto, como se muestra en la figura 2, trace: a) El sentido de la corriente inducida en el circuito (bacd) . 77 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 b) El sentido de las líneas del campo magnético inducido en el circuito (bacd) c) El sentido de la fuerza magnética inductora sobre la barra. d) El sentido de la fuerza magnética inducida sobre la barra. 78 e) El vector de superficie del circuito (bacd) a i c L v b Figura 2 B d 20.- Al trabajo que realiza la fuerza inductora (de naturaleza no eléctrica) para desplazar los portadores de carga del extremo de menor al de mayor potencial en la barra móvil, se le llama: ________________________________________________________________ 21.- Durante el movimiento relativo de un conductor y un campo magnético, la cantidad física que siempre varía es: (PEFE) La velocidad del conductor (PBEF) La corriente eléctrica (PEFB) El flujo magnético (PFEB) El campo magnético 22.- ¿Qué es la inducción electromagnética? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 23.- Escriba la definición de la ley de Faraday y su modelo matemático ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 24.- Escriba la definición de la ley de Lenz ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 25.- ¿Qué significa el signo negativo en el modelo matemático de la ley de Faraday? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 26.- ¿Qué es un transformador? ________________________________________________________________________ Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 27.- Describa el principio de funcionamiento de un transformador ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 28.- En un transformador, a la cantidad física que permanece constante en el proceso de transformación, se le llama: _________________________________________________ 29.- Al aumento o decremento que experimenta el voltaje de salida con respecto al voltaje de entrada en un transformador, se le llama: ____________________________________ 30.- Si en un transformador, el primario tiene mayor cantidad de espiras que el secundario, se dice que el transformador es: ____________________________________ 31.- Si el secundario de un transformador tiene mayor cantidad de espiras que el primario, el transformador se llama: __________________________________________________ 32.- En las siguientes figuras, trace el sentido de la corriente inducida sobre cada espira debido al movimiento del imán, así como el sentido de las líneas del campo B inducido . v N v N v S v S 79 Apuntes de F1V. Elaboró Ing. Ubaldo Olguín García. Ciclo Escolar 2015-2016 2 1.- Magnetismo Existe en la naturaleza un mineral llamado magnetita o piedra imán que tiene la propiedad de atraer el hierro, el cobalto, el níquel y ciertas aleaciones de estos metales. Esta propiedad recibe el nombre de magnetismo. Los imanes: Un imán es un material capaz de producir un campo magnético exterior y atraer el hierro (también puede atraer al cobalto y al níquel). Los imanes que manifiestan sus propiedades de forma permanente pueden ser naturales, como la magnetita (Fe3O4) o artificiales, obtenidos a partir de aleaciones de diferentes metales. Podemos decir que un imán permanente es aquel que conserva el magnetismo después de haber sido imantado. Un imán temporal no conserva su magnetismo tras haber sido imantado. En un imán la capacidad de atracción es mayor en sus extremos o polos. Estos polos se denominan norte y sur, debido a que tienden a orientarse según los polos geográficos de la Tierra, que es un gigantesco imán natural. Materiales Diamagnéticos Materiales Paramagnéticos Cobre Plata Estaño Cinc Aluminio Platino Titanio 80