Material semana 6

Probabilidad
Condicional
Cuatro tipos de probabilidad
Marginal
Unión
Conjunta
Condicional
P(X)
P(X Y)
P(X Y)
P(X|Y)
La probabilidad
de que ocurra
X
La probabilidad
de que ocurra
XoY
La probabilidad
de que ocurra
XeY
X Y
X Y
X
La probabilidad
de que ocurra
X sabiendo que
ha ocurrido Y
Y
Probabilidad condicional: “probabilidad de ocurrencia de un evento en un
escenario muy particular”
Ejemplo
Suponga que se lanza un dado.
Existe una clase de escenarios exhaustivos y no traslapados como son: “el
número del dado es par” y “el número del dado es impar”. Entonces bajo la
hipótesis de trabajar con esta clase de escenarios, uno se puede preguntar la
probabilidad de obtener algún determinado número bajo uno de estos
escenarios.
Específicamente:
¿Cuál es la probabilidad de obtener un tres bajo el escenario “el número del
dado es impar”?.
Es decir se está preguntando por la probabilidad de que ocurran ambas
situaciones, a saber : que ocurra el “tres” y que ocurra que “el número del
dado es impar”.
Probabilidad de cualquier suceso B condicionado al escenario A es:
B
A
Nuevo “universo”
referencial
PrB / A=
A B
PrB  A
PrA
Entonces, P(B | A) “mide” la probabilidad relativa de B con respecto al espacio reducido A
Ejemplo:
Se tiran dos dados, uno rojo y uno azul, al azar. Se sabe que salió un
número 2 o 3 en el dado rojo. Probabilidad de que la suma de los dos dados
sea 7. Sea:
A = “en el dado rojo salió 2 o 3”
B = “la suma de los dados es 7”
Hallar P(B/A)
Solución
Como el suceso A ocurrió, el espacio muestral
Ω, el cual consta de 36 elementos, se reduce al
conjunto A, el cual consta de 12 elementos:
A = Ω’ = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3.6)}
Los casos favorables al suceso B en Ω’ son 2:
B = {(2,5), (3,4)}
Influencia del Espacio restringido si B es
condición
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,10
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,08
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1
P(A|B)=0,8
Influencia del Espacio restringido si B es
condición
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(AB) = 0
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05
P(A|B)=0
Probabilidad condicionada
Una vez A ha ocurrido, ya es seguro:
P( A A) P( A)
P( A | A) =
=
=1
P( A)
P( A)
Cuando A y B son excluyentes, una vez ha ocurrido A, B es
imposible:
0
P( A  B)
P(B | A) =
=
=0
P(A)
P(A)
Probabilidad Condicional
Se respetan los axiomas básicos
i) P(B|A) ≥ 0
ii) P(Ω |A) = 1
iii) Sean B1, B2, … , Bn disjuntos Bi  Bj =   i j
P( Bi | A) =  P( Bi |A)
Regla de la multiplicación
Ejemplo
Sea un lote de CD de los cuales se sabe que 10 son defectuosos y 90 sin
defectos. Se toman dos CD al azar, sin sustitución, ¿cuál es la probabilidad
de que ambos sean defectuosos?.
Ejemplo
En un congreso hay 100 personas monolingües, 60 hablan inglés y 40 francés.
Casualmente dos personas se encuentran en la cafetería. ¿Qué probabilidad tienen
de entenderse?
Solución
Generalización
La fórmula de la multiplicación de las probabilidades puede ser generalizada
al caso de más de dos sucesos. Sean entonces los sucesos A1, A2, …, An. Se
cumple que:
Ejemplo
De una baraja inglesa de 52 cartas se sacan al azar tres cartas
consecutivas, la probabilidad de sacar tres ases seguidos, sin devolución
es:
Independencia de Eventos
Una persona (o institución) es independiente de otra persona (o institución),
si las decisiones de la primera no son condicionadas por lo que haga o no
haga la segunda persona (o segunda institución). En términos intuitivos, dos
sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la
ocurrencia del otro. En términos formales, tenemos la definición siguiente:
Propiedad de dos eventos independientes
Si A y B son eventos independientes entonces:
a) A y Bc son independientes,
b) Ac y B son independientes,
c) Ac y Bc sonindependientes.
Ejemplo
De una urna que contiene 4 bolas blancas y dos bolas rojas, se extraen dos
bolas con reemplazo. Sea A1 el evento. La primera bola es blanca, y A2 el
evento la segunda bola extraída es blanca. Ambos eventos son
independientes (la ocurrencia de un suceso no añade información en el otro
suceso).
Definición: Dos eventos serán dependientes si ellos son no independientes.
Experimentos independientes
Por lo tanto, puede concluirse que si un evento A es estadísticamente
independiente de B, entonces el evento B es independiente de A y se
verifican las tres relaciones siguientes:
1.- P(A/B)=P(A)
2.- P(B/A)=P(B), y
3.- P (A  B)=P(A)P(B)
Extensión del concepto de independencia estadística:
DEFINICIÓN: Los eventos A1, A2,....Ak de un espacio muestral S son
estadísticamente independientes si y sólo si la probabilidad conjunta de cualquier
2,3...k de ellos es igual al producto de sus respectivas probabilidades marginales.
•De esta manera, los eventos A, B, y C son mutuamente independientes, sí y sólo
si:
1.- P (A B) = P(A).P(B)
2.- P (A C) = P(A).P(C)
3. -P (A C) = P(B).P(C) y
4. -P (A  B  C) = P(A).P(B).P(C)
Ejemplo
Se demuestra a continuación que las tres primeras relaciones no implican la
cuarta relación. Sea un tetraedro regular el cual se tira al azar. El resultado lo
representa la cara que coincide con el plano del piso. El tetraedro está pintado
de colores blanco, rojo y azul, tal como muestra la figura:
Sean los sucesos:
A = ”sale color blanco”
B = “sale color azul”
C = ”sale color rojo”
Se tiene:
Ejemplo
Una clínica tiene nueve pacientes en la sala de espera. De los cuales
3 son adultos, 3 son niños y 3 son ancianos. Cada paciente, de cada
grupo, tiene un número de turno que va de 1 a 3. Además, el paciente
adulto con el turno 1, el niño con el turno 2 y el anciano con el 3 son
del sexo masculino y los demás del sexo femenino.
Sean los sucesos:
A : un adulto
B : con el turno 1
C : de sexo masculino
Donde: P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
Entonces se pueden obtener las relaciones siguientes:
P( A ∩ B ) = 1/9 = P(A) . P(B)  A y B son independientes entre sí
P( A ∩ C ) = 1/9 = P(A) . P(C)  A y C son independientes entre sí
P( B ∩ C ) = 1/9 = P(B) . P(C)  B y C son independientes entre sí
Son independientes en todos los pares posibles. Sin embargo, no son
independientes entre sí tomados los tres a la vez:
Ejemplo
El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis,
mientras que el suplente solo para 5. El portero suplente juega, por
termino medio, 15 minutos en cada partido (90 minutos). Si en un partido
se lanzan tres penaltis contra este equipo, ¿cuál es la probabilidad de que
se paren los tres?
Solución
Ejemplo
Una empresa que debe decidir si adquiere un determinado paquete de
acciones, solicita un informe a tres asesores financieros para que se
pronuncien de forma favorable o desfavorable a la compra. Por
experiencias anteriores en operaciones similares, se sabe que los tres
asesores tienen actitudes ante el riesgo diferente e independiente. Esta
situación se refleja en las probabilidades de aconsejar a compra de este tipo
de operaciones que son respectivamente 0.8, 0.5 y 0.3. Con esta
información a priori calcule:
a) La probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje la compra.
b)La probabilidad de que ninguno de ellos aconseje adquirir el paquete de
acciones.
Solución
Se definen los siguientes sucesos:
EJEMPLO:
Un sistema contiene cinco componentes que
se encuentran conectadas entre sí como se
muestra
en
la
figura,
donde
las
probabilidades indican la seguridad de que la
componente funcione adecuadamente. Si se
supone que el funcionamiento de una
componente en particular es independiente
del de las demás, ¿Cuál es la probabilidad de
que el sistema trabaje?
P(B)=0,90
B
P(D)=0,93
D
A
P(A)=0,98
C
P(C)=0,95
E
P(E)=0,97
Solución
Establecida la suposición de independencia, el sistema puede trabajar si las
componentes A y B y/o C, y D y/o E lo hacen. De esta manera, la probabilidad
de que el sistema trabaje, P(F), puede expresarse como:
P(F) = P(A) P(B  C) P(D  E)
P(B)=0,90
Nótese que:
P(B  C) = 1 - P(B) P(C)
P(D  E) = 1 - P(D) P(E)
P(D)=0,93
B
D
C
E
A
P(A)=0,98
P(C)=0,95
P(E)=0,97
Por lo tanto,
P(F) = P(A) P(B  C) P(D  E) = (0,98)(0,99 5)(0,9979) = 0,973
Ejercicio
Ejercicio
Ley de probabilidad total
n
Pr( A) =
i
i
i=1
A1
Demostración
A2
Ω =
 Pr (A / A ) Pr( A )
A3
A ...
A = A Ω = A
n
A = U ( A Ai )
n
UA
i=1
i=1
n
Pr(A) =  Pr ( A Ai )
i=1
n
An
Una partición de 𝛀
Pr(A) =  Pr ( A / Ai ) Pr( Ai )
i=1
Ejemplo:
En un salón de clase el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el
10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Qué
porcentaje de fumadores hay en total?
Solución
0,1
0,7
Mujer
Fuma
M∩F
0,9
No fuma
Estudiante
0,2
0,3
Fuma
H∩F
Hombre
0,8
No fuma
T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman
Un Sist. Exh. Excl.
De sucesos
P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)
= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)
=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7
= 0,13 =13%
Teorema de Bayes
A1
Pr( A1)
A2
Ω
Pr(A2 )
Pr(A3 )
Pr(B / A 1)
Pr(B / A 2)
Pr(B / A 3)
B
A3
.
.
Pr(A n)
.
Supongamos ahora que B ocurre.
Pr(B / A n)
¿Cuál de los sucesos A jha ocurrido?
An
De otra forma, ¿cuál es el valor de Pr( A j / B) con j = 1,...n?
Teorema de Bayes
A1
Pr( A1)
A2
Ω
Pr(A2 )
Pr(A3 )
Pr(B / A 1)
Pr(B / A 2)
Pr(B / A 3)
B
A3
.
.
Pr( A n )
.
An
Pr(B / A n)
Pr(A j / B) =
Pr(Aj  B)
Pr( A j / B) =
=
Pr(B / Aj ) Pr( Aj )
Pr(B)
Pr(B)
Pr(B / Aj )  Pr( Aj )
 P(B / A )  Pr(A )
n
i
i=1
Medición del pasado, representado por el evento Aj
i
Interpretación
“B ha ocurrido” se puede pensar que es un hecho determinístico, y por lo
tanto no tiene objeto calcular la probabilidad Pr(B), es decir si B ha
ocurrido entonces Pr(B) = 1. No obstante, el problema cambia
radicalmente si uno expresa “si B ocurre”, y esta es la interpretación
correcta. Por otro lado, las probabilidades asociadas a los eventos Ai son
de tipo a priori, y que a veces de manera arbitraria deben asignarse
puesto que no se tiene información sobre el “pasado”, y que se espera que
van a ser “mejoradas” con la información que puede entregar el suceso
B, de hecho las probabilidades Pr(Ai / B) son llamadas a posteriori.
Ejemplo:
Solución
0,001
0,9
con
equiv
0,9 x 0,001
0,999
corr
Cliente
1
0,1
equiv
sin
0
corr
0,1 x 0
Ejemplo:
En una sala de una clínica especializada solo se tratan tres tipos de
enfermedades. Se sabe que en promedio ingresan un 50% de pacientes
con la afección K, 30% con la enfermedad L y el resto con la afección M
(datos obtenidos con las estadísticas de los últimos dos años).
Realizando un relevamiento de historias clínicas se dedujo que un 70%
de los ingresados con la enfermedad K se curan, mientras que para L y
M, se obtuvieron 80% y 90% respectivamente. En la fecha, se dio de
alta a un paciente: ¿Cuál es la probabilidad que se haya internado por la
enfermedad K ?
Solución
Con los datos anteriores se puede armar la tabla
la probabilidad de que el paciente dado de alta haya ingresado con la enfermedad K
es de 45,46%.
Otras definiciones de probabilidad:
Definición geométrica de probabilidad
Área de B
P(B) =
Área del cuadrado
La Probabilidad Geométrica tiene sus inicios en la Francia del siglo XVIII,
desarrollado por el célebre naturalista George Louis Leclerc (1707-1788), mejor
conocido como el conde de Buffon. A la edad de 26 años presentó a los miembros
de la Academia de Ciencias de Paris otra forma de ver la Probabilidad usando
Geometría.
Ejemplo:
Genaro y Rigoberta se citan entre las 21 y las 22 horas. Ninguno de ellos tiene
la costumbre de ser puntual. Así que, el primero que llega esperará 20 minutos
y se irá. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca el encuentro?
E = {(x1, x2 ) : 0  x1  60, 0  x2  60}
x2
x2 − x1  20
 x 2 − x1  20
x1 − x2  20 
x2 = x1 + 20
60 min•
x1 = x2 +20
A
20 min•
P( A) =
S( A)
S (E)
•
20 min
•
60 min
x1
=
602 − 402
602
=
5
9
Ejemplo:
Solución
Más ejemplos
Solución
Ejercicio
1.Un club consiste de ciento cincuenta miembros. Del total, 3/5 son
hombres y 2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres son no
profesionales.
1. Se elige al azar un socio del club:
a) ¿Qué probabilidad hay de que salga elegida una mujer?
b) Calcule la probabilidad de que sea hombre y profesional.
c) Calcule la probabilidad de que sea hombre, dado que es
profesional.
2. Se eligen cuatro socios al azar y resultan ser mujeres:
a) ¿qué probabilidad hay de que 2 sean NP?
b)¿Cuál es la probabilidad de que la Sra. X y la Sra. Y no sean
escogidas?
c)¿Cuál es la probabilidad de que la Sra. X sea escogida y la Sra. Y
no sea escogida?