ÁLGEBRA Semana : 01 Tema: Leyes de exponentes Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 1. Calcule 𝐴. 𝐵 𝐴= 𝐵= −7 1 8 11 + −3 −50 − 1 6 22 + 711 20200 A) 81 −90 + −2021 B) 162 D) 334 0 E) 324 Resolución 𝑩 = Tenemos: 𝑨= −𝟕 − 𝟏𝟏 + −𝟑 𝟐𝟐 + 𝟕𝟏𝟏 𝟐𝟎𝟐𝟎𝟎 1 𝟕𝟏𝟏 = − 𝟕𝟏𝟏 + −3 81 = 𝟏 𝟖 1 8 −𝟓𝟎 𝟏 𝟔 − −𝟏 − −𝟗𝟎 + −𝟐𝟎𝟐𝟏 1 6 𝟎 −𝟏 +1 = 8 −6+1 = 𝟑 Entonces: 𝐴 = C) 243 1 𝟒 + 711 1 ∴ 𝑨. 𝑩 = 𝟖𝟏 . 𝟑 = 𝟐𝟒𝟑 Clave C = 𝟖𝟏 2. Calcule el valor de 𝐴 + 𝐵 si 422 . 446 y 𝐴= 70 4 𝐵= A) 1 24 6 . 27 B) 3 2 27 D) 1 2 1 8 Resolución 𝟔 𝑩 = Recordar 𝟐 𝟒 . 𝟐𝟕 𝒃𝒎 . 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎+𝒏 𝒃𝒎 = 𝒃𝒎−𝒏 𝒏 𝒃 𝒃𝒎 𝒏 = 𝒃𝒎.𝒏 𝟐𝟕 𝟒𝟐𝟐 . 𝟒𝟒𝟔 422+46 4𝟔𝟖 𝟏 −𝟐 𝑨= = = 70 = 4 = 𝟒𝟕𝟎 470 4 𝟏𝟔 1 4 E) 1 16 𝟑 𝟐 2𝟐𝟒 . 2𝟐𝟏 2𝟒𝟓 𝟏 −𝟒 = = = = 2 249 𝟏𝟔 2𝟒𝟗 Por lo tanto: 𝑨+𝑩 = Tenemos: C) 1 1 2 𝟏 + = = 16 16 16 𝟖 Clave D 3. Calcule el valor de 𝐸 si 2 𝐸= 1 −2 2 + 3 −2 2 + 5 A) 5 −2 2 + 7 B) 12 C) 15 −2 D) 18 E) 21 Resolución Recordar 𝒂 𝒃 𝐸= −𝒏 = 𝒃 𝒂 𝒏 ; 𝒂, 𝒃 ≠ 𝟎 = Tenemos: 𝟐 𝑬= 𝟏 1 = 2 1 9 25 49 + + + 4 4 4 4 1 + 9 + 25 + 49 84 = 4 4 ∴ 𝑬 = 𝟐𝟏 −𝟐 2 𝟐 + 𝟑 3 + 2 −𝟐 2 𝟐 + 𝟓 5 + 2 2 −𝟐 𝟐 + 𝟕 7 + 2 2 −𝟐 Clave E 4. Reduzca la siguiente expresión: 51 × 52 × 53 × 54 × ⋯ × 510 52 × 5 52 A) 525 B) 523 C) 551 D) 528 E) 530 Resolución Entonces: Recordar 𝒃𝒎 × 𝒃𝒏 × 𝒃𝒑 = 𝒃𝒎+𝒏+𝒑 5𝟏+𝟐+𝟑+𝟒+⋯+𝟏𝟎 𝐸= 52 × 5𝟐𝟓 Pero: 𝟏 + 𝟐 +𝟑 + 𝟒 + ⋯+𝒏 = 𝒏× 𝒏+𝟏 𝟐 10 × 11 = 𝟓𝟓 2 Luego: Tenemos: 𝑬= 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 10 = 𝟓𝟏 × 𝟓𝟐 × 𝟓𝟑 × 𝟓𝟒 × ⋯ × 𝟓𝟏𝟎 𝟓𝟐 × 𝟓𝟓 𝟐 555 𝐸 = 27 = 5𝟓𝟓−𝟐𝟕 5 = 𝟓𝟐𝟖 Clave D 6 5. Simplifique la siguiente expresión 3 𝑥 3 2 . 𝑥 −2 . 𝑥 5 𝑥3. 𝑥3 . 𝑥3. ⋯ . 𝑥3 10 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 ; 𝑥 ≠ 0 e indique el exponente final de 𝑥. A) 165 B) 195 D) 170 C) 170 E) 180 Resolución Luego: Tenemos: 𝟐 𝒙𝟑 𝟔 𝟑 . 𝒙 −𝟐 . 𝒙𝟓 𝑴 = 𝟑 𝟑 𝟑 𝒙 . 𝒙 . 𝒙 . ⋯ . 𝒙𝟑 𝑀 = 𝑥195−30 = 𝒙𝟏𝟔𝟓 Por lo tanto, el exponente final de 𝒙 es: 𝟏𝟎 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 = 𝑥𝟔 . 𝑥 𝟔𝟒 𝑥3 𝑥 𝟏𝟗𝟓 = 𝑥 𝟑𝟎 . 𝑥 𝟏𝟐𝟓 165 𝟏𝟎 Clave A 6. Determine 𝒙𝟐 dada la siguiente igualdad 33𝑥−1 . 92−𝑥 . 3𝑥−5 = 81 A) 100 B) 81 D) 9 Resolución E) 4 33𝑥−1 . 3𝟒−𝟐𝒙 . 3𝑥−5 = 34 Recordar Sumamos los exponentes ya que tienen la misma base 𝒃𝒎 = 𝒃𝒏 ↔ 𝒎 = 𝒏 33𝑥−1 + 4−2𝑥 + 𝑥−5 = 34 32𝑥−2 = 34 Tenemos la ecuación: 𝟑𝟑𝒙−𝟏 . 𝟗𝟐−𝒙 . 𝟑𝒙−𝟓 = 𝟖𝟏 . 2−𝑥 𝟑𝟐 . 3𝑥−5 ↔ 2𝑥 − 2 = 4 ↔ Trabajamos con la base 3: 33𝑥−1 C) 64 Por lo tanto: = 𝟑𝟒 𝒙𝟐 = 𝟑𝟐 𝒙 = 𝟑 = 𝟗 Clave D 7. Si 𝐴 = 0,25 −0,5 + 0,01 −0,5 y 𝐵 = 27 0 3−2 Resolución 1 4 1 100 + = 4 1 2 + 100 1 2 = 27 𝟎 𝟑−𝟐 1 3 + 𝟖𝟏 −1 4 = 𝒏 𝐴= 41 = = −𝟏 273 3 27 𝟎 −5 + 814 1 + 814 =𝟔 3 𝒃𝒎 2 𝟎𝟒 −𝟓 𝟒 + 81 4 = 3 + 81 𝒎 𝒃𝒏 C) 36 E) 144 𝑩 = 𝟐𝟕 1 − 2 Recordar Luego: B) 24 Para 𝐵 obtenemos las potencias definidas en la expresión: Para 𝐴 reemplazamos los decimales por su respectiva fracción equivalente: 𝐴= A) 18 D) 72 Calcule el valor de 𝐴. 𝐵 . 1 − 2 + 81 04 −5 4 + = 2 + 10 2 1001 = 𝟏𝟐 ∴ 𝑨. 𝑩 = 𝟏𝟐 . 𝟔 = 𝟕𝟐 Clave D 8. Reduzca la expresión: 3 A) 3 27− 48+ 75 12 E) 27 Entonces, aplicando radicación se obtiene: Recordar 𝒂 × 𝒃 = C) 3 D) 9 Resolución 𝒏 B) 3 3 𝒏 𝒂 × 𝒏 la propiedad de la 9 × 3 − 16 × 3 + 25 × 3 𝒃 𝐸= 4× 3 3 3 3−4 3+5 3 = Tenemos: 2 3 3 4 3 9 × 3 − 16 × 3 + 25 × 3 𝐸= 3 4×3 = 3 2 3 = 3 𝟐 =𝟑 Clave C 9. Reduzca la siguiente expresión: 𝑃 = 𝑥 𝑥 𝑥3 B) 𝑥 4 A) 𝑥 𝑥7 ; 𝑥 > 1 C) 𝑥 𝑥 D) 𝑥 6 Resolución E) 𝑥 2 𝑥 Luego: 𝒏 𝒙𝒏 = 𝒙 Recordar: 𝑃= 𝑥 𝟏𝟐 = 𝒙𝟔 Tenemos: 𝑷 = 𝒙 𝒙 𝒙𝟑 𝒙𝟕 = 𝑥 = 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 3 𝟏+𝟏+𝟑+𝟕 𝑥 7 Clave D 10. Si 𝑥 es un número real tal que 2𝑥 = 10 , calcule el valor de la expresión 6 + 101 𝑥 𝑥 . Resolución A) 10 B) 20 C) 40 D) 100 E) 1000 Efectuamos y obtenemos: Se pide la expresión: 𝐸 = 𝑬 = 𝟔 + 𝟏𝟎𝟏 𝒙 𝒙 = 8 Reemplazamos a 𝟏𝟎 por su equivalente 𝟐𝒙 𝐸= 6 + 𝟐𝒙 = 6+ 2 1 𝑥 𝟏 𝒙. 𝒙 𝑥 6 + 21 𝑥 𝑥 𝑥 = 23 𝑥 = 2𝑥 3 = 𝟏𝟎 3 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 Clave E 11. Simplifique la siguiente expresión: 3 𝐸= 27 . 4 23 . 210 A) 1 B) 2 C) 2 D) 4 E) 8 Resolución 𝐸= Recordar 𝒏 3 27 . 𝟒 𝟐𝟖 = 3 29 = 23 𝒃𝒎 × 𝒏 = 𝒃𝒎 𝟐𝟐 Tenemos: ∴ 𝑬 =𝟖 3 𝐸= 27 . 4 23 . 𝟐𝟏𝟎 Clave E 𝟐𝟓 12. Halle el valor de 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 si se cumple que 63 = 𝑥 𝑥 A) 7 B) 13 C) 43 2 Resolución D) 73 E) 90 Aplicando la propiedad exponencial se obtiene: Recordar 𝒕𝒕 = 𝒏𝒏 → 𝒕 = 𝒏 de la ecuación 𝒙𝟐 = 𝟔 ∴ 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 = 𝟏 + 𝟔 + 𝟑𝟔 = 𝟒𝟑 𝟐 𝟔𝟑 = 𝒙𝒙 Tenemos: Elevamos al cuadrado a cada miembro 𝟐 63 = 𝑥𝒙 66 = 𝑥2 𝟐 𝟐 𝑥2 Clave C 13. Halle el valor de 𝐴. 𝐵 𝐴= 2 3 y 3 2 4 si A) 1 𝐵= 3 3 B) 2 D) 36 2 3 Resolución E) 216 Multiplicamos 𝐴 . 𝐵 término a término: Recordar 𝐴. 𝐵 = 𝒎 𝒂. C) 6 𝒏 𝒑 𝒃. 𝒄= 𝒏 𝒏 𝒎 𝒂. 𝒃 = 𝒂. 𝒏 𝒎.𝒏 𝒃. 𝒎.𝒏.𝒑 𝒄 → 𝐴. 𝐵 𝟒 = 6 . 6 𝟒 6 6 . 12 𝟒 12 6 . 6 . 3 2 3 3 3 = 62 . 6 . 6 𝒂 .𝒃 = 62 . 6 6 6 𝟒 1 Tenemos las expresiones: = 36 . 6 = 𝟐𝟏𝟔 𝐴= 2 𝐵= 3 3 3 3 2 = 2 . 6 2 3 = 3 . 6 3. 12 2. 12 2 3 Clave E 14. Si 𝑥 e 𝑦 son positivos, simplifique la expresión 𝐸 . 𝑥3 . 3 B) 2𝑥 𝑦. D) 3 𝑥3 Resolución 𝑥 𝑦 Aplicando la propiedad de los radicales, se obtiene: 𝐸= 𝒂. 𝑥 𝑦 E) 2 Recordar 𝒎 C) 64 . 𝑦 2 𝐸= 3 A) 𝑥 𝒏 𝒑 𝒃. 𝒄= 𝒎 𝒂. 𝒎.𝒏 𝒃. 𝒎.𝒏.𝒑 𝑥3 . 3 𝒄 6 64 . 𝑦 2 6 𝑦 . 𝑥3 3 𝟔 = 𝑥 . 𝟔𝟒 . 6 𝑦.6 𝑥 3 3 𝑦2 3 Tenemos la expresión: 𝟑 𝒙𝟑 . 𝟔𝟒 . 𝒚𝟐 𝑬= 𝟑 𝒚 . 𝒙𝟑 𝑥 . 𝟐. 3 𝑦 2 = 3 =2. 𝑥 𝑦. 𝑥 = 𝟐𝒙 Clave B 15. Se corta en cada esquina de una cartulina rectangular un cuadrado de 2 cm de lado, y la cartulina sobrante se dobla hacia arriba para formar una caja abierta. Se requiere que la caja mida 2𝑥 cm de ancho y su largo sea el cuádruple del ancho. Si el volumen de la caja obtenida es 2048 𝑐𝑚3 , determine el ancho de la caja. Resolución 𝟐 B) 8 𝑐𝑚 D) 4 𝑐𝑚 𝟐 Entonces: 𝟐 𝟐 𝟐 𝒂 𝒉=𝟐 𝒍 𝟐 C) 16 𝑐𝑚 E) 32 𝑐𝑚 Pero, se sabe que: 𝟐 𝟐 A) 2 𝑐𝑚 𝑽 = 𝒍 × 𝒂 .× 𝒉 2048 = 4 2𝑥 ∙ 2𝑥 ∙ 2 211 = 22 . 2𝑥 . 2𝑥 . 21 → 211 = 23+2𝑥 → 11 = 3 + 2𝑥 → 𝒙 = 𝟒 𝑎 = 2𝑥 Por dato: 𝑙 = 4(2𝑥 ) 𝑉 = 2048 ∴ 𝒂 = 𝟐 𝒙 = 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 cm Clave C w w w. academ iacesar val lej o.edu .pe
