MATEMÁTICAS GRUPOS C, D, y E 4 de JUNIO de 2004
1.− Defina los siguientes conceptos: Dirección de crecimiento. Derivada parcial. Autovector. Extremo
relativo.
(1 punto)
2.− Demuestre que en toda aplicación lineal f, Ker f e Isomorfismo f son subespacios vectoriales.
(1 punto)
3.− Sea f: R3 R3 la aplicación lineal dada por:
f (x,y,z) = (ax − 3y − z , 2y + 2z , ax + ay + 3z)
a) calcule a para que la imagen del vector (1, −1, 1) sea el vector (3, 0, 3)
b) Para ese valor de a, calcule el núcleo y la imagen de f, indicando bases de ambos.
c) ¿Cuál será la matriz de f si en R3 consideramos la base B= { U1, U2, U3 } siendo U1= (1, 1, 1), U2= (0, 1,
1) y U3= (0, 0, 1)?
(2 puntos)
4.− Consideremos la forma cuadrática: Q (X1, X2, X3)= − 2x1.x2 − 2x1.x3 − 2x2x3. Halle los autovalores y
autovectores de su matriz asociada, escribiendo su forma diagonal y clasificándola.
(1, 5 puntos)
5.− Dadas las funciones f (x, y, z) = ( x . Ln y + z, ð x.y +z , Ln z/y) y
g(u, v, w)= (uv , Ln (u2 + v2), ew), calcule hv (2, 1, 2) siendo h = gof y
v = (1, 1, −3).
(2 puntos)
6.−Extremos relativos de f (x, y, z) = Ln x.y2 . z3 condicionada por
x + 2y + 3z = 7
(2, 5 puntos)
CURSO 2003/2004
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