ALGUNOS CONCEPTOS SOBRE PRUEBA DE HIPOTESIS (3) Mario Gabriel Gómez Urquiza PRUEBAS DE HIPÓTESIS CON DESVIACIÓN ESTANDAR POBLACIONAL DESCONOCIDA En todos estos problemas, hemos supuesto, que se conoce la desviación estándar poblacional. En muchos casos, este valor, nos es desconocido. Entonces utilizamos la desviación estándar muestral y, en lugar de utilizar la distribución normal, para diseñar nuestra prueba, utilizamos la t de Student; con los mismos criterios vistos en clase. El número de grados de libertad es el tamaño de muestra menos uno (n-1). Tenemos la ventaja de que la tabla correspondiente nos arroja los valores necesarios directamente. La fórmula, para la primera técnica que vimos sería: 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥̅ − 𝜇𝜇 𝑠𝑠 ∕ √𝑛𝑛 En el caso de la segunda técnica, con los valores críticos para la media muestral, las fórmulas son: 𝑥𝑥̅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜇𝜇 + 𝑡𝑡 𝑠𝑠 ∕ √𝑛𝑛 (para la cola derecha). (3) 𝑥𝑥̅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜇𝜇 − 𝑡𝑡 𝑠𝑠 ∕ √𝑛𝑛 (para la cola izquierda). Repasemos algunos ejemplos ya realizados, pero ahora suponiendo que la desviación estándar es muestral. Ho: 𝜇𝜇 = 100 H1: 𝜇𝜇 ≠ 100 Como datos tenemos: El tamaño de muestra n= 64 y la desviación estándar muestral es 16. Se requiere un nivel de significación de 5%, por lo que la tabla de la t (para 63 grados de libertad y un nivel de significación del 0.05, para el arroja el valor de t = 1.998. Eso significa que si la t de la muestra, que podremos calcular, en cuánto tengamos la media muestral, está entre -1.998 y 1.998 (recordemos que es una prueba de dos colas), no rechazaremos Ho: En caso de que la t de la muestra sea menor (más negativa); o mayor a los valores antes citados, tendremos que rechazar Ho. Vamos a suponer que la media muestral fue de 103.5. Sustituyendo tenemos: 𝑡𝑡 = 103.5−100 16∕√64 = 1.75 Dado que la t calculada con la media muestral está entre los valores de -1.988 y 1.988; no tenemos motivos para rechazar Ho. Trabajando el mismo problema con la segunda técnica que trabajamos, tenemos que calcular los valores críticos a izquierda y derecha 𝑥𝑥̅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 100 + 1.988 ( 16 ∕ √64) = 103.98 𝑥𝑥̅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 100 − 1.988 ( 16 ∕ √64) = 96.02 Debe notarse, que estos valores, son valores calculados, todavía no vamos al campo a obtener nuestra muestra y la media de nuestra muestra. Lo que estamos estableciendo es qué, cuando saquemos la media de nuestra muestra, si esa media está entre 96.08 y 103.92, creeremos Ho, es decir, no la rechazaremos; en cambio, si la media muestral es menor que 96.02 o mayor que 103. 98, rechazaremos Ho. Como la media muestral (103.5), está entre esos dos valores, no tenemos elementos para rechazar Ho. Nos podemos percatar, si comparamos el intervalo de no rechazo, manejado con la z con el calculado con la t; que el segundo es mayor. Es decir, qué, dada la incertidumbre mayor, que tenemos, al desconocer la desviación estándar poblacional, somos menos estrictos, en nuestro criterio de rechazo de Ho. Veamos el problema de una cola. Ho: 𝜇𝜇 ≤ 100 H1: 𝜇𝜇 > 100; se desea un nivel de singificación del 5%. Para la primera técnica, consultaríamos la tabla de la t de student. Para la prueba de una cola, nivel de significación de 5% y 63 grados de libertad, y encontraríamos t= 1.669. Este es el valor de la tabla. Vamos a suponer que la media muestral fue, como en el ejemplo anterior, de 103.5, la desviación estándar es 16, el tamaño de muestra 64. Calculemos el valor de t de la muestra para comparar. 𝑡𝑡 = 103.5−100 16∕√64 = 1.75 El valor de la t de la muestra (1.75), rebasa hacia la derecha, el valor de prueba que obtuvimos de la tabla (1.559). Por ello, nos vemos obligados a rechazar Ho. Veamos la segunda técnica. Como datos tenemos: El tamaño de muestra n= 64 y la desviación estándar muestral es 16. Se requiere un nivel de significación de 5%, por lo que t, para una prueba de una cola y 63 grados de libertad es, t = 1.669 1. Dado que es una prueba de una sola cola, solamente calculamos un valor crítico: Nuestra tabla de la t de student nos arroja el valor directamente. Vean en la tabla, que el tercer renglón del encabezado dice “Nivel de significancia para una prueba de una cola, α” y, en el cuarto renglón, la segunda columna dice “0.05. En esa columna y en 63 grados de libertad, está el valor que buscamos. 1 𝑥𝑥̅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 100 + 1.669 ( 16 ∕ √64) = 103.339 Vale la pena recalcar, nuevamente, que este es un valor calculado en el gabinete. Para recabar la media muestral, todavía tenemos que ir al campo a recolectar nuestros datos. Vamos a suponer que la media muestral fue, como en el ejemplo anterior, de 103.5. Vemos que el valor de la media muestral, rebasa el valor crítico calculado (103.339), por lo que nos vemos obligados a rechazar Ho. Debemos tener en cuenta, que si la prueba es de cola izquierda, tendríamos que usar la fórmula de cola izquierda, por lo que en lugar del signo de más, después de la media hipotética, tendríamos uno negativo. Ejercicios Estudiar Lind, capítulo 10.8, pp. 348 a 352. Resolver los ejercicios 10, 12 y 14, por las dos técnicas.
