bloque01 matrices ejercicios

 1 0 1 
 1 0
 5  3 4




Sean las matrices A   0 m
3  , B   3 2 y C  

  3  2 2
4 1 m
 1 1




a) Indica los valores de m para los que A es invertible.
b) Resuelve la ecuación XA  B t  C para m  0 . ( B t es la matriz traspuesta de B)
MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) La matriz A tiene inversa si su determinante es distinto de cero, luego:
1
1
0
A  0 m
4
1
3   m 2  4m  3  0  m  1 ; m  3
m
Por lo tanto, la matriz A tendrá inversa para todos los valores de m  1 y m  3 .
b) Calculamos la matriz inversa de A.
  3 12 0 
  3 1 0  
1




  1
0

1
4

1
12
4

3
3



 





d t
0
0 1 0  
(A )  0 3
4

1
A 


 4 
1


A
3
3
3


1
 0
0 

3


t
Resolvemos la ecuación matricial y calculamos la matriz X.
1


0
 1
3



5

3
4
1
3

1


 
 
 6 3 0
4
t
t
1
XA  B  C  X  (C  B )  A  
1  

    4 
   3 0 0 
3
  3  2 2   0 2 1   

1
 0
0 
3


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2
 5 4


Sea la matriz A   2  1
1
4
4  1 

a) Comprueba que se verifica 2A  A 2  I
b) Calcula A  1 . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).
MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a)
2A  A
 10

 4
 8

2
2  5  4
 5 4

 
 2   2 1
1    2 1
4
4  1    4
4

8
4  9 8
4 1
 
 
2
2   4 3
2  0
8  2    8
8  3   0
2  5  4
 
1    2 1
 1    4
4
0 0

1 0
0 1 
2

1 
 1 
b) De la igualdad del apartado a se deduce que:
2 A  A 2  I  A   2I  A  I  A 1  2I  A
1 0 0  5  4

 
Luego: A1  2   0 1 0    2 1
0 0 1  4
4

 
2  3
4 2
 

1   2
3 1 
1   4  4
3 
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0
 1 2
3
Considera las siguientes matrices A  
 y B

 0 1
 2 1
a) Calcula A  1 .
b) Resuelve la ecuación matricial A  X  A t  B  2 I , donde I es la matriz identidad de orden 2 y
A t es la matriz traspuesta de A.
MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a)
0
 1
1  2




d t
0 1   1 2 
( A )   2 1 
1




 A 

A
1
1
 0 1
t
b)
0
 1 2   a b   1 0    3
1 0


 

  2

 0 1   c d   2 1   2 1 
0 1
0  2 0
  a  2c  b  2d    1 0    3





c
d

  2 1   2 1   0 2 
 a  2c  2b  4d

 c  2d

 a  2c  2b  4d

 c  2d

 b  2d   2

d
 0
 b  2d    1

d
  2
0 3

2  2
0

1
0

1 
a  2c  2b  4d   1

 b  2d  0


  a  1 ; b  2 ; c  0 ; d  1
 c  2d  2


d 1
 1 2 
Luego: X  

 0 1
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Obtén un vector no nulo v  (a , b, c ) , de manera que las matrices siguientes tengan
simultáneamente rango 2.
0 a
1 1 a 
2




A  1 0 b
B   0 1 b
1 1 c 
3
1 c 



MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Para que el rango (A) = rango (B) = 2, sus determinantes deben valer cero, luego:
1 1 a
1 0 b  b acb  ac  0
1 1 c
2
0
3
Resolviendo el sistema, tenemos que:
0 a
1 b  2c  3a  2b  0
1 c
ac  0

c
 a c ; b  ; c c
3a  2b  2c  0 
2
 c 
Luego, el vector que nos piden es v   c, , c  , siendo c cualquier número distinto de cero.
 2 
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a b
De la matriz A  
 se sabe que det ( A)  4 . Se pide:
c d
2a 
 2b
a) Halla det (  3 A t ) y det 
 . Indica las propiedades que utilizas.
 3 d  3c 
b) Calcula det ( A  1  A t )
c) Si B es una matriz cuadrada tal que B 3  I , siendo I la matriz identidad, halla det ( B ) .
MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a)
det ( 3 A t )  ( 3) 2 det( A t )  9  det( A)  9  4  36
 2b
det 
 3 d
2a 
b
  2  ( 3) det 
 3c 
d
a
a b 
   6  (1) det 
  6  4  24
c
c d 
Si en un determinante cambiamos dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
Si en un determinante hay un número que multiplica a una fila o columna, dicho numero sale fuera
multiplicando al determinante.
b) det ( A 1  A t )  det( A 1 )  det( A t ) 
1
 det( A)  1
det( A)
c) det ( B 3 )  det( B  B  B)  det( B)  det( B)  det( B)  det( B)  1  det( B)  3 1  1
3
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0
0
1
2
 1 0
3 1


Sean las matrices A  
 , B   0 1 1 y C  

 1 1
 0 1  2
0

1
2

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB  C
MATEMÁTICAS II. 2010. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
 1 0  a b
La ecuación que tenemos que resolver es: 

 1 1   d e
1
c 
 0
f  
0
0
1
1
0
2
 3 1
1   

0 1 2

2
0
0
1
2
 
 3 1
   0 1 1   

b  e c  f  
0
1

2


1
2 
0
b  c
 b  2c   3 1
2
 a



  a  d b  e  c  f b  e  2c  2 f   0 1  2 
a3


b  c 1


 b  2c  2

  a  3 ; d  3 ;c  1 ; b  0 ; f   2 ; e   4
a  d  0


b ec  f 1

b  e  2c  2 f   2 
 a

a  d
b
c
0
1
3
Luego, la matriz que nos piden es: X  

3  4  2
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0
 1
Dada la matriz A  

1
 1
a) Calcula los valores de  para los que la matriz A 2  3 A no tiene inversa.
b) Para   0 , halla la matriz X que verifica la ecuación A  X  A  2 I , siendo I la matriz
identidad de orden 2.
MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la matriz A 2  3 A :
0    1
0    1
0    2  5  4
0
  1
A 2  3A  


3

 
 

1   1
1   1
1     3
2
 1
Calculamos el determinante de dicha matriz
A 2  3A 
 2  5  4
3
0
2
  2 2  10  8  0    1 ;    4
Luego, la matriz A 2  3 A no tiene inversa para   1 y    4 , ya que su determinante vale cero.
b) Resolvemos la ecuación matricial.
a 1


0   a b  1
0  2 0  a
b   1 0 b  0
1









 
 
 
 
 

1 1   c d  1 1   0 2   a  c b  d   1 3  a  c  1
b  d  3 
0
1
Resolviendo el sistema, tenemos que la matriz que nos piden es: X  

2 3
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Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son A 
1
y B  2.
2
Halla:
a) A 3
b) A  1
c)  2A
d) AB t , siendo B t la matriz traspuesta de B.
e) El rango de B.
MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
1 1 1 1
a) A 3  A  A  A  A  A  A    
2 2 2 8
b) Sabemos que: A  A1  I  A  A1  A  A1  I  1  A1 
será: A1 
1
; luego en nuestro caso
A
1
1
 2
1
A
2
c) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que k  A  k n  A ; en nuestro
1
caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que:  2 A  ( 2)3  A  ( 8)    4
2
1
d) A  B t  A  B t  A  B   ( 2)   1
2
e) Como B   2  0 , el rango de B es 3.
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3
4
 0


Dada la matriz A   1  4  5 
 1
3
4 

a) Demuestra que se verifica la igualdad A 3   I , siendo I la matriz identidad de orden 3.
b) Justifica que A es invertible y halla su inversa.
c) Calcula razonadamente A 100
MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a)
 0 3 4   0 3 4   1 0 1 

 
 

A   1 4 5    1 4 5    1 4
4
 1
3 4   1
3 4   1 3 3 

 0 3 4   1 0 1   1 0 0 

 
 

3
A   1 4 5    1 4
4    0 1 0 
 1
3 4   1 3 3   0 0 1 

Luego, se cumple que A 3   I
2
0
b) Calculamos A 
3
4
1  4  5  15  12  16  12  1  0  Tiene inversa
1
3
4
Calculamos la inversa
1
 1 1 1 
 1 0




4
4
 0 4  3
 1
 1  3  3   1 0 1 
( Ad )t  1 4  3 
1
   1  4  4 


 A 


A
1
1
 1

3
3


t
c)
A
100
 0 3  4


 A  A  ( A )  A  ( I )  A   A    1
4
5
 1 3  4


99
3 33
33
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0 0
1
 0 0 1




Considera las matrices A   0
 1  y B   1 0 0
 0 1  
 0 1 0




a) ¿Hay algún valor de  para el que A no tiene inversa?.
b) Para   1 , resuelve la ecuación matricial A  1  X  A  B
MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A.
A   2  1  0  No hay ningún valor real de  para el cual el determinante valga cero,
luego, siempre tiene inversa
b) Calculamos la matriz X:
A 1  X  A  B  A  A 1  X  A  A 1  A  B  A 1  X  A  B  A 1
Calculamos la inversa de A:
2 0

0 1
d t
( A )  0 1
1
A


 
A
2
t
0
2


1
0

0
1

2

0
0 0   0 0 1  
1

 
 0
X  A  B  A 1   0 1 1    1 0 0   
 0 1 1   0 1 0 

 

0
1
1
0

1 
1 
2
0

1 1 
 0 1 1
1 1  1 

  2 1 1
2
2

  2 1 1
0
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Sean A y B dos matrices que verifican:
 4 2
 2 4
A B  
 y A B  

 3 2
 1 2
a) Halla las matrices ( A  B )( A  B ) y A 2  B 2
b) Resuelve la ecuación matricial XA  XB  ( A  B ) t  2 I , siendo I la matriz unidad de orden 2 y
( A  B ) t la matriz traspuesta de A  B
MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Resolvemos el sistema:
 4 2 
A B  
 
6 6
3 3
 3 2 
  2A  
; A  

 2 4 
 2 4
1 2
A B  

 1 2  
 3 3   2 4   1 1 
Sustituyendo, tenemos: B  



0
 1 2   1 2   2
 4 2   2 4   6 20 
Calculamos: ( A  B)( A  B )  



 3 2   1 2   4 16 
 3 3   3 3  12 15 
A2  



1 2 1 2  5 7 
 1 1   1 1   1 1 
B2  



0  2
0  2  2
2
12 15   1 1  13 16 
A2  B 2  



 5 7   2  2  3 9 
b) Resolvemos la ecuación matricial: XA  XB  ( A  B) t  2 I  X ( A  B)  ( A  B) t  2 I
 a b   2 4   4 3   2 0   2a  b 4a  2b   6 3 







 c d   1 2   2 2   0 2   2c  d 4c  2d   2 4 
2a  b  6 
4a  2b  3 
15
9
; b   ; c 1 ; d  0
a 
2c  d  2 
8
4
4c  2d  4 
9
 15
 
Luego, la matriz que nos piden es: X   8
4


0 
1
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
 3 0


Sea la matriz A    5   5 
  0
3 

a) Determina los valores de  para los que la matriz A  2 I tiene inversa, siendo I la matriz
identidad de orden 3.
b) Para    2 , resuelve la ecuación matricial AX  2 X  I
MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
 3 0

a) Calculamos la matriz A  2 I    5 
  0

 2 0 0  1
0
 
 
5   0 2 0   5   2
3   0 0 2   
0


5 
1 
Igualamos el determinante de dicha matriz a cero:
1
0
5   2

0

 5    2   3  2 2  0    1 ;    1 ;   2
1
Luego, la matriz tiene inversa para todos los valores de   1,  1 y 2
b) Resolvemos la ecuación matricial:
AX  2 X  I  AX  2 X  I  ( A  2 I ) X  I  X  ( A  2I ) 1  I
4

 0
d t
(( A  2 I ) )   8
1

 A  2I  
A  2I
15  8 
0 8 
4



3
0
 15  3 15 
 8
15  4 
0  4 


12
12
t
0 8 
4
1

Luego, la matriz es X   15  3 15 
12 
0  4 
 8
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1
 1
Dada la matriz A  

 2  1
a) Demuestra que A 2  2 A  I y que A  1  A  2 I , siendo I la matriz identidad de orden 2.
b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación: A 2  XA  5 A  4 I
MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a)
1  1
1  3  2 
 1
A2  



3
 2 1   2 1    4
2 1 0
 3  2   2
A2  2A  


  I  Es cierto.
3   4 2 0 1
4
Multiplicamos la igualdad anterior por A 1 a la izquierda:
A 2  2 A  I  A 1  A  A  2 A 1  A  A 1  I  A  2 I  A 1  Es cierto
b) Vamos a resolver la ecuación matricial A 2  XA  5 A  4 I :
Multiplicamos por A 1 a la derecha.
A 2  XA  5 A  4 I  A  A  A 1  X  A  A 1  5 A  A 1  4 I  A 1  A  X  5I  4 A 1  X  4 A 1  A  5I
Sustituimos A 1  A  2I
  1
X  4 A 1  A  5I  4( A  2 I )  A  5I  3( A  I )  3  
 2
1  1 0    0 3 

  

1   0 1    6 0 
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1 1
 
0


 
Dadas las matrices A   1
 1 y B   1 
 1 1
1
 

 
a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores  .
b) Para   2 , resuelve la ecuación matricial A  X  B .
MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A y los igualamos a cero:

1
1
1

1   3  3  2  0    1 ;    2
1
1
A 

Calculamos el rango de A para los distintos valores:
R(A)
 1
1
  2
2
 1 y 2
3
b) Calculamos la matriz inversa de A para   2 .
 A
1
( Ad ) t


A
 3 1

 1 3
 1 1

4
1
 3 1 1 



1
 1 3 1 
 1 1 3
3 


4
t
Resolvemos la ecuación matricial.
 3 1 1   0   0 
1 
    
A  X  B  X  A  B    1 3 1    1    1 
4 
    
 1 1 3  1   1 
1
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  1
 1 3 1
Sean las matrices A  
 y B

 1 4 2 
   3
1
A.
12
b) Para    3 , determina la matriz X que verifica la ecuación A t  X  B , siendo A t la matriz
traspuesta de A.
MATEMÁTICAS II. 2011. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
a) Calcula los valores de  para los que la matriz inversa de A es
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la matriz inversa de A
 3 
 3 1 




d t
 
( A )  1  
1


 A 
A
4
4
t
3


1    1   3
 

     3   4


4
12
 1

 4

1   
4   12

1   
 
4   12
El único valor que verifica todas las igualdades es    3
b) Calculamos la matriz inversa de A para    3 :  A  
1
3
 

1  4 12 

1
1
12 
     3

1
4 12 

 
4 1

4
12 
3


1   3 1 
 

    3  3

4
 12
Por las propiedades de las matrices sabemos que:  A t    A 1  , luego, la aplicamos para resolver
1
t
la ecuación matricial
A t  X  B  X  ( A t ) 1  B  ( A 1 ) t  B  
1  3  3  1 3 1 
1 6 3 3


 

12  1  3   1 4 2 
12  2 15  7 
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0 0 1


Sea la matriz A   2 1 2 
 1 k 1


a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A?. Justifica la respuesta.
b) Para k  0 , resuelve la ecuación matricial ( X  I )  A  A t , donde I denota la matriz identidad
y A t la matriz traspuesta de A.
MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A.
A  2k  1  0  k 
Luego, la matriz A no tiene inversa para k 
1
2
1
, ya que su determinante vale cero.
2
b) Calculamos la matriz inversa de A para k  0 .
 1 0 1 
 1 0 1 




 0 1 0 
 0 1 2   1 0
1
 1
2 0 
0 0  
( Ad )t  1
1




  0 1  2
 A 
A
1
1
 1 0
0 

t
Resolvemos la ecuación matricial:
( X  I )  A  At  X  A  I  A  At  X  A  At  I  A
Si multiplicamos por A 1 a la derecha, tenemos:
X  A  A t  I  A  X  A  A 1  A t  A 1  I  A  A 1  X  A t  A 1  I
Calculamos la matriz que nos piden:
1 1 0 0 1 2 4 1 0 0 0 2 4
 0 2 1   1 0

 
 
 
 
 

X  A  A  I  0 1 0 0 1  2  0 1 0  0 1  2  0 1 0  0 0  2
1 2 1  1 0
0   0 0 1   0 2  3   0 0 1   0 2  4 

 
t
1
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Considera las matrices:
 1 2 0
 0 1
 1 2 0


A   0 1 2
B
C 


 1 0
 1 1 2
1 2 1


Determina, si existe, la matriz X que verifica: A  X  B  C t , siendo C t la matriz traspuesta de C.
MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
A X  B  C t  A1  A X  B  B 1  A1 C t  B 1  X  A1 C t  B 1
Calculamos la matriz inversa de A
2 1 
4
 3
 3  2




1 0
1 2
2
 2
4
 3 2
 1
0
1  
( Ad )t  4  2 1 
1




 2
1 2
 A 
A
1
1
 1
0
1 

t
Calculamos la matriz inversa de B
 0 1 
 0 1 




d t
0
1
0 0 1
( B )  1
1




 B 

B
1
1
1 0
t
Calculamos la matriz X
1
X  A C  B
t
1
4   1 1 
 3 2
 1

 
 0 1 
 2
1  2  2 1
 0
1 0 
 1



0
1  0 2

 1
3
 3
 0 1 
1   
   1
1 0 

1
 1
1 

0
1 
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Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA  A 3 B  A , siendo
0
 0 0 1
 2 1




A   0 1 0 y B   0
2 1
 1 0 0
 1
0
2 



MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos la inversa de A:
 0 0 1 
 0 0 1 




0
 0 1 0 
 0 1
0 0 1
 1
0 0 
0
0  
( Ad )t  1
1




 0 1 0  A
 A 
A
1
1
1 0 0


t
Calculamos la matriz X: Si multiplicamos por A 1 a la derecha, tenemos:
X  A  A 3 B  A  X  A  A 1  A 3  B  A 1  A  A 1  X  I 3  A 3  B  A 1
0 0 1 0 0 1 1 0 0

 
 

A  A A   0 1 00 1 0  0 1 0
1 0 0 1 0 0 0 0 1

 
 

1 0 0 0 0 1 0 0 1

 
 

3
2
A  A  A  0 1 00 1 0  0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0

 
 

0   1
0
2
 0 0 1   2 1

 
 

3
A  B  0 1 0 0
2 1    0
2 1 
 1 0 0   1
0
2   2 1
0 

 
0
2   0 0 1   2 0 1 
 1

 
 

3
1
A B A   0
2 1    0 1 0    1
2
0
 2 1
0   1 0 0   0 1
2 

0
1
 1 0 0   2 0 1   1

 
 

3
1
X  I 3  A  B  A   0 1 0    1
2
0    1 1
0
 0 0 1   0 1
2   0 1 1 

 
2
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 3  2
  2 1
Dada la matriz A  
 , sea B la matriz que verifica AB  
.
1
5
 7 3
a) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.
b) Resuelve la ecuación matricial A  1 X  B  BA .
MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la matriz A 
3 2
5
1
Sabemos que: A  B  A  B  B 
 3  10  13  0  Tiene inversa
A B
A

13
 1  0  Tiene inversa
13
b) Si multiplicamos por A a la izquierda, tenemos:
6
  2 1  3  2   2 1  3
A 1 X  B  BA  A  A 1 X  A  B  ABA  X  ABA  AB  




1   7 3   43  8 
 7 3  5
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0
1 
1


Sea M   0 m  1
0 
1
1
m  1 

a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M son linealmente independientes.
b) Estudia el rango de M según los valores de m.
c) Para m  1 , calcula la inversa de M.
MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de la matriz M:
1
0
M  0 m 1
1
1
1
0  m 2  m  0  m  0 ; m  1
m 1
Para todos los valores de m  0 y 1 , el determinante es distinto de cero y los vectores son
linealmente independientes.
b) Calculamos el rango de M según los valores de m.
m0
m  1
m  0 y 1
Rango(M)
2
2
3
c) Calculamos la inversa de M para m  1 :
 0 0  2
 0 1 2  
1




  0 
1

1
1

1
0
1
0
2



 





d t
2
 2 1 2  
(M )  2 0
1
1



 0
0
M  


M
2
2
2


 1  1 1 
2


t
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1
1
Sea A  

 1  1
a) Comprueba que A 2  2 I y calcula A  1 .
b) Calcula A 2013 y su inversa.
MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) Comprobamos que A 2  2 I
1  1
1  2 0 
1
1 0
A2  


  2
  2I
1 1  1 1   0 2 
0 1
Calculamos la inversa:
  1  1
  1  1  1




d t
1 1   2
( A )  1 1 
1




 A 
A
2
2
1

2
También la podemos calcular de la siguiente forma:
t
1
2

1
 
2
1
2
1
1 
A 2  2 I  A  A  2 I  A   A   I  A 1  A  
2
2 
1

2
1
2

1
 
2
b)
A
2013
A
2012
 A  (A )
2 1006
 A  (2 I )
1006
A2
1006
 (I )
1006
A2
1006
 2 1006
 A   1006
2
2 1006 

 2 1006 
( A 2013 ) 1  A 1  A 1  (2013 veces )  A 1  A 1 


1 1
1 1
A  A  (2013 veces )  A  A 
2 2
2 2
1
2
2013
A 2013
 1
 2 1007
1
1
 2013  2 1006  A  1007  A  
2
2
 1
 1007
2
1 

2

1 
 1007 
2

1007
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 1 1 0
 0 2 1
 1 2
Considera las matrices: A   2 0 0  , B  
 y C 

 1 2 0
 1 6
 1 0 1


1
a) Halla A .
b) Calcula la matriz X que satisface A  X  B t  C ( B t es la traspuesta de B).
c) Halla el determinante de A 2013  B t  B  ( A  1 ) 2013 .
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la inversa:
0
0 
 0 2
 0 1
1




 0
0

1

1
1

2

1
0
2



 





d t
0
0

2
0
1

2
(A ) 
1
1






 1
0
 A 


A
2
2
2


 0  1 1 
2


t
1
1
t
1
t
b) A  X  B  C  A  A  X  A  B  C  X  A  B  C
t
Calculamos la matriz X
1


0
0
2
1

 0 1
1

  1 2 
1
t


X  A  B C  1
0  2 2
  1



1
6
2

 

  1 0 
0
1
 0 
1 
2


1
 0
  1 2 
2
   1

1
6

 
1 
 1
8

14 
 6 
Calculamos
0 1
1 2 0

 0 2 1 

B  B   2 2
   2 8 2  8  4  4  0
1 0 1 2 0 0 2 1




t
Luego:
A 2013  B t  B  ( A 1 ) 2013  A
2013
 Bt B 
1
A
2013
 Bt B  0
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a b c 
Sabiendo que el determinante de una matriz A   d e f  es 4, calcula los siguientes
p q r


determinantes, indicando en cada caso, las propiedades que utilizas:
a) det(  2 A) y det( A  1 )
a
b
 3d
c
 3e  3 f
b) 2d  2e 2 f y
a
b
c
p q
r
 p q
r
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que k  A  k n  A ; en nuestro
caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que:  2 A  ( 2)3  A  ( 8)  4   32
Por otro lado, sabemos que: A  A1  I  A  A1  A  A1  I  1  A1 
1
1

A 4
nuestro caso será: A1 
a
b) 2d
p
b
a
b
c
a
b
c
 2e 2 f  2  d
e
f   2 d
e
f  2  4   8
q
c
r
1
; luego en
A
p q
r
p q
r
En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o
columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos
sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”.
 3d
 3e  3 f
a
b
c
p
q
r
d
e
f
a
b
c
 (3)  (1)  a
b
c  (3)  (1)  (1) d
e
f   3  4   12
p q
r
p q
r
En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o
columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos
sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad
que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia
de signo”.
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 1 2
1 1
Considera las matrices A  
 y B

0
 0 1
1
a) Calcula X e Y tales que X  Y  A t y 2X  Y  B ( A t es la matriz traspuesta de A).
b) Calcula Z tal que AZ  BZ  A .
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
 1 0  
X Y  

 2 1 
a) Planteamos el sistema matricial

1 1  
2X Y  

1 0  
 2  1
Si cambiamos la primera ecuación de signo y sumamos, tenemos que: X  
y
  1  1
 2 1
 1 0 
 3 1 
sustituyendo en la primera ecuación tenemos que: 
 Y  
Y 

  1  1
 2 1
 3  2
b) AZ  BZ  A  ( A  B)Z  A  Z  ( A  B) 1  A
 1 2  1 1    2 3 
Calculamos ( A  B)  



 0 1  1 0   1 1 
t
1
 1
d


( A  B) 
 3  2  1  3 
Calculamos su inversa: ( A  B) 1  



A B
1
1  2 
t
1  3   1 2   1 1 
Luego, Z  ( A  B) 1  A  



0
1  2   0 1   1
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 2  3
 1  4
Sean A y B las matrices A  
 y B

5
5
3
9
a) Calcula las matrices X e Y para las que 2X  Y  A y X  3Y  B .
b) Halla la matriz Z que verifica B 2  ZA  B t  3 I (I denota la matriz identidad y B t la
matriz traspuesta de B).
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
 2  3 
2X Y  

5 
 3
a) Planteamos el sistema matricial

 1  4 
X  3Y  

5  
9
Si multiplicamos la segunda ecuación por  2 y sumamos, tenemos que:
5
1
0
0
5Y  
Y 

15  5 
 3 1 
1  1 1 
 1  4 0
y sustituyendo en la segunda ecuación tenemos que: X  
  3


5   3 1   0
2
9
b) B 2  ZA  B t  3I  ZA  3I  B 2  B t  Z  (3I  B 2  B t )  A 1
33 
 3 0   1  4   1  4   1  9    35
Calculamos (3I  B 2  B t )  





5   9
5 4
5   58  63 
 0 3  9
t
5 3


d t
3 2 5 3
(A )

1
Calculamos su inversa: A 



A
1
3 2
  35
Luego, Z  (3I  B 2  B t )  A 1  
 58
33   5 3    76 39 



63   3 2   101 48 
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Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det( M )  2 . Calcula:
a) El rango de M 3 .
b) El determinante de 2 M t ( M t es la matriz traspuesta de M).
c) El determinante de ( M  1 ) 2 .
d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda
filas de M.
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) M 3  M  M  M  M  M  M  2  2  2  8  0  El rango es 3
b) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que k  A  k n  A ; en nuestro
caso como M es una matriz de orden 3, tenemos que: 2M t  2M  ( 2)3  M  (8)  2  16
c) Sabemos que: M  M 1  I  M  M 1  M  M 1  I  1  M 1 
caso será: M 1
2

1
M
2

1
; luego en nuestro
M
1
4
d) Si en un determinante cambiamos dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo,
luego, el determinante de N vale  2
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1
1
1 0 1
 1




Considera las matrices A   1 1 0  y B   1  1
1
 0 0 2
 0
0  1 



a) Halla, si es posible, A  1 y B  1 .
b) Halla el determinante de AB 2013 A t , A t la matriz traspuesta de A.
c) Calcula la matriz X que satisface A  X  B  AB .
MATEMÁTICAS II. 2013. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la matriz inversa de A.
 2 2

2
 0

d t
1
( A )  1
1

 A 
A
2
0
 2 0 1  
1


  1 0  
0
1
2
2 2



 
1
0
0
1
1




 1 1

2
2


1
 0 0

2

t
La matriz B no tiene inversa, ya que su determinante vale 0.
b) AB 2013 A t  A  B 2013  A t  2  0 2013  2  0
c) Resolvemos la ecuación matricial.
1

 1 0 2

  1
1
 1
A  X  B  AB  X  A 1 ( B  AB )  A 1B  B    1 1

2  
0


1 
 0 0

2

5

2
2
2


1

 3 3

2


3
 0
0  
2

1   1
 
1
1   1
0 1   0
1
1

1
1 
0 1 
1
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 0 1 1
 1 1 1


Considera las matrices A   1 0 0  ; B   1  1 0 
 0 0 1
 1
2 3 



Determina, si existe, la matriz X que verifica A  X  B  A 2
MATEMÁTICAS II. 2014. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
La matriz A tiene inversa ya que es cuadrada y su determinante es distinto de cero.
 0 1 0 
 0 1 0 




 1 0 0 
 1 0 1   0 1
 0 0 1 
( Ad )t  0 1 1 
  1 0
A 1 



A
1
1
0 0

t
0

1 
1 
Calculamos la matriz que nos piden:
A  X  A 2  B  A  1  A  X  A  1  A 2  A 1  B  X  A  A 1  B 
0 1 1 0 1

 
 1 0 0  1 0
0 0 1 0 0

 
0   1  1 1   0 1 1   1 1
0   1
2
1
 
 
 
 

1    1 1 0    1 0 0    2  3  2    1
3
2
1   1 2 3   0 0 1   1
2
3   1  2  2 
2
1
 1


3
2
Luego, la matriz que nos piden es: X   1
 1 2 2


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 a 11 a 12

Se sabe que el determinante de la matriz A   a 21 a 22

 a 31 a 32
propiedades que utilices, los siguientes determinantes:
a) det(  2 A) y det( A  1 )
a 21
a 22
a 23
b) 7a 11
7a 12
7a 13
2a 31
2a 32
2a 33
y
a 11
a 21  2a 31
5a 31
a 12
a 22  2a 32
5a 32
a 13
a 23  2a 33
5a 33
a 13 

a 23  es  3 , calcula, indicando las

a 33 
MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que k  A  k n  A ; en nuestro
caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que:  2 A  ( 2)3  A  ( 8)  ( 3)  24
Por otro lado, sabemos que: A  A1  I  A  A1  A  A1  I  1  A1 
nuestro caso será: A1 
1
; luego en
A
1
1
1


A 3
3
a 21
a 22
a 23
a 21
a 22
a 23
a11
a12
a13
b) 7a11
2a 31
7a12
7a13  7  2  a11
a12
a13   7  2  a 21
a 22
a 23   7  2  ( 3)  42
2a 32
2a 33
a 32
a 33
a 32
a 33
a 31
a 31
En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o
columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos
sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad
que dice: “Si en un determinante cambiamos entre si dos filas o dos columnas el determinante
cambia de signo”.
a11
a 21  2a 31
5a 31
a11
a 21
5a 31
a11
2a 31
5a 31
a11
a 21
a 31
a11
a 31
a 31
a12
a 22  2a 32
5a 32  a12
a 22
5a 32  a12
2a 32
5a 32  5  a12
a 22
a 32  2  5  a12
a 32
a 32 
a13
a 23  2a 33
5a 33
a 23
5a 33
2a 33
5a 33
a 23
a 33
a 33
a 33
a 13
a11
a 21
a 31
 5  a12
a 22
a 32  2  5  0  5  ( 3)  15
a13
a 23
a 33
a13
a 13
a 13
En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o
columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante se puede descomponer
en suma de dos determinantes”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si una
fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos
sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el tercer paso hemos aplicado la propiedad: “Si
un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero”.
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0  3
 1 0 2
 2



Considera las matrices A   1 1 1  ; B   3  1  3 
 2 3 0
 1  2 1




1
a) Calcula A .
b) Hallar la matriz X que verifica A t  X  B  I , siendo I la matriz identidad y A t la matriz
traspuesta de A.
MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) La matriz A tiene inversa ya que es cuadrada y su determinante es distinto de cero.
2
1
6  2
 3
 3




1
 6  4  3
 2 4
 3 6
 1 3
1
1 
1  
( Ad )t   2

1
A 


 2
4
A
1
1
 1
3

t
2

1 
1 
b) Calculamos la matriz que nos piden:
At  X  B  I  At  X  I  B  (At ) 1  At  X  (At ) 1  I  (At ) 1  B 
 X  ( At ) 1  I  ( At ) 1  B  ( At ) 1  ( At ) 1  B
X  (A )
t
1
 3  2 1   3  2

 
(A ) B   6
4
3    6
4
 2 1 1   2 1

 
4
 3  2 1   1

 
  6
4
3     3  10
 2 1 1   2
3

 
t
1
1   2
0  3
 

3    3 1  3  
 1    1  2  1 
 2  2 6 1
 

3     3 14 0 
 2   0  4 1 
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1 
1 m
 1  1
Considera las matrices A  
; B  

1 m
 1
1 0 
a) ¿Para qué valores de m se verifica que A 2  2 A  I ?.
b) Para m  1 , calcula A  1 y la matriz X que satisface A  X  B  A  B .
MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos
1  1  m
1   (1  m) 2  1

(1  m)  (1  m)   m 2  2m  2
2
1  m
A 




2
2
1 m   1
1  m   (1  m)  (1  m)
1  (1  m)
2
m  2m  2 
 1
 
2
2   1 0   3  2m
2 
 2  2m
2A  I  



2  2m   0 1   2
3  2m 
 2
2  m 2  2m  2  3  2m 
 m 2  2m  2
  3  2m
2
A 2  2A  I  

  m  1
 

3  2m  m 2  2m  2  3  2m 
2
m 2  2m  2   2

b) Calculamos la matriz inversa de A.
 0 1 
 0 1 




d t
1
2
1 2   0
( A )  1
A 1 




A
1
1
1  2
t
Calculamos la matriz X que nos piden:
A X  B  A B  A 1  A X  A 1  B  A 1  A B  X  A 1  B  B
1   1  1   1  1   1 0   1 1   2 1
0
X  A 1  B  B  






 1  2   1 0   1 0    1  1   1 0   0 1 
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0 0
1
 0 0 1


Considera las matrices A   0  2 1  y B   1 1 1 
 1 0 0
 0  5 3




1
Halla la matriz X que verifica: A  X  A  B  A .
MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos la matriz inversa de A
 1

 0
d t
( A )  0
A 1 

A
0
 1


3
5
 0

 0
1  2 

1
0
t
0

3 1 
0 0
1
5  2  

 0 3 1
1
0 5 2


0
Calculamos la matriz que nos piden:
A 1  X  A  B  A  A  A 1  X  A  A  B  A  A  X  A  A  B  A  A 
 X  A  A 1  A  B  A 1  A  A  A 1  X  A  B  A 1  A
X  A B  A
1
0 0 0 0 1 1
0 0 1
0 0
1

 
 
 

 A  0  2 11 1 10 3 1  0  2 1 
0 5 3 1 0 0 0 5 2 0 5 3

 
 
 

0
1  1
0 0 1
0 0
 0

 
 

  1  2  2    0  3 1    0  2 1  
  2 5 5 0 5 2 0 5 3

 
 

2  1
0 0   1  5
2
 0 5

 
 

  1 16  6    0  2 1    1 18  7 
  2 40  15   0  5 3    2 45 18 

 
 

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a b c 
Se sabe que el determinante de la matriz A   b d e  es 3 , calcula los siguientes
c e f 


determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
a
b
c
a b 4a  c
3
1
t
a) det( A ) , det( A ) y det( A  A ) ; b) c
e
f ; c) b d 4b  e
2b 2d
2e
c
4c  f
e
MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) A 3  A  A  A  3  3  3  27
Por otro lado, sabemos que: A  A1  I  A  A1  A  A1  I  1  A1 
1
; luego en
A
1
1

A
3
nuestro caso será: A1 
La matriz que nos dan es simétrica, por lo tanto, A  A t  A  A t  2 A
Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que k  A  k n  A ; en nuestro
caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 2 A  ( 2)3  A  8  3  24
b)
a
b
c
c
e
f  2 c
2b 2d
2e
a b
e
b d
c
a b
c
f   2 b d
e  2  ( 3)   6
e
f
c
e
En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o
columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos
sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad
que dice: “Si en un determinante cambiamos entre si dos filas o dos columnas el determinante
cambia de signo”.
a b
c) b d
c e
4a  c
a b
4a
a b
c
a b
a
a b
c
4b  e  b d
4b  b d
e  4 b d
b  b d
e  40  3  3
4c  f
4c
f
c
f
c
e
c
e
c
e
c
e
En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o
columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante se puede descomponer
en suma de dos determinantes”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si una
fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos
sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el tercer paso hemos aplicado la propiedad: “Si
un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante vale cero”.
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 x y z
Sabiendo que el determinante de la matriz A   1 0 1  es 2, calcula los siguientes
 1 2 3


determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
3
0 1
1
2
3
1
a) det(3 A) .b) det( A ) .c) 3 x 2 y z .d) x  2 y  4
z6
3
4
1
3
1
0
MATEMÁTICAS II. 2014. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que k  A  k n  A ; en nuestro
caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 3 A  (3)3  A  (27)  (2)  54
b) Sabemos que: A  A1  I  A  A1  A  A1  I  1  A1 
será: A1 
3
0
1
; luego en nuestro caso
A
1
1

A 2
1
1
0
1
1 0 1
c) 3x 2 y z  3  x 2 y z  3  2  x y z  3  2  ( 2)  12
3 4 3
1 4 3
1 2 3
En el primer paso y en el segundo hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si
una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número
podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el tercer paso hemos aplicado la
propiedad que dice: “Si en un determinante cambiamos entre si dos filas o dos columnas el
determinante cambia de signo”.
d)
1
2
x2
y4
1
0
3
z6 
1
1 2
3
1 2
3
x
z 
2 4
6  x
y
1 0
1
1 0 1
1 2 3
y
z  2
1 0 1
En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o
columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante se puede descomponer
en suma de dos determinantes”. Y también la propiedad: “Si un determinante tiene dos filas o dos
columnas proporcionales, el determinante vale cero”.
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 1 2 0
y B    2 m 0 
 3 2 m


a) Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.
b) Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.
MATEMÁTICAS II. 2015. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
 1 2 
Considera las matrices A  

 2 m
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de cada matriz y lo igualamos a cero.
A 
1
2
2 m
 m4  0 m  4
m  4
m  4
1
2
B  2 m
3
2
R(A)
1
2
0
0  m 2  4m  0  m  0 ; m   4
m
m0
m  4
m  0 y 4
R(B)
2
2
3
Luego, para m  0 el rango de A es igual al rango de B y vale 2.
b) Igualamos los dos determinantes
 m  4  m 2  4m  m 2  5m  4  0  m  1 ; m   4
Luego, para m  1 y m   4 , el det(A)=det(B)
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Halla la matriz X que verifica la igualdad
sabiendo que
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Despejamos la matriz X
A X  A 1  B  C  A 1  A X  A 1  A  B  A  C  A 1  A  A X  I  B  A  C  I  A X  B  A  C 
 A  X  C  B  A  A  1  A  X  A  1  (C  B  A)  X  A  1  (C  B  A)
 0
Calculamos la matriz inversa de A    1
 1

1 0 

3 0 .
4 1 
1
  3 1  1
3



0
 1 0  1
 1
 1 1
( Ad )t  0 0 1
1


 A 
A
1
1
t
0

0
 3
1  
  1
 1

1 0 

0 0
1 1 
Calculamos la matriz X
XA
1
 3

 (C  B  A)    1
 1

 1 0   1  1
 
0 0    0
0
1 1   1
0
2  1
1
0   3
 
 
1    1
1 1     1
1   1  5  3    1
1 0   0  2 2 
 

0 0    1 1 0  
1 1   2
5 2 
6
1 5


 0
2 2
1
2
4 

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Considera la matriz
a) Halla el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.
b) Para
, determina
.
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A y lo igualamos a cero:
0
A  m 1
0
1
m
0
2   m 3  2m 2  m  0  m  0 ; m  1
1 m
0
 0 1 0
0 1


 2  0  Rango(A) = 2
Si m  0  A    1 0 2  y como el
1 0
 0 1 0


0 1 1
1 1


 2  0  Rango(A) = 2
Si m  1  A   0 0 2  y como el
0
2
0 0 0


0 1 1


b) Si m  1  A   0 0 2 
0 0 0


0 1 1 0 1 1 0 0 2

 
 

A  A A   0 0 2 0 0 2   0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0

 
 

2
0 0 2 0 1 1 0 0 0

 
 

A  A  A   0 0 00 0 2   0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0

 
 

3
Luego: A
2015
2
0 0 0


 0 0 0
0 0 0


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Considera las matrices:
y
a) Halla el determinante de una matriz X que verifique la igualdad
b) Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
.
.
R E S O L U C I Ó N
a)
X 2  A X  B  X 2  A X  B  X  X  A  X  B  X
3

B
A

8
 X 
1
3
8   2
b) Despejamos la matriz Y, para ello multiplicamos por A 1 a la izquierda y por B a la derecha
A 2 Y  B  1  A  A  1  A  1  A  A Y  B  1  B  A  1  A  1  A  B  A  1  I  A Y  I  A  1  I  B  Y  A  1  B
Calculamos la matriz inversa de A.
 1 1 
 1  2




d t
2
1
1
1   1
(A )   2
A 1 




A
1
1
 1 1 
t
Calculamos la matriz Y
2   4 1   4
3
 1
Y  A 1  B  



1  0  2 
 1 1   4
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Considera las matrices:
y
a) Halla la matriz X que verifica
b) Calcula el determinante de la matriz
(I denota la matriz identidad de orden 3).
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Despejamos la matriz X, para ello multiplicamos por A  1 a la izquierda
A  X  B  I  A  1  A  X  A  1  B  A  1  I  X  A  1  (B  I )
1 1 1 
Calculamos la matriz inversa de A  1 2 3  .
1 4 9 


2
1
 6 6
 6 5




8 3
8  2
 5
 6
1
 6 5
 2 3
1 
1  1 
( Ad )t  1  2
1




  6
8  2
 A 
A
2
2
2 
1 
 2 3
t
Calculamos la matriz X
1    1
1
1  1 0 0  
1 0 1 1
 6 5
 6 5
1 
 
 
 1 
 

1
X  A  (B  I )     6
8  2    1  1
1   0 1 0       6
8  21 0 1 
2 
2 
1   1 1 1   0 0 1  
1   1 1 0 
 2 3
 2 3
7
1
4
1 

  6 8
2
2 
3 1 
2
b) Calculamos el determinante de A y de B
1
1 1 1
A  1 2 3 2 ;
B 
1 4 9
A B
2
1
2015


A  A  B
1 1
1
1

2015
1
1
1 4
1 1

1 
  2  2 

B 

2015
1

  2 2 
4

2015
1
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 1 0 0
2
 1
 1 0 0


Considera las matrices A  
 ; B    2 1 0 y C  

 2 1
 1 5 0
 3 2 1


t
1
a) Determina la matriz X para la que A  X  B  C , ( A t la matriz traspuesta de A).
b) Calcula el determinante de B  1 (C t  C )  B , ( C t la matriz traspuesta de C).
MATEMÁTICAS II. 2015. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
a) Despejamos la matriz X
A t  X  B 1  C  (A t ) 1  A t  X  B 1  B  (A t ) 1 C  B  X  (A t ) 1 C  B
 1
Calculamos la matriz inversa de A t  
 2
2
.
1 
 1  2 
 1  2 




 2 1  1  1 2 
(( A t )d )t   2 1 

t 1
 A   A  3  3  3  2 1


t
Calculamos la matriz X
 1 0 0
 1 0 0
1
2
1
0
0

1
10
0






1
1




X  (A t ) 1 C  B  

  2 1 0  
  2 1 0 
3  2 1   1 5 0  
 3  1 5 0  3 2 1
 3 2 1


10


7
0
1   21 10 0  
3
 


5
3  9 5 0 
0 
 3
3


b)
B
1
 (C  C )  B  B
t
1
 2

  5
 0

 1 1 
1

  1 0 0
t
t
 C C  B 
 C C  B  C C  0 5
 

1
5
0
B


0 0


t
5
0

25 0   0
0 0 
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3
2
 1 1 1
3




Considera las matrices A   0 1 0  y B    8
7
4
  2 1 1
 8  6  3




a) Halla la matriz X que verifica A  X  B  2 A .
b) Calcula B 2 y B 2016 .
MATEMÁTICAS II. 2016. JUNIO. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Si multiplicamos los dos términos de la ecuación por A 1 a la izquierda, nos queda:
A  X  B  2 A  A 1  A  X  A 1  B  2 A 1  A  X  2 I  A 1  B
 1 1 1 


Calculamos la matriz inversa de A   0 1 0 
 2 1 1


2
0 1 
 1 0
1




1
0
 0 1 1 
0
 2 1 1   1
( Ad )t  1 0 1 
  0
1
A 



A
1
1
2

Calculamos la matriz X
3
2 2 0
 2 0 0   1 0 1    3

 
 
 
1
X  2I  A  B   0 2 0    0 1 0     8
7
4  0 2
 0 0 2   2 1 1   8  6  3   0 0

 
 
 
t
1 

1
0
1 1 
0
0   11 9 5  13  9  5 
 
 

0   8 7 4   8 5  4
2    6 5 3   6  5 1 
b) Calculamos
3
2  3
3
2  1 0 0
3

 
 

B   8
7
4  8
7
4   0 1 0
 8  6  3  8  6  3  0 0 1 

 
 

2
3
2  1 0 0  3
3
2
3

 
 

B   8
7
4  0 1 0   8
7
4
 8  6  3  0 0 1   8  6  3

 
 

3
3
2  3
3
2 1 0 0
3

 
 

B  B  B   8
7
4  8
7
4  0 1 0
 8  6  3  8  6  3  0 0 1 

 
 

4
3
Por lo tanto:
B
2016
3
2  3
3
2  1 0 0
3

 
 

  8
7
4  8
7
4  0 1 0
 8  6  3  8  6  3  0 0 1 

 
 

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1 0
 1 2
Considera las matrices A  
 y B

1 1
 0 1
Determina, si existe, la matriz X que verifica A  X  B 2  B  X  A 2 .
MATEMÁTICAS II. 2016. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Despejamos la matriz X:
A  X  B 2  B  X  A 2  A  X  B  X  A 2  B 2  ( A  B)  X  A 2  B 2  X  ( A  B)  1  ( A 2  B 2 )
0  2
Calculamos la matriz inversa de A  B  

0
1
t
 0 1 
 0 2



  0 1
1 0  
(( A  B) d )t  2 0 

1

( A  B) 


 1

A B
2
2
0
 2

Calculamos A 2 , B 2 y A 2  B 2
1 0  1 0   1 0 
A2 



1 1  1 1   2 1 
1 2 1 2 1 4
B2 



0 1 0 1 0 1
1 0 1 4  0  4
A2 B2 



0
2 1 0 1 2
Calculamos la matriz X
X  ( A  B)
1
 0 1
0  4   2 0
(A  B )   1

 


0  0 2
0  2
 2

2
2
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Considera la matriz
. Determina, si existen, los valores de k en cada uno de
los casos siguientes: a)
. b)
. c) A tiene inversa. d)
.
MATEMÁTICAS II. 2016. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A y lo igualamos a cero
k
1 k
1 k
0
 k 2 1  0  k  1 ; k  1
Luego, el rango de A es 1 si k  1 ó k   1
b)
1 k   k
1 k   k
1 k   1
 k
A  A



0  1  k
0  1  k
0  k k
1  k
1  k  k  1

2
k  k  1  k  k  1 ; k  1

2
k  k  1  k  k  1
1  k 2  0  k  1 ; k  1

2
2
1 k 
k k 2  k


2 
0 
1  k  1  k
Luego, para k  1 , se cumple que A 2  A
c) A tiene inversa para todos los valores de k  1 y k  1 . Ya que es una matriz cuadrada y para
esos valores su determinante es distinto de cero.
d)
k
1 k
1 k
0
  2  k 2 1   2  k 2  1  0
No hay ningún valor de k que haga que su determinante valga  2
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Considera la matriz:
a) Determina, si existen, los valores de
para los que
identidad de orden 3).
b) Determina, si existen, los valores de para los que la matriz
la matriz traspuesta de A).
MATEMÁTICAS II. 2016. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
(siendo I la matriz
no tiene inversa (
R E S O L U C I Ó N
a)

0
  1 
 1
 1 0




2
1
0
 0
   1     1  1 0
  1 
2
 0 0
1  
( Ad )t     1     1 1 
1


2


    1     1
 A 
A
1
1
 0 0
1 

t
  1 
  1
 1 0
1 0 0  1 0



 

2
A  2 I  A     1     1  2  0 1 0     1
1  
 0 0
0 0 1  0 0
1 
1 


 
   1   1 0   1
 1 0

 

2
    1     1     1
1    2    1  1   2    0    0 ;   1
 0 0
1   0 0
1 

1
b) Calculamos
1 0

A A   1
0 0

t
  1  1
 
1    0
1     1
 0  2
 
1 0   
1 1     1

2
1
  1

1 
2 
Calculamos el determinante.
A A 
t
2

 1

2
1
1
2
 1
33
1
  6 2  6  4  0     
2
6
33
1
Luego, la matriz A  A t no tiene inversa si    
2
6
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es
Considera las matrices
,
y
a) Calcula el rango de
según los valores de (
es la matriz traspuesta de B, I es la
matriz identidad de orden 3).
b) Calcula la matriz X que verifica:
MATEMÁTICAS II. 2016. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos la matriz A  B t   I
1
 1
 1 0 0   1 1 1   0 0   1  
 

 
 
 
A  B   I    1   1 1 1    0 1 0     1  1  1    0  0     1
1  
 0
0 0 1  0 0 0  0 0   0
0
 

 
 
 
Calculamos el determinante y lo igualamos a cero.
t
1 
A B   I 
t
1
1
1  
0
0
1

1 
 
1
1   3      0    0

Si   0  Rango(A) = 3.
Si   0  Rango(A) = 1.
b) C  X  X  2 I  (C  I )  X  2 I  X  (C  I ) 1  2 I  2(C  I ) 1
1
1
 1 1 1  1 0 0   0

 
 

Calculamos la matriz C  I   1 1 1    0 1 0    1  2 1 
 0 0 0 0 0 1  0
0 1 

 
 
Calculamos la matriz inversa de C  I .
 2 1 0 
 2



1 0 0
 1
 0
((C  I ) d )t  1 1 1 
(C  I ) 1 


CI
1
t
1

0  1
  2  1  1
0 1  

 1
0 1
1
 0
0 1

1
  2 1 1   4  2  2 

 

0 1   2
0
2
Luego, la matriz que nos piden es: X  2   1
 0
0 1  0
0  2 

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0
1 2
2 0
2




Considera las matrices A   1 1
0 y B   0 1 5
 4 2  2
0
0 2 



a) Calcula la matriz inversa de ( A  B )
b) Calcula el determinante de 2 A  1 ( A  B ) t , siendo ( A  B ) t la matriz traspuesta de ( A  B ) .
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos A+B
0  2
2 0

 
A B   1 1
0   0
 4 2 2 0

 
1 2 0 1 2
 

1 5    1 0 5 
0 2   4 2 0 
Calculamos la inversa
 10

 4
(( A  B) d )t  5
1

 A  B 
A B
20
8
2
24
2
4
 10


4
 20  8
 2
1 
4

24
t
5  5

2    12

1   5

 6

 1

 12
1
5 
6
24 

1
1 

3
12 

1
1 
 
6
24 
b) Sabemos que:
- Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que k  A  k n  A ; en
nuestro caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 2 A  1  2 3 A  1
- A  A1  I  A  A1  A  A1  I  1  A1 
A1 
1
; luego en nuestro caso será:
A
1
1

A 4
- ( A  B) t  ( A  B)
Por lo tanto:
2 A  1 ( A  B) t  2 A  1  ( A  B) t  2 3 A  1  ( A  B) t  2 3 
1
1
 ( A  B)  8   24  48
A
4
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1 0
 1 2
 1
1 1
3




Considera las matrices: A   2 1  , B  
2 1
 y C   1
 2  1 1
 0 1
 1 1 1




Determina, si existe, la matriz X que verifica que ABX  2C  CX .
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Despejamos la matriz X
ABX  2C  CX  ABX  CX  2C  ( AB  C ) X  2C  ( AB  C ) 1 ( AB  C ) X  ( AB  C ) 1 2C 
 X  ( AB  C ) 1 2C
1 0   7 1 3   1
1 0 6 2 3
1 2
 1
1 1 

 3
 
 
 

AB  C   2 1   
2 1  8
1 3    1
2 1    9 1 2 
   1
 0 1   2  1 1  1 1 1   2 1 1   1 1 1   1
0 0 



 
 
 
Calculamos la inversa:
 0

 0
d t
(( AB  C ) )  1
1

 AB  C  
AB  C
1
0 1 
0



3  2 
15 
 2 3
1
 1  2 12   0 0
15 12 





   2 3 15 
1
1
 1 2 12 


2
t
Calculamos la matriz X
1  2
2 0  2
 0 0

 
 
X  ( AB  C ) 2C    2 3 15     2
4 2     40
 1 2 12   2  2 2    30

 
 
1
2
2

38  24 
30  20 
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 2 1
Considera la matriz A  

0
 1
a) Comprueba que A  A t  2 A  I ( A t denota la traspuesta de A e I la matriz identidad).
b) Calcula A  1 .
c) Determina, si existe, la matriz X que verifica XA  I  3 A .
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
 2
a) A  A t  2 A  
 1
1   2

0   1
1   2
  2
0   1
1   5  2   4  2   1 0 
 


I
0   2
1   2
0 0 1
b) Calculamos la inversa .
t
0 1
0 1




d t
1 2   0 1 
(A ) 1 2
1




 A 

A
1
1
 1  2 
c) Despejamos la matriz X.
XA  I  3 A  XX  A  3 A  I  XA  A 1  (3 A  I )  A 1  X  (3 A  I )  A 1
Calculamos la matriz X.
 6
X  (3 A  I )  A 1  
  3
 3   1 0    0 1   5  3   0 1   3 1 

  




0   0 1    1  2    3 1   1  2   1 5 
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Sea A una matriz 3 x 3 tal que det (2 A)  8 .
a) ¿Cuánto vale det ( A) ?
b) Siendo B la matriz que se obtiene de A multiplicando por 3 la primera fila y por  1 la
tercera, ¿cuánto vale det ( B ) ?
c) Determina los valores de x para los que la siguiente matriz A verifica que det (2 A)  8 ,
1
1
 x


A   x 1
2
2
 x
 x  2 1 

MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA
R E S3.OEJERCICIO
L U C I Ó3.NOPCIÓN B.
RESOLUCIÓN
a) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que k  A  k n  A ; en nuestro
caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 2 A  ( 2)3  A  8  A  1
b) B  3  ( 1)  A  3  ( 1) 1   3
c) Calculamos el determinante de la matriz 2A
2x
2 A  2 2x  2
2x
2
2
4
4  2 3  x 1
 2x  4 2
x
x
1
1
2
2  8  x 2  2x 1  1  x 2  2x  0  x  0 ; x  2
x2 1
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0
m 1
0
1
1
 1




Considera las matrices: A   0 m  1 2  m 
y
B   1 1
0
0
 0
1
2  m 
1  1 


a) Determina los valores de m para los que la matriz A no tiene inversa.
b) Para m  1 , calcula, si existe, la matriz X que verifica la igualdad A  1 XA  I  B , siendo I la
matriz identidad.
MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A
1
A  0
0
0
m 1
m  1 2  m   m 2  2m  0  m  0 ; m  2
1
2m
Luego, no tiene inversa para los valores de m  0 y m  2
b) Calculamos la inversa de A para m  1.
1

0
( Ad )t  0
1

 A 
A
t
0 0
1 0 0



1 1
 0 1 1   1 0 0 
0 1 0
1 0 
   0 1 1 



1
1
0 1 0


Despejamos la matriz X.
A  1 XA  I  B  A  1 XA  B  I  A  A  1 XA  A  1  A  ( B  I )  A  1  X  A  (B  I )  A  1
Calculamos la matriz X.
X  A  (B  I )  A
1
0 0    1
1

 
 0
0 1    1
 0  1 1   0

 
0 0   2
1

 
 0
0 1 1
 0 1 1   0

 
1  1
2 0

 
  0 1  2 0
 1 3  2   0

 
1   1 0 0   1 0
0
 
 

1
0    0 1 0     0 1 1  
1 1   0 0 1    0 1
0 
0
1 1 0
0
 

2
0    0 1 1  
1  2   0 1
0 
0
0   2 1 0 
 

1 1    0 1 1 
1
0   1 1  3 
0
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0
k 
 k


Considera A   k  1
k
0 
 0
k  1 k  1 

a) Discute el rango de A según los valores de k.
b) Para k  1 , calcula el determinante de 2  A t  A  1 
2017
, siendo A t la traspuesta de A.
MATEMÁTICAS II. 2017. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de la matriz y lo igualamos a cero
k
0
k
1
0  2k 3  3k 2  k  0  k  0 ; k  1 ; k  
A = k  1 k
2
0
k 1 k 1
Calculamos el rango de la matriz para cada caso.
Para
Para
Para
Para
0 0 0
1 0 0


k  0  A   1 0 0  

  R( A)  2
0 1 1
0 1 1


0 1 
 1
0 1 
 1


k  1  A   0 1
0  

  R( A)  2
0
 0 1
 0

0
0

1
1
 1
 1
0  

0  
 2

1
1
2
2
2



  
0  
1
1
1
F 2F1
2
 0 1 1 2
k   A

0  
  R( A)  2




2
2
2
2
2
 0 1 1





1
1
1
1  
2
2
 0

0



2
2
2
2


1
k  0, 1,   R( A)  3
2
b) Calculamos el determinante que nos piden
1
; m  A  m n A siendo n el orden de la matriz.
A
Sabemos que: A t  A ; A  1 
Por lo tanto:
2 A  A
t

 1 2017
2016
1
1
 (2  A )  ( A )  ( A  A )
t
t
2016
1
2  A
A
3

1 
  A 
8

A


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Considera las matrices
0
0
 1
  2 2 1
 1






A 0
0 1 ; B   1 0
1  ; C    2  y D   4  5 6
 0 1
 1 2  2
 3
0 





2
Determina, si existe, la matriz X que verifica que: A X  BA  X  CD
MATEMÁTICAS II. 2018. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Despejamos la matriz X
A 2 X  BA  X  CD  A 2 X  X  CD  BA  ( A 2  I ) X  CD  BA  X  ( A 2  I ) 1 (CD  BA)
Calculamos A 2  I
 1

A I  0
 0

2
0
0
1
0   1
 
1    0
0   0
0
0
1
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0  2 0 0
 
 
 
 

1    0 1 0    0 1 0    0 1 0    0 2 0   2  I
0   0 0 1   0 0 1   0 0 1   0 0 2 
Calculamos ( A 2  I )  1  (2  I )  1  2  1  I
1

1
I
2
Luego:
1
1
 I  (CD  BA)   (CD  BA) 
2
2
 1 
0
0 
  2 2 1   1
1  

 

   2    4  5 6    1 0
1 0
0 1   
2  
 1 2  2   0 1
 3 
0  

 
X  ( A 2  I ) 1 (CD  BA) 
 4  5
6  2
1 
 
   8
10 12     1
2 
 12 15 18   1
 2 
4
 6 4
 1 

1
0     9
9 12 
2

2  2  
 13 13 16 
1
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 1 1 1
 0


Considera las matrices A  0 1 0
, B   1  y C  1 1 2




 0 0 1
 1




2018
a) Calcula A .
b) Determina, si existe, la matriz X que verifica A ( X  2 I )  BC donde I es la matriz identidad.
MATEMÁTICAS II. 2018. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
1 1 1 1
a) Calculamos: A   0 1 0    0

 
0 0 1 0

 
1 2 2 1

 
3
A  0 1 00
0 0 1 0

 
2
1

A  0
0

1

2018
Por lo tanto: A
 0
0

4
1 1 1
 
1 0  0
0 1   0
1 1 1
 
1 0  0
0 1   0
2 2

1 0
0 1 
3 3

1 0
0 1 
3 3 1 1 1 1 4 4
 
 

1 00 1 0  0 1 0
0 1   0 0 1   0 0 1 
2018 2018 

1
0 
0
1 
b) Si multiplicamos los dos términos de la ecuación por A 1 a la izquierda, nos queda:
A  ( X  2 I )  BC  A 1  A  ( X  2 I )  A 1  B  C  X  A 1  B  C  2I
Calculamos la matriz inversa de A
t
 1 0 0
1



 1 1 0 
0


0
d t
( A )  1 0 1 
A1 


A
1
Calculamos la matriz X
1

1
X  A  B  C  2I   0
0

1
1   0 
  
1
0    1   1
0
1   1 
 0
2 0
 

  1   1 1 2    0 2
 1 
0 0
 

1
1
0
1
2

1 2   0
0

0  0
 
0   1
2   1
1 

0
1
1  
 0
0

1
1
0
1 

0
1 
0 0

2 0 
0 2 
0
0 2 0 0  2
 
 
1
2  0 2 0   1
1 2   0 0 2   1
0
1
1
0

2
 4 
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1
Considera la matriz M   6

x

3

0 3  . Sabiendo que el determinante de M es 2, calcula los
y z 
siguientes determinantes e indica las propiedades que utilices:
2 0 1
1 x6 x
4
a) El determinante de la matriz 5M ; b) 1 2 3 ; c) 2
y
y
2
x
y
z
3
z3
z
MATEMÁTICAS II. 2018. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Sabemos que: k  A n  k n  A y que: A  B  A  B , luego:
5M 4  5M  M  M  M  5M M  M  M  5 3 M  M  M  M  5 3  2 2  2000
2
0 1
1
2
1
1
0 1   3 2
3
y z
x
b) 1 2 3   2
x
y
z
x
3
2
3
1
1
0 1  6
3
y z
x
2
0
y
3
1
2
3   2  
3
3
z
Propiedades aplicadas
- Si en un determinante se intercambian dos líneas, el determinante cambia de signo
- Para multiplicar un determinante por un número basta con multiplicar una línea.
1
c) 2
3
x6
y
z 3
x
1
x
x
y  2
y
y  2 0
y  0 2 0
y 2
z
z
z
z
z
3
1 6
3 3
x
1 6
3 3
x
Propiedades aplicadas
- Si una línea de una determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante se puede
descomponer en suma de dos determinantes. En el primero ponemos el primer sumando y en
el segundo el segundo sumando.
- Si un determinante tiene dos líneas iguales, el determinante vale 0.
- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta
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 2

2
0
1
3 
a) Halla, si existe, la inversa de A.
b) Determina los valores de m tales que ( A  mI ) tiene inversa (I es la matriz identidad).
0
Considera la matriz A   0

1

1
c) Calcula el rango de ( A  2 I ) .
MATEMÁTICAS II. 2018. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A y los igualamos a cero:
A 
0
1
0
2
1
1
2
0  4  0  Si tiene inversa
3
6 0 2
 6 1 4  3




2 0  2
 1 2 1 
 0
 2 1 0  
0 
( Ad )t  4 0
1
  0


 A 

A
4
4

  1
 2
t
m
b) Calculamos la matriz A  mI   0

 1

m
1
1
2m
1
1

1
4

1
0

2

1

0 
4

2 

0 
3  m 
2
0
2m
0
1
1
3m
  m 3  5m 2  8m  4  0  m  1 ; m  2
Luego, tiene inversa para todos los valores de m  1 y 2
c) Calculamos el rango de A  2 I :
2

A  2I   0
 1

1
0
1
2

0   R( A  2 I )  2
1 
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0
Considera las matrices A   0

1

0 1
 a b c
 y


1 0 B   0 1 0
 1 0 0
0 0 


a) Determina, si existen, los valores de a, b y c para que las matrices A y B conmutan.
b) Calcula A 2 , A 3 , A 2017 y A 2018 .
c) Calcula, si existe, la matriz inversa de A
MATEMÁTICAS II. 2018. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
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a) Si conmutan, se tiene que cumplir que A  B  B  A , luego:
0

0
1

0 1   1
0 0  c b
 
 
1 0    0 1 0    0 1
0 0   a
b c   0
0
0 1  a b c   a b c  0
 
 
 
1 0    0 1 0    0 1 0    0
0 0   1 0 0   1 0 0   1
a

0   a  b  0; c  1
1 
b)
0

A  0
1

0 1 0
0 1 1 0 0
 
 

1 0    0 1 0    0 1 0   I
0 0   1
0 0   0 0 1 
A 3  A A 2  A I  A
2
A 2017  A 2016  A   A 2 
1008
A 2018   A

2 1009
 I 
1009
 A  I 
1008
A A
I
0

c) Calculamos la matriz inversa de A   0
1

0

0
( A d ) t  1
A 1 

A
0 1

1 0 
0 0 
t
0 1
0


1 0 
0
1
0 0 

1
1

1 0 
0
0 0  
 0
1
1

0
1

1 0   A
0 0 
0
En el apartado anterior ya habíamos visto que A  A  I  A  A  1
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