Elipse e Hiperbola +++ (1)

INTRODUCCIÓN AL
ANÁLISIS
M AT E M Á T I C O
ELIPSE
E
HIPÉRBOLA
ELIPSES EN LA VIDA COTIDIANA
Centro Nacional Artes Escénicas, Pekín
Hotel Sunrise Kempinski, en China.El Hotel alcanza los 97 metros de altura, y está compuesto por una envolvente de 10.000 piezas de cristal sujetas a una
estructura portante. Tiene 18.075 metros cuadrados de superficie útil, 21 plantas con 306 habitaciones y, lo más impactante, fue construido en sólo 24 meses
por unos 9.300 operarios. Lo mejor, sin embargo, son sus 12 hoteles boutiques, 14 restaurantes y bares, el puerto deportivo, las instalaciones recreativas y de
fitness y otras cosas que viví, como su hospitalidad.
Mauricio, diciembre de 2019 - edificio en forma de elipse del Banco Comercial de Mauricio, uno de
los bancos más antiguos de la isla
ELIPSE
Definición. Sea E, el conjunto de todos los puntos P del plano tales que la suma de las distancias de P
a dos puntos fijos del plano 𝐹1 y 𝐹2 es constante, siendo esa constante mayor que la distancia entre
dichos puntos. Los puntos fijos 𝐹1 y 𝐹2 son llamados focos de la elipse. Y se encuentran separado por
una distancia 2c, es decir :
𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎 o equivalentemente a 𝑃 − 𝐹1 + 𝑃 − 𝐹2 = 2𝑎
Donde:
𝐶(ℎ, 𝑘): Centro de la Elipse
𝑉1 , 𝑉2 : Vértices
𝐹1 , 𝐹2 : Focos (puntos fijos)
𝑉1 𝑉2 : Eje mayor (de longitud 2𝑎)
𝐵1 𝐵2 ∶ Eje menor (de longitud 2𝑏)
𝐿1 , 𝐿2 : directrices
𝑅𝑅′ ∶ Lado recto ( de longitud LR =
2𝑏2
)
𝑎
ELIPSE
La elipse es la sección cónica definida
por los puntos P del plano cartesiano
talque
d(P, F1) + d( P, F2)= 2a
F1 y F2 son dos puntos fijos llamados
focos
(𝑥 − 0)2 +(𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 0)2 +(𝑦 + 𝑐)2 = 2𝑎
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
Excentricidad = e
e=
d(P; F2)
d(P; F1)
=
;
d(P; Ld1) d(P; Ld2)
0<e<1
Ld1 y Ld2 son dos rectas fijas llamadas
directrices de la elipse.
Propiedades de la elipse:
𝑥2 𝑦2
+
=1
9 16
1. Recta tangente a una elipse en el punto de tangencia (xo;yo)
Ejemplo 1: Dada la ecuación en su forma general de una elipse: 4𝑥 2 + 2𝑦 2 − 8𝑥 +
4𝑦 – 2 = 0 Transfórmala a su forma ordinaria, obtén todos sus elementos y realiza la gráfica
que la representa.
𝑉1
Solución
Completando cuadrados obtenemos:
(𝑥 − 1)2 (𝑦 + 1)2
+
=1
2
4
Elipse con centro: ℎ, 𝑘 = (1, −1)
𝑎 = 2,
𝑏= 2
De 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2, se tiene que 𝑐:
𝑐 2 = 22 − ( 2)2
𝑐2 = 2
𝑐= 2
Para los VÉRTICES, se cumple que:
𝐹1
∙
Vértice 𝑉1 : h, k + a = (1, −1 + 2) = (1,1)
Vértice 𝑉2 : h, k − a = (1, −1 − 2) =
(1, −3)
Para los FOCOS, se cumple que:
Foco 𝐹1 : ℎ, 𝑘 + 𝑐 = (1, −1 + 2)
Foco 𝐹2 : ℎ, 𝑘 − 𝑐 = (1, −1 − 2)
𝐵1 : (ℎ + 𝑏, 𝑘)
𝐵1
𝐹2
𝑉2
𝑉2
𝑉1
Ejemplo 2: Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos 𝑃 𝑥, 𝑦 , cuya suma de distancias
a los puntos 𝐹1 4,2 y 𝐹2 −2,2 sea igual a 8.
Solución
Buscamos que la suma de las distancias 𝑃𝐹1 y 𝑃𝐹2
sea siempre igual a 8, es decir,
Por lo tanto, tenemos que, 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 8
𝑥+2
2
+ 𝑦 −2
2
+
𝑥−4
2
+ 𝑦 −2
2
=8
Si despejamos la raíz, se obtiene:
𝑥+2
2
+ 𝑦 −2
2
=8-
𝑥−4
2
+ 𝑦 −2
2
Luego al elevarlo al cuadrado, tenemos que
𝑥+2
2
+ 𝑦 −2
2
= 64 - 16
2
𝑥−4
+ 𝑦 −2
2
+ 𝑥−4
2
+ 𝑦 −2
2
Observemos que el término 𝑦 − 2 2 se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto,
podemos cancelarlo, de manera que nos queda
𝑥+2
2
= 64 - 16
2
𝑥−4
2
+ 𝑦 −2
+ 𝑥−4
2
Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,
𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 64 − 16
𝑥−4
2
+ 𝑦−2
2
+ 𝑥 2 − 8𝑥 + 16
Luego, reagrupando términos semejantes, y dividiendo la ecuación por -4 tenemos
3𝑥 − 19 = -4
𝑥−4
2
+ 𝑦 −2
2
Ya eliminamos un radical. Para deshacernos del
otro, repetimos el procedimiento. Elevamos al
cuadrado la expresión, expandimos los binomios al
cuadrado y reagrupamos términos.
9𝑥2 – 114x + 361 = 16 𝑥 − 4
2
+ 𝑦 −2
Es decir,
7𝑥2 + 16𝑦 2 – 14x – 64y – 41 = 0
(𝑥 − 1)2 (𝑦 − 2)2
+
=1
10.71
4.69
2
Ecuación Vectorial de la Elipse
𝑋′
𝑌
𝑉1
𝑌′
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑏𝑢⊥
𝐹1
a𝑢
La ecuación vectorial de la elipse de centro en
el punto 𝐶(ℎ, 𝑘) y base ortonormal ℬ = {𝑢, 𝑢⊥ } ,
se define. Como:
𝑥′𝑢
ℰ= 𝑃=𝐶+
𝑦′𝑢⊥
𝐶(ℎ, 𝑘)
Donde:
𝑥 ′ = (𝑃 − 𝐶) ⋅ 𝑢
𝑦 ′ = (𝑃 − 𝐶) ⋅ 𝑢 ⊥
𝐹2
𝑉2
𝑂
𝑥 ′𝑢
𝑋
+
𝑥′2
⊥
𝑦′𝑢 / 𝑎2
𝑦′2
+ 𝑏2
=1
Ecuación Vectorial de la Elipse
Demostraremos la relación:
𝑥′2
𝑎2
+
𝑦′2
𝑏2
=1
𝑋′
Demostración
𝑃 = 𝐶 + 𝑥′𝑢 +
𝑌
𝑦′𝑢⊥
𝑌′
𝑉1
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐹1
𝐹2 = 𝐶 − 𝑐𝑢
𝐹1 = 𝐶 + 𝑐𝑢
𝑏𝑢⊥
Por definición de elipse
𝑃 − 𝐹1 + 𝑃 − 𝐹2 = 2𝑎
a𝑢
𝑥′𝑢
𝑦′𝑢⊥
𝐶(ℎ, 𝑘)
|𝑥 ′ 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢⊥ − 𝑐𝑢| + 𝑥 ′ 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢⊥ + 𝑐𝑢 = 2𝑎
|(𝑥 ′ − 𝑐) 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢⊥ | + (𝑥 ′ +𝑐) 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢⊥ = 2𝑎
𝐹2
(𝑥 ′ − 𝑐)2 +𝑦′2 + (𝑥 ′ + 𝑐)2 +𝑦′2 = 2𝑎
Eliminando los radicales y como
𝑏2 + 𝑐 2 = 𝑎2 , obtenemos la
ecuación analítica u ordinaria de la
elipse.
𝑥′2
𝑎2
+
𝑦′2
𝑏2
=1
𝑉2
𝑂
𝑋
Ecuación Vectorial de la Elipse
OBSERVACIONES
𝑋′
𝑌
𝑌′
𝑃(𝑥, 𝑦)
 𝑉1 = 𝐶 + 𝑎𝑢, 𝑉2 = 𝐶 − 𝑎𝑢
 𝑉1 𝑉2 tiene longitud 𝑉2 − 𝑉1 = 2𝑎


𝑏𝑢⊥
𝐵1 = 𝐶 + 𝑏𝑢⊥ , 𝐵2 = 𝐶 − 𝑏𝑢 ⊥
𝐹1
a𝑢
𝑥′𝑢
𝑦′𝑢⊥
𝐶(ℎ, 𝑘)
𝐵1 𝐵2 tiene longitud 𝐵2 − 𝐵1 = 2𝑏
 𝐵1 = 𝐶 + 𝑏𝑢⊥ , 𝐵2 = 𝐶 − 𝑏𝑢 ⊥

𝑉1
𝐹2
𝐹1 = 𝐶 + 𝑐𝑢, 𝐹2 = 𝐶 − 𝑐𝑢
𝐵2
𝑉2
𝑂
𝑋
Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la elipse de vértice 𝑉1 (1,1) y 𝑉2 9,7 , cuya longitud del eje menor es
de 6 unidades. Hallar sus elementos.
Solución:
𝑌
𝑋′
𝑌′
𝑏𝑢
𝐹1
⊥
𝑢 ∥ 𝑉1 𝑉2 ⟹ 𝑢 =
𝑉1
𝑉1 𝑉2
𝑉1 𝑉2
ℰ: 𝑥, 𝑦 = 5,4 + 𝑥 ′
𝐶(ℎ, 𝑘)
8,6
(−6,8)
, 𝑢⊥ =
10
10
(8,6)
(−6,8)
+ 𝑦′
,
10
10
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑥′2 𝑦′2
+
=1
25
9
𝐹2
𝑉2
=
𝑋
 𝑉1 = 𝐶 + 𝑎𝑢, 𝑉2 = 𝐶 − 𝑎𝑢
 𝑉1 𝑉2 tiene longitud 𝑉2 − 𝑉1 = 2𝑎
𝑂
𝑉1 𝑉2
𝑎=
=
2
𝐶(5,4)
(9 − 1)2 +(7 − 1)2
=5
2
𝑏=3
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2

𝐵1 = 𝐶 + 𝑏𝑢⊥ , 𝐵2 = 𝐶 − 𝑏𝑢 ⊥

𝐵1 𝐵2 tiene longitud 𝐵2 − 𝐵1 = 2𝑏

𝐹1 = 𝐶 + 𝑐𝑢, 𝐹2 = 𝐶 − 𝑐𝑢
Ejemplo 4: La elipse de centro 𝐶(4,6) tiene su lado recto sobre la recta 𝐿: 2𝑥 + 5𝑦 − 20 = 0. Si el semi eje
menor mide 2 unidades. Hallar la ecuación vectorial de la elipse.
Solución:
𝑐=
|2 4 + 5 6 − 20|
𝐿: 2𝑥 + 5𝑦 − 20 = 0 → 𝑎 = (5, −2)
(−5,2)
(2,5)
(2,5)
⊥
𝑢
=
𝑢=
=
(2,5)
29
29
𝑐 = 𝑑 𝐶, 𝐿 =
18
29
→ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 =
𝐿
ℰ: 𝑥, 𝑦 = 4,6 + 𝑥
𝐶 4,6 ,
𝑏=2
′
2
29
𝑚=
,
5
29
4 + 25
440
29
+𝑦
′
−5
29
,
2
29
𝑥′2 𝑦′2
+
=1
440
4
29
−2
−2
1
→ 1, 𝑚 = 1,
= (5, −2)
5
5
5
Ejemplo 5: Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en el punto 𝑉2 −6,4 . Si su lado
recto mide 6 unidades. Hallar la ecuación vectorial de la elipse.
Solución:
𝑉2 (−6,4) por simetría se obtiene 𝑉1 (6, −4)
El centro es 𝐶(0, 0)
𝑉2 (−6,4)
𝑢=
(6, −4)
52
El vector 𝑢 tiene la dirección 𝑉1 6, −4 , entonces
3
−2
2
3
𝑢 = 13 , 13 y 𝑢⊥ = 13 , 13
𝑎 = 𝑑 𝐶, 𝑉1 , 𝑎2 = 52
𝑉1 (6, −4)
2𝑏2
Como 𝐿𝑅 =
= 6, entonces 𝑏2 = 3 52
𝑎
La ecuación vectorial de la elipse es:
𝑥, 𝑦 =
𝑥′
3
13
,
−2
13
+ 𝑦′
𝑥′2
𝑦′2
,
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
+
=1
52
13 13
3 52
2
3
HIPERBOLA
Imagen de la Haus der Kulturen
der Welt (Casa de la Cultura
Mundial) en Berlín, Alemania, del
arquitecto Hugh Stubbins
La Catedral de Brasilia
de
Oscar Niemeyer
• Con GeoGebra comprobamos que, efectivamente,
el perfil de la torre Eiffel corresponde a una
hipérbola, sólo que esta hipérbola está inclinada
15.5º en su eje con respecto al eje de ordenadas.
Es esta inclinación la que hace en este caso dar el
“efecto torre”, suavizando la pendiente en la parte
baja (primer y segundo cuerpo) y aumentándola a
partir de aquí para resalta el “efecto aguja” en la
punta superior de la torre.
• El otro lado de la torre está construido por simetría
respecto al eje vertical.
La Hipérbola
La hipérbola es la sección cónica definida
por los puntos P del plano cartesiano talque
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
𝐹1 y 𝐹2 son dos puntos fijados llamados
focos
Definición.- Una hipérbola es el conjunto de
puntos de un plano cuya distancia desde dos
puntos fijos en el plano tienen una diferencia
constante
𝑷 − 𝑭𝟏 − |𝑷 − 𝑭𝟐 | = 𝟐𝒂
𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2 = 2𝑎
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑦2 𝑥2
−
=1
4
9
Excentricidad = e
e=
d(P; F2)
d(P; F1)
=
;
d(P; Ld1) d(P; Ld2)
e>1
Ld1 y Ld2 son dos rectas fijas llamadas
directrices de la hipérbola.
𝑥2 𝑦2
−
=1
9 16
Propiedades de la hipérbola:
1. Recta tangente a una hipérbola en el punto de tangencia (xo,yo)
Ecuación de la hipérbola
Ecuación de la recta tangente
Ejercicio 1. Identificar, determinar sus elementos y ecuación del lugar geométrico que se muestra a
continuación
Otras consideraciones:
Ecuación Vectorial de la Hipérbola
La ecuación vectorial de la hipérbola de centro en
el punto 𝐶(ℎ, 𝑘) y base ortonormal ℬ = {𝑢, 𝑢⊥ } se
define, como
ℋ= 𝑃=𝐶+
𝑥 ′𝑢
Donde:
𝑥 ′ = (𝑃 − 𝐶) ⋅ 𝑢
𝑦 ′ = (𝑃 − 𝐶) ⋅ 𝑢 ⊥
+
𝑥′2
⊥
𝑦′𝑢 / 𝑎2
−
𝑦′2
𝑏2
=1
Ecuación Vectorial de la Hipérbola
Demostraremos la relación:
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′2
𝑏2
=1
Demostración
𝑃 = 𝐶 + 𝑥′𝑢 + 𝑦′𝑢⊥
𝐹1 = 𝐶 + 𝑐𝑢
𝐹2 = 𝐶 − 𝑐𝑢
Por definición de Hipérbola
| 𝑃 − 𝐹1 − 𝑃 − 𝐹2 | = 2𝑎
||𝑥 ′ 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢⊥ − 𝑐𝑢| − 𝑥 ′ 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢⊥ + 𝑐𝑢 | = 2𝑎
𝑥 ′ − 𝑐 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢⊥ − (𝑥 ′ +𝑐) 𝑢 + 𝑦 ′ 𝑢⊥ = ±2𝑎
(𝑥 ′ − 𝑐)2 +𝑦′2 − (𝑥 ′ + 𝑐)2 +𝑦′2 = 2𝑎
(𝑥 ′ − 𝑐)2 +𝑦′2 =
(𝑥 ′ + 𝑐)2 +𝑦′2 ± 2𝑎
Eliminando los radicales y como
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 ,
obtenemos
la
ecuación ordinaria de la hipérbola.
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′2
𝑏2
=1
Ecuación Vectorial de la Hipérbola
OBSERVACIONES
 𝑉1 = 𝐶 + 𝑎𝑢, 𝑉2 = 𝐶 − 𝑎𝑢
 𝑉1 𝑉2 tiene longitud 𝑉2 − 𝑉1 = 2𝑎

𝐵1 = 𝐶 + 𝑏𝑢⊥ , 𝐵2 = 𝐶 − 𝑏𝑢 ⊥

𝐵1 𝐵2 tiene longitud 𝐵2 − 𝐵1 = 2𝑏

𝐹1 = 𝐶 + 𝑐𝑢, 𝐹2 = 𝐶 − 𝑐𝑢
Ejemplo 1: Hallar la ecuación vectorial de la hipérbola de vértice 𝑉1 (3,1) y 𝑉2 0, −3 y semi eje
conjugado igual a 3 unidades.
Solución
𝑥′2 𝑦′2
ℋ: 𝑃 = 𝐶 + 𝑥 𝑢 + 𝑦′𝑢 / 2 − 2 = 1
𝑎
𝑏
′
3
𝐶
, −1 , 𝑏 = 3
2
𝑢=
𝑉1 𝑉2
𝑉1 𝑉2
⊥
𝑉1 𝑉2
𝑎=
=
2
(3 − 0)2 +(1 + 3)2 5
=
2
2
(3,4) ⊥ (−4,3)
=
,𝑢 =
5
5
3
3 4
−4 3
ℋ: 𝑥, 𝑦 =
, −1 + 𝑥 ′ ,
+ 𝑦′
,
2
5 5
5 5
𝑥′2 𝑦′2
−
=1
25
9
4
Ejemplo 2: El centro de un cuadrado es el punto 𝐶(6,2). Si las diagonales del cuadrado son las asíntotas
de una hipérbola y uno de sus lados que se encuentra sobre la recta 𝐿: 𝑦 − 𝑥 − 4 = 0, es tangente a dicha
hipérbola, hallar la ecuación vectorial de dicha hipérbola.
Solución
ℋ: 𝑃 = 𝐶 +
𝑥 ′𝑢
+
𝑦′𝑢⊥ /
𝑥′2 𝑦′2
−
=1
𝑎2 𝑏2
 El centro es 𝐶(6,2)
 El lado del cuadrado es perpendicular al eje focal, entonces
1 1
1
1
𝑢 = − 2 , 2 y 𝑢⊥ = − 2 , − 2
 𝑎=
|2−6−4|
2
=
8
2
= 𝑏 por que el cuadrilátero es un
cuadrado
𝐿
∴ 𝑥, 𝑦 = 6, 2 + 𝑥 ′ −
𝑥′2
32
−
𝑦′2
32
=1
1 1
,
2 2
+ 𝑦′ −
1
1
,
−
2
2
tal que
Ejemplo 3: El foco 𝐹1 (4,6) y el centro de una hipérbola 𝐶(3,4) se encuentran sobre la recta
𝐿: 𝑦 − 2𝑥 + 2 = 0. Si su semi eje transverso mide 2 y su semi eje conjugado 4, hallar la ecuación
vectorial de la hipérbola.
Solución
 El vector 𝑢 tiene la dirección del vector 𝐶𝐹1 , entonces
1 2
2 1
𝑢 = 5 , 5 y 𝑢⊥ = − 5 , 5
 Por el enunciado del problema 𝑎 = 2, 𝑏 = 4
ℋ: 𝑥, 𝑦 = 3,4 + 𝑥 ′
1
5
,
2
5
′2
+ 𝑦′ −
𝑥′2 𝑦
−
=1
4
16
2
5
,
1
5
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
Ejemplo 4: Hallar la ecuación vectorial de la hipérbola, de asíntotas paralelas a los ejes coordenados,
con centro en 𝐶(−2,2) y que pasa por el punto 𝑃(6,5).
Solución
o El centro es 𝐶 −2, 2 . Como las diagonales del rectángulo
son perpendiculares, el rectángulo es un cuadrado
o El lado del cuadrado es perpendicular al eje focal, entonces
𝑢=
o
2 2
,
2 2
y 𝑢⊥ = −
𝑥, 𝑦 = −2,2 + 𝑥 ′
𝑥′2
𝑎2
−
𝑦′2
𝑏2
2 2
,
2 2
2 2
,
2 2
+ 𝑦′ −
2 2
,
2 2
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
=1
o Como la hipérbola pasa por el punto (6,5), entonces:
𝑥 ′ = 𝑃 − 𝐶 . 𝑢 = 8,3 .
𝑦 ′ = 𝑃 − 𝐶 . 𝑢⊥ = 8,3 .
Como 𝑎 = 𝑏, entonces al sustituir los valores de 𝑥′ y de 𝑦′ en
𝑥, 𝑦 = −2,2 + 𝑥 ′
𝑥′2
𝑎2
𝑦′2
− 𝑎2
𝑦′2
2 2
11
,
=
2 2
2
2 2
− 2 , 2 =
2
5
−2 2
= 1, se tiene que 𝑎2 = 𝑏2 = 48
2
2 2
2
2
𝑥′
,
+ 𝑦′ −
,
, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
−
=1
2 2
2 2
48 48