CLASE 4

58
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
26. Calcular las raíces octavas de z  1  i , representar gráficamente y luego hallar
el área de la figura que forman estas raíces.
Solución: Obteniendo modulo y ángulo para el numero z  1  i
r  12   1 
2
2
 1

  arctan    
 1 
4
Su representación gráfica
Sea
wk  8 1  i
Usando la formula
   2k  
 , k  0,1,, n  1
wk  n r  cis 
 n

wk 
8
 

   2k  


  16 2  cis    8k   , k  0,1,,7
2  cis  4




8
32







JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
 
 31 

Para k  0 : w 0  16 2  cis   Para k  4 : w 4  16 2  cis 
 32 
 32 
 7 
Para k  1 : w1  16 2  cis  
 32 
 25 

Para k  5 : w 5  16 2  cis 
 32 
15 
 17  
 Para k  6 : w 6  16 2  cis 

Para k  2 : w 2  16 2  cis 
 32 
 32 
 23 
 9 
 Para k  7 : w 7  16 2  cis  
Para k  3 : w 3  16 2  cis 
 32 
 32 
La representación gráfica de las raíces
Para el área usamos la formula
A
 2 
n n2
r sin  
2
 n 
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
59
60
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
2
 2 
8
A
2 8 sin  
2
 8 
A  22 8 2
A
8
2
2
13
2 u 2 
 
27. Si x , y   , demuestre que las raíces cuadradas de z  x  iy son

1 

 x  z  i sgn y  x  z 

2
Solución:
Sea a  ib la raíz cuadrada de z  x  iy , entonces se cumple
a  ib 
2
 x  iy
(α)
En esta relación aplicamos modulo
a  ib
2
 x  iy
2
a 2  b2  x 2  y 2
a 2  b2  z
(1)
De la relación (α), desarrollando el cuadrado
a 2  b 2  i 2ab  x  iy
Por igualdad de números complejos
a 2  b2  x
2ab  y
(2)
(3)
Para hallar los valores de a , b resolvemos el sistema formado por (1) y (2)
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
2
2


a  b  z
 2

a  b2  x



Sumando ambas ecuaciones
2a 2  x  z
a2 


1
x z
2
Tomando en cuenta que son números reales obtenemos
a 
1
2
x 

z
Restando ambas ecuaciones
2b 2  x  z
b2 


1
x  z
2
Tomando en cuenta que son números reales obtenemos
b
1
2
x 
z

Tenemos cuatro valores
a  ib  
a  ib  
a  ib  
a  ib  
1
x 
z

1
x 
z

1
x 
z

1
x 
z

1
x 
z

1
x 
z

1
x 
z

1
x 
z

2
2
2
2
2
2
2
2
De los cuales solo dos son válidos, de acuerdo a la ecuación (3)
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
61
62
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
2ab  y
Si y  0 entonces a , b deben ser del mismo signo y si y  0 entonces a , b deben
ser de signos opuestos, entonces la expresión se reduce

y  0  1  x  z  i x  z 


2


1 

 x  z  i x  z 
y  0 

2

Por lo tanto

1 

 x  z  i sgn y  x  z 


2
28. Usando números complejos, hallar la suma
S  cos 36   cos 72    cos 108    cos 144  
Solución: Sean las raíces decimas de la unidad
z 10  1  0
Despejando, obteniendo la raíz decima de la unidad
 0  360  k 
 360  k 
  cis 
,
z  10 1  10 1  cis 
 10 

10

k  0,1,,9
Obteniendo las 10 raíces
k  0:
 360  0 
  cos 0  i sin 0  1
z  cis 
 10 
k  1:
 360  1 
  cos 36  i sin 36
z  cis 
 10 
k  2:
 360  2 
  cos 72  i sin 72
z  cis 
 10 
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
k  3:
 360  3 
  cos 108  i sin 108
z  cis 
 10 
k  4:
 360  4 
  cos 144  i sin 144
z  cis 
 10 
k  5:
 360  5 
  cos 180  i sin 180  1
z  cis 
 10 
k  6:
 360  6 
  cos 216  i sin 216
z  cis 
 10 
k  7:
 360  7 
  cos 252  i sin 252
z  cis 
 10 
k  8:
 360  8 
  cos 288  i sin 288
z  cis 
 10 
k  9:
 360  9 
  cos 324  i sin 324
z  cis 
 10 
Graficando
Observando las raíces para k  1 , k  2 , k  3 y k  4
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
63
64
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Los catetos adyacentes de las proyecciones de los números complejos son la medida
de los cosenos que son de igual magnitud y opuestos dos a dos, por lo tanto
S 0
29. Calcular el producto
 n  1  
  
 2 
 3 
 4  
 5 












sin    sin    sin    sin    sin   sin 


 n 
 n 
 n 
 n 
 n 
n


Solución:
Sean las raíces n-esimas de la unidad
z 1  0
n

z  1
n

zk  e
 2 k 

i 
 n 
, k  0,1,  , n  1
Recordando la factorización en términos de las n raíces para z n  1
z n  1  z  z 0 z  z1 z  z 2 z  z n1 
Para el caso particular k  0
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
z0  1
Tomando el límite conocido
lim
z 1
zn  1
 lim z n 1  z n 2  z n 3    z 2  z  1  n
z 1
z 1
De otro modo con la forma factorizada
z  1 z  z1 z  z2 z  zn1 
zn  1
lim
 lim
 1  z1 1  z 2 1  zn 1 
z 1 z  1
z 1
z  1
Igualando ambos resultados de los límites
1  z 1  z 1  z 1  z   n
1
2
3
n 1
Reemplazando las raíces
n 12  

2  
4  
6 

1  e i n 1  e i n 1  e i n 1  e i n   n


 




 


De cada factor, factorizando el exponencial elevado al ángulo mitad y el signo
negativo
1
n 1
n 1  n 1
n1 
  2  2
2   3  3 
3 
 i
i 
i
i
i
i
i
i
i
i

 i n





n
n
n
n
n
n
n
n
n



e e  e e e  e
 e n   n
e
e e  e
e









i
1
n 1

n
e

i 123n 1

n
n 1 
 n 1
  2 
2   3 
3 
 i
e n  e i n e i n  e i n e i n  e i n e i n  e i n   n


 






 

Para cada factor usando la relación exponencial e i  e i  2i sin 
1
n 1
e

i 123n 1

n
2i 
n 1
e
n  1  

   
 2  
 3  
  n



2i sin   2i sin   2i sin    2i sin 

















 n  
 n  
 n  

 n




i 123n 1

n
n  1  
    2   3 

  n



sin   sin   sin   sin 

 n
 n   n   n 


2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
65
66
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
La suma de los n  1 primeros números naturales
2i 
n 1
2i 
e
n 1
i
e
 n 1n
n 2
i

n 1
2


2ie i 2 




n 1
2  i  i 
n 1
n  1  
    2   3 

  n






sin   sin   sin   sin 

 n
 n   n   n 


n  1  
    2   3 

  n



sin   sin   sin   sin 

 n
 n   n   n 


n  1  
    2   3 

  n



sin   sin   sin   sin 


n
 n   n   n 


n  1  
    2   3 

  n



sin   sin   sin   sin 

 n
 n   n   n 


Despejando el producto pedido
 n  1  
  
 2 
 3 
 4  
 5 

  n










sin   sin   sin   sin   sin   sin 

n 1

 n 
 n 
 n 
 n 
 n 
n

 2
 2 n  1  
 2 
 4 
 6 

30. Hallar la suma sin    sin    sin      sin 


 n 
 n 
 n 
n


Solución:
Sean las raíces n-esimas de la unidad
zn 1  0
(1)
2 k
 0  2k 
i
  e n
z k  n 1  cis 
 n

Donde k  0,1, 2,  , n  1 , sea
w e
i
2
n

Este valor satisface la ecuación (1), por lo tanto
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
zk  w k
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
wn  1  0
Factorizando
w  1w
n 1

 w n 2    w 2  w  1  0
Igualando el segundo término a cero
w n1  w n2    w 2  w  1  0
Invirtiendo
1  w  w 2    w n2  w n1  0
Remplazando w  e
i
2
n
1 e
i
2
n
e
i
4
n
 e
i
2n 2
n
e
i
2n 1
n
0
Por Euler
 2 n  1  
 2 n  1  
 2 
 2 

  i sin  
  0
1  cos    i sin      cos 






n
n
n
n
 
 




Separando parte real y parte imaginaria
  
 2 n  1  
 2 n  1  
 2 

  i  sin  2     sin  
  0
1  cos      cos 







 n 


n
n
 n 






Igualando números complejos
 2 n  1  
 2 
 4 
 6 

  0
1  cos    cos    cos    cos 


 n 
 n 
 n 
n


 2 n  1  
 2 
 4 
 6 

  0
sin    sin    sin      sin 


 n 
 n 
 n 
n


Por lo tanto, la suma pedida es
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
67
68
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
 2 n  1  
 2 
 4  
 6 

  0



sin    sin    sin      sin 


n
 n 
 n 
 n 


31. Calcular la suma

 3 
 5 
 7 
 9 
11 

S  cos    cos    cos    cos    cos    cos 
13 
 13 
 13 
 13 
 13 
 13 
Solución:
Sean las raíces de la unidad
z 13  1  0
(1)
 2 k
   2k 
i
  e 13
z k  13 1  cis 
 13 
Obteniendo las 13 raíces
i
 2  0
13


 cos    i sin  
13 
13 
k  0:
z e
k  1:
z e
i
 2  1
13
 3 
 3 
 cos    i sin  
 13 
 13 
k  2:
z e
i
 2  2
13
 5 
 5 
 cos    i sin  
 13 
 13 
k  3:
z e
i
 2  3
13
 7 
 7 
 cos    i sin  
 13 
 13 
k  4:
z e
i
 2  4
13
 9 
 9 
 cos    i sin  
 13 
 13 
k  5:
z e
i
 2  5
13
11 
11 
  i sin 

 cos 
 13 
 13 
k  6:
z e
i
 2  6
13
13 
13 
  i sin 
  1
 cos 
 13 
 13 
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
k  7:
z e
i
k  8:
z e
i
k  9:
z e
i
 2  7
13
15 
15 
  i sin 

 cos 
 13 
 13 
 2  8
13
17  
17  
  i sin 

 cos 
 13 
 13 
 2  9
13
 19 
19 
  i sin 

 cos 
 13 
 13 
k  10 :
z e
i
 2  10
13
 21 
 21 
  i sin 

 cos 
 13 
 13 
k  11 :
z e
i
 2  11
13
 23 
 23 
  i sin 

 cos 
 13 
 13 
k  12 :
z e
i
 2  12
13
 25 
 25 
  i sin 

 cos 
 13 
 13 
Sumando las raíces en forma exponencial
i

A  e 13  e
i
3
13
e
i
5
13
e
i
25 
13
 
2
4
24  
i
i
i
i

 e 13 1  e 13  e 13    e 13 


Por el desarrollo del cociente notable
 i 2  
1  e 13 


13
i

A  e 13
1 e
2
i
13
i

 e 13
1  ei2
1 e
2
i
13
i

 e 13
11
1 e
i
2
13
0
Por lo tanto, para la parte real

 3 
13 
 23 
 25 
    cos 
  cos 
  0
cos    cos      cos 
13 
 13 
 13 
 13 
 13 

 3 
11 
15 
17 
 25 
  1  cos 
  cos 
    cos 

cos    cos      cos 
 13 
 13 
 13   0
13 
 13 
 13 
Por propiedad del polígono regular, observamos que los catetos adyacentes son
iguales 2 a 2
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
69
70
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Por lo tanto
S 1 S  0
2S  1
Por lo tanto
S 
1
2
Potencias fraccionarias
Sean m y n enteros n    y sea z   un numero complejo, entonces la
m
potencia z n se define como
z
m
n
 z
n
m
1
m n
 
 z
m
De este modo z n tendrá exactamente n valores. Si el exponente
n tuvieran divisores comunes, estos no deben ser cancelados.
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
m
es tal que m y
n
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
2
32. Calcular i 4
Solución:
De acuerdo a la definición
2
4
1
2 4
 
i  i
1
 14
Obteniendo las raíces
zk 
1
1
4
   2k 
 , k  0,1,2, 3
cis 

4

   2k 
 , k  0,1,2, 3
z  cis 

4

Desarrollando

2
2
Para k  0 : z 0  cis   
i
 4 
2
2
 3 
2
2
Para k  1 : z 1  cis    
i
2
2
 4 
 5 
2
2
Para k  2 : z 2  cis    
i
 4 
2
2
 7 
2
2
Para k  3 : z 3  cis   
i

2
2
4
6. Curvas y regiones en el plano Z
Teniendo en cuenta las definiciones de números complejos como ser modulo,
argumento, parte real, parte imaginara, etc. se estudiarán las curvas y regiones de
algunas relaciones numéricas entre estas operaciones.
Recta
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
71
72
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
La ecuación de una recta vertical para a   , está dada por
Re z   a
La ecuación de una recta horizontal para b   , está dada por
Im z   b
La ecuación de una semirecta que pasa por el origen (creciente desde el origen) para
   , en términos del argumento está dada por
Arg z   
La ecuación de una semirecta que pasa por el punto z 0 (creciente desde el punto z 0 )
para    , en términos del argumento está dada por
Arg z  z 0   
En general la ecuación de una recta dada en forma general Ax  By  C  0 donde
A, B,C   , con a  A  iB esta dada en forma compleja por
az  az  2C  0
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Regiones limitadas por rectas
Una región en el plano Z limitada por una recta vertical para a   , está dada por
las relaciones de desigualdad del tipo
Re z   a
,
Re z   a
Una región en el plano Z limitada por una recta vertical para b   , está dada por
las relaciones de desigualdad del tipo
Im z   b
,
Im z   b
Una región limitada por dos rectas para ,    , en términos del argumento está
dada por la desigualdad
  Arg z   
Si las desigualdades son estrictas se incluye a las rectas.
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
73
74
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Circunferencia
La ecuación de una circunferencia con centro en el origen de radio r   , está dada
por
z
r
La ecuación de una circunferencia con centro en el punto z 0 de radio r   , está
dada por
z  z0
Regiones limitadas por circunferencias
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
r
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Una región en el plano Z limitada por una circunferencia con centro en el punto z 0
de radio r   , está dada por las relaciones de desigualdad del tipo
z  z0
r
La región tipo disco es la relación
,
z  z0
z  z0
r
 r que es el circulo interior a la
circunferencia.
Una región en el plano Z tipo anillo limitada por dos circunferencias con centro en el
punto z 0 de radios r1, r2   , está dada por las relación de desigualdad del tipo
r1  z  z 0
La región tipo anillo “infinito” es la relación
 r2
z  z0
 r que es todo el plano Z
excepto el círculo interior a la circunferencia.
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
75
76
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Si la desigualdad es estricta se incluye a las circunferencias.
Elipse
Dados dos puntos fijos distintos z 1 y z 2 denominados focos donde
z2  z1
 2c y
dada una constante “ a ” que cumple a  c  0 ( e  a  c , excentricidad e  1 ) se
define a la elipse como
z  z1  z  z 2
 2a











 


Las características de la elipse son
Centro:
C 
Vértices:
V1,V2
z1  z 2
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
2
Semieje menor:
b
Propiedad fundamental:
a 2  b2  c2
77
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Eje Mayor
Semieje mayor:
Eje menor:
V 2  V1
 2a
a
B 2  B1
 2b
a2  b2
a
Excentricidad:
e
Directrices:
Re z  
Latus Rectum:
2b 2
LR 
a
a
0
e
Hipérbola
Dados dos puntos fijos distintos z 1 y z 2 denominados focos donde
z2  z1
 2c y
dada una constante “ a ” que cumple 0  a  c ( e  a  c , excentricidad e  1 ) se
define a la hipérbola como
z  z1  z  z2
 2a









 




Las características de la hipérbola son
Centro:
C 
Vértices:
V1,V2
z1  z 2
2
a
0
e
Directrices:
Re z  
Propiedad fundamental:
c2  a 2  b2
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
78
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Eje transverso:
V 2  V1
Eje conjugado:
 2a
B 2  B1
Im z   
Asíntotas:
 2b
a 2  b2
a
Excentricidad:
e
Latus Rectum:
2b 2
LR 
a
b
Re z 
a
Parábola
Dados un punto fijo z 1 llamado foco y una recta directriz Re z   a  0 el valor
del parámetro “ a ” (excentricidad e  1 ) y el valor de “ b ” se relacionan mediante
w  a  ib y se define a la parábola como
z w

z z
2
Las características de la parábola son
Foco:
w  a  ib
Vértice:
ib
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE

w w
2
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Recta directriz
Re z   b
Eje focal
Im z   a
Latus Rectum:
LR  4a
33. Representar en el diagrama de Argand la siguiente región
z  2  Re z   0




 Arg z  
4
4
Solución: Hallando para la primera región la ecuación de la región dada, sea
z  x  iy
x  iy  2  Re x  iy   0
Aplicando las operaciones y despejando el radical
x 2  y2  2  x  0
x2  y2  2  x
Para elevar al cuadrado aseguramos que el segundo miembro en un numero positivo
2x  0
x 2



x 2  y 2  4  4x  x 2
x 2  y2


2
 2  x 
x 2
2

y 2  4 x  1
Representando en el diagrama de Argand
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
79
80
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Para la segunda región, es una región limitada por dos rectas, como la desigualdad
es no estricta, incluye a las rectas
Intersectando las dos regiones obtenemos el resultado
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Entorno
Se llama entorno o vecindad de radio r de un punto z 0 al conjunto de puntos
situados en el interior de un círculo de radio r con centro en z 0 , es decir todos los
puntos que están en la región tipo disco
z  z0
 r , un punto cualquiera puede
tener varios entornos ya que es posible construir a su alrededor círculos de radios
diversos.
Entorno reducido
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
81
82
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se llama entorno reducido o vecindad punteada de radio r de un punto z 0 al
conjunto de puntos situados en el interior de un círculo de radio r con centro en z 0
exceptuando el propio punto z 0 , es decir todos los puntos que están en la región tipo
anillo 0  z  z 0  r .
Conjunto abierto
Se llama conjunto abierto aquel conjunto de puntos que para todo elemento del
conjunto existe un entorno cuyos puntos pertenecen todos al conjunto.
Conjunto conexo
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Se llama conjunto conexo aquel en el que, para dos puntos cualesquiera del conjunto,
existe una trayectoria formada por segmentos de recta que los une y cuyos puntos
pertenecen todos al conjunto.
Dominio
Se llama dominio D a un conjunto abierto conexo. Se conocen dos tipos de este
conjunto particular un conjunto simplemente conexo y un conjunto múltiplemente
conexo, el primero no tiene huecos y el segundo puede tener uno o varios huecos.
34. Después de graficar el conjunto
z  2  1  2z
Re z  2  3

Analizar si es: a) Conexo, b) Abierto
Solución:
Para la primera región
z  2  1  2z
Elevando al cuadrado ya que son números positivos
z 2
2
 1  2z
2
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
83
84
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Desarrollando
z  2 z  2   1  2z 1  2z 
z  2 z  2   1  2z 1  2z 
zz  2z  2z  4  1  2z  2z  4zz
1 z
o
1  x 2  y2
Graficando la región
Para la segunda región
Re z  2  3
x 2  3
x5
Graficando la región
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Intersectando las dos regiones
Que es la misma región Re z  2  3 , observando
El conjunto resultante Re z  2  3 es a) Conexo, b) Abierto
35. Indicar si el siguiente conjunto es conexo
Im z  
Re z   1
Solución:
Recordando
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
85
86
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
x  Re z 
y  Imz 
Reemplazando
Im z  
Re z   1
y 
x 1
Por definición de valor absoluto

 y si y  0
y 


y si y  0


Obtenemos dos regiones
y
x 1

y 
Para la región
y
x 1
Para
y 
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
x 1
x 1
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Uniendo las regiones
Verificando con dos puntos z1, z 2
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
87
88
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Por lo tanto
El conjunto resultante
Im z  
Re z   1
36. Indicar si el siguiente conjunto es un dominio
1

Re   z   0

z
Solución:
Recordando
z  x  iy
Reemplazando
1

Re   z   0

 z
 1

Re 
 x  iy   0
 x  iy

 1 x  iy

Re 
 x  iy   0

 x  iy x  iy
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
es Conexo
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
 x

iy
  0
Re  2

i

x

iy
x 2  y2
x  y 2

x
x  0
x  y2
2
 1

  0
x  2

1
 x  y 2

1  x 2  y 2 
0
x  2
 x  y 2 
Obtenemos
x 0
x 0


1  x 2  y2  0

x 2  y2  0
x 2  y2  1

x, y  0
Graficando
 1  7 2  12 
  0    0 cumple
Sea 7  i  R1  evaluando en 7  2
2
 7  1 


1  1  1 
1 
1 i
4 4   0    0 no cumple
Sea   R2  evaluando en
 


2  1 1 
2 2



 4 4 


1  1  1 
1
1 i
4 4   0    0 cumple
Sea    R3  evaluando en  
 

2  1 1 
2 2



 4 4 
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
89
90
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
1  4  1
  0    0 no cumple
Sea 2  i  R4  evaluando en 2 
 4  1 
Por lo tanto, la región es
Por lo tanto
1

El conjunto Re   z   0 no es un dominio

 z
37. Probar que una circunferencia que pasa por los puntos z1, z 2 , z 3 se da por la
siguiente condición
z  z1
z  z2
z 3  z1
z 3  z2

z  z1
z  z2
z 3  z1
z3  z2
Solución:
Para una circunferencia de radio R y con centro en C
z C
r
z  C  rei
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
z  Rei  C
Como los puntos z1, z 2 , z 3 pertenecen a la circunferencia, satisfacen su ecuación
z 1  re
i1
C
z 2  re
i 2
C
z 3  re
i 3
C
Realizando las restas
z  z 1  re i  C  re
i 1
z  z 2  re i  C  re
i2
i 3
i1
z 3  z1  re
z 3  z 2  re
i 3
 C  re
 C  re
i2

 C  r e i  e

 C  r e i  e

C  r e

C  r e
i3
i3
i1
i2
e
e
i1
i2
  2ire

 2ire
   
1
i 

 2 
    
1
sin 

 2 
   
2
i 

 2 
    
2
sin 

 2 
  2ire

 2ire
   
i  3 1 
 2 
    
1
sin  3

 2 
   
i 3 2 
 2 
    
2
sin  3

 2 
Dividiendo
2ire
   
1
i 

 2 
    
1
sin 

 2 
   
2
i 

 2 
    
2
sin 

 2 
   
i  3 2 
 2 
    
2
sin  3

 2 
         
 3
1
2
sin 
 sin 

 2   2 


   
         
z 3  z1
i  3 1 



3  1 
2
1
 2 

sin
sin  3



2
ire
sin




z3  z2
 2 
 2   2 



z  z1
z  z2
2ire
2ire
Como el segundo miembro de la igualdad es un número real, tenemos
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
91
92
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
 z  z 

1 
 z  z 
2 
 0
Im 
 z  z 
1 
 3

 z 3  z 2 
Por ser un número real w  w
z  z1
z  z2
z 3  z1
z 3  z2

z  z1
z  z2
z 3  z1
z3  z2
Por lo tanto
z  z1
z  z2
z 3  z1
z 3  z2

z  z1
z  z2
z 3  z1
z3  z2
38. Probar siendo los puntos z1, z 2 , z 3 vértices de un triángulo, es condición
necesaria y suficiente para que el triángulo sea equilátero que se cumpla
z 12  z 22  z 32  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1
Solución:
Se la representación grafica
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Para la condición necesaria, asumiendo       60 realizando las restas
z1  z 3
z2  z3
z 3  z2
z1  z 2
 e i 60
 e i 60
Dividiendo
z1  z 3
z2  z3
z 3  z2
z1  z 2
z1  z 3
z2  z 3
z
1


e i 60
e i 60
z 3  z2
z1  z 2
 z 3 z 1  z 2   z 3  z 2 z 2  z 3 
z 12  z 1z 2  z 3z 1  z 2z 3  z 3z 2  z 32  z 22  z 2z 3
z 12  z 22  z 32  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1
Para probar que es suficiente
z 12  z 22  z 32  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1
(1)
La relación (1) ase puede escribir
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
93
94
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
z1  z 3
z2  z 3

z 3  z2
z1  z 2
La relación (1) ase puede escribir
2z 1z 3  z 12  z 32  z 22  z 1z 2  z 2z 3  z 3z 1
 z 1  z 3   z 2  z 3 z 2  z 1 
2
 z 1  z 3 z 1  z 3   z 2  z 3 z 2  z 1 
z
3
 z 1 z 1  z 3   z 2  z 3 z 2  z 1 
z1  z 3
z2  z 3

z 2  z1
z 3  z1
Igualando
z1  z 3
z2  z 3

z 3  z2
z1  z 2

z 2  z1
z 3  z1
Observamos que
z1  z 3
z2  z 3

z 3  z2
z1  z 2

z 2  z1
z 3  z1
Entonces
z1  z 3
z2  z3
z 3  z2
z1  z 2
z 2  z1
z 3  z1
 re i
 re i 
 re i
La conclusión es
      60
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE
 re i
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Y, además
r 1
Entonces es un triángulo equilátero
7. Funciones en variable compleja
Sea f una función de variable compleja, si existe una regla de correspondencia,
que asigna para cada z  D un único w   que es la imagen según
f : 
f :z  w
w  f z 
w  f z 
Es decir que se asigna a un número complejo z  x  iy otro número complejo
w  u  iv y se representa el dominio en un plano Z y las imágenes en otro plano
W.
Si la regla de correspondencia w  f z  , f le asigna a cada z más de un valor w ,
entonces w  f z  se denomina función multiforme o función de varios valores.
Tomando las siguientes relaciones de los diagramas de Argand correspondientes
z  x  iy
2ki TEORIA Y 2000 PROBLEMAS EN VARIABLE COMPLEJA
95
96
CAPITULO 1: PROPIEDADES DEL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
w  u  iv
Por lo tanto, la regla de correspondencia
w  f z 
u  iv  f x  iy 
Se definen las ecuaciones de transformación
u  u x , y 


v  v x , y 

Es decir w  f z  transforma puntos, curvas y regiones del plano Z que es el
dominio, en respectivamente puntos, curvas y regiones del plano W que es la imagen.
JULIO CESAR UBERHUAGA CONDE