18-LOGARITMOS-–-ALGEBRA-CUARTO-DE-SECUNDARIA

Logaritmos I
Introducción
Definición
En la época de los grandes descubrimientos, las operaciones
aritméticas fueron clasificadas en tres especies: la primera
especie la conformaban las operaciones de adición y
sustracción; las de segunda especie eran la multiplicación
y división; la potenciación y radicación eran de tercera
especie. Resolver un problema de cálculo aritmético
consistía en transformar uno de segunda o tercera especie
en una especie inferior (primera especie) de manera que
sea más sencilla.
Se denomina logaritmo de un número real positivo al
exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta
de la unidad, para obtener una potencia igual al número
propuesto, es decir:
Entonces el gran problema era hallar un proceso que
permitiese transformar las operaciones de potenciación
radicación, multiplicación y división en una división o
sustracción y así que el matemático y teólogo escocés John
Napier (1550 - 1617) publicó la primera tabla de logaritmos
en el año 1614. Posteriormente, trabajando en forma
independiente, el suizo Jose Bürgi (1552 - 1632), fabricante
de instrumentos astronómicos matemático e inventor,
l o
Si bien es cierto que realizar la tabla de logaritmos no ha
sido sencillo, gracias a ella podemos multiplicar dos
números sumando logaritmos, dividir dos números restando
logaritmos, hallar una potencia multiplicando la base por el
índice; es por ello que los logaritmos fueron indispensables
durante tres siglos en el cálculo aritmético, el cual
actualmente ha sido sustituido por las máquinas
electrónicas, sin embargo siguen ejerciendo un papel
importante en el campo de las ciencias químicas, físicas,
economía, estadística, etc.
A lo largo de la historia se han establecido muchas tablas
de logaritmos, pero la más usual es la de los logaritmos
decimales, la cual fue elaborada por el matemático inglés
Henry Brigss (1561 - 1631) en colaboración con Napier.
Actualmente los logaritmos se utilizan para trabajar
cantidades sumamente elevadas, reduciéndolas a escalas
más pequeñas, donde se pueden trabajar cómodamente,
utilizando lo que se conoce como “papel logarítmico”.
N = x  bx = N
b
donde:
- x: logaritmo x  IR
- b: base (b > 0; b  1)
- N: número al cual se le toma logaritmo (N > 0)
Ejemplos:
-
log525 = 2;
log232 = 5;
porque: 52 = 25
porque: 25 = 32
-
log
1
porque:  
 
=9
 3 
porque: 30 = 1
-2
9 = -2;
1/3
publica su tabla de logaritmos en 1620.
Una tabla de logaritmos consta de dos columnas de
números. A cada elemento de la columna de la izquierda le
corresponde su logaritmo que es el número ubicado a su
derecha.
g
-
log31 = 0;
Identidad fundamental
De la definición, se desprende que:
b
logb N
=N
N > 0; b > 0; b  1
Ejemplos:
-
5
log5 3
=3
log 2
- 7 7 =2
Efectuar:
log2 5
+ 27
log3 4
= (22) log2 5 + (33) log3 4
4
log3 4
Solución:
 4
log2 5
= (2
+ 27
log2 5 2
) + (3
log3 4 3
) = (5)2 + (4)3 = 89
A continuación vamos a ver las propiedades de los
logaritmos que cumplen para cualquier sistema de
logaritmos.
Propiedades generales de los logaritmos
1. logb1 = 0
 log51 = 0
2. logbb = 1
 log77 = 1
3. logxab = logxa + logxb
 log2(15)
 log2(3)(5)
 log23 + log25
4. logxa/b = logxa - logxb
5.
 log25/9
 log25 - log29
logxbn = nlogxb
2. El logaritmo de qué número en base 2 2 es 8.
Solución:
log 2
N = 8  (2 2 ) 8 = N
2
28. 2 8 = N
N = 4 096
3. Calcular el logaritmo de 64 en base
3
2.
Solución:
log 3 2 64 = x
2100
 log2
 100log22
 100
 ( 3 2 )x = 64
2x/3 = 26
x
= 6  x = 18
3
Cologaritmo
Se define como cologaritmo de un número al logaritmo del
inverso multiplicativo de dicho número, es decir:

cologbN = logb  1 
 N 
Antilogaritmo
4. El logaritmo de 2 3 en base “x” es 0,1. Hallar “x”.
Solución:
logx2 3 =
1
10
x1/10 = 2 3  x = (2 3 )10
x = 210. 3 10 = x = 248 832
5. Hallar “x” en:
log 3 x 16 = 4
antilogaritmobN = bN
Solución:
Nota:
3
logb(antilogbN) = N; antilogb(logbN) = N
Cambio de base:
x
4
= 16  x = 4 16
x = 23  x = 8
3
Problemas para la clase
logba =
log x a
logx b
Regla de la cadena:
logba.logcb.logdc = logda
1. Calcular el valor de las siguientes expresiones:
* log416
* log832
* log25 25
 Problemas resueltos
1. Calcular el valor de las siguientes expresiones:
-
log381 = 3x = 81  x = 4
-
8 log8 a = a; (identidad fundamental)
log4(3x) = log43 + log4x; (x > 0)

5
log3   = log35 - log34
 4 
antilog42 = 42 = 16
-
* log3243
* log
7
343
1 
* log 0,3   
 9 
2. El logaritmo en base 1/3 del número 1/729 es:
a) 3
d) 12
b) 6
e) 18
c) 9
3. Calcular el valor de:
J=
log2 3 log3 5 log5 2
d)
5log5 3
1
1
e) -
2
6
9. Efectuar:
a) 2
d) 5
b) 3
e) N.A.
4. Si: L = log
Hallar:
3
c) 4
3
2
1


log2 45  3 log3 40  2 log5 72  1
[log2(log2256)]
L -1
2
a) 1
b)
d) 0
e)
1
2
c) 2
a) log52
b)
d) 1
e)
3
b) 0
1
e) -
2
a)
1
b)
6
d) -1
1
2
1
log7 2 log3 7 log5 3 log 5
2
b) 3
e) 0
11
a) 2
d) 8
B  log
5
3
2
11
c) -2
lne + lne2 + lne3 + .... + lnex+1
a) x
b) 1
e) 4
c) 2
-1
2 2 
 9 
3






 log 3
 log0,5
log 0,6
 12 
 15 



5
c)
e)
x(x  1)
2
4
b) -
1
2
c) 0
d)
x 1
2
(x  1) (x  2)
2
(x - 1)x
2
3
b)
14.Si: a
2
b = (log a) . (log b)
Hallar: 35
6
c) -1
b) -3
e) 0
13.Calcular:
25
8. Calcular:
1
 1 
- log  
 10 
B-A
a) 0
d) 3
a)
1
b) 1
e) 0
a) -1
d) 1
10
8 .log

12.Calcular el valor de:
R = log52.log2 + log25.log5 - log510.log210
c) 2
A  log 3.log
3
5 log7 5
log 4
log11
7. Si:
Hallar:
c) 0
2
11.Calcular:
c) -1
6. Calcular:
a) 4
d) 1
1
e) 1
J=
M=
1
2
1
1
1


log 2 15  1 log 3 10  1 log 5 6  1
2
 75 
 50 
 32 
G  log   - log 
  log 

 16 
 81 
 243 
d)
c) log25
5
10.Reducir:
5. Simplificar la expresión:
a) 1
1
a) 27
d) 25
9
3
b) 45
e) 18
3
c) 15
15.Hallar el valor de:
J = logb {anti log 2 [log 3 (anti log
b
a) 2
d) 4
b
b) 8
e) 6
b4
3)]}
c) 12
a) 36
d) 18
b) 9
e) 14
22.Efectuar:
anti log 2
16.Indicar el valor de la expresión:
log0,25
a)
2
8
b)
3
d) -
2 2 2
1
8
 log0,04 5 5 5....
1
c)
8
e) -
1
a)
d)
2
x-y
3
b)
e)
4
d)
6
1
6
d) 2
e)
2
c)
1
2
IR+ - {1} y además:



log5 x log7 y log9 z





 log y . log z . log w   2
 5   7   9 
15
16
xy
c) 16
xy
Calcular:
a)
3
x  y
1
b) 0
2
d) -
4
w2
x
1
c) 1
e) -1
2
24.Sean: a, b, c  IR - {1}, simplificar:
log0,4
a)
b) 32
1  logb a 

 .log a 5
 1  log a b 
b

18.Calcular:
5
a) 8
23.Si: {x; y; z; w}
17. Si: 10x = 18; 10y = 12, calcular “log106” en términos de
“x” e “y”.
x-y
c) 7
b)
e)
10log100
10log100
10log100


loga bc  1 logb ac  1 logc ab  1
2 2
13
50  log0,32
5
5
1
3
c)
a) 1
d) 100
1
2
c) 100-1
b) -100
e) -1
25.Calcular:
5
antilog3 (log
3
3
2
(antilog4 (co log6
2
19.Reducir la expresión:
log 2
a) 32
log 7 5log 5 8
log5 2log2 7
5
d)
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
ab
2
d) 3 - a - b
b) 3 + a - b
27
e) -
c) -
c)
ab
e) a - b - 3
3
log 5 {anti log 3 [co log
1
27
1
9
2
3
a) 6
d) 12
(log 9 (log125 anti log 5 log 4
5
b) 8
e) 4
c) 10
27. A qué es igual:
E=
21.Simplificar:
{49log7 6 } log3 5
8)))
26.Hallar el valor de:
20.Si: log35 = a ; log32 = b. Hallar “log3(2,7)” en función
de “a” y “b”.
a)
1
b) 27
2
log2 3
log5 2
a) 4
d) 25
b) 9
e) 49
log 2 3
81
c) 16
2
2 ))]}
28.Siendo: log422 = a ; log423 = b
Hallar: log4249
2. Calcular:
 3 
 3
 37 
log2   + log2   - log2 
 74 
 92
 23 
a) 1 + a - b
b) 2(1 + a + b) c) 3(1 - a - b)
d) 2(1 - a - b) e) a - b + 2
29.Indicar V o F según corresponda:
I. log2(xy) = log2|x| + log2|y| / xy > 0
II. log
(x + y ) =
2
log
x + log
2
2
y ; c ua n do :
1 1
  1 ; donde: x, y  IR+.
x y
b) VVF
e) VVV
b)
d) 3
e)
a) 7
d) 1
c) VFF
2
co log -1
4 log 2 log 2 anti log 4 (log 1,4 1,96)
a)
a
b
d) 1
1
d) -
c)
logb
log a
e)
b
a
d)
3
5
3
b) 5
e)
c)
log a
logb
5. Hallar “x”, si: log4x = 1,5
1. Hallar: log3 5 3
1
c) 4
2
Autoevaluación
a)
4
b)
1
e) 0
2
c) 1
3
b) 2
e) 3
Se obtiene:
b) -1
2
4. Resolver: ax = b
30.Al reducir:
a) 1
1
3. Calcular: log 232 + log 1/416
III. log2(-2)4 = 4log2|-2| = 4
a) VFV
d) FVV
a) 2
c)
5
1
5
3
a) 4
b)
d) 6
e) 2
2
c) 8



Logaritmos II
He aquí un ingenioso rompecabezas algebraico que nos
trajo a los delegados de un congreso físico celebrado en
Odesa. Proponen el siguiente problema:
Resolviendo la ecuación exponencial:
“Expresar el siguiente número entero y positivo mediante
tres números “dos” y signos matemáticos”.
Luego:
3x
2
3x
3x = -2  x = -
Solución:
- Mostramos en un ejemplo la solución de este problema.
- Supongamos que el número raro es el “3”, en este caso
el problema se resuelve así:
3 = -log2.log2
2
2. Hallar “n” en:
Solución:
Es fácil convencerse de la veracidad de tal igualdad. En
efecto:
2 = [(21/2)1/2]1/2 = 21/8 = 2 2
también: log2 2
2-3
-2
 3 
 2 
 3 
 3 
  =      =  
2
 
 3 
2 
 2 
3
log n = 3log6 - 2log3
logn = log63 - log32
logn = log
-3
2
216
9
 n = 24
= 2-3
luego: -log22-3 = 3
- Si el número fuera 5, resolveríamos por los mismos
procedimientos:
5 = -log2.log2
2
- Se tiene presente que siendo la raíz cuadrada, se omite
el índice de la misma.
La solución general del problema es como sigue, si el
número dado es “N”:
 N = -log2 log2
... 2



"N" veces
# de radicales = # de unidades del número dado
3. Si: F(x) = log10x
Hallar:
E = F(1) + F(0,1) + F(0,01) + F(0,001)
Solución:
Con la ley dada:
E = log101 + log10 0,1 + log10 0,01 + log10 0,001
E = 0 + (-1) + (-2) + (-3)
E = -6
4. Resolver:
Solución:
Regla de la cadena en el primer miembro:
log6x.logx2x.log2x3x
Luego:
 Problemas resueltos
1. Calcular el logaritmo de 4/9 en base 3 3/8.
log6x.logx2x.log2x3x = logxx2
 log63x
log63x = logxx2
 log63x = 2 log x x


1
log63x = 2  62 = 3x  x = 12
Solución:
log
3
3
8
4
=x
9
x
4
 27 
   =
9
 8 
5. Hallar el valor de “x” sabiendo que se cumple la siguiente
igualdad:
logk32.logxk = 5
4
AÑO
Solución:
Regla de la cadena en el primer miembro:
logk32.logxk = logx32
a)
Luego:
d)
logx32 = 5
x5 = 32  x =
5
32  x = 2
n
n
1
n
n
*
*
*
*
logx4 = 2/3
antilog2x = 32
log 0,6 x = 3
log251 = x
*
*
*
*
a)
1
2
1
6
9. Si:
Hallar “x”.
3. Indique el valor de “x” que cumple:
log2(log5x) = 1
a) 5
b) 25
d) 125
e)
c) 1
1
a)
d)
25
4. Resolver:
nn
1
n
1
b) -
2
c) -4
1
e) -
6
8. Determinar el valor de “x” en:
log2x + log4x = 3
a) 2
d) 5
2a = 3
3a + 3a+1 = 20
5a = 10
(1/2)a = 2
1
log8 log4 log2 16  x
d)
2. Determine el valor de “a” en las siguientes ecuaciones:
e)
c)
7. Resolver:
Problemas para la clase
1. Calcular el valor de “x” que satisface la igualdad:
b) nn
1
2
1
4
b) 4
e) 6
c) 3
log4(2x + 1) + log2(4x + 2) = 2
b)
e)
1
3
c)
2
3
3
4
10.Calcular “a”, dada la siguiente igualdad:
log [x
(log x y ) (log y z) (log z { x -3})
a) 2
d) 8
b) 3
e) 9
]  log 5
c) 4
x log x (x 2)  5log5 x  3log3 12
a) 4
d) 8
b) 5
e) 10
c) 6
11.Hallar el valor de “x”:
log 3(5x - 1) + colog 3(3x - 5) = 2
5. Si:
 1 
 1 
 1 
 1 
log 1 -   log 1 -   log 1 -   ...  log 1 -   - 3
3
4
5






 n 
Hallar “n”
a) 103
b) 20-3
d) 3000
e)
c) 2000
1
1000
logb x
donde: b  x x
x
n
 x
n- x
b) 2
e) 16
c) 4
12.Calcular el valor de “x”.
antilogxantilogxx = 16
a) 0
d) 4
6. Determinar “x” si:
xx
a) 1
d) 8
b) 1
e) 6
c) 2
13.Resolver:
x 2 - y 2  11

log x - log y  1
a) -
10
3
c) 1 ;
;
1
b)
3
10
3
;
1
3
2 10
;
d)
3 3
1
3
5 1
;
e)
3 3
d) 1
b)
1
2
c)
3
4
e) 0
15.Si se cumple:
 p 2  q2 
  logp  log q
log 


 2

Hallar: logpq + logqp
a) 2
d) 8
b) 4
e) 10
b) 3
e) 6
log2x - 7logx = -12
e indicar el producto de soluciones.
b) 102
e) 103
log2x + 3logx + 2 = 0
e indicar la mayor solución.
b) 10-2
e) 1
c) 10
19.Resolver:
log2x - 5logx - 6 = 0
e indicar el producto de sus soluciones.
a) 10
d) 104
b) 102
e) 105
a) ln4
d) ln3
c) 103
2
antilog2 3  625
c) 2
b) ln2
e) ln6
c) ln2 + ln3
23.Si: logxyzx = -4; calcular el valor de:
1
log y xyz
a) 1
d) 4

1
log z xyz
b) 2
e) 5
c) 3
24.Hallar “x” en la ecuación:
1

log x  3 10
a) 1
d) 4
1
log x  1 10
b) 2
e) 5
 log15
c) 3
25.Resolver:
c) 107
18.Resolver:
a) 102
d) 10-1
-5x  9
22.Si resolvemos el sistema de ecuaciones:
ex + y = 12 ; ex - y = 3
donde: e = 2,718281...
¿Cuál es el valor de “y”?
c) 2
17. Resolver:
a) 105
d) 108
2
c) 6
b) 3
e) 7
c) 6
16.Luego de resolver:
logx + 1 (5x + 19) = 2
la solución es:
a) 1
d) 5
b) 4
e) 10
a) 1
d) 5
Hallar “x + y”
4
a) 2
d) 8
antilogx antilog4
2
25x 2  5 y

ln x  2 ln y
a)
1000log 3  3 x
21.Calcular “x” en la ecuación:
14.Al resolver:
1
20.Resolver e indicar el producto de las soluciones de la
ecuación:
25
a) 2
d) 8
26.Resolver:
a) 4
d) 32
log5 x
log27 x 3
-3
b) 4
e) 10
-6
log6 12
 log5 1
c) 6
5log2x - 3log4x = 28
b) 8
e) 256
c) 16
27. Si: a = xlogy ; b = ylogx
Reducir:
a  b 
log 


  2 
log (ab)
a) 1
d) -
1
2
b)
2. Hallar el logaritmo de 16/81 en base 4/9.
1
c) -1
2
e) 0
d)
28.Resolver:
Calcular el mayor valor de: x/y
29.Resolver:
a) 1
d) 4
30.Resolver:
a) 1
d) 2
b) 10-6
e) 101/3
c) 101/6
xlog3 + 4log(log5) = 4log(log125)
b) 2
e) 5
4
2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 140
b) 10
e) log210
1. Hallar “x” en: log8x =
b) 2
e) 24
a) 6
d) 9
e)
c) -3
1
2
c) log2
1
c) 3
c) 8
1 
1 



1 
log5 1   + log5 1   + log5 1   + ... +
3
4 
2




1 

log5 1 
49

a) 5
d) 2
b) 4
e) 1
c) 3
5. Calcular: antilog24 + antilog33
a) 42
d) 3
3
b) 7
e) 10
4. Simplificar:
c) 3
Autoevaluación
a) 3 6
d) 1
1
b) 3
3. Resolver: 9 log 9 (113 x ) = (22 + 10x)
log x  log y  8
 log y
 10 7
x
a) 106
d) 10-1/6
a) 2
b) 48
e) 1
c) 43