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Utilización de la transformada de Laplace para obtener la función de
transferencia de la amortiguación de un automóvil
Juan Manuel Gutiérrez
Estudiante de Ingeniería en Sistemas de Computación
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
[email protected]
Diciembre 2011
Resumen: El siguiente informe muestra una de las aplicaciones de la transformada de Laplace en problemas físicos. En este
caso, se requiere obtener la función de transferencia de la amortiguación de un automóvil de forma simplificada, es decir, que
se centrará en estudiar cómo trabaja la amortiguación para reducir las vibraciones provocadas por las irregularidades del
terreno. Para ello, se introducirá al lector en los conceptos de estudio de procesos dinámicos, función de transferencia,
ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace.
Palabras clave: transformada de Laplace, función de transferencia, ecuaciones diferenciales, amortiguación, procesos
dinámicos.
I.
INTRODUCCIÓN
Antes de comenzar a desarrollar el tema, se procederá a explicar los conceptos básicos necesarios para
comprender el problema y su solución.
La amortiguación de un automóvil permite controlar la carga del vehículo, mantener las ruedas alineadas,
mejorar la maniobrabilidad y, principalmente, reducir las vibraciones provocadas por la forma del terreno sobre
el cual se transita. Esto se logra gracias al uso de amortiguadores, muelles (resortes) y de los neumáticos.
La función de los neumáticos en la amortiguación es la de absorber las pequeñas desigualdades del terreno.
En cambio, la de los muelles es absorber las desigualdades grandes, y por último, los amortiguadores se
encargan de limitar las oscilaciones del movimiento de los muelles.
El comportamiento de la amortiguación es un proceso dinámico, es decir, que es variable en el tiempo. Es
por esto, que se debe describir con ecuaciones diferenciales para poder representarlo matemáticamente.
II. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE PROCESOS DINÁMICOS
En general, los procesos dinámicos pueden representarse de manera aproximada por el siguiente modelo:
(1)
Como la amortiguación del automóvil es un proceso dinámico, la ecuación que lo describe será similar a la
anterior y para formularla utilizaremos la segunda ley de Newton, la cual indica que la sumatoria de fuerzas
aplicadas a un cuerpo es igual a su masa por la aceleración, es decir:
(2)
Las transformadas de Laplace fueron presentadas por Pierre-Simon Laplace (1749-1827) en respuesta a la
búsqueda de una solución a las ecuaciones diferenciales. El trabajo de Laplace se basó en las investigaciones de
Leonhard Euler (1707-1783), logrando así transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Es
por esta razón, que son de gran utilidad en el estudio de vibraciones y de circuitos eléctricos, como así también
en la resolución de problemas matemáticos que utilizan ecuaciones diferenciales.
Entrada del proceso:
función estimulante
Proceso: Función de
transferencia
Salida del proceso:
respuesta al estímulo
X(s)
G(s)
Y(s)
Figura 1: función de transferencia.
La transformada de Laplace se define como:
(3)
La función
es la transformada de Laplace de la función
, también se escribe como
. A su
vez, es posible anti-transformar o invertir la función
para obtener nuevamente la función original
:
(4)
Una vez que se obtiene la ecuación que describe el movimiento de la amortiguación, en base a la segunda
ley de Newton, se aplica la transformada de Laplace para poder obtener la función de transferencia. Esta función
es un modelo matemático que relaciona la forma en que responde un sistema con respecto a una señal de entrada.
Es decir, que describe cómo reacciona un sistema frente a un estímulo.
La ecuación de la función de transferencia es la siguiente:
(5)
Donde
es la entrada del proceso (estímulo), e
es el cambio en la salida del proceso (respuesta al
estímulo). Matemáticamente,
es la transformada de Laplace de la señal de entrada, e
es la
transformada de Laplace de la respuesta del sistema.
III. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA DE AMORTIGUACIÓN DE UN AUTOMÓVIL
Para encontrar la función de transferencia, primero se debe plantear el problema y encontrar la
ecuación que describe el movimiento de la amortiguación del automóvil en función del tiempo. Para
simplificar el problema se estudiará el proceso en una de las ruedas según la figura 2 dada.
Figura 2: diagrama de la amortiguación del automóvil.

k: representa el muelle o resorte, y también será considerado como la constante elástica del
mismo.

b: representa el amortiguador.

: representa la fuerza de entrada.

: representa el desplazamiento o respuesta del sistema.
Se utiliza la ecuación (2) para modelar el problema de la siguiente forma:
(6)
(7)
(8)
Como se puede observar, la ecuación (8) respeta la forma de (1), es decir que describe un proceso
dinámico que varía en el tiempo, mediante una ecuación diferencial. Para poder resolverla, se debe aplicar
la transformada de Laplace a ambos miembros, considerando que
. Por lo tanto,
se obtiene:
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
De (5) y (13) resulta:
(14)
La ecuación (14) es la función de transferencia buscada.
En la figura 3 se puede observar un esquema de la aplicación de la función de transferencia de la
amortiguación de un automóvil a modo de ejemplo.
Figura 3: ejemplo de aplicación de la función de transferencia en la amortiguación de un automóvil.
IV. CONCLUSIONES
En conclusión, se puede afirmar que la transformada de Laplace resulta ser una herramienta muy útil para
resolver ecuaciones diferenciales, y se aplica para resolver problemas de circuitos eléctricos y de vibraciones,
entre otros.
REFERENCIAS
[1] G. Calandrini, “Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variables
Compleja”, 2do cuatrimestre 2010.
[2] G. James, “Matemáticas Avanzadas para Ingeniería”, Pearson Educación, 2002.
[3] Niño, Elvira. “Aplicaciones reales de la transformada de Laplace”, [internet], disponible en
http://www.slideshare.net/gabriellacayo/aplicaciones-reales-laplace-8485102, [acceso diciembre de 2011].
[4] Ogata Katsuhiko, “Ingeniería de control moderna”, Pearson Alhambra, 4ta edición, pp.130-131, 2003.
[5] Wikipedia, La enciclopedia libre, [internet], disponible en http://en.wikipedia.org/wiki, [acceso diciembre
de 2011].