GEOMETRÍA ELEMENTAL PARA TRAZOS No hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorar la enseñanza y el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos; no se requiere introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas. En mi opinión, los viejos tópicos vistos desde un ángulo contemporáneo pueden ser tan frescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. ¡Y son muchos! En muchos países hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseñanza de la ciencia ha sido más bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemática. Por el cual pongo en línea este folleto. Para los que gusten de geometría. Geometría Propiedad: Si: TRIÁNGULO Es la figura geométrica (conjunto no convexo) formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos. Notación: B LÍNEAS NOTABLES Propiedad: Ceviana Interior y y x x x ABC Ceviana Exterior BM: Ceviana interior relativo al AC B Propiedad: Propiedad: Propiedad: Si: Si: Si: BM: Ceviana exterior relativo al AC B a y x +y= Propiedad: Región exterior al BC a=b x+y > a+b x=y + C M A Propiedad: Propiedad: x 90°- 90°- x = 90°- A Propiedad: Si: Si: a b b a b BISECTRIZ Bisectriz Interior x a Teorema: Región interior + a + x x = 180º B y x Bisectriz Exterior n BM: Bisectriz BM: Bisectriz interior relativo exterior relativo B al AC al AC y b C M BM: Mediana, mediatriz, bisectriz, altura. Propiedad: x=2 Si: a B x b Propiedad: M C A 2 90°- b a b Región exterior al AB a Propiedad: Si: a=b = m a=b Propiedad: a=b n=m Propiedad: Si: Si: x = 90º Propiedad: Si: b A Región c exterior al AC a + b + c = 360º C y Gráficamente: Región Triangular B A X= x= + A B 2 b B. Triángulo oblicuángulo: A Propiedad: Propiedad: b C A a y b : agudos , Propiedad: 2 2 c 2 A A B A Mediatriz: Caso I L L : Mediatriz de AC. : Mediatriz de AC. 2 “x” es obtuso, Isósceles Lateral (AB) L C Propiedad: 2 2 2 b >a +c C c A B c b C A´ Caso: A-L-A (ángulo - lado - ángulo) b C´ TEOREMA II B´ A x 2 x +y= La medida de sus tres lados son diferentes. + 5 C A´ C´ b TEOREMA B c x = 90° + III B´ Propiedad: a Propiedad: A a La medida de sus tres lados son iguales. c a x= x = 90° - C La medida de sus dos lados son iguales. Nota: El AC es base Nota: b Caso: L-L-L (lado - lado - lado) x x Lateral (BC) C L Propiedad: 2 2 B A Propiedad: Equilátero 60º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) B´ a x Propiedad: + TEOREMA I B b A = C´ b A´ B C X + C b M BM: Mediana realtiva al AC Mediatriz: Caso II H C 2 A C 2.- Por la medida de sus lados: Escaleno y + a c Mediana: A b. Triángulo obtusángulo b <a +c + a c B c A x X= x = 90º B´ Caso: L-A-L (lado - ángulo - lado) C Si: a > b > c b-c<a<b+c > B h B a. Triángulo acutángulo = x = 90º Casos de Congruencia: a +c =b C n=m = Congruencia de Triángulos: Son dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente de igual medida y además sus lados correspondientes de igual longitud. (Ángulos y lados homólogos) = 90º Teorema de Pitágoras B X n=m x m a c c A C No hay Bisectriz en el ABC Altura: AC : Hipotenusa a n m + B + c + a B AB y BC : Catetos Teorema: Propiedad de existencia Teorema: Si a > c Propiedad de correspondencia Teorema: n M h x= B Región interior determinada por el triángulo ABC C 2 1.- Por la medida de sus ángulos: A. Triángulo rectángulo: C por x C A Altura: 2 C c 2 CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Triángulo ABC Esta cons tituida x z Si: P = a + b + c 2 p < x + y + z < 2p B A A x C M A Observación: No es bisectrtiz exterior B 2 b p x =x+y + Si: Si: B a Observación: El triángulo como conjunto no convexo no presenta región, sino determinan regiones. Es distinto decir triángulo a decir región triangular. x = y = x + 180º + Si: x 60º b C A´ b 2 b x 60º 60º = a=b x = 90° - 6 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) C´ Geometría Aplicación 1 hallar “x” en: CASOS ESPECIALES EN CONGRUENCIA Congruencia en triángulos rectángulos En: B Si: m x Teorema de la base media n M N = y (por que MN a m AC) TRAZOS Y PROPIEDADES Observación: Se realizará las demostraciones más complicadas a las necesarias. 1) ¿Qué hacer en caso del siguiente ? B x = 2a n y A x x Solución: C X Corolario: 2 n B a x C ro 1 Trazo interior: Se trata BM, interior y M AC formando m AMB = 2 . En consecuencia se tiene: x = 2a a m C A n=m B a b Observación: x B x x A N D E MN no es paralelo a AC Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa x=m a M Primero se deduce que la m BCE = m BEC = x (En el EBC isósceles) Luego se deduce que m CED = Ahora el ABE DEC (caso A-L-A); por tanto a=b, el cual da como consecuencia un EBC equilátero. a x 2 2a A 2 Trazo exterior: Análogamente al exterior se traza BM m m C Aplicación 2 hallar “x” en: 60º 45º a 2n n 30º a M m b B O 3 Trazo especial: Para ello es necesario hacer un cambio de variable: = 2 Es decir: n 3 a=b A 60º- b 75º m=n 37º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) El AOB Caso: L-L-L 74º 2 7a 16º Resulta: 24a 17 a 81º Se trazo 76º a a C 14º 8º 7a 7 a 3a 5 2 a A de la siguiente forma? 2a 25a 37º/2 COB 2) ¿Qué hacer en un a 53º/2 10 a O a 5 3a 4a El AOC es isósceles donde: AO = OC 2 2 5a B D 3 3 B Primero: El DAB DOC (caso L-L-L) Por tanto la m ABD = m OCD = , en consecuencia la medida del ACB = 60º Por último, en el ABC Por teorema x + ( + 60º) + 60º = 180º x = 60º Segundo trazo 53º Es decir el AOB es isósceles de base AB A 2 Primer trazo 15º Notables aproximados: a=b C 4 4a Teorema de la mediatriz De un segmento a 2 a Resulta: B n O O 6 a Si: OM es bisectriz 60º x 2 a 6 C ro APLICACIONES DE CONGRUENCIA Teorema de la bisectriz De un ángulo 2 M 45º a B Ceviana exterior a 2 x C M do Notables: A 2 A y x = 60º Solución Civiana interior X 4a 2 8 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría SOLUCIÓN 2: “PROBLEMAS” PROBLEMA 1 - Hallar “x” en: Se nota la congruencia ( ABN CMN) Caso L-A-L Primero trazamos MN PROBLEMA 2 - Hallar “x” en: B B SOLUCIÓN 5: Lo primero que haremos es el cambio de variables y asignamos los ángulos de medidas iguales. ( =2 ) 3. ¿Qué trazo se debe hacer en triángulos de la siguiente forma? B 3 x 20º 20º 10 º+ 20º x 20º x A PROBLEMA 3 - Hallar “x” en: 4 C 10º N A 10 º+ x 2x = 20º x x x A C M º 10 x 2 3 10 º+ x = 10º 4 A El 2 x b 13a a n = 5a 2 b M C -3 90°- -b Entonces trazamos BM, para formar ángulo de 2 isósceles (AB = BM) formar un B 3 C A Luego: En el ARCEDIO ABD (lo extraemos didácticamente) 2 x x 8a Recuerda: x=2 en el B 20º 4a Como consecuencia final tenemos: O O 3a 4a 3 x C A D Luego observamos: (Para ser mas didácticos extraeremos los siguientes triángulos) 90°a 5a A C M Por último: En el HBN (Notable aproximado de 53º-37º) D 3 x N M 5a 90°- 2 B 2 A B Ejemplos: X = 37º 20º M 5a N 5a 20º 2 C x 2 M 40º A B H x 90°- 2 Por tanto prolongamos BO B B 20º 5a D SOLUCIÓN 1: Como nos recomienda el Primer tipo de trazo, lo primero que haremos es un trazo exterior x x SOLUCIÓN 4: Hacemos un trazo exterior O x B 70º a 20º O 2 N a MBN Caso(L-A-L) 2 90°- SOLUCIÓN 6: Recuerda: 3 x 4 Armando Huaccachy x=a+b n N 2 x ABC 90°- a b b C B a era 1 Forma: Se debe recordar la siguiente propiedad 2 x M C B 3 SOLUCIÓN 3: Hacemos un cambio de variable. X = 2 PROBLEMA 6 - Hallar “x” en: A Luego forzamos interior y exteriormente N 90º - 2 2 x B º 10 13a PROBLEMA 5 - Hallar “x” en: x M B 10º 5a º+ a b a b 10 En consecuencia: PROBLEMA 4 - Hallar “x” en: x 2x 3 A C M N º 10 º 10 40º 10º N 10 º 10º 20º D A b El OBA BCD Caso L-A-L; entonces todas las propiedades que se cumplen en el primer triángulo deben cumplirse en el segundo: x = 20º x + x b a Por observación notamos que m MBN = m Por tanto el MBN es isósceles. 9 C N A a=b+x C M A 40º 70º 40º 70º 40º Recuerda: 2 M El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) L a a C x=a-b MNB = + x = 2a 80º GLORIA CHAVEZ y como, en el ABM,Ay O son puntos medios. 20º 80º 20º 80º 20º x = 2a 10 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Ejemplos: 20º 77º 18º x 20º 10º 26º 77º 10º 2 26º 77º 26º 20 40º 2era Forma: Se traza BM, se forma isósceles de base CM y laterales BC y BM º 40º El trazo se realiza así °- - 90° 2 90°- PROBLEMA 7 - Hallar “x” en: M x 80 A º 60º B C D Tenemos como consecuencia: AB = CD 80º 20 º A 60º PROBLEMA 10 - Hallar “x” en: 120º x 90°- 90°- SOLUCIÓN 9: Primero observemos el siguiente caso de segmentos: B 20º 51º PROBLEMA 9 - Hallar “x” en: 2 120º x x = 10º x = 13º 60º 42º 26º 2 º 51º PROBLEMA 8 - Hallar “x” en: 18º 20 x SOLUCIÓN 8: Hacemos el siguiente trazo de tal manera que aparezca con los siguientes triángulos isósceles: ANB, NBC N En consecuencia se tiene el siguiente gráfico A 120º 2x = 26º 2 Las formas más generales se especifica después de la solución: C 80º 10º 42º 26º 90 °- 90 90°- 2 60º 6º x=2 77º 2 A º 60º Importante: B 80 o A 20 L C B b º C D b a Luego recordamos: 81º Recordar: Ejemplos: 20º 80º x 18º 2 60º º 60 60º SOLUCIÓN 7: Recordamos con el ejemplo 20º 80º 51º 26º N 77º 26º 77º 26º 77º 60º 80º 60º Propiedad: Ahora lo que hacemos es aplicar el Primer paso: A 120º x º 60 60º A 60º 60º 4. ¿Qué hacer con una figura, de la siguiente forma? 60º 20º º Y también no hay que olvidar: 77º N 26º 77º 26º 90°- 80 60º 26º 26º B 20º °90 2 Entonces hacemos el trazo: NC Sonia Chalco 51º 90°- 2 Jorge Quispe 80º 80º 20º Entonces trazamos NL y formamos el equilátero ANL 60º x º 20º 60 B x D C 20 º L Y por segmentos tenemos que AB = CD C N Por último recordamos la propiedad: o 80º 80º 20º 60º B 18º 26º x y A L 60º x=2 2 77º y=2 42º 26º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 11 2 2 º 2 20º N 77º 51º A 100 80º B 80º 10 0º C x D Yuly Cuenca 12 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Por último: el ABN DCN (Caso L-A-L) Entonces el trazo será de la siguiente manera: Demostración: Solo se realizara las consecuencias ya que los pasos fueron realizadas en cada problema N x=2 Si: 90 60º º- a 60º x a=b b Punto cualquiera 5k 2 23º 2 60º 10 0º º 100 20º A C B a 90º- x 6 D 0º- Demostración: Los trazos son especificados en mismo volumen; pues son trazos conocidos. 90º90º-3 2 x = 20º x= 90 PROBLEMA 11 - Hallar “x” en: º- a Si: - 5k 2 90 2 90º- x A 2 Sandra Quispe 120º x N El 2 ABN 23º Propiedad: D Resulta un rectángulo º-3 90 x 18º x A E 120º x El ABE ECD: x 21º 29º SOLUCIÓN 11: A 60º C 25º 17º a=b x=y=90º º90 18º 30º 11º y x PROBLEMA 14 - Hallar “x” en: a=b 2 81º x 48k PROBLEMA 13 - Hallar “x” en: Demostración: Recuerde que los pasos son los mismos a los problemas anteriores. 44º x 8k CNP (Caso L-A-L) x=2 81º 25k C a B PROBLEMA 12 - Hallar “x” en: b 2 º-3 °- °- P x= 90 90° 2 n B SOLUCIÓN 10: Recordemos el trazo general: 90 P 2n 30º x 2 Demostración: x= B B Si: 37º 5k C a y El DAB ( - x=2 BCD (Caso L-A-L) ) 4k 23º 30º 53º x 8k a=b D x = 90º ; a = b b m DBC = 37º 5k 4k a A D b 53º 3k Milton Cucho 18º x A E 2 90º- C 5. ¿Como trazar en el siguiente caso? x a Demostración: x = 18º 5k 37º 5k B EN FORMA GENERAL DEMUESTRA 23º 23º Si: 8k ero 1 nos damos cuenta de que la medida del ángulo termina en 3º y un lado es como “5” el cual nos hace razonar con el siguiente Notable aproximado: b a 2 90 90 º º+ - 90 x= º- x 90 º+ A 6 2 El 90º-3 El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) ADB Angélica Tomayro x=2 13 4k E CEB (Caso L-A-L) 4k 4k 37º 5k 0º- 60º 60º 30º x C D 8k x 4k 30º 53º a=b 3k 14 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría SOLUCIÓN 14: 25k 23º Entonces es necesario un trazo interior tal que forme un isósceles. ero 1 16º 17 4k 24k 8k 30º 60º 44º x 48k 30º 45º x 45º n Finalmente se obtiene: 7 7 16º Lucia 24 24k 16º 17 4k n 45º 74º 25 4k 29º 60º 4k 4k 25 x 25 n n 17 4k 45º x 24k Flor Aronés 24k 24k 45º 30º 24k 7 45º 7 ; 7 45º x + 60º = 90º 8. ¿Cuáles son las construcciones en este tipo de triángulo? 29º 45º < 30º Jalacha Tomayro 7 x = 30º er SOLUCIÓN 12: Maria Luz Cusi x + 60º = 90º x = 30º 25k 24k 11 x 30º TRAZOS 6. ¿Como trazar en el siguiente caso? SOLUCIÓN 13: 44º 1 tipo de trazo: Se construye un triángulo equilátero en función del lado mayor. x = 45º 53º 30º 30=5(6) 48k 30º 25k 21º x 3(6)=18 24k 16º 74º 74º Yeny Huyhua 53º 30 Se recomienda trazar una ceviana exterior para formar un triángulo isósceles. 4(6)=24 18 Recuerda: 37º 24 Aurelia Diaz Cabo Flores 25k 44º 30 11 x 48k 30º Finalmente se obtiene: 7. ¿Qué trazo se debe realizar en el siguiente caso? 53º 24k 30º 11 60º 74º x 30º 21º 74º 16º 7 24 16º 24 24k 7 48k Recordar: 74º 60º 24k Wily kiwy n 30º Cesar Flores El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) x = 74º 15 n Observación: En la solución de los problemas; se aplicará el caso final, por que ya se demostró de donde viene el gráfico final. Walter Janampa 16 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría do Finalmente trazamos CN para tener como consecuencia el isósceles.. B 2 tipo de trazo: Se construye un triángulo rectángulo, de tal manera que el lado mayor se transforma en hipotenusa. ANC PROBLEMA 21 - Hallar “x” en: B 30º 20º 70º x 30º 30º 30º Del gráfico tenemos como consecuencia: PROBLEMA 22 - Hallar “x” en: 2n E 60º A 60º x PROBLEMA 23 - Hallar “x” en: N 10º PROBLEMA 24 - Hallar “x” en: x 10. ¿Qué hacer en este caso? B C D ABD x 20º A x 40º C n 40º 70º 10º DEC (Caso L-A-L) 20º x = 20º 10º 3er tipo de trazo: Se construye un triángulo equilátero en función del lado menor. N 30º 30º 2 C PROBLEMA 25 - Hallar “x” en: A B 60º-2 Primero construimos el ABN equilátero, y por último trazamos BC y ND del cual: ABC AND (Caso L-A-L) x 60º+ B 60º-2 D A B 80º x 20º x SOLUCIÓN 15: Recuerda: x +10º 20º PROBLEMA 17 - Hallar “x” en: 60º+ +10º + +20º + n PROBLEMA 18 - Hallar “x” en: n B Edeliza Tomayro C 3 20º ANB equilátero 3 50º B Trazamos DE para formar el isósceles del 10º 30º x 10º BDE. B x +40º x 30º 30º +10º PROBLEMA 19 - Hallar “x” en: 20º+ PROBLEMA 20 - Hallar “x” en: + 20º x N C x 17 30º Del gráfico el ABD EBC (Caso L-A-L) 20º 30º x A 10º C D E +10º +20º A º 20 60º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) E C + x A +10º +20º D 30º Se construye el 10º A B A BDE PROBLEMA 16 - Hallar “x” en: 20º+ 9. ¿Qué hacer en este tipo de triángulo? Hacemos el trazo exterior BE del cual se observa que m = m BED = 10 + , entonces BDE isósceles. 20º x N PROBLEMA 15 - Hallar “x” en: n Maria Soledad Salcedo PROBLEMA 28 - Hallar “x” en: 30º C n+ º 60º-2 PROBLEMA 27 - Hallar “x” en: Luego completamos el segmento AN para obtener un triángulo isósceles ANC n n+ 10 x C A n º 20 A B Solución 16: PROBLEMA 26 - Hallar “x” en: D C 30º 30º 60º- 60º-2 20º D x = 10º C 18 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) E Geometría Solución 17: Solución 21: Realizamos el trazo conocido y mencionado. Constituimos el ABN equilatero B B B 3 3 20º 50º 50º 10º A 30º 50º +40º x n x 10º N C 30º n Trazamos: 2n n B B x m 20º A 60º 10º 10º E n+m n n 1 30º 2 0º 0º x C 20º Noris Chavez B N +20 º A M 40º A 3 B n De la construcción se tiene: ABC ACM (Caso A-L-A) +40º 50º A 50º 3 50º x 50º B 50º M A N 30º x A 1 30º 2 0º 0º C x C C X=3 x L x 10º 30º n D C n = 40º Por que el ABD Por lo que: 40º = Por último: + x + 10º = 90º 40º + x + 10º = 90º LEA A 60º 10º 10º x = 40º 20º x 50º B 50º M 1 30º 2 0º 0º Solución 20: B x A C 20º N Solución 19: Primero trazamos la altura relativa a la base. +40º A El +20 ABN MAC (Caso L-A-L) X = 20º º 20º 20º C x 30º 60º-x 30º M A 30º x 10º 50º 30º n 30º x X = 10º D Solución 18: 60º 10º 10º n Recuerde: 30º 30º º-x 60 30º 2n x M Del gráfico se deduce que el Yovana Palomino El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) Yessica Flores 19 ABC ADM (Caso L-A-L) x = 60º - x = 20º x = 40º 20 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Solución 22 Solución 23 Se obtiene lo siguiente: B Solución 24 70º X 2) 1) B 60º-2 60º+2 40º 60º X 10º 70º 60º+ A 60º- D 40º 10º 10º A Reordar: 10º 10º 50º 110º x C 60º+2 Recordar: 3 0º 0º 3 30º 10º 60º+ 60º- 20º 10º 40º 10º C x 60º E Recordar: +θ 60º 2 0º 3 30º 60º 0º 60º- 60º-2 3 +θ _ _ 60º-2 60º-2 Rubén Tomayro Haciendo la construcciòn se obtiene: 2θ Roció Álvaro x Se construye el ΔABE equilátero. Consecuencia: 60º Jhonny Meza 120º - 2θ 2 B 2 60º X 10º D 2θ D 30º 50º B 40º 10º A 30º - θ 10º 10º 60ºx 60º-2 40º C 40º x Roxana La Catalinita 60º E x A 10º 50º Aplicando la propiedad señalada: 50º x= 2 20º 10º x Anabela Alca 60º C X = 30º ΔADC ΔAEC. EL ABC BCD x x = 40º x = 30º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 21 22 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Soluciòn: 25 Se construye el D C Solución 27 B Solución 26 EBC equilátero B 20º Solución 28 Se construye el ΔACD equilátero. 80º B B X 30º 60º + x 60º 20º 60º + A A 60º-2θ c ΔBCD ΔECA A 10º 60º 60º D C 20º E X 60º 30 º 60º 30º N 60º A 2 20º D 40º 20º 20º x E º 20 40º 20º A º 10 X= E 20º B 2 20º 40º X 30º 30º C B X A Después de construir el ΔACE equilátero. luego el ΔACB ΔECD (L-A-L) D C 60º * 20º 60º D D Como el ΔABC ΔACD (L-A-L) En consecuencia se obtiene. C 20º B * Como el ΔACD B B X 60º 30 B D 20º N 60º 10 º 20º C A C 60º º E º X = 30º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 20º 20º 40º X 30º 30º E 20º D x D 20º º C 20º x X = 20º Del cual 2X = 60º. X = 30º 23 A 20º 20º c A E 60º E º 20 40º A ΔEAD (L- L- L) C 30 º º- x D Yosmil Espilco E 24 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Tener presente el siguiente Trazo Especial: B B A 30 30 º º B C C 30º c A 30º K C q A B Recordar N Primero construimos elD ABN equilátero por tanto: CONSECUENCIA B 30º 30º 30 30 º º 30º 30º C Ada Luz Oré c A _30º+X _30º+X 60º 30º-X N Luego prolongamos BC en K de tal manera que m El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 25 Nelson Méndez De lo mensionado, trazamos KN del cual trae como consecuencia elD AKN isósceles y m KAM=30º-X 26 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría B M 30 30 º º 30º-X C 30 c A º-X C c 30º 30 º A K -X K 30 º-X Ahora construimos el D AKM equilátero y como consecuencia la m BAM=30º-X N M = B M 30º A 30 30 º º º-X 30º L 30º Victor Pillaca Quispe C L 30º = K B M K 30 º-X 30 N 30º 30º -X Después de hacer el trazo MB se verifica que: D K A N @ D M A B (caso L-A-L), por tanto todos los datos que se cumple en el D K A N tienen que cumplirse en el D M A B osea quiere decir que el D M A B E es también isósceles el cual se especificará en el otro gráfico. 27 º-X c A 30º-X -L - C º-X -X Como L es punto medio además AC es mediatriz del segmento MK. 60 30º 30º 30 30 º º c El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) º-X Recordando N 30 30º 30º -X 30 A 30 30 º º B K 30 º-X N 28 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría M A PROBLEMAS M = = C = A Problema 29 C = K 30º X K 30º Carlos Conteña Problema 30 X Finalmente, despues de trazar MC, se llega a la conclusión de que el D ACK es isósceles (MC=CK). Por último; D m MCB=120º-X 24º 54º Problema 31 B M 30 30 º º 30º-X 60º-X 30 º-X 30º 30º -X 30º 54º X Problema 32 60 A C ºX c -L - º-X 120 K 42º 30 º-X X 84º N El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 29 30 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Solución 29 Como la figura presenta las cualidades para x hacer el trazo anterior, entonces construimos el BCN equilátero. Y si observamos la prolongación del CK en A cumple el requisito que la m KBA=30º y la medida del ABN es igual a 30º-x (m ABN=30º-x.) Ahora construimos el ABM equilátero y luego le trazamos el MC del cual observamos que: el ABN @ (caso L-A-L). Quiere decir: Consecuentes B B M 30 30º º X K Entonces ello lo aplicamos. A K 30º- 30º M - 30º 30º B A x B 30 º- 30º C K X x M x 30º- A 30º 30º MBC Walter Palomino 30º A C K 30º N 30º 30º 30º N K 30º M Ana Artiaga A 30 º-x 30º 60º-X K C 30º 30º-x 30º-x N N El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 30 º-x - C 30º X - 30º A Como nos habíamos anticipado en el caso anterior entonces les señalamos los nuevos datos. Construimos MK y luego aplicamos el teorema de la bisectriz interior. ( AK= MK ) B x x Sonia Navarro 60º-x = 60º-x 30º- N 30º- 30º X 30º 30º-x B 31 32 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría B Consecuencia final del trazo: ver páginas 25-35. Solución 30 º-x x º-X - 60 A 30º Primero observamos el siguiente acontecimiento: M 30º- 30º 30 X B 30 º-x 120º-2X 30º 60º-X C C K 24º 30º A B Construimos el Δ equilátero ABN. 30º-x 30º 30º N C 24º M 120º -2X Para apreciar mejor la solución nos concentramos en el MCK: isósceles. 60º-X A C 120º -2X N B B 30º 30º K (120º-2X)+(120º-X)+(60º-X)=180º X=24º Lito Alca 30º 30º C A C 6º A 6º 6º N N Karina Cárdenas C. El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 33 34 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría - !Prolongamos AC en K tal que m B CAK=30º. !Primero nos damos cuenta que el ΔKMB isó MKC=36°. que en consecuencia: m 30º 30º C C 6º 24º 30º 6º 30º 6º A K !Se construye el ΔAKM equilá tero !Luego se traza MB tal que: ΔABM= ΔNAK 36º K 6º M M = 36º = 6º C C (caso L-A-L). N 30º 30º 30º 30º 6º M 24º A B sceles, = 36º = 36º K K N 30º 30º ΔKMC isó sceles. B Carlos Torres 30º 30º M Héctor Suyca B 36º 72º C 6º M =72° 24º 36º 30º 6º A 72º B Miguel Ángel Molina K M A 6º 6º A K 72º C 6º 24º 30º 6º 36º K N 6º 30º 30º 6º Se concluye que: BC=AK=KN. 6º 6º N Carlos Rupire N El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 35 36 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Solución 30 !Se trazaBP (P en la prolongación de CA). De tal forma que ΔPBC es isósceles PB=BC. Ademá s m APB=m ACB=24º observamos el ΔABP del cual ya anunciamos sus trazos. B 30º 6º 24º 6º L N C Recordar:(En el problema anterior se recalca los pasos) B 30º º 30 72º 54º A 36º X 6º 30º 72º 30º 24º+x 24º M 24º C 72º 6º 24º º 30 30º º 30º X M 36 P a º 36º 6º a 54º 24º R 24º A Es decir llegamos a la siguiente conclusión:(ver pag. 34-36.) 72º 30º b 36 P B X 54º 24º Solución 31 6º N 6º 6º Extraemos los ángulos PBN y ABM, para comparar que: ΔNPB ΔBAM. (caso L-A-L) B 36º B P 3 30 54º 24º M 30º a 0º 96º X N a L 36 º 30 º 30º 72º 6º B 6º 72º 6º P 54º A N 24º+X M A b 96º 6º b 54 X=24 30º=24º+X X=6º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 54º 37 El ΔPBN ΔABM (caso A-L-A) Es decir: (96º)-(--)-(54º). Entonces a = b Y si a = b el ΔRBL es isósceles (RB=BL=a=b). C 38 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 39 40 X 126º C 54º X=30º Despuès de construccón:(ver pag. 34-36) El ΔACB ΔDEB. (caso L-A-L) Es decir: (--)-(126º) - (--). A 54º 126º 6º 6º B 84º 24º 54º E 54º 54º 36º 72º 54º 24º 84º 30º 30º 30º 30º 6º 54º D 126º Solución 32 Ademá s: X 42º Geometría La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Propiedad 01 Ahora trazamos MA para identificar el ΔALM ΔANM (Caso: L-L-L) del cual se deduce que = -------------60º- II X = 60º B X 60º Demostración: B 60º Primero construimos el ΔABC equilátero y luego el ΔMNC también equilátero. En consecuencia: ΔLBA ΔNCA (Caso: L-A-L) del cuál LA=NA= También: x + = + 60º M X L 60º I M X L 60º- C 60º 60º A 60º60º A El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) D 41 C De la ecuación D I II X + = + 60º X+ = = = + 60º X = 60º 42 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Propiedad: 03 Propiedad: 02 X=120º-θ X =2θ 120º-2θ x Θ 2 Demostración Demostración 90-θ Realizamos el trazo en forma análoga a la demostración anterior, y aplicamos la propiedad. Propiedad: 2 y X 2 90-θ X=2 y =2 Edson Palomino Θ - Trazamos BD para obtener el ΔABD ISÓ SCELES 60º B 120º-2θ Jhon Quispe 90-θ x Θ 90-θ 2 X=2 D A C El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 43 44 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría -- - Ahora trazamos AM bisectriz, altura mediana y mediatriz. Luego DH aBC B -- Por último observamos que el B DBH es notable de 30º-60º. 30 º - 90-θ - M - - H - = M 90-θ 90-θ 90-θ D D A 90-θ = 90-θ A -- --BC, - para formar: Trazamos DH C DHC AMD C Propiedad adicional: B 90-θ Finalmente: X=(90º-θ)+30º X=120º-θ X = 60º Θ M H - Demostración - = 2θ X D 90-θ Recordar: = 90-θ 120º-2θ Consecuencia 90º - A 90º - 2θ 120º-2θ 2θ Θ Θ 2θ 30º -θ C 30º 2a 30º 90º- θ X = 30º- θ + 30º +θ 30 º- θ Leonardo Tomayro Estefh Cusi El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 45 X = 60º 90º- θ Θ 30º X 30º- θ 46 2θ La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría ---- Propiedad: 04 90º-θ -M º X=θ B 30 Trazamos AM BD y bisectriz, mediana y mediatriz. 120º-θ 90º-θ D -- -- A 2 Trazamos DH a BC donde se forma el BHD notable de: 30ºB 60º (DH=a) Demostración - 30º 2 -M º 90º-θ H 90º-θ 90-θ B Demétrio Janampa - 90-θ 2 D 30 90º-θ C 2a 30 Primero trazamos BD de tal modo que m ABD = m ADB=90º-θ ÷2 Ruth Cuenca A º - - B 90º-θ 90º-θ D 2 C -M º - 30 - Daniel Conde - A H 90º-θ -- D C - Del gráfico el AMD= por tanto: X=θ Marco Alfaro El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) A 47 DHC C 48 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Propiedad: 05 Trazamos L1 // L2 que en consecuencia se obtiene m L1 B X=2θ 120º-θ ADN=X B L2 120º-θ D C A D X A Demostración: 60º 120º Consecuencia Recordar: N C Recordar: =+ TRAZAMOS L3 //L4 + B B B A A = 120º-θ D L4 L3 Justiniano Tomayro Godelina Chavez - Observando el caso anterior trazamos BM//AD y en consecuencia: BM=MD=AB=AD= y m BMD=X D A 120º+X C El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 49 50 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría L1 Recordar: L2 B X M 120º-θ Marleni Oré D X A Trazamos BD y aplicamos la propiedad mensionadop anteriormente 60º L1 120º L2 B M N C X Recordar: 60º 60º 60º 60º D X L1 Fénix García A - Trazamos MC tal que se forme el ΔMCD equilá tero. L2 B M X 120º-θ D X A N El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) N 60º 120º C X=2θ 60º 120º C 51 52 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría - Propiedad: 06 Prolongamos CD en M tal que se forma el por lo tanto: HD=BM=a. B B X=120º-2θ MBC HDA, X 90-θ X = M H = D 90-θ D 2θ C A Demostración: A Recordar: -θ 0º = 9 2θ Recordar: 2a Del MBD (notable de 30º-60º) por lo que m MDB=30º. X º- θ = 90 Mirasol Díaz X=30º B B C 90-θ = X 90-θ M Elmer C.CH. = H = 30 º H = D 90-θ B A D º30 90-θ A C θ = M Recuerda: - - - - C H = 30 º D A X=90º-θ+30º-θ X=120º-2θ C Yolanda Flores El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 53 54 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría - Trazamos AN y aplicamos el trazo conocido (ABNC: equilatero) Propiedad: 07 X= Si: N B 60º 120º-2θ 120º-2θ D A 2θ 60º C Recuerda también; el siguiente trazo: Demostración: Para ello es necesario conocer el trazo de la siguiente figura: -- Recuerda: - = -- - = Primer trazo Figura: 120º-2θ 120º-2θ Estefany T.F 60º Aplicamos lo mensionado en el gráfico puesto que se presenta las condiciones: N B 60º 120º-2θ Segundo trazo 120º-2θ 60º = 60º-θ = 60º D A 60º Javier Flores C El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 55 56 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Problema 34 Problema 33 Recordar: X X=θ 5X X 3θ 2θ 3X 4X 2 Problema 36 Problema 35 Ana Oré N B 60º X 2θ 120º-2θ 40º 30º = = X 2X 3X Problema 38 Problema 37 D A X X=θ 60º 3θ 3θ 2θ C 40º Problema 40 Problema 39 40º40º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 57 X 40º 100º 20º 10º 20º 20º X 58 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Problema 41 Problema 42 Solución 33 Primero construimos el Δ ABC 5X Δ ANC. P x X X 2X 3X 3X X Problema 44 Problema 43 B 2 60º A C 100º 7 N 2θ 20º X - Recordar: - - X Problema 45 x Problema 46 X =120º-θ 2 X 2X 60º l l2 l2 P 45º Problema 47 l2 X l Problema 48 X 120º-θ θ = 15º Pero X = 120º - θ X = 120º - 15º B 2X l 2 24º 54º 59 - - El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) En el ΔAPC 3θ +120º-θ +2θ =180º X Thania Flores A X C X = 105º N 60 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Solución 34 Solución 35 Trazamos AN para formar el Δ ABN isósceles. 70º B 4X X L 8X A 30º 3X 4X 4X 40º X C N M Recordemos la consecuencia del trazo en la siguiente figura: Recuerda: 90º-θ b b 2X 2X X X Pilar Linares Aplicamos la construcción mencionado en Δ NBC. B 4X 4X X a a 2θ 90º-θ 2θ 2(10º) X Aplicamos el trazo y vemos que Se construye el caudrilátero Karina Flores 70º X = 10º X a L a 8X A a a Del gráfico observamos: BN = a +b. Por lo tanto: MC = a +b. Que en consecuencia tenemos MN = a. B 90º-θ = 3X 2θ 40º L X 2X 4X M 2X C N 120º - 4x 8x +120º - 4X = 180º 8X A a 70º X 100º = 120º - 20º b 2X 4X 4X M b C 30º 40º X N X = 15º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 61 62 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Solución: 36 B Solución: 37 X Construimos el ΔANC ΔADC B X N A - 3θ 2θ 2θ 2θ C - 3X 3X A 2X D B D C X=120º-2θ Construimos el ΔAND congruente al ΔBCD. Y observamos el ABDN 120º-2X N 2θ A C Luis Beltran 2X María Soledad Chipana B 120º-2θ X B Luego nos fijamos en el ΔABD 3X+θ+3X=180º Como: θ=120º-2X 3X+120º-2X+3X=180º X=15º X N - 3θ 2θ 2θ 2θ A A 2X X El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) X 2X 2X D 63 C 120-2θ - Ahora en el ΔABC 3θ+X+2θ=180º C D Θ=20º 64 Como: X=120º-2θ X=120º-2(20º) X=80º La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Construimos el ΔAMD ΔNAB Solución: 38 Primero anotamos las primeras consecuencias B B 20º 120-X X 120-X X M 20º 20º 20º A 20º+X 40º A N 20º C D 20º C D Recordar: 120º-X Recordar: 2θ X 20º =2X 2θ Elizabeth Oré En la figura observamos el cuadrilátero ABDM cóncavo con las condiciones para aplicar la propiedad: Ivan Jessa Como la figura presenta las condiciones para hacer el trazo de ceviana exterior, lo aplicamos: B 20º B 20º 120-X X M 20º 20º 20º N 20º N 20º 20º+X 40º A El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 120-X X D 65 C X 20º 20º A D C Luego: 20º=2X X=10º 66 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría B Solución: 39 Solución: 40 Primero hacemos la siguiente construcción y los datos consecuentes de los mismos. 40º 40º N D 20º A X 80º 40º 10º X C B 80º D 70º 40º 100º -X 40 90º-θ 80º 20º A 2θ 90º-θ 2θ 90º-θ C 2θ =2X 120º-X B Ana Torres 40º 40º D N 20º A 40º 10º 70º Elezabeth Cusi X 80º X 80º 70º C Finalmente; en elñ cudrilátero cóncavo NACD. (80º=120º-(20º)) cumple la condición de los cóncavos: D 80º X=20º Aplicamos la propiedad en el cuadrilátero sombreado: 20º=2X X=10º -X 40 80º 20º N El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 40º 100º 120º-X X=40º/2 40º B A 67 68 C principal del desarrollo (Lenin) La contradicción es la médula Geometría Solución: 41 Solución: 42 Primero colocamos los valores de los ángulos que parten como consecuencia de los datos. Luego trazamos la ceviana exterior CN que cumpla las siguientes 2θ 2θ 2θ C B X d Luego de hacer el trazo (DM) se traza - 5X 5X B DB y se verifica que: ΔABD ΔMDC En consecuencia: el ΔABD es isósceles (m ABD=X Λ AD=BD) X Nelson 5X X 3X 3X 3X C Construimos el ΔCMN ΔABC B X X X 5X X 4X 2X M M X A Aplicamos la propiedad (m X 3X 3X =+ 2X BDC=5X) B 120º2X (Propiedad de cóncavo X 5X ) X Crisanto Rojas X 4X C + N D C 3X X 2X A 5X B 5X D N D A dConstruimos ΔDPC ΔADB dLuego en el ΔDBC: D M 5X X 12º-2X 3X 3X D A En el caudrilátero DCMN cóncavo m CDN=120º-2X (Propiedad) Ahora 3X+5X+120º-2X=180º X=10º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 69 5X+120º-2X+3X=180º 4X P X X X 2X X N X 2X 2X M A 70 2X X C La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría B Solución: 43 Solución: 44 60º Construimos el ΔAFC ΔADC E B 80º 100º 60º+θ 7 D 60º 20º X F A C A Recordar: X C 90º-θ Construimos según lo expuesto de la siguiente N Recordar: D 60º+θ 2θ 90º-θ 2θ 2θ 90º-θ 20º =60º 80º B Segundino Meza B 100º 60º D E José Molina 80º 60º+θ 60º Por lo expuesto m EAF=60º 20º X C A 7 Construimos ahora el ΔABM ΔADC 60º 60º+θ A Segun la figura el ΔAEC es isósceles (m SEAC=m AEC) X=7 El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) F Recuerde: X C X=2X 120º-2θ 2θ D Jesús Linares 71 72 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Solución: 46 B Primero construimos el B BED (notable de 45º-45º) l 45º 60º l 45º 60º E E 60º l2 l2 l l 45º 45º 45º 45º 60º A X D C l Erica T.F. 60º 60º 60º 60º 2θ 2n 30º l2 3 3 2 l 45º 45º A notables 60º 2θ E C 30º 2n 2n X l Observación: formas de reconocer al 60º l 45º 60º D Aplicando la propiedad: X=90º/2 X=45º 60º B 60º A 2θ 60º D 2 X l 45º 45º C X Yuliza Linares El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 73 74 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Solución: 45 N 20º 2X X 100º 80º 20 l2 B º 100º Se prolonga elBD para trazarle AE//BC de cual el ΔADE ΔDBC AE=lΛ BD=DE B l = D A C D 80º 60º A 20º X l C = Recuerda: 2X l2 E B X l2 120º-2(10º) B X 45º l2 l 45º l Extraemos el ΔABC que resulta como consecuencia de los trazos. Extrayendo la siguiente figura notamos que es factible aplicar la propiedad de los cuadriláteros cóncavos. X=10º l l Luis Dueñas 2X l = 100º M 2(10º) A 20º X N C D l M = 2X l2 E l X Despues de construir del ΔAEN isósceles X=45º N El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 75 76 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Solución: 47 -- Solución: 48 Trazamos AM//BC del cual el ΔADM ΔBDC B X 24º 2X l l3 D - - A X 64º 30º C 6º 24º 24º30º 6º º = 72º 36 Recuerda: l 30º 78º 30º = 6º 36º 30º 2θ 2X 2n 60º 6º 30º M 3 3 Yenito Chipana Despues de realizar la construcción se observa que el triangulo BCD isósceles (BD=BC) Jaime Rayme Aplicamos la propiedad ΔABM B B 6º B X 6º 6º A 30º A 30º = l3 72º 36 º 30º = l3 24º30º 60º X 78º 54º 36º A 2l l l 2X M 60º D 84º X C 6º X=84º 60º X=30º 2X M El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 77 78 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría Ejercicios 1.- Hallar “x” e “y” a) 3 2 h) y 15 x 8 b) b) q x 16 5 i) y 48 X 23 -7 20º +q 20º 58º 66º 75 X 61º c) D) 3 a 10 X 20 5 X c) y X 21º + X 7 44 21º 8 48º c) y j) 25 3- 4 X 44 3 a) 5 3 X X 62º k) y 3-1 6 X 29 10º 56º b) 4 5 Hallar “x” en: 42º 3 12 2 X 21 a) 21º 32º X l) y 35 X X X 15 25 e) a 4 20º 7 2 a d) 23 48 d) X 3 Hallar “x” c) 12º X 8 75 28º 66º 16º X 24º f) 2 q x 15 2 g) b) 2.- Hallar “x” a) y 4 Hallar “x” y “a” 20º q X b) y 4 2 6+ El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 79 34º 18º 42º X 2 a 10º + b X 45 a) 3 b 26º X 69º 63º X 10º 80 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría c) 25º 7 Hallar “X” en: b b) 10º Xº 10º 70º 63º 20º 120º 35º 40º 18º X 90º - 3 x 2X 20º 10º 40º 40º d) c) 27º Xº 5º 90º - 3x 69º 120º 10º 10º 33º 2X 20º 40º 90º - 3 x 2X 50º 9º e) 42º 32º d) 6º Xº 90º - 3x 120º 80º 28º 120º X 5º 90º - 3x/2 2X 6º 12º 48º 20º f) 54º 20º 23º e) 7º 90º- 37º Xº 3x 2 65º 120º X 90º - 3x/2 X 6º 12º 24º 36º 6 Hallar “x” 48º 5º 50º a) f) 63º Xº 90º- 120º X 3x 2 6º 66º 120º 18º 7º X 17º 6º 34º 26º 43º 48º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 81 82 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría 8 Hallar “x” a) 10 Hallar “x” 9 Hallar “x” a) 50º a) Xº f) b xº b xº a a 10º Xº 7 7 20º b + 10º 95º b + 20º b + 10º b + 20º 7 5º 7 5º b) 48º Xº xº b) a) xº b a 18º g) a 12º 18º Xº b 15 15 98º 8º b + 15º 8º b + 30º b + 15º b + 30º c) Xº 46º c) q h) q q + 13º a 10º 10º xº a 14º 16º Xº 100º xº c) q + 13º q + 26º q + 26º 20 20 d) 46º d) Xº d) q xº 3q 2q 20º 20º a a 12º q i) 18º 12º Xº 110º xº 3q 2q 8 8 e) X Xº X 39º e) j e) a a 21º Xº 9º 111º 21º 21º 3X 2X El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 83 3X 2X 9 9 84 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) Geometría 11 Hallar “x” 12 Hallar “x” a) 13 14 Hallar “x” Hallar “X” en: a) a) a) X 50º 10º X 30º 3º 27 º 20º X 30º 10º 20º 50º X b) b) 48º b) X X 30º º 20 10 º 30º X b) 30º 12º 7º c) c) 14º 53º 54º c) X X 30º 9º 21 º 40º X X 6º 30º d) d) X 30º 42º 18º º 28º X 12 9º 18 º c) X d) 30º e) e) e) X 35º 18º 51º 30º X 30º 5º 25º º X 25 X 51º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) 85 86 La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
