Actividad 1

Matemática
4º año
VECTORES EN R2
Primera Parte
 Un vector es un segmento orientado, lo representamos mediante una flecha.
A
Si damos su origen (A) y su extremo (B), el vector nos queda totalmente
determinado, proporcionándonos su dirección, longitud y sentido.
B
 Llamaremos vectores equivalentes a todos los vectores con igual dirección, longitud y sentido.
Por ejemplo:
v
 u y s son equivalentes .
u
s
 u tiene igual dirección que v, s, t y w.
w
 u tiene la misma longitud que w, r y s.
t
r
 u tiene igual sentido que v y s.
 u tiene sentido contrario al de w y t.
Ejercicio 1
Dibujá vectores u, w, t y s si se sabe que:
v
 u es equivalente a v.
 w tiene igual dirección y sentido que v y el doble de la longitud de v.
 t es paralelo a v, con sentido opuesto y la mitad de su longitud.
 s ≠ v, con igual origen, dirección y longitud que v.
v
u+v
 La suma de dos vectores es otro vector equivalente a
una de las diagonales del paralelogramo de lados u y v,
como muestra el dibujo.
u
 La multiplicación de un vector u por un escalar (número real), es equivalente a otro vector, con
igual dirección que u, cuya longitud es igual al producto de la longitud de u por el valor absoluto
del número dado. El sentido del vector producto depende del signo del número, si es positivo
tendrá el mismo sentido que u y si es negativo tendrá sentido opuesto al de u.
u
- 12 u
u
u
2u
-2u
 Recordemos, en el plano R 2 para determinar un punto, damos sus coordenadas (par ordenados
de números reales), o sea R 2  ( x, y) / x  R, y  R.
Para determinar un vector alcanzará con que demos las coordenadas de su origen y su extremo.
Por ejemplo:
D
5
El vector CD tiene origen C  (3,2) y extremo D  (1,5) .
El vector OE tiene origen O  (0,0) y extremo E  (6,3) .
Observemos que cualquier punto P del plano,
determina un vector con origen O  (0,0) y extremo P.
Recíprocamente, cualquier vector con origen O,
su extremo determina un punto del plano.
C
-3
E
3
2
O
1
De aquí en adelante identificaremos a un punto P, del plano, con el vector OP .
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 Mediante esta identificación podemos definir la suma y el producto por un escalar en R 2 ,
si A  (a1 , a 2 ) , B  (b1 , b2 ) y k  R ,
A  B  (a1  b1 , a 2  b2 ) y
k A  (k a1 , k a 2 ) .
Algunas de las propiedades de estas operaciones son las siguientes:
Si A, B, C  R 2 y j, k  R ,
 A  ( B  C )  ( A  B)  C
 A B B A
 k ( A  B)  kA  kB
 ( j  k ) A  jA  kA
Acá tenés un video que introduce la noción de vector, habla de sus características salientes, y
ejemplifica con algunos ejercicios:
https://drive.google.com/file/d/1SOsEYdaPdMIoXG2P3J7QeCchhTDrpFvv/view?usp=sharing
Ejercicio 2
Sean A  (1,3) , B  (2,5) y C  (1,2) .
a) Calculá:
i. 2 A  B
ii. A  2B  3C
iii.
2
A  2B  C 
3
b) En cada caso, hallá p, q  R tales que:
i. 3 A  pB  1, q  p 
ii. pA  3B  qC   p ,2
iii. pA  qB  C
c) En cada caso, hallá D  R tal que:
i. D  2 A  3B
ii. 2D  A  B  3C
2
 Además, se cumple:
 AB es equivalente a CD si y sólo si B  A  D  C .
En particular, AB es equivalente a OP si P  B  A .
 AB // CD (son paralelos) o tienen igual dirección si existe k  R , k  0 tal que
B  A  k (D  C) ,
si k > 0, AB y CD tienen el mismo sentido,
si k < 0, AB y CD tienen sentidos opuestos.
Ejercicio 3
Dados A  (1,1) , B  (2,4) y C  (3,1) .
a) Dibujá los vectores u  AB y v  AC .
b) Hallá gráficamente los vectores w  u  v ; t  u  v y s  2u .
c) Calculá analíticamente y graficá los vectores resultantes:
i. B  A
ii. C  A
iii. B  A  C  A
iv. B  A  C  A
v. 2 ( B  A)
d) Compará los resultados hallados en c) con u, v, w, t y s.
Ejercicio 4
En cada caso, determiná P  R 2 para que AB sea equivalente a QP .
a) A  (2,3) , B  (3,5) y Q el origen de coordenadas (o sea, Q  (0,0) ).
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b) A  (0,7) , B  (3,1) y Q  (2, ,4) .
Ejercicio 5
Dados los puntos P  (2,3) , Q  (4,1) , R  (3,0) , S  (1,4) , T  (6,7) , U  (4,1) y
V  (5,3) . Decidí cuáles de los siguientes pares de vectores son paralelos con el mismo sentido,
paralelos con sentidos opuestos y cuáles son equivalentes.
a) QS y TU
b) PQ y SR
c) PQ y SU
d) PQ y RS
e) RS y QV
Ejercicio 6
Dados A  (1,3) , B  (2,1) y C  (2, ,4) , hallá tres vectores D, E y F que cumplan:

AB // CD y con igual sentido.
 AB // CE y con distinto sentido.
 AB // CF pero que la longitud de CF sea el doble de la de AB .
¿Cuántas posibilidades hay en cada caso?
 Las coordenadas del punto medio del segmento AB están dadas por M 
1
A  B .
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Ejercicio 7
Hallá las coordenadas del punto medio del segmento AB en cada caso:
a) A  (1,0) y B  (5,0)
b) A  (0,4) y B  (0,3)
c) A  (2,7) y B  (4,2)
Ejercicio 8
Dados A  (2,4) , B  (6,3) , C  (4,5) y D  (5,3  x) , encontrá el valor de x en cada caso:
a) AB // CD .
b) MC // BD ,siendo M el punto medio de AB .
Respuestas
2. a) i. (0,1)
ii. (8,7)
iii. (20 / 3,8)
b) i. p  2 y q  1
ii. p  25 / 3 y q  6
iii. p  9 y q  5
c) i. D  (4,9)
ii. D  (3,1)
3. c) i. (3,3)
ii. (4,0)
iii. (7,3)
iv. (1,3)
v. (6,6)
vi. (5,7)
d) i. B  A es equivalente a u (considerando a B  A como el vector con origen O y
extremo B  A )
ii. C  A es equivalente a v.
iii. B  A  C  A es equivalente a w.
iv. B  A  C  A es equivalente a t.
v. 2 ( B  A) es equivalente a s.
4. a) P  (1,8) b) P  (1,2)
5. a) Paralelos con sentidos opuestos.
b) Paralelos con sentidos opuestos. (En este caso los vectores son opuestos)
c) No cumplen ninguna de las condiciones pedidas.
d) Equivalentes. (También son paralelos con el mismo sentido)
e) Paralelos con el mismo sentido.
6. Por ejemplo: D  (8,0) , hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: E  (7,10) , hay infinitas
posibilidades. Por ejemplo: F  (4,8) (hay dos posibilidades, la otra es (8,0) ).
7. a) (3,0)
b) (0,1/ 2) c) (3, 9 / 2)
8. a) x  71/ 8
b) x  33 / 4
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