TRABAJO 4 NUMEROS REALES (3)

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. PROPIEDADES.
CONTENIDOS: Operaciones con números reales: suma, resta, producto, cociente.
Propiedades de las operaciones. Producto y cociente de potencias de igual base.
Potencia de potencia. Potencia de exponente negativo. Potencia de un producto y de
un cociente. Radicación. Potencia de exponente fraccionario. Ejercicios combinados.
CONJUNTOS DE NUMÉROS REALES
Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se lo llama conjunto
de los números reales y se lo designa con R.
OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS REALES
Suma algebraica de fracciones.
a- De igual denominador
a c a  c con b  0
 
b b
b
Ej.1 1  2  3 Ej.2 4  9   5
5 5 5
7 7
7
b- De distinto denominador. Hay dos formas para resolverlo.
a c a.d  b.c con b  0 y d  0
 
b d
b.d
Ej. 2  3  2.5  3.3  19
3 5
3.5
15
a c m  b.a  m  d .c con b  0 y d  0 siendo m = mínimo común
 
b d
m
múltiplo entre b y d
Ej.
5 72  24.3  72 18.5 9  20 11


 
24 18
72
72
72
3
Multiplicación de fracciones
a c a.c con b  0 y d  0
. 
b d b.d
2 1 2.1 2
Ej. . 

5 3 5.3 15
División de fracciones
a c a.d con b  0 , c  0 y d  0
 
b d b.c
Ej. 2  5  2.2  4
3 2 3.5 15
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
 Conmutativa de la suma y el producto 
La suma o adición de dos números reales es conmutativa.
a+b=b+a
Ej. 2+5 = 5+2 =7
El producto o multiplicación de dos números reales es conmutativo.
a.b  b.a
Ej. 2.5  5.2  10
 Asociativa de la suma y el producto
La suma algebraica de tres o más términos es asociativa.
a + b + c = a+ (b + c) = (a + b) + c
Ej. 2+5+9 = 2+ (5+9) =2+14= (2+5)+9= =7+9=16
El producto de tres o más números reales es asociativa.
a . b. c  (a. b).c  a.( b. c)
Ej: 2.5.9 = (2.5).9 = 10.9=2.(5.9) =2.45= 90→
Recordá que:
 El producto o el cociente de dos números reales de igual signo es un número
real positivo. Ej. a) –2.(-3)=6 b) -2/-4=1/2 c) 2.4=8
 El producto o cociente de dos números reales de diferente signo es siempre un
número real negativo. Ej. a) 2.(-4)=-8 b) -6.2=-12 c) 6/-3=-2 d) –8/2=-4
 El elemento neutro para el producto o el cociente es el 1. Ej: a) 6.1=6 b) 6/1=6
 Distributiva del producto con respecto a la suma (y a la resta) algebraica
La multiplicación de números reales es distributiva respecto de la suma
algebraica.
a. (b + c - d) = a .b + a .c - a .d
Ej. 2. (5+9-3) = 2.5 + 2.9 –2.3=22
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
La potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una
multiplicación de factores iguales
Se define la potencia de un número como:
a n  a
.
a.
a..
.
..a
se lee: “a elevado a la ene”, donde n pertenece a los Naturales
n veces
42 = 4.4 = 16 “CUATRO ELEVADO AL CUADRADO”
43 = 4.4 .4 = 64 “CUATRO ELEVADO AL CUBO”
Sea an  c; a: es la base, n: exponente, c: potencia enésima de a
Si n<0 , entonces puedo reescribirla de la siguiente manera
Ej:
 La potenciación es distributiva respecto del producto y del cociente de las bases.
(a . b)n = a n . b n
Ej. (2.5 )3= (2) 3. (5) 3 = 1000
(a / b)n = a n / b n con b  0
Ej. (20 /5)3= (20) 3 / (5) 3 = 64
 La potenciación es asociativa respecto del producto y del cociente de las bases
cuando ambos exponentes son iguales.
a n . b n = (a . b)n
Ej. (2) 3. (5) 3 = (2.5 )3= 1000
a n / b n = (a / b)n con b  0
Ej. (20) 3 / (5) 3 = (20 /5 )3= 64
 La multiplicación de dos potencias de igual base los exponentes se suman siendo su
base la misma.
a n . a m = a n+m
Ej. 5 3.5 2 = 53+2= 5 5=3125
 El cociente de dos potencias de igual base los exponentes se restan siendo su base
la misma..
a n / a m = a n-.m
Ej. 5 3/ 5 2 = 53.-2= 5
 La potencia de una potencia se obtiene tomando la misma base y por exponente el
producto de ambas potencias.
 
23
6
(a n.)m = a n.m
Ej. 2  2  64
 Toda potencia con base distinta de cero cuyo exponente es cero, su valor es
siempre igual a uno.
(a)0=1 a: base distinta de cero Ej. 50=1; (-1/2)0=1
 Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.
a1=a
51=5
ACTVIDAD 1:
Teniendo en cuenta las propiedades de la potencia, completen V (verdadero) o F
(falso). Si es falso justifique con la propiedad correcta y si es verdadero coloque la
propiedad que usó.
(5 + 3)2 = 52 + 32
F
Porque la potencia no es distributiva con respecto a la suma.
34 = 12
F
Porque el 3 debe multiplicarse 4 veces por sí mismo.
(5.3)2 = 52. 32
se usó la propiedad distributiva
V
(8 − 4)2 = 82 − 42
F porque la propiedad distributiva no se aplica a la suma o resta.
(8: 4)2 = 82: 42
potencia distributiva
23 = 32
F
V
porque no se puede conmutar la base con el exponente
(27)2 = 27. 22
(43)2 = 43.2
F
V
porque se debe multiplicar el exponente por el exponente
es la potencia de la potencia
RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
2√64
= 8, porque 82 = 64
Se define la raíz de un número como:
na
 b  bn  a Se lee: “raíz enésima de a”; a: radicando, n: índice, b: raíz enésima
: radical.
A tener en cuenta que:
 La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente excepto en
aquellos casos donde el radicando sea negativo y el índice de la raíz sea par.
n
a.b  n a.n b
n
a :b  n a : n b
Ej.
con b  0
Ej.
2
4.9  2 36  2 4.2 9  2.3  6
2
4 : 9  2 4 : 2 9  2 / 3
 La radicación de índice n se puede expresar como una potencia donde el
exponente es 1/n.
1
a
na
1
n
38
Ej. a)
 83  2
m
n m
a
a
b)
4 2
9
9
2
1
4
923
4
n
2 4
Ej.
3
 32  9
2
3
IMPORTANTE : La potenciación y la radicación no son distributivas ni asociativas con
respecto a la suma y a la resta.
ACTIVIDAD 2:
I)Completen V (verdadero) o F (falso). Justifique su respuesta con la propiedad correcta que
usó.
2√100
= 50
F
porque su raíz es 10
(3 + 2 + 5)2 = 32 + 22 + 52
2
2
2√8. 2√2
= √16
2√9
+ √16 = √25
2
2√16: 2√2
2√16
F
V
2
= √16: 2
2
F
porque la propiedad distributiva no se aplica a la suma
el resultado es 3 + 4 =7
se aplica la propiedad asociativa
V
2
+ √2 = √16 + 2
se aplica la propiedad asociativa
F
la propiedad asociativa no se aplica a la suma o resta
II)Resuelve aplicando las propiedades cuando sea posible:
a) 218 . (25)4 : (230 . 27) . 2=
218 . 220 : 237 . 2 = 238 : 237 . 2 = 2 . 2 = 4
5
5
5
b) √5 . √53 . √54 ∶
6
6
6
c) √16 . √8 : √2 =
5√53
=
2
d) √81 . 64 ∶ 144 =
e) 4 . (5 .7 + 10) + 270: 30 − (18 − 4. 2)=
f) 58 . 513 : 519 +(4 . 9 -12)0 -√45: √5 =
EJERCICIOS COMBINADOS
Para resolver este tipo de ejercicios:
1. Se separa en términos.
2. Se resuelven los cálculos que están dentro de los paréntesis.
3. Se resuelven las potencias y raíces.
4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
5. Se resuelven las sumas y restas.
Ejemplos:
Para tener en cuenta al trabajar con los signos:
ACTIVIDAD 3
Indica la opción que tiene la igualdad correcta
a) (𝑎. 𝑏2)3 = 𝑎3. 𝑏5
b) (𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 𝑏4
c) 𝑎𝑚 + 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑚+𝑛 =
ACTIVIDAD 4
Usar el signo = 𝑜 ≠ , según corresponda para que las expresiones sean verdaderas.
(12 -4)-2 ............................................ …12-(4-2)
23 + 32 …………………………………………… (2 + 3)2
9.8
6
9+6
9−6
43+42
4
9 8
……………………………………………… .
6 6
……………………………………………..
3+2
3−2
…………………………………………… 4 + 42
ACTIVIDAD 5
Unir con flecha según corresponda
a+a+a
a2+a
a.a
4.a2
3.a.a
3.a
a2.a
2.a2
(2.a)2
a3
a2+ a2
3.a2
a2+a
a2
ACTIVIDAD 6
Resolver los siguentes ejercicios combinados teniendo en cuenta todas las
propiedades y usando la calculadora.
Nos interesa el “proceso” y no el resultado .
71
PRODUCTOS NOTABLES
1. Suma por diferencia
(a+b)(a−b)= a2 – b2
Esta fórmula se lee como suma por diferencia es igual a la diferencia de los
cuadrados.
Ejemplo:
(x+2) (x−2) = x2 − 22 = x2 – 4
2. Cuadrado de la suma
(a+b)2=a2+2.a.b+b2
Ejemplo:
(x+1)2 = x2+2.x.1+ 12
= x2 + 2x +1
3. Cuadrado de la resta
(a−b)2 = a2 – 2.a.b + b2
Ejemplo:
(x−2)2 = x2 − 2.x.2 + 22 =
= x2 – 4x + 4
ACTIVIDAD 7: Resuelve:
1.
2.
3.
4.
(x+1) . (x-1)=
(3x+2) . (3x-2)=
(x2+2) . (x2-2)=
(2x+5) . (2x-5)=
5. (X-1)2 =
6. (4B+3C)2 =
7. (2A – 3B)2 =
8. (3x – 4)2 =
9. (x + 5)2 =
10. -(x + 3)2 =