Fórmulas Matemática para PTU

Si en una ecuación normal desaparece la x, no tiene
// = (m1=m2), (n1≠n2)
⦜ = m1⦁m2= -1
solución.


𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2
𝑃𝑚 = (
,
)
2
2
𝑦2 − 𝑦1
𝑚=
𝑥2 − 𝑥1
1n=1
an⦁am=an+m
(a)2n=a2n
a1=a
𝑎𝑛
(𝑎𝑛 )𝑚 =an
𝑎𝑚
= an-
m
𝑛
𝑎
a
= 
𝑏𝑛
b
𝑛
a
 
b


𝑛
𝑛
m
√𝑎
𝑛 𝑎
= √
𝑏
√𝑏
𝑎𝑛 ⦁ 𝑏𝑛
= (𝑎⦁ 𝑏)𝑛
√𝑎 ± 𝑏 𝑛√𝑎 ± √𝑏
𝑛
𝑛
1
𝑛
√𝑎𝑏 = 𝑛√𝑎 • √𝑏
a0=1(a0)
(𝑎 0)
𝑛
√𝑎𝑚
=
𝑚
(𝑎) 𝑛
𝑛
√𝑎 =
b𝑏𝑛 = 𝑎
𝑏
= 
𝑎
o Discriminante = ∆
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
 >0: x1 , x2 ∈ ℝ y x1≠x2.
 =0: x1 , x2 ∈ ℝ y x1=x2.
 >0: x1 , x2 ∈ ℂ y x1≠x2.
o Con repetición
𝑉𝑅 𝑛𝑟 = 𝑛𝑟
(𝑏)𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 = 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 =
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑙𝑜𝑔
𝑎
= 𝑙𝑜𝑔 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏
𝑏
log ( 𝑎𝑏 ) = 𝑏⦁log a
Productos notables
 (a±b)2=a2±2ab+b2
 (a+b)(a-b)=a2-b2
 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Función Cuadrática:
 Parábola: Gráfico
 Concavidad: Sentido parábola
(arriba, a>0; abajo a<0)
 Intersección eje y: (0,c)
 Ceros: Intersecciones eje x.
 Eje de simetría:
𝑥1 +𝑥2
2
𝑏
o − 2𝑎
 Vértice: 𝑣 = (− 2𝑎𝑏 , 𝑓 (− 2𝑎𝑏 ))
Criterios de semejanza de triángulos:
 L.A.L.
 A.L.A.
 L.L.L.
 L.L.A.
Teorema de Thales 2
Variación
 No todos los elementos, n es el
conjunto y r el subconjunto.
 Importa el orden
𝑛!
o Sin repetición: 𝑉 𝑛𝑟 = (𝑛−𝑟)!
log a = log10 , log b a =c ↔bc = a
log(a ⦁b) = log a + log b
Teorema de
Thales
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
√𝑎𝑛 = 𝑎
Suma de raíces: x1+x2= -
ax2+bx+c=0
Ecuación cuadrática:
o Fórmula general:
√𝑎𝑛 ± 𝑏 𝑛  𝑎 ± 𝑏
𝑛
𝑛
Producto de raíces: x1⦁x2=



𝑎1
𝑏
Única:
≠ 1 Secantes
𝑎2
𝑏2
𝑎1
𝑏1
𝑐
Infinitas: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐1 Coincidentes
2
2
2
𝑎1
𝑏1
𝑐1
Nula:
= ≠ Paralelas
𝑎2
𝑏2
𝑐2
𝑛
a-1 =
𝑎
−1
a1x+b1y=c1
Sistema de ecuaciones:
Soluciones:
Combinación
 No todos los elementos, n es el
conjunto y r el subconjunto.
 No importa el orden
𝑛!
o Sin repetición: 𝐶 𝑛𝑟 = (𝑛−𝑟)! ⦁ 𝑟!
o Con repetición 𝐶𝑅 𝑛𝑟 =
(𝑛 + 𝑟 − 1)!
𝐶𝑟𝑛 + 𝑟 − 1 = (𝑛 − 1)! ⦁ 𝑟!
Permutación
 Todos los elementos
 Importa el orden
o Sin repetición: P(n) = n!
o Con repetición (k=los que se
repiten):
𝑛!
𝑃𝑟𝑒𝑝 =
𝑘1 ! ⦁𝑘2 ! ⦁𝑘𝑟 !
Inecuaciones:
Relación entre números o letras que forman una
desigualdad. Se usan los signos <(menor que),
>(mayor que), ≤(menor o igual que), ≥(mayor o igual
que).
 Propiedades:
a)
Si se suma o resta, o multiplica (por un
positivo), el signo no cambia de sentido.
b)
Si se multiplican por un negativo, el signo
cambia de sentido.
c)
Si se usan los recíprocos, el signo cambia.
Teorema de Euclides y Pitágoras
2
5) a +
Soluciones de una ecuación:
- ax+b=0
a) Si a≠0, tiene solución única.
b) Si a=0 y b=0, tiene infinitas
soluciones.
c) Si a=0 y b≠0, la ecuación no
tiene solución.
Desplazamiento de funciones:
Vectores:
Homotecia:


Vertical (si c>0):
o
y=f(x) + c ⇒Sube c unidades en el
eje y.
o
y=f(x) – c ⇒ Baja c unidades en el
eje y.
Horizontal (si c>0):
o
y=f(x-c) ⇒ Se traslada c unidades a
la derecha (en el eje x).
o
y=f(x+c) ⇒ Se traslada c unidades
a la izquierda (en el eje x).
b2 = c2
a<0, n par (+)
Tipo de funciones:
 Inyectiva (1 a 1): Cada elemento del recorrido
tiene sólo UNA preimagen. TIP: Es como una
inyección, no se comparte. Por eso tiene solo una
preimagen
 Sobreyectiva/epiyectiva: Recorrido = Codominio.
(a todos los y les toca un x)
Biyectiva: Inyectiva y epiyectiva a la vez.
a<0, n impar (+)
Función potencia
de la forma f(x)=axn
Función potencia
de la forma f(x)=axn
a>0, n impar (-)
Función potencia
de la forma f(x)=axn
Elementos secundarios de un triángulo:
Altura: Vértice y cae ⦜.
Bisectriz: Divide un ángulo en 2 =.
(Juntas=incentro)
Transversal de gravedad: Vértice y cae en punto
medio (Junta=centro de gravedad)
Simetral: Rectas ⦜ que pasan por el punto medio.
(Juntas=circuncentro)
Mediana: Une los puntos medios. (Forma un
triángulo que es semejante, ya que los lados
resultantes son la mitad que sus paralelos)
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
a>0, n par (+)
𝑘=
Á𝑟𝑒𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
Para antihorario, para 90° hay que dar vuelta y el
primero ponerlo negativo. Después, para 180° hay
que hacer lo mismo y para 270° igual. Para el giro
horario, el 90° horario es igual al 270° antihorario y
el 270° horario es igual al 90° antihorario.
Á𝑟𝑒𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎
Rotación:
2
Módulo o magnitud: |𝑎
⃗⃗⃗ | = √(𝑎1 )2 + (𝑎2 )2
Función potencia
de la forma f(x)=axn
Función potencia
de la forma f(x)=axn
a<0, n impar (-)
Función potencia
de la forma f(x)=axn
a>0, n par (-)
Función potencia
de la forma f(x)=axn
a<0, n par (-)
𝑘 =
Reflexión de funciones:

Se refleja en el eje x: y= - f(x)

Se refleja en el eje y: y= f( - x)
Función afín: No pasa por el origen
Función lineal: Pasa por el origen
Función Inversa: Cálculo:

Despejar la variable x en función de la y.

Se intercambian las variables y el resultado
es la f -1.
Diagrama de caja y bigote
Geometría analítica:
Principal: y = mx + n
General: 0 = Ax + By + c
Observaciones: Cabe destacar que, si la
pendiente es positiva, será creciente, si es
negativa, decreciente. Si esta es 0, será paralela
al eje x, si es indeterminada o no existe, es
paralela al eje y.
Modelos a escala: El primero es el valor en el plano y el
segundo el valor en la realidad.
Reflexión: Transformación que representa un giro
de una figura/ segmento. Estos quedan iguales
que como estaban. Axial: En torno a una recta.
Central: Respecto a un punto (giro 180°).
En torno al eje x: Pasar de (x,y) a (x,-y).
En tono al eje y: Pasar de (x,y) a (-x,y).
De eje y=x: Pasar de (x,y) a (y,x)
En torno al origen: Pasar de (x,y) a (-x,-y). TIP: Si
te dicen y=-x,→(-x,-y)
Eventos independientes: Eventos totalmente
distintos, se multiplican, son separados. 𝑃(𝐴 ∩
𝐵) = 𝑃(𝐴)⦁𝑃(𝐵)
Eventos dependientes (son los sin repetición):
Depende una de la otra, es distinta a la
condicionada. Cuando A y B son eventos, que
ocurra A está dado por la probabilidad
condicionada de B. Dependen 1 de la otra.
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)= P ( A ) ⦁ P ( B / A )
Distribución binominal/Bernoulli: Para
probabilidades de cualquier tipo. En cada
lanzamiento hay dos posibilidades: ganar/perder,
bueno/malo, etc… Notación: x~B(n,p) P(x=k)=
( 𝑛𝑘 )⦁𝑝𝑘 ⦁𝑞𝑛−𝑘
p=Probabilidad de éxito, q=Probabilidad de
fracaso (1-p), k=Cantidad de éxito, n=Cantidad de
veces del experimento
Para dos resultados equiprobables:
Éxito=fracaso
Rango intercuartil: Q3-Q1
a>0, n impar (+)
Función potencia
de la forma f(x)=axn
Eventos mutuamente excluyentes o incompatibles: Es
cuando dos eventos no pueden ocurrir juntos. Su
intersección es vacía. No es lógico. Pero su unión (porque
te preguntan por este “o” este), es: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) +
𝑃(𝐵). 𝑆𝑖 𝑢𝑛𝑎 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒, 𝑙𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒.
Eventos complementarios: Son los eventos que cuando
se juntan (unión), su probabilidad es 1.
Eventos mutuamente no excluyentes o compatibles:
Corresponden a eventos que pueden ocurrir al mismo
tiempo en un experimento. Si pasa uno, no significa que
no pase el otro. Se basa en la intersección de dos
conjuntos.
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
1 𝑛
P(x=k)=( 𝑛𝑘 )⦁ ( ) , n= n° de repeticiones y k=n° de
2
éxitos.
Hecho por Magdalena Martínez Véliz