TEMA 4. La fuerza y las leyes de movimiento de Newton Rex & Wolfson, Física Preuniversitaria – Problemas propuestos 30. Dos fuerzas, F1 = -407 N i -650 N j, F2 = 257 N i -419 N j, actúan sobre una caja que está siendo arrastrada por el suelo. Calcule la tercera fuerza requerida para obtener una fuerza neta sobre la caja igual a cero. Solución: Para equilibrar las fuerzas que actúan sobre la caja con una tercera F3, la fuerza neta (suma vectorial de las tres fuerzas) debe ser nula: Fneta F1 F2 F3 0 y por tanto: F3 F1 F2 Sustituyendo las expresiones de las fuerzas y sumando componente a componente: y F3 x F1 F2 F3 (407N i 650N j ) (257N i 419N j ) (407N 257N) i (650N 419N) j 150N i 1069N j 44. Un grúa levanta una viga de acero de 185 kg aplicando una fuerza vertical de 1960 N. Calcule (a) la fuerza neta que actúa sobre la viga y (b) la aceleración de la viga. Solución: a) Sobre la viga actúan dos fuerzas, ambas en dirección vertical: la aplicada por la grúa (hacia arriba) y el peso ejercido por la fuerza de la gravedad (hacia abajo). La fuerza neta será por tanto: Fneta 1960 N mg 1960 N 185 9,81 N 145, 2 N b) Bajo la acción de esta fuerza neta, la viga experimenta una aceleración dada por la segunda Ley de Newton: F 145, 2 N F ma a 0, 78 m/s 2 m 185 kg 86. Utilizamos una cuerda para tirar de un trineo a velocidad constante en un suelo nevado horizontal con un coeficiente de rozamiento cinético de 0,050 entre el trineo y la nieve. El trineo está cargado de libros de Física, por lo que tiene una masa total de 48 kg. (a) ¿Con qué fuerza habrá que tirar si mantenemos la cuerda horizontal? (b) Repita el apartado anterior suponiendo que la cuerda forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal. Solución: a) Como el movimiento del trineo es con velocidad constante en dirección horizontal, se cumple que para ambos ejes (x, y): Fx m ax 0 Fy m a y 0 y por tanto, como la tensión de la cuerda es en sentido horizontal: Fx T f r 0 T f r Fy n mg 0 n mg y n fr T x mg La fuerza de rozamiento entre el trineo y el suelo nevado es: f r n mg 0, 050 48 kg 9,81 m/s 2 23,5 N Finalmente: T 23,5 N b) Al ejercer la tensión en la cuerda con un cierto ángulo, las ecuaciones anteriores se modifican ligeramente de forma que: Fx T cos f r 0 T cos f r Fy n T sen mg 0 n mg T sen y como fr = µ·n, entonces: T cos f r n (mg T sen ) Despejando y sustituyendo valores: mg 0, 050 48 kg 9,81 m/s 2 T 26, 4 N cos sen cos 30º 0, 050 sen 30º 72. Un disco de hockey se desliza sobre el hielo con µk = 0,013. ¿Cuál es la mínima celeridad inicial que debería tener el disco para poder recorrer los 61 m de longitud del campo? Solución: El disco deberá recorrer la longitud del campo y detenerse al final del recorrido bajo la acción de la fuerza de rozamiento, que lo frena paulatinamente. Por tanto: Fx m ax f r m ax mg m ax ax g La relación entre las velocidades final e inicial, la aceleración y el desplazamiento es: v 2 vo2 2ax x Como la celeridad final es nula, la celeridad inicial se calcula fácilmente sustituyendo la expresión de la aceleración: vo2 2 g x vo 2 g x 2 0, 013 9,81 m/s 2 61 m 3,94 m/s 76. Un vehículo se desliza cuesta abajo, con celeridad constante, por una colina helada que tiene un ángulo de inclinación de 1,4°. Calcule el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y la carretera helada. Solución: Como el vehículo se desplaza con velocidad constante por la pendiente, tendremos para el movimiento paralelo al plano: Fx 0 mg sen f r n y en dirección perpendicular al plano: Fy 0 n mg cos Despejando y sustituyendo: mg sen mg sen tan tan1, 4º 0,024 n mg cos 62. En la máquina de Atwood, dos masas m1 y m2 cuelgan verticalmente, conectadas a través de una polea sin rozamiento, como se muestra en la Figura adjunta. Suponga que m2 > m1: (a) dibuje los diagramas de fuerzas para ambas masas; (b) calcule el módulo de la aceleración de las masas en función de m1, m2 y g; (c) evalúe numéricamente la aceleración si m1 = 0,150 kg y m2 = 0,200 kg. Solución: a) Los diagramas de fuerzas para ambos cuerpos se muestran en la figura T T adjunta. m1 m2 b) Como m2>m1, el sistema se mueve de forma que m2 desciende y m1 sube. En este caso: y Para m1 F T m1 g m1a m1g m2g x Para m 2 F T m2 g m2 a Obsérvese que las magnitudes tanto de la tensión de la cuerda T como de la aceleración a son iguales para ambas masas. Resolvemos el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. Por ejemplo, restando la primera ecuación a la segunda se obtiene sucesivamente: m1 g m2 g m1a m2 a m2 m1 g m1 m2 c) Evaluamos esta expresión sustituyendo los valores de las masas y obtenemos: m m1 0, 20 kg 0,15 kg a 2 g 9,81 m/s2 1, 4 m/s 2 m1 m2 0,15 kg 0, 20 kg Este es el módulo de la aceleración con la que se mueven las masas. En notación vectorial, debemos precisar que para cada masa: a1 (1, 4 m/s 2 ) j a2 (1, 4 m/s 2 ) j . (m1 m2 ) g (m1 m2 )a a 91. Un camión transporta una caja de manzanas de 3,0 kg sobre su plataforma horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre la caja de manzanas y la plataforma es de 0,38. (a) ¿Cuál será la aceleración máxima para el camión en una carretera horizontal sin que la caja resbale? (b) Repita el apartado (a) suponiendo que el camión está circulando por un plano inclinado 4,5° por encima de la horizontal. Solución: a) Para evitar que la caja deslice sobre la plataforma del camión, la fuerza de rozamiento debe ser tal que compense en todo momento el impulso producido por la aceleración del camión. Es decir: F ma f r 0 ma n mg a g Sustituyendo valores: a g 0,38 9,81 m/s 2 3, 73 m/s 2 b) El planteamiento es similar al caso anterior, con la diferencia de que el camión circula ahora por un plano inclinado. Si el camión está ascendiendo, tendremos: F ma f r mg sen 0 ma n mg sen mg cos mg sen a g cos g sen n a fr θ mg Sustituyendo valores: a g ( cos sen ) 9,81 m/s 2 (0,38 cos 4,5º sen 4,5º ) 4, 49 m/s2 Sin embargo, si el camión está descendiendo, tendremos: F ma mg sen f r 0 ma n mg sen mg cos mg sen a g cos g sen Por tanto, en este caso: a g ( cos sen ) 9,81 m/s 2 (0,38 cos 4,5º sen 4,5º ) 2,95 m/s2 n fr a θ mg Observe cómo la componente del peso paralela al plano hace que la aceleración máxima pueda ser mayor o menor que en el caso horizontal. 97-98. Un vehículo está recorriendo una pista circular horizontal de radio 225 m. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la pista es de 0,65. (a) Dibuje un diagrama de fuerzas para el vehículo. (b) ¿Cuál es la máxima celeridad para el vehículo si no queremos que se salga de la pista? (c) Repita el apartado anterior pero ahora para una carretera con un peralte de 9,5°. Solución: a) El diagrama de fuerzas, considerando que el centro de giro se sitúa en el origen de coordenadas, podría ser el de la figura adjunta. n y fr x b) La máxima celeridad corresponde con la que produce una fuerza centrípeta igual a la fuerza de rozamiento, de forma que: mg 2 v fr m R Como en el eje vertical no hay aceleración: n = mg , y por tanto: fr = µmg. Teniendo esto en cuenta: v2 v2 f r mg m g v gR R R Sustituyendo valores: v gR 0, 65 9,81 m/s 2 225 m 37,9 m/s c) El peralte actúa de forma que la fuerza centrípeta la proporcionan la componente horizontal de la fuerza de rozamiento y de la fuerza normal, tal como muestra el diagrama de fuerzas adjunto. En el eje vertical no hay aceleración, y por tanto: F n cos mg f r sen 0 n cos mg n sen 0 Y despejando n: n mg cos sen Ahora, para la fuerza centrípeta tendremos: FC f r cos n sen m v 2 R n cos n sen m v 2 R n cos sen m v 2 R Sustituyendo la expresión de n se obtiene: y n x FC θ θ fr mg mg cos sen v2 m cos sen R Y despejando la celeridad y sustituyendo valores: cos sen 0,65cos sen v gR 9,81 m/s2 225 m 45 m/s cos sen cos 0,65sen Se puede observar cómo el peralte permite que la máxima celeridad del vehículo antes de que se salga en la curva sea mayor.
