FACTORIZACION-PRODUCTOS ESPECIALES – MATERIAL DE APOYO En el marco de las expresiones vimos algunos productos especiales y algunas reglas y procedimientos, los cuales vamos a recordar a modo de repaso Binomio al cuadrado Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo. Ejemplos 1 (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x ² + 6 x + 9 2 (2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9 3 (−2x² + 3)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · 3 + 3² = 4x4 − 12x² + 9 1 4 (−2x² − 3y)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · (−3y) + (−3y)² = 4x4 + 12x²y + 9y² https://www.youtube.com/watch?v=BvhQKRTUWCs https://www.youtube.com/watch?v=zmz0RjoIl0Y Diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. Pasos a seguir para calcula la diferencia de cuadrados Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. Ejemplos 1 (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25 2 (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)² − (y³)² =4x4 − y6 3o (3x − 2) · (3x + 2) = (3x)2− 22=9x2− 4 https://www.youtube.com/watch?v=itgFqGg6UBI https://www.youtube.com/watch?v=VCht7nzqDqs Regla de Ruffini. Es una metodología utilizada para realizar divisiones abreviadas, aunque este método solo es válido cuando el divisor es del tipo (x-a ). La regla de Ruffini es de mucha utilidad para otras aplicaciones importante, como ser el cálculo de 2 ceros o raíces de un polinomio. En síntesis Ruffini se usa para la realizar divisiones abreviadas y para el cálculo de ceros o raíces de un polinomio. ¿Cómo se hace? Vamos a hacer la siguiente división por Ruffini: (6x3–3x+4)÷(x–2) 1. Se ordena en forma decreciente el dividendo y se colocan ordenados sus coeficientes. Si en el polinomio dividendo faltan términos, como en este caso que es incompleto, se ponen ceros en los lugares de los términos que faltan. Debajo, y desplazado a la izquierda, se coloca el término independiente del divisor cambiado de signo (a = 2). El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; por eso el número 6 se baja simplemente. 3 2. El segundo coeficiente del cociente se obtiene según indica el esquema 2⋅6=12 0+12=12 3. El tercer coeficiente del cociente se obtiene según indica el esquema: 2⋅12=24 −3+24=21 4. El resto se obtiene como se indica en el esquema: 4 21⋅2+4=46 Como el grado del cociente es una unidad menor que el grado del dividendo, resulta: El cociente c(x)=6x2+12x+2 y el resto R = 46 https://www.youtube.com/watch?v=vzi21Dcf_lI&t=64s https://www.youtube.com/watch?v=t8yrL3OFtRo https://www.youtube.com/watch?v=zNpZUfa93ZI Valor numérico: Se llama valor numérico de un polinomio al resultado obtenido luego de Sustituir la variable x por un número real, y realizar las operaciones Ej Dado el polinomio P(x) = 2x2 – 3x -5, hallar el valor numérico para x = 2, Sustituimos la x por 2 , esto es : P (2) = 2.22 -3.2 - 5 P (2) = 8 – 6- 5 P(2) = -3 por lo tanto el valor numérico del P (x) es -3, cuando la variable x toma valor 2. ¡Importante!: Cuando el valor numérico de un polinomio es cero, decimos que el valor de “x” que sustituimos es la RAÍZ o CERO del polinomio. 5 Por ejemplo, en el caso anterior, si la x = -1, obtenemos: P (x) = 2x2 – 3x - 5 P (-1) = 2.(-1)2– 3.(-1) – 5 P (-1) = 2 + 3 – 5 P (-1 es raíz de P(x) Si un número es raíz, el resto de la división será 0 y el cociente es exacto Teorema del resto: El resto de la división de P(x) por (x-a) es P(a), valor de P(x) en x=a. Así por ejemplo en la división realizada anteriormente con la regla de Ruffini, (3x3-5x2+2): (x-2) vimos que el resto era 6, por tanto por este teorema tendremos que P (2)= 6. Vamos a comprobarlo: P (2) = 3·23-5·22+2 = 3·8-5·4+2 = 24 - 20 + 2 = 6 Si P(a)=0 entonces x=a es un cero o raíz de un polinomio https://www.youtube.com/watch?v=LTDXp8okBdk&list=TLPQMTAwNTIwMjAzY4QlMzAQ5w&index=1 Calculo de raíces o ceros de un polinomio Para hallar las raíces de un polinomio lo que hay que hacer, entonces, es igualarlo a 0 para averiguar qué valores debe adoptar la variable (generalmente "X") para que la ecuación nos de como resultado 0. Claro está que cuanto mayor sea el grado del polinomio mayor será también la cantidad de pasos que deberemos seguir pues el grado del polinomio nos determina el máximo de raíces distintas que puede tener. Ejemplo de cálculo: Calcular las raíces del siguiente polinomio 6 Ordeno y completo el polinomio El polinomio tiene término independiente que es 12, las raíces de existir estarán entre los divisores de 12, sacamos entonces los divisores: Mediante la regla de Ruffini se prueba con los divisores de 12 de manera que el resto =0 Se probó con el (+1) y no dio resto cero; entonces se x= (-1) es una raíz del polinomio. Se continúa con el mismo procedimiento hasta encontrar todas las raíces posibles Como se puede observar en este caso las raíces son -1,+2,+2,-3. 7 Otro detalle importante en este ejemplo, es como se ve en la resolución es que x= +2 se repite 2 veces, ese caso se dice que dicha raíz es doble o de orden par, ya que se repite un numero par de veces, mientras que las demás son simples o de orden impar. El cálculo de raíces es el puntapié inicial para el desarrollo de un método muy importante de factorización denominado Método de Gauss https://www.youtube.com/watch?v=uFuaVplW7S8 FACTORIZACION DE POLINOMIOS La factorización de polinomios consiste en expresar un polinomio en forma de producto, en función de sus factores. Existen diversos casos para la factorización de polinomios, nosotros nos centraremos en algunos. Factor común EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)- El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números, es decir el mayor divisor común entre todos los números 8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d). EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras). El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece que sale fuera del paréntesis, se restan los exponentes y me quedan las x dentro del paréntesis 7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6) EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras) El factor común es 3x2: El Máximo común divisor entre los números y la x elevada a la menor potencia. 8 9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5) EJEMPLO 4: (Con fracciones) El factor común es 2/3 x: El Máximo Común Divisor del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia. 4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4) https://www.youtube.com/watch?v=VJegSwlnW2U https://www.youtube.com/watch?v=6x4YGMcw0xA Diferencia de cuadrados (a2-b2 )= ( a+b).(a-b) Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Para determinar las bases a los exponentes se lo dividen por 2 ya los números se le saca la raíz cuadrada 9 EJEMPLO Con potencias de grado mayor a 2 x6 – 4 donde : x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6,, para sacar las bases, como ya se indicó, debemos dividir el exponente por 2 y a los números sacarle la raíz cuadrada Nos queda entonces x6 - x3 (x3 - 2).(x3 +2) 4= 2 a b (x3 + 2).(x3 - 2) ( polinomio factorizado) https://www.youtube.com/watch?v=4e5v5dQfA5I https://www.youtube.com/watch?v=dmUjA2V_vOQ Trinomio cuadrado perfecto 10 ¿Cómo factorizo? Para identificar las bases a y b se buscan los términos que términos que estén elevados al cuadrado, que al igual que en la diferencia de cuadrados para determinar dichas base a y b se debe dividir por 2 los exponentes y sacar la raíz cuadrada de los números –, luego se debe comprobar que el termino restante verifique las siguiente relación 2.a.b que en caso de cumplirse, podemos asegurar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto . EJEMPLO : veamos el siguiente polinomio x6 + 6x + 9 ( sin factorizar) 11 x6 + 6x3 x3 + 9 = (x + 3)2 3, verifico 2.3.x3= 6x3 bases a y b nos queda : (x + 3)2 (polinomio factorizado) https://www.youtube.com/watch?v=35wNk6RNnMo Método de Gauss El método consiste básicamente en determinar las raíces del polinomio y reemplazar en la expresión factorizada de un polinomio . Expresión factorizada : P(x)= a( x-x1).(x-x2).(x-x3)(x-x4)………….(x-xn) Ejemplo Solución: Polinomio ordenado y completo El polinomio tiene término independiente, saco los divisores 2 y probamos con el método de Ruffini , los valores a partir de los cuales se obtiene resto cero , corresponden a las raíces del polinomio. 12 Reemplazando las raíces obtenidas en la expresión factorizada nos queda: Veamos otro ejemplo El polinomio debe estar completo y ordenado 13 X=-1 se repite 2 veces, es decir que es una raíz doble es entonces de orden par. El polinomio factorizado nos queda: https://www.youtube.com/watch?v=slD6YXohOAs https://www.youtube.com/watch?v=ozzalwEBhw0&t=520s 14
