INGENIERÍA ECONÓMICAS II INTERÉS: EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO INTEGRANTES 1 BALDERA SANDOVAL, DENNYS ALEXANDER 2 CARMONA FLORES, JOSE CARLOS 3 LIZANA MATOS, GEYSON ROMAY 4 PÉREZ ROJAS, JOEL WILMER 5 VASQUEZ ALGARATE, BRANDON KEVIN <<GRUPO N° 02>> INTERÉS: EL COSTO DEL DINERO DEFINICIÓN: La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el concepto de interés. Sabemos que el dinero que se deposita en una cuenta de ahorros genera intereses y que, con el tiempo, el saldo será mayor que la suma de los depósitos. Sabemos que pedir un préstamo para comprar un automóvil significa que tendremos que pagar esa cantidad después de un tiempo más otra por concepto de intereses, de manera que la cantidad pagada será mayor que la suma solicitada. Lo que quizá no nos resulte tan familiar es la idea de que, en el mundo financiero, el dinero en sí es un producto y que, al igual que otros bienes que se compran y se venden, también cuesta dinero. TASA DE INTERÉS: El costo del dinero se establece y se mide mediante una tasa de interés, un porcentaje que se aplica y se suma periódicamente a una cantidad (o a una variedad de cantidades) de dinero por un periodo determinado. Cuando se pide dinero prestado, el interés que se paga es el cargo al prestatario por el uso de la propiedad del prestamista; cuando se presta o se invierte dinero, el interés obtenido es la ganancia del prestamista por proveer un bien a otra persona. Así, podemos definir el interés como el costo de tener dinero disponible para su uso. EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO: El valor del dinero en el tiempo parece un concepto complejo, pero es algo con lo que usted tiene que lidiar todos los días. ¿Le conviene comprar algo en este momento o ahorrar el dinero y comprarlo después? He aquí un ejemplo sencillo de cómo su comportamiento de compra puede tener distintos resultados. Imagine que tiene $100 y desea comprar un refrigerador de $100 para su dormitorio. ❖ Si lo compra ahora, terminará sin dinero. Pero si invierte su dinero con un interés anual del 6%, en un año podrá comprar el refrigerador y le sobrarán $6. Desde luego, necesita preguntarse si la ganancia financiera de $6 compensa el inconveniente de no tener el refrigerador durante un año. ❖ Si el precio del refrigerador aumenta a una tasa anual del 8% a causa de la inflación, no tendrá suficiente dinero (le harán falta $2) para comprar el refrigerador dentro de un año (caso 1 de la figura 2.1). En tal caso, probablemente le convenga comprar el refrigerador ahora. Si la tasa de inflación es sólo del 4%, entonces le sobrarán $2 si compra el refrigerador dentro de un año (caso 2 de la figura 2.1). A todas luces, la tasa a la cual usted gana intereses debe ser más alta que la tasa de inflación para que la compra a futuro tenga sentido. En otras palabras, en una economía inflacionaria, su poder adquisitivo continuará disminuyendo a medida que siga retrasando la compra del refrigerador. Para compensar esta pérdida futura en el poder adquisitivo, la tasa a la cual usted gana intereses debe ser suficientemente más grande que la tasa de inflación anticipada. Después de todo, el tiempo, como el dinero, es un recurso finito. Hay sólo 24 horas en un día, así que también el tiempo debe presupuestarse. Este ejemplo ilustra que debemos relacionar la capacidad de generar ganancias y el poder adquisitivo con el concepto de tiempo. La forma como opera el interés refleja el hecho de que el dinero tiene un valor en el tiempo. Por eso, las cantidades de interés dependen de los periodos de tiempo; las tasas de interés, por ejemplo, normalmente se dan en términos de un porcentaje anual. EFECTOS DE LA MONEDA EN EL TIEMPO. En las últimas semanas se ha observado un pronunciado aumento en los niveles de volatilidad de diferentes monedas en el mundo, especialmente en los mercados emergentes. No solo desde el punto de vista de los operadores en el mercado de divisas, sino también desde una perspectiva económica general para la toma de decisiones en los mercados, resulta de gran utilidad conocer cuáles son los posibles determinantes del valor de la moneda de un país. El precio de las monedas no está para nada exento de las leyes de la oferta y la demanda, aunque se trate de un mercado bastante particular en el cual conviven diferentes clases de actores. Por el lado de la oferta, los bancos centrales de diferentes países juegan un rol fundamental. El banco central regula variables clave como la emisión de moneda, las tasas de interés o las regulaciones sobre encajes y otras cuestiones que hacen a la capacidad de préstamos del sector financiero. Por lo tanto, en función de sus objetivos en temas como crecimiento, y muy especialmente niveles de inflación, los bancos centrales implementan diferentes políticas monetarias que tienen un impacto considerable sobre el valor de la moneda de un país. Los flujos internacionales de monedas también son un determinante clave. Si las exportaciones de Brasil aumentan fuertemente, por ejemplo, gracias a un boom en los precios de los commodities, es de esperarse que se produzca un aumento de la oferta de dólares en el país. Por lo tanto, si el resto de las variables se mantienen sin cambios, un aumento de exportaciones en Brasil debería tener el efecto de generar una subida en la cotización del real frente al dólar norteamericano, por ejemplo. Cuando un país mantiene niveles elevados de inflación, durante un largo período de tiempo, el aumento en el precio de los bienes no es otra cosa que una caída en el valor de su moneda. Por lo tanto, resulta razonable que su moneda se deprecie también contra las monedas de otros países. El problema es que la devaluación acelera el proceso inflacionario al incrementar el precio en moneda local de los bienes y servicios que se exportan o importan. Por lo tanto, una elevada inflación lleva a una devaluación de la moneda, lo cual a su vez acelera la inflación. Especialmente cuando el Banco Central emite grandes sumas de dinero para financiar el gasto público, se puede ingresar en una espiral destructiva en la cual las expectativas negativas y la falta de confianza generan un círculo vicioso de inflación creciente y una tasa de devaluación cada vez más rápida. Cuando los agentes económicos no confían en la moneda de su país y las expectativas son de un deterioro acelerado de la situación, esto puede generar un proceso de fuga mediante el cual las empresas e individuos pretenden liquidar lo más rápido posible sus tenencias en moneda local para protegerse de la pérdida de valor de las mismas. En estas situaciones el impacto sobre los niveles de precios es difícil de predecir o controlar. Una vez que la confianza está rota recuperarla suele demandar modificaciones en el marco institucional y político de un país además de esfuerzos económicos de gran magnitud. TIPOS DE INTERÉS. El interés es el pago adicional que se suma al principal pagado a un prestamista por el derecho a pedir dinero prestado. La tasa de interés se expresa como una tasa de porcentaje anual, y el pago podría ser una cantidad fija de dinero (tasa fija) o tasas pagadas en una escala móvil (conocida como pago variable). Conocer en qué consisten y qué implican los diferentes tipos de intereses bancarios ayuda a evitar sorpresas o efectos negativos a los consumidores que buscan crédito o préstamo de una entidad financiera. Así, entre los más comunes cabe destacar los siguientes: INTERÉS FIJO. Es una tasa específica que se vincula a un préstamo o una línea de crédito y que debe devolverse junto con el capital. Una tasa fija es la forma más común de interés para los consumidores, ya que resulta fácil de calcular, fácil de entender y es estable. En este caso, tanto el prestatario como el prestamista saben exactamente qué obligaciones de tasa de interés están vinculadas a un préstamo o cuenta de crédito. INTERÉS VARIABLE. Las tasas de interés pueden fluctuar y eso es exactamente lo que sucede con las tasas de interés variable. Estos tipos de intereses bancarios suelen estar vinculados al movimiento continuo de las tasas de interés base (las preferenciales que los prestamistas usan para establecer sus tasas de interés). Los prestatarios pueden beneficiarse si se produce la disminución de la tasa preferencial, algo que puede suceder en etapas económicas más difíciles. Pero, si las tasas de interés base aumentan, entonces el prestatario del préstamo con tasa variable puede verse obligado a pagar más intereses. INTERÉS SIMPLE. El término interés simple es una tasa que los bancos usan comúnmente para calcular la tasa de interés que cobran a los prestatarios (el interés compuesto es la otra forma común de cálculo de tasa de interés utilizada por los prestamistas). Al igual que el porcentaje de tasa anual, el cálculo del interés simple es de estructura básica. INTERÉS COMPUESTO Es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado. En otras palabras, se podría definir como la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por la suma de los intereses vencidos. La suma total obtenida al final se conoce con el nombre de monto compuesto o valor futuro. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le denomina interés compuesto y para su cálculo se puede usar sin ningún problema la igualdad. Elementos de la tasa de interés compuesto: S: Monto, Capital o stock final de efectivo o valor futuro C: Capital principal o stock inicial de efectivo, valor presente i: Tasa de interes compuesto por unidad de tiempo n: Tiempo que se impuso el capital (días, meses, ..., etc.) El interés compuesto es más flexible y real, ya que valora periodo a periodo el dinero realmente comprometido en la operación financiera y por tal motivo es el tipo de interés más utilizado en las actividades económicas. Lo anterior, hace necesario una correcta elaboración del diagrama de tiempo y lo importante que es ubicar en forma correcta y exacta el dinero en el tiempo. Por último, es conveniente afirmar que el interés compuesto se utiliza en la Ingeniería Económica, Matemática Financiera, Evaluación de Proyectos y en general por todo el sistema financiero. SUBDIVISIÓN DEL INTERÉS COMPUESTO El interés compuesto se puede subdividir de la siguiente manera: a. Interés compuesto discreto: Se aplica con intervalos de tiempos finitos. b. Interés compuesto continuo: Se aplica en una forma continua, o sea que los intervalos de tiempo son infinitesimales. Sin importar el hecho de que el interés sea discreto o continuo y para dar una definición precisa del interés compuesto, es conveniente indicar los siguientes aspectos. ● TASA DE INTERÉS: Es el valor del interés que se expresa como un porcentaje. Ej.5%. 10%, 20%. ● PERIODO DE APLICACIÓN: Es la forma como se aplicará el interés. Ej. 2% mensual, 20% anual compuesto trimestralmente, 18% anual compuesto continuamente. ● BASE DE APLICACIÓN: Es la cantidad de dinero sobre la cual se aplicará el interés para cada periodo. Ej. 20% anual compuesto trimestralmente sobre el saldo mínimo trimestral. ● FORMA DE APLICACIÓN: Es el momento en el cual se causa el interés. Ej. 2% mensual por adelantado, 18% anual por trimestre vencido FÓRMULA DEL INTERÉS COMPUESTO El interés compuesto se calcula según la siguiente fórmula: 𝑺 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑪 = 𝑺/(𝟏 + 𝒊)𝒕 𝒔 𝒊 = ( )𝟏/𝒕 − 𝟏 𝒄 𝒍𝒐𝒈(𝑴/𝑪) 𝒕= 𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊) 𝒕= 𝒍𝒏(𝑴/𝑪) 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒊) IMPORTANCIA DEL INTERÉS COMPUESTO Hemos dicho antes, al calcular el interés simple, que el capital permanece constante durante el plazo del préstamo. Cuando se calcula el interés compuesto, el capital aumenta por la adición de los intereses vencidos al final de cada uno de los períodos de tiempo a que se refiere la tasa. Siempre que no se paga efectivamente el interés al final de un período, sino que se añada al capital, se dice que los intereses se capitalizan. Se comprende que cuando empiezan a correr el segundo período de tiempo, el capital es mayor de lo que era el comienzo del primer período, y, en consecuencia, el interés al final del segundo período es mayor que al final del primer período. Análogamente, para cada período sucesivo durante el plazo de la deuda, el capital se va haciendo constantemente mayor, y, en consecuencia, el interés a pagar al final de cada período sucesivo es mayor que el período anterior. La capitalización del interés puede tener lugar en cualquier intervalo de tiempo. De acuerdo con el convenio que ha servido de base para el préstamo, si el interés vence al final de cada año y no es pagado en esta fecha, sino que se añade al capital, se dice que el interés se ha capitalizado anualmente. En este caso el período de capitalización es un año. Si el interés se añade al capital cada seis meses, se dice que se capitaliza semestralmente. Análogamente el período de capitalización puede ser trimestral, mensual o cualquier otro período. Pocas son las personas que se dan cuenta de la enorme diferencia entre el interés simple y el compuesto cuando se trata de largos períodos de tiempo. Cuanto más tiempo permanecen sin pagar las deudas, más ingentes son los pagos que hay que hacer en el futuro. COMPARACIÓN ENTRE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO La comparación entre el interés simple e interés compuesto, se hará a partir del siguiente ejemplo. Ejemplo: Suponga que se una persona invierte $1.000 a un interés del 2.5% mensual durante 12 meses, al final de los cuales espera obtener el capital principal y los intereses obtenidos. Suponer que no existen retiros intermedios. Calcular la suma final recuperada Periodo Capital inicial o presente Intereses Monto final o futuro Simple Compuesto Simple Compuesto Simple Compuesto 1 1000.00 1000.00 25 25.00 1025.00 1025.00 2 1000 1,025.00 25 3 1000 1050.00 25 4 1000 1076.90 5 1000 1103.82 25.63 1050.00 1050.63 26.27 1075.00 1076.90 25 26.92 1100.00 1103.82 25 27.59 1125.00 1131.41 6 1000 1131.41 25 28.29 1150.00 1159.70 7 1000 1159.70 25 28.99 1175.00 1188.69 8 1000 1188.69 25 29.72 1200.00 1218.41 9 1000 1218.41 25 30.46 1225.00 1248.87 10 1000 1248.87 25 31.22 1250.00 1280.09 11 1000 1280.09 25 32.00 1275.00 1312.09 12 1000 1312.09 25 32.80 1300.00 1344.89 En la tabla se observa que el monto a interés simple crece en forma aritmética y su gráfica es una línea recta. Sus incrementos son constantes y el interés es igual en cada periodo de tiempo. El monto a interés compuesto, en cambio, crece en forma geométrica y su gráfica corresponde a la de una función exponencial. Sus incrementos son variables. Cada periodo presenta un incremento mayor al del periodo anterior. Su ecuación es la de una línea curva que asciende a velocidad cada vez mayor. En el diagrama anterior se puede observar que los flujos ubicados en el periodo 3, 5 y n-2, son valores futuros con respecto al periodo 1 o 2, pero serán presente con respecto a los periodos n-1. PERIODO El tiempo que transcurre entre un pago de interés y otro se denomina periodo y se simboliza por n, mientras que el número de periodos que hay en un año se representa por m y representa el número de veces que el interés se capitaliza durante un año y se le denomina frecuencia de conversión o frecuencia de capitalización. A continuación, se presenta una tabla que muestra las frecuencias de capitalización más utilizadas o comunes. Capitalización Intereses Frecuencia conversión Diaria 365 Semanal 52 Quincenal o Bimensual 24 Mensual 12 Bimestral 6 Trimestral 4 Cuatrimestral 3 Semestral 2 Anual 1 TASA DE INTERES NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA TASA DE INTERÉS NOMINAL Se conoce como tasa de interés nominal o tasa nominal al interés que capitaliza más de una vez al año. Se trata de un valor de referencia utilizado en las operaciones financieras que suele ser fijado por las autoridades para regular los préstamos y depósitos. La tasa nominal es igual a la tasa de interés por período multiplicada por el número de períodos. Un concepto íntimamente ligado a la tasa nominal es el de rentabilidad; se trata del margen de ganancia que puede devolver una inversión. Si se tiene en cuenta el tiempo que transcurre para obtener dichos beneficios, entonces se utiliza la expresión «ganancia en el tiempo». Veamos un ejemplo: si se adquiere una casa por $500.000 y luego de un año se la vende por $510.000, la utilidad que se habrá obtenido en 12 meses es de $10.000. Puesto en otras palabras, si en lugar de comprar el inmueble se invierten los $500.000 sabiendo que por cada $100 se recibirán $2, al cabo del mismo período podrían obtenerse los $10.000. Este dinero es utilizado por quien lo recibe para producir más, de modo que pueda abonar la ganancia al inversionista ($2 cada $100) y, cuanto más tiempo se le brinde, más ganancias será capaz de generar. TASA DE INTERÉS EFECTIVA La tasa efectiva, es el interés real que una persona paga en un crédito o cobra en un depósito. Pese a que se encuentra enmarcada en un cierto período de tiempo, la tasa nominal contempla varios pagos de intereses en dicho plazo. Con la tasa efectiva, se calcula el rendimiento en un único pago por período. EJEMPLO Por ejemplo: la tasa nominal suele expresarse en base anual. Los contratos, de todas formas, pueden especificar que el interés se calculará varias veces durante el año (ya sea de manera mensual, trimestral o semestral, entre otras). El año, por lo tanto, puede dividirse en doce meses, cuatro trimestres o dos semestres. Si la tasa de interés es del 2% por trimestre, es posible hablar de una tasa nominal anual del 8% (ya que el año tiene cuatro trimestres). CUADRO COMPARATIVO: TASA DE INTERÉS NOMINAL · DEFINICIÓN (TIN) La tasa de interés nominal TASA DE INTERÉS EFECTIVA · (TEA) Por otro lado, es aquella que se paga producto de la tasa de interés un préstamo o del uso de una cuenta efectiva es aquella que de ahorros. Se puede decir que se muestra el rendimiento trata de la rentabilidad (coste de efectivo de un producto oportunidad) obtenida en una financiero. Dicho de operación financiera por otra forma, es la tasa determinado tiempo. Esta se verdadera que se paga capitaliza tomando solo en cuenta el por un pasivo o recibe capital principal. No incluye gastos por un activo. Mediante financieros o comisiones (coste el cálculo de la TEA se bruto). puede representar el efecto de la reinversión de los intereses. La TAE ofrece valores más fieles, pues incluye la TIN, las comisiones y otros gastos financieros (coste neto). FÓRMULA DE CONVERSIÓN DE TASA DE INTERÉS NOMINAL A TASA DE INTERÉS EFECTIVA La fórmula de conversión directa cuando se tiene una tasa nominal anual, y se quiere saber cuál es la tasa efectiva anual es la siguiente: 𝑖 = ((1 + 𝑗/𝑚) ∧ 𝑚) − 1 siendo: i= interés efectivo j= interés nominal m= frecuencia de capitalización EQUIVALENCIA ECONÓMICA EQUIVALENCIA ENTRE FLUJOS DE CAJA. CÁLCULOS DE EQUIVALENCIA CON UN SOLO FACTOR. El comentario de que el dinero tiene un valor en el tiempo nos lleva a una pregunta importante: Si recibir $100 hoy no es lo mismo que recibir $100 en el futuro, ¿cómo medimos y comparamos flujos de efectivo diversos? ¿Cómo sabemos, por ejemplo, si es preferible tener $20,000 hoy y $50,000 dentro de 10 años, que tener $8,000 cada año durante los siguientes 10 años? Una vez se desarrollan estimaciones de entradas y salidas de efectivo, el flujo de efectivo neto durante un determinado periodo de tiempo puede representarse como: Flujo de efectivo neto = recibos - desembolsos Flujo de efectivo neto = entradas de efectivo - salidas de efectivo Un diagrama de flujo de efectivo es simplemente una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados en una escala de tiempo. El diagrama, que representa una nueva determinación de la situación, incluye lo que se conoce y que se necesita. Es decir, una vez que el diagrama de flujo de efectivo está completo, otra persona debe ser capaz de manejar en esencia el problema con sólo mirar el diagrama. En ese sentido, es importante que el lector entienda el significado y la construcción del diagrama de flujo de efectivo, puesto que es una herramienta valiosa en la solución de problemas. En el diagrama de flujo de efectivo, el tiempo t = 0 es el presente y t = 1 es el final del periodo de tiempo 1. La escala de tiempo de la presente figura se fija en 5 años. Como quiera que la convención de final del año ubica los flujos de efectivo al final de los años, el ‘1’ denota el final del año uno. Las ecuaciones de valores equivalentes son una de las técnicas más útiles de las matemáticas financieras, debido a que nos permiten plantear y resolver diversos tipos de problemas financieros, mediante los desplazamientos simbólicos de los capitales a través del tiempo. Es usual que deudores y acreedores hagan un convenio para refinanciar sus deudas, es decir, para remplazar un conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro nuevo conjunto de obligaciones que le sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas. En general, estos conjuntos vienen relacionados a un flujo de deudas y el otro al de los pagos, o bien, uno se refiere a los depósitos y el otro, a los retiros producidos en una cuenta bancaria, así como también, se presentan casos de transacciones en las que un deudor desea reemplazar un conjunto de pagos que debe efectuar a un determinado acreedor, por otro conjunto que sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal; planteada en términos algebraicos. FECHA FOCAL: Es la fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones, dicho de otra manera, es la fecha que se escoge para la equivalencia. En la fecha focal debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que la suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia financiera. Una ecuación de valor se fundamenta en que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Por tal razón, al plantearla se debe respetar la Regla Fundamental de la Suma Financiera de Capitales: “Dos o más capitales financieros no pueden sumarse mientras no coincidan sus vencimientos” Es así como para plantear la ecuación, habremos de efectuar una suma financiera de capitales, trasladando todos ellos a una cierta fecha, tomando en cuenta el aumento o disminución del dinero a través del tiempo. A ese vencimiento o fecha de referencia se le llama FECHA FOCAL. En las operaciones financieras vamos a encontrar un problema básico, y es el de las inversiones equivalentes; de manera que, en valor y en tiempo estas produzcan el mismo resultado económico. Y esto es lo que se expresa en ecuaciones de valor. Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto. No se debe olvidar que solo se pueden sumar, restar o igualar dinero ubicado en una misma fecha (a esta fecha llamaremos fecha focal CÁLCULOS DE EQUIVALENCIA CUANDO SE REQUIEREN VARIOS FACTORES. Para evaluar alternativas de inversión, deben compararse los montos monetarios que se producen en diferentes momentos, ello sólo es posible si sus características se analizan sobre una base equivalente. Dos situaciones son equivalentes cuando tienen el mismo efecto, el mismo peso o valor. Tres factores participan en la equivalencia de las alternativas de inversión: -El Monto del Dinero, - El Tiempo de Ocurrencia - La Tasa de Interés Los factores de interés que se desarrollarán, consideran el tiempo y la tasa de interés. Luego, ellos constituyen el camino adecuado para la transformación de alternativas en términos de una base temporal común. Ecuaciones financieras Debemos tener en cuenta los siguientes cinco puntos: 1. El fin de un período es a su vez el comienzo del período próximo. 2. P se produce al comienzo de un período, en un tiempo considerado presente. 3. F ocurre al final del enésimo período a partir de un tiempo considerado presente (siendo n el número total de períodos). 4. Definimos A como un pago simple dentro de una serie de pagos iguales realizados al final de cada período en consideración. Cuando P y A intervienen, el primer A de la serie se produce un período después de P. Cuando F y A intervienen, el último A de la serie ocurre al mismo tiempo que F. Si la serie de pagos iguales se suceden al comienzo de cada período en consideración, se denomina Ab. 5. En el planteo de las distintas alternativas, las cantidades P, F, A y Ab deben emplearse de modo tal, que reúnan las condiciones para poder conformar los modelos correspondientes a los factores usados. 1. Factor de monto compuesto con pago simple Si una suma P se invierte a la tasa i. ¿Cuánto dinero se acumula entre capital e interés al fin del período n ?, o ¿Cuál es el valor equivalente al final del período n de la suma P invertida al iniciarse la operación? El diagrama de flujo de dinero para esta situación financiera se muestra en la figura. Al aplicar interés compuesto a la inversión descrita, que no provee de ingresos durante los períodos intermedios, el interés ganado es como se indica. Allí el interés ganado se adiciona a la suma inicial al final de cada período de interés (capitalización anual). NÚMERO DE AÑOS: n CANTIDAD A INICIO DE CADA AÑO: P*(i+1)^(n-1) INTERÉS GANADO DURANTE EL AÑO: P*i*(i+1)^(n-1) SUMA A PAGAR EN FIN DE AÑO: P*(i+1)^n=F El factor resultante (1+i)^n se conoce como factor de monto compuesto con pago simple y se designa como FPF; la relación es: F = P × (1+i)n F = P × FPF 2. Factor de valor presente con pago simple Despejando P de la ecuación anterior, obtenemos: El factor resultante (1+i)-n se conoce como factor de valor presente con pago simple y se designa FFP: P = F × FFP 3. Factor de monto compuesto con serie de pagos iguales A manera de introducción, se definirá el concepto de anualidad, que consiste en una serie de pagos iguales, que se realizan a intervalos regulares de tiempo, ya sea anuales o en períodos distintos. Este esquema surge en situaciones como: acumulación de un capital determinado (recepción de cierta suma global después de un cierto número de pagos periódicos, como ocurre en algunos planes de seguros de vida), o cancelación de una deuda. La figura mostrada es representativa del primer caso, dado que se busca el valor futuro, a partir de una serie de pagos iguales, producidos al final de sucesivos períodos de interés. El factor resultante [(1+i)n - 1]/i se conoce como factor de monto compuesto con serie de pagos iguales y se designa como FAF: F = A × FAF 4. Factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales Despejando A de la expresión anterior resulta: El factor resultante i/[(1+i)n - 1] se conoce como factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales. A = F × FFA 5. Factor de recuperación de capital con serie de pagos iguales Se efectúa un depósito de monto P en un tiempo presente a una tasa anual i. El depositante desea extraer el capital más el interés ganado en una serie de montos iguales a fin de año sobre los próximos n años. Cuando se realiza la última extracción no quedan fondos en el depósito. Además, puede expresarse como cuál es el pago uniforme a final de cada período que es equivalente al monto invertido al iniciarse el primer año. El diagrama de flujo de dinero se muestra en la figura. Para determinar este factor, lo expresaremos como el producto de dos factores ya conocidos, el factor de monto compuesto con pago simple y el factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales. A = P × FPA = P × FPF × FFA
