Matemáticas Financieras

Matemáticas Financieras
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Sesión No. 5
Nombre: Interés Compuesto
Contextualización
En las estrategias del ahorro o solicitud de crédito, cada cliente puede decidir
entre hacer un trato con interés simple o interés compuesto.
Al principio podría parecer que no hay mucha diferencia, pero tras varios
períodos continuos se podrá percibir que la diferencia del monto, entre los dos
tipos de interés es muy grande.
El interés compuesto es una herramienta muy potente para el análisis y
evaluación financiera de los movimientos del dinero.
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Introducción al Tema
¿Cuáles son las características del interés compuesto?
El interés compuesto surge cuando los intereses se añaden al capital, y por lo
tanto los intereses generan más intereses, es decir, se tiene un efecto
multiplicativo del dinero.
Dado que el interés compuesto es calculado sobre el capital acumulado, el cual
va variando cada período, el interés que genera es cada vez mayor, por lo que
se deberá tener muy presente las fechas de capitalización de los intereses sobre
todo en el caso de créditos.
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Explicación
Interés compuesto
¿Qué representa el interés compuesto?
Representa la utilidad de un capital inicial (C) a
una tasa de interés (r) durante un número de
períodos de tiempo (n), donde al final de cada
período, los intereses se reinvierten teniéndose
un capital final (M). Para calcular M después de cada período se aplica:
M = C (1 + r)n
Concepto y cálculo del capital
El capital o valor actual es la suma de dinero con que se cuenta, tales como el
precio de un artículo, el monto a invertir, un pagaré, etc. y se puede calcular a
partir de:
𝑪=
𝑴
(𝟏 + 𝒓)𝒏
Tasa de interés nominal y efectiva
La tasa que se aplica a un préstamo o inversión se le llama tasa de interés
nominal, y es la convenida en una operación financiera para capitalizar el dinero
anualmente. Se calcula aplicando la siguiente fórmula:
𝟏
𝒊𝒏 = 𝒏 �(𝟏 + 𝒊𝒆 )𝒏 − 𝟏�
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La tasa de interés efectiva es la que se aplica en cada período de
capitalización y se obtiene dividiendo la tasa de interés nominal entre el número
de períodos de capitalización que hay en un año. Despejando de la fórmula
anterior se tiene:
𝒊𝒏 𝒏
𝒊𝒆 = �𝟏 + � − 𝟏
𝒏
Ejemplo:
Calcula la tasa de interés efectiva que se recibe de una inversión de $120,000 a
una tasa de interés del 8% anual capitalizable mensualmente.
𝟎. 𝟎𝟖 𝟏𝟐
𝒊𝒆 = �𝟏 +
� − 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟐𝟗
𝟏𝟐
La tasa efectiva de interés ganada es de 8.29%
Diagrama de tiempo
Un diagrama de tiempo representa en forma gráfica operaciones financieras
ubicando las fechas y valores correspondientes. Se utiliza una línea horizontal
dividida en secciones donde cada una representa un período, además se usan
flechas hacia abajo para los egresos y hacia arriba para los ingresos. La
siguiente figura muestra un ejemplo de la variación del valor del dólar con una
tasa efectiva diaria de 0.0359% en 125 días.
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Ecuaciones de valores equivalentes
Al igual que para el interés simple, son equivalencias financieras entre dos
obligaciones cuyos vencimientos coinciden o se hacen coincidir, es una técnica
muy útil, ya que permiten plantear y resolver problemas financieros, con
desplazamientos simbólicos de los capitales a través del tiempo.
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Conclusión
Al final de cada período, los intereses se reinvierten teniéndose un nuevo capital
sobre el cual se calcularán los intereses del siguiente período. Se trabaja
principalmente con dos tasas de interés: la nominal donde el dinero se capitaliza
anualmente y la efectiva que se aplica en cada período de capitalización.
Al igual que vimos en el tema del interés simple, los diagramas de tiempo son
representaciones gráficas de los movimientos financieros, en los cuales se
ubican fechas y valores para tener una visión más sencilla.
Como pudiste revisar durante esta sesión, el interés compuesto nos da mayores
beneficios que el interés simple en caso de inversión de dinero, pero cuando se
trata de crédito hay que considerar el manejo de dichos intereses.
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Para saber más
•
Aching, César. Interés compuesto.
http://www.eumed.net/libros-gratis/2006b/cag3/2b.htm
•
Ayres, Frank. (1996). Matemática Financiera. México: McGraw Hill
Interamericana, S. A.
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Actividad de aprendizaje
Instrucciones:
Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión, deberás realizar correctamente los siguientes ejercicios donde aplicarás
los conocimientos y habilidades obtenidos.
Recuerda que esta actividad te ayudará a entender y apropiarte del
conocimiento del interés complejo, el cual te facilitará la toma de la decisión más
acertada al momento de realizar una inversión u obtener un crédito.
En esta actividad se tomará en cuenta lo siguiente:
•
Tus datos generales
•
Referencias bibliográficas
•
Ortografía y redacción
•
Título
•
Respuestas completas y correctas
Desarrollo:
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios.
1. ¿Cuál es el monto de una inversión por $155,000 a una tasa de interés
compuesto del 21% anual en 7 años?
2. Calcula el monto del problema anterior, si la inversión se capitaliza
trimestralmente.
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3. Calcula la tasa de interés efectiva que se paga por un crédito a una tasa
de interés del 48% anual capitalizable:
a) Trimestralmente
b) Semestralmente
c) Dados los resultados de los incisos anteriores, ¿cuál es el período en
el que conviene capitalizar los intereses?
4. Un cierto capital que fue invertido durante 7 años a una tasa de interés
compuesto anual del 10%, se convirtió en $1,583,945 Calcula el capital
inicial si los intereses se capitalizaban semestralmente.
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Referencias
•
Ayres, Frank. (1996). Matemática Financiera. México: McGraw Hill
Interamericana, S. A.
•
Ruiz,
M.
(2010)
Ejemplo
3
interés
compuesto.
Video
de: https://www.youtube.com/watch?v=D53P8NDjlqM
•
Vidaurri, M. (2004). Matemáticas Financieras. México: Thomson.
obtenido
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