numeros complejos

INSTITUCIÓN EDUCATIVA CONDE SAN GERMAN
GUÍA 7. TRABAJO EN CASA MATEMÁTICAS 9-01
TEMA: Números Complejos
DOC. Ronald Alexander Moreno (cel. 3503490402)
Correo: [email protected]
Septiembre 21 de 2020
“Ante la crisis que vivimos la prioridad es la salud.
No es el momento de ser renuentes a las medidas
de prevención. Todos tenemos que poner algo en
esta crisis; el costo que asumamos hoy va hacer
mucho menor que el que tendríamos que asumir
mañana si no tomamos las medidas necesarias”.
Apreciado estudiante esta guía ha sido diseñada
para el trabajo en casa, es importante que desarrolle
la guía a conciencia y evite salir de casa.
Desarrollo y evaluación de la guía:
 El horario designado para el trabajo del área de
matemáticas son los días lunes y miércoles.
 La teoría y ejemplos se deben transcribir al
cuaderno y los ejercicios propuestos se deben
resolver en hojas de block cuadriculadas,
debidamente marcadas (nombre completo,
grado, número y tema de la guía).
 Los ejercicios se deben entregar por medios
digitales (fotografías o escaneados por correo
electrónico o WhatsApp) solo en casos que no
exista la posibilidad de entrega digital, se recibirá
de forma física en el colegio al momento de ir a
reclamar la guía 8.
 Para la evaluación de esta guía se tendrá en
cuenta la participación por cualquiera de los
siguientes medios: llamadas, WhatsApp,
videoconferencias o entregas físicas.
 El horario de asesorías es de lunes a viernes de
8:00am a 12:00m y de 2:00pm a 6:00pm.
Números Complejos
Números imaginarios.
Sabemos que la ecuación 𝑥 2 = −4 no tiene
solución, pues no existe ningún número real cuyo
cuadrado sea un número negativo (2 * 2 = 4) y
(-2 * -2 = 4).
Para resolver este tipo de ecuaciones se creó el
conjunto de los números imaginarios.
Unidad imaginaria.
Se representa con la letra
𝑖 = √−1
donde
i
y se define como
2
𝑖 = −1.
Los números imaginarios se expresan como el
producto de un número real diferente de 0, por la
unidad imaginaria i.
Para profundizar sobre el tema pueden consultar el
álgebra de Baldor a partir de la página 437.
Ejemplos: √−4 = (√4) (√−1) = 𝟐𝒊
√−25 = (√25)(√−1) = 𝟓𝒊
5√−64 = 5(√64)(√−1) = 5 ∗ 8𝑖 = 𝟒𝟎𝒊
√−
9
9
𝟑
= (√ ) (√−1) = 𝒊
16
16
𝟒
Actividad 1. Escribe las siguientes expresiones
como números imaginarios.
1) √−9
2) 3√−169
3
49
4
64
3) √−
4)
√−361
5) 25√−2500
1
Matemáticas // 9-01
Potencias de i
Conjunto de los números complejos
Las potencias de la unidad imaginaria i se obtienen
aplicando las propiedades de la potenciación de
acuerdo a la definición de 𝑖 1 𝑒 𝑖 2 , como se muestra
a continuación :
Un numero complejo es una expresión del tipo:
𝑎
+
Parte real




Parte imaginaria
1
𝑖 =𝒊
𝑖 2 = 𝑖 ∗ 𝑖 = √−1 ∗ √−1 = −𝟏
𝑖 3 = 𝑖 2 ∗ 𝑖 1 = −1 ∗ 𝑖 = −𝒊
𝑖 4 = 𝑖 2 ∗ 𝑖 2 = −1 ∗ −1 = 𝟏
Ejemplo: expresar cada número de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖





𝑖5
𝑖6
𝑖7
𝑖8
= 𝑖3 ∗ 𝑖2
= 𝑖3 ∗ 𝑖3
= 𝑖4 ∗ 𝑖3
= 𝑖4 ∗ 𝑖4
= −𝑖 ∗ −1 = 𝒊
= −𝑖 ∗ −𝑖 = 𝑖 2 = −𝟏
= 1 ∗ −𝑖 = −𝒊
=1∗1= 𝟏
Para calcular el resultado de una potencia de i con
un exponente grande se toma el exponente y se
divide en 4 y según el residuo tomara los siguientes
valores:
Residuo
Resultado
1
2
3
0
𝑖1
𝑖2
𝑖3
𝑖4
𝑖
−1
−𝑖
1
Ejemplo: hallar la siguiente potencia de i.
450
450
05
10
2
4
112
Como el residuo es 2 entonces 𝑖 450 = 𝑖 2 = −1
Actividad 2. Hallar las siguientes potencias de i.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
𝑖 336
𝑖 17
𝑖 16400
𝑖 65
𝑖 7836971
𝑖 4954
R/ = 𝟓 + 𝟗𝒊

−12 − √−49
= −12 − ((√49)(√−1))
R/ = −𝟏𝟐 − 𝟕𝒊
Actividad 3. Escribe cada expresión a la forma
𝑎 + 𝑏𝑖
1) −8 + √−144
2) 22 − √−36
Potencia
básica
R/
5 + √−81
= 5 + ((√81)(√−1))
Estas cuatro potencias se denominan potencias
básicas ya que a partir de 𝑖 5 se repiten en periodos
de 4 ejemplo:
 𝑖
𝑏𝑖
3) 45 + √−289
4) −65 + √−4
5)
1
3
+ √− 8
8
Conjugado de un número complejo
El conjugado de un numero complejo es el mismo
número, pero con el signo de la parte imaginaria
diferente.
Ejemplo: el conjugado del numero complejo 4 + 3𝑖
es 4 − 3𝑖
El conjugado del numero complejo −34 − 12𝑖 es
−34 + 12𝑖
Opuesto de un numero complejo
El opuesto de un numero complejo es el mismo
número, pero con el signo de la parte real y la parte
imaginaria diferente.
Ejemplo: el opuesto del numero complejo 2 + 6𝑖
es −2 − 6𝑖
2
Matemáticas // 9-01
El opuesto del numero complejo −67 − 52𝑖 es
67 + 52𝑖
Actividad 4. Para cada número complejo identifica
su conjugado y su opuesto:
1)
2)
3)
4)
5)
−100 − 234𝑖
4 + √−25
69 − 𝑖
−1543 + 945𝑖
76 − 238𝑖
Suma de números complejos
La suma de números complejos se realiza sumando
partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí
teniendo en cuenta la regla general de la suma
algebraica.
Ejemplo: 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 15 − 4𝑖 𝑚𝑎𝑠 45 + 16𝑖
= (15 − 4𝑖 ) + (45 + 16𝑖)
= 15 − 4𝑖 + 45 + 16𝑖
= 15 + 45 − 4𝑖 + 16𝑖
= 𝟔𝟎 + 𝟏𝟐𝒊
Resta de números complejos
La resta de números complejos se realiza restando
partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí
teniendo en cuenta la regla general de la resta
algebraica.
= −42 − 30𝑖 − 56𝑖 − 40𝑖 2
Se reemplaza 𝑖 2 = −1
= −42 − 30𝑖 − 56𝑖 − 40(−1)
= −42 − 30𝑖 − 56𝑖 + 40
Finalmente se reducen términos semejantes
= −42 + 40 − 30𝑖 − 56𝑖
= −𝟐 − 𝟖𝟔𝒊
División de números complejos
Para dividir dos números complejos se multiplican el
dividendo y el divisor por el conjugado del divisor.
Ejemplo: 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 27 + 8𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5 + 6𝑖
Planteamos la división
27 + 8𝑖
5 + 6𝑖
Identificamos el conjugado del divisor, es decir el
conjugado de 5 + 6𝑖 que es 𝟓 − 𝟔𝒊 y multiplicamos
tanto el numerador como el denominador por este
conjugado
27 + 8𝑖 𝟓 − 𝟔𝒊
∗
5 + 6𝑖 𝟓 − 𝟔𝒊
Resolvemos las operaciones (multiplicamos numerador
por numerador y denominador por denominador)
135 − 162𝑖 + 40𝑖 − 48𝑖 2
25 − 30𝑖 + 30𝑖 − 36𝑖 2
Se reemplaza 𝑖 2 = 1
Ejemplo: 𝑑𝑒 72 + 20𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 − 28 + 10𝑖
= (72 + 20𝑖 ) − (−28 + 10𝑖 )
= 72 + 20𝑖 + 28 − 10𝑖
= 72 + 28 + 20𝑖 − 10𝑖
= 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝒊
135 − 162𝑖 + 40𝑖 − 48(−1)
25 − 30𝑖 + 30𝑖 − 36(−1)
135 − 162𝑖 + 40𝑖 + 48
25 − 30𝑖 + 30𝑖 + 36
se reducen términos semejantes
Multiplicación de números complejos
Para multiplicar dos números complejos se tiene en
cuenta la regla general de la multiplicación
algebraica de polinomios, se resuelven las
potencias de i y se reducen términos semejantes.
135 + 48 − 162𝑖 + 40𝑖
25 + 36 − 30𝑖 + 30𝑖
183 − 122𝑖
61
Ejemplo: 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 6 + 8𝑖 𝑝𝑜𝑟 − 7 − 5𝑖
Se plantea la multiplicación
= (6 + 8𝑖 ) ∗ (−7 − 5𝑖 )
Se aplica la regla general para multiplicar polinomios
= (6 ∗ −7) + (6 ∗ −5𝑖 ) + (8𝑖 ∗ −7) + (8𝑖 ∗ −5𝑖 )
=
183 122𝑖
−
61
61
Si se puede simplificar se simplifica o si no se deja en
forma de fracción
= 𝟑 − 𝟐𝒊
3
Matemáticas // 9-01
Actividad 5. De acuerdo a los siguientes números
complejos:
𝐴 = 36 − 12𝑖
𝐵 = 154 + 49𝑖
𝐶 = −19 − 77𝑖
𝐷 = −45 + √−100
7 3
𝐸= − 𝑖
5 4
𝐹 = −69 + 𝑖
Resuelve las siguientes operaciones:
1) A+B
2) C+D
3) B – E
4) A+D+F
5) F – A
6) C – E
7) B+C
8) E+F
9) D – A
10) E – B
11) A por B
12) E por F
13) B ÷ C
14) F ÷ A
15) D por B
16) C por E
17) D ÷ A
18) E ÷ C
4
Matemáticas // 9-01