Documento 872448

Docentes:
Srta. Claudia Barrientos
Sr.Ricardo Carrillo
Departamento de Matemática
Curso: Tercero medio
Unidad 1: “Números”
Guia N° 1 - 2013
GUIA MATEMATICA
Números Imaginarios:
x 2  16  0 su resolución es:
x 2  16  0  x 2  16  x    16 Lo cual no tiene
Al resolver la siguiente ecuación
solución en el
conjunto de los números reales ¿por qué?
Los matemáticos del siglo XVI como Leonhard Euler lo consideraban como algo
irreal, ante esta dificultad, amplían el conjunto de los números reales y se
constituyen los números imaginarios, cuya característica principal es que al elevarlos al cuadrado
puede resultar un número negativo.
Entonces a la expresión se  1 se define como la Unidad Imaginaria y se denota como “ i ” . O
sea que i será aquella cantidad que elevada al cuadrado resulta 1:
i  1
o
i 2  1
bien
Por lo anterior toda raíz cuadrada de un número negativo puede ser expresada así:
1)
9 
2) 
9 .  1  3.i
 4   4 1   4 .  1  2.i
 5
2
3)
9 1 

5
2
 1

5 . 1 
2
5 .i , o bien (racionalizando):
2
10 .i
2
Ejercicio 1: Utilizo el símbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) x² + 4 = 0
b) x² + 5 = 0
c) x² – 10 = 2 x²
d) – x² – 9 = 0
e) 9 x² + 16 = 0
f) ( x + 5 )² = 10 x
h) ( x – 2 ) ( – x – 2 ) = 20
i) ( x – 8 )² = – 16 x
g)
1
1  1
x²  4
Número imaginario puro:
Si se multiplica la unidad imaginaria por un núemro real resulta un número
imaginario puro, que se simboliza bi, donde b es un número real distinto de 0.
Operaciones con números imaginarios: En general si a y b son números reales se cumple que:
Operación
ai + bi = (a + b)i
ai - bi = (a - b)i
a ∙ bi = (a ∙ b)i
ai ∙ bi = (a ∙ b)i2 = - (a ∙ b)
Ejemplo
6i + 2i = (6 + 2)i = 8i
5i + 2i = (5 - 2)i = 3i
7 ∙ 3i = (7 ∙ 3)i = 21i
4i ∙ 2i = - (4 ∙ 2) = -8
𝑎𝑖
9𝑖
𝑏
𝑎𝑖
𝑏𝑖
𝑎
= ( )𝑖
𝑏
=
𝑎
𝑏
con b distinto de 0
3
10𝑖
2𝑖
9
= ( ) 𝑖 = 3𝑖
3
=
10
2
=5
con b distinto de 0
Ejercicio 2: Realizo las siguientes operaciones con números imaginarios puros.
1) 5i + 6i
4) 4 ∙ 8i
7) √−36 − √−225
2) 9i – 4i
5) -4i ∙ 3
8) √−9: √−36
3) 8i – 6i -17i
6) -6i ∙ 7i
9) 7 ∙ 4𝑖 − 3𝑖 + 2𝑖 ∙ 5𝑖 + 10
Potencias de i
Se llama potencias básicas o canónicas de la unidad imaginaria i a las cuatro
primeras potencias: i1, i2, i3 e i4. Donde se cumple que:
i1 = i
i2 = -1
i3 = i ∙ i2 = i ∙ -1 = - i
i4 = i2 ∙ i2 = (-1) ∙ (-1) = 1
A partir de i5 las potencias se repiten en periodos de 4, es decir en forma general:

i1 = i5 = i9 = i13 = … = i4n + 1 = i

i2 = i6 = i10 = i14 = … = i4n + 2 = -1
¿Cuál es la generalidad para i3 y para i4?
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Ejercicio 3: Calculo el valor de las siguientes expresiones.
1) i23
2) i41
3) i226
5) 7(8i)
6) i356
7) 𝑖 15 ∙
9) 6i21 -√2 i13 + 4 √2 i91
10)
4) (3i3)2
𝑖 31
𝑖 72
8) 5i36 + 7i102 + i201
𝑖 21 +𝑖 4 +𝑖 44
2−𝑖 9 +𝑖 10 −𝑖 19
Lexico e contexto. Leo el texto y busco dos sinónimos de las palabras subrayadas, luego
respondo, ¿Por qué razón Paco fue invitado?
Un viejete en la luna
Paco desde que fue muy un pequeño decía que iba a ser astronauta. Pero por mucho que estudió y trabajó, y por
muchas pruebas a las que se presentó, nunca fue elegido. Y así cumplió la edad máxima para presentarse a las
pruebas de selección sin haber llegado a cumplir su sueño.
Muchos se apenaron por él, pensando en todo el tiempo y el esfuerzo que había desperdiciado, e incluso sentían
lástima. Y a pesar de todo lo que le decían para que dejara su deseo abandonado, Paco siguió preparándose
como si fuera a presentarse de nuevo a las pruebas al mes siguiente.
Así se fue haciendo mayor, y ya era todo un anciano, cuando recibió la noticia de que para unos experimentos médicos importantísimos
hacía falta un astronauta muy mayor. En todo el mundo, sólo Paco, que ya caminaba apoyándose en un bastón, tenía la preparación
suficiente para ir en cohete. Así que cuando ya nadie lo esperaba, se encontró dando paseos espaciales para ayudar a la ciencia. Sus
conocimientos y sabiduría durante aquellas misiones sirvieron para eliminar una de las peores enfermedades de las personas mayores, y
Paco
fue
considerado
un
héroe.
Las fotos de aquel astronauta con garrota y pocos dientes dieron la vuelta al mundo, convertido en el mejor ejemplo de que el saber y la
preparación nunca sobran, y de que el esfuerzo y la tenacidad siempre tienen recompensa, aunque no sea como pensábamos en un
principio.