ANGULOS EN POSICIÓN NORMAL 4TO AÑO

Trigonometría
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
6
•
Conocer las razones trigonométricas recíprocas.
•
Conocer las razones trigonométricas de ángulos complementarios.
•
Aplicar estas propiedades en la solución de problemas.
En la actualidad las tres relaciones más utilizadas se refieren al triángulo y son denominadas seno (abreviatura, sen),
coseno (cos) y tangente (tg).
Las relaciones representadas por el seno, coseno y tangente de un ángulo varían en valor numérico a medida que varía
la abertura de los ángulos. Los griegos calcularon dichos valores y los dispusieron en tablas trigonométricas que los matemáticos más tarde perfeccionaron y ampliaron.
Estas tablas fueron, durante mucho tiempo, una mera forma de matemáticas aplicadas de los navegantes celestes y terrestres.
B
C
SOL
A
A

D
156
Trigonometría
Se clasifican en
RECÍPROCAS
COMPLEMENTARIAS
Se tiene
Se tiene

c
a
c
a


b
b
Se cumple
Donde
sen · csc = 1
cos · sec = 1
tg · ctg = 1
 +  = 90°
Se cumple
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
157
Trigonometría
1.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Es sabido que toda RT es un número real, siendo
1
este número R  0 , entonces su recíproco es
.
R
c
2.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
COMPLEMENTARIOS

c

a
b
Se observa que:

b
    90º
Del gráfico:
 sen 


(ángulos complemetarios)
a
c
; csc  
c
a
Luego:
sen  csc   1
 sen 
b
c
cos  
; sec  
c
b


cos   sec   1
 tg 
a
c
; ctg  
 tg 
b
a


tg  ctg   1
Se han formado tres parejas de RT recíprocas entre sí,
éstas son:
sen y csc
cos y sec
tg y ctg
La reprocidad de RT se dan para un mismo ángulo.

sen  csc 
a
a
; ctg  
b
b
tg  ctg 
sec  

a
c
; csc  
c
a
c
c
; csc  
b
b
sec   csc 
Aplicaciones:
1. Si sen20° = cosx  x = 70°
2. Hallar x si tg(x + 10°) = ctg50°.
Solución:
Aplicaciones:
Se cumple:
1. Si senx · csc40º = 1
(x + 10º)+ 50º = 90º
 x = 40º
x = 30º
2. Si cos( + 20º) · sec 50º = 1
  + 20º = 50º

  = 30º
3. Si tg(+10°) · ctg3 = 1
  + 20º = 3

  = 5º
158
a
3. Hallar  si sec = csc ( + 10º).
Solución:
Se cumple que:
 + ( + 10º) = 90º
 = 40°
Trigonometría
1.
Si se cumple que:
Reemplazando en R:
tg(30º + 3) – ctg(30º – ) = 0
R
calcule la longitud de BC . (UNI 1993)
Pero: tg35º = ctg55º
B
y ctg70º = tg20º

D
c
20
A
m

B) 15 cm
E) 12 cm
R
tg35º  ctg 70º
Rpta.: C
C
C) 10 cm
3.
Sea:
(cos17º + 5sen73º)sec17º = 4tg
Resolución:
0º <  < 90º
De la condición:
hallar el valor de M = sen + 5cos.
tg(30º + 3) – ctg(30º – )
Luego se cumple:
(30º + 3) + (30º – ) = 90°

20
x
2
3
3
2
B)
2
13
3
D)
4
13
3
E)
13
C) 2 13
Resolución:
20
Se observa que:
°
60
20
x
2
A)
2 = 30°


sen37º = cos17º
porque 73º + 17º = 90º
 x  10 cm
Rpta.: C
2.
tg35º  ctg 70º
 R=1

A) 5 cm
D) 20 cm
tg35º  ctg 70º
ctg 55º  tg20º
En la condición:
(cos17º + 5cos17º) sec17º = 4tg
 6 cos17º
 sec 17º  4tg

1
Se tiene que:
sen( – 20°) = cos( – 30°)

20° <  < 110° y 30° <  < 120°
tg 
3
2
calcular:


tg 
  ctg 



 2 
4
R
ctg      85º   tg      120º 
A) 3
B) 1,5
C) 1
D) 2
E) 0
Resolución:
De la condición:
sen( – 20°) = cos( – 30°)
  = 140°
13
3

2

3
 2 
M
 5

13
 13 
 M  13
Rpta.: E
159
Trigonometría
PRIMERA SESIÓN
1.
8.
Si se cumple que:
Siendo  y  ángulos complemetarios y:
2
sen x · csc70º = tg45º
tg 
calcule sen(x+2º).
Rpta.:
2.
3x
3
ctg  
3
5
halle x.
Si tg(x+20º) = ctg50º, calcule cos3x.
Rpta.:
3.
2x  1
2
1
2
Rpta.:
9.
2
Si tg3x · sec40º · = ctg x, calcule:
Si se cumple que:
M = cos(2x – 6º) – cos(x+72º)
sen    10º   cos  2  20º 
Rpta.:
calcule sen  2  3º  .
Rpta.:
4.
3
5
E = tg2x + tgx
Si se cumple que:
Rpta.:
calcule cos2x.
1
2
Si tg2x · ctg40º = 1
E = tgx · tg2x · tg3x .... tg8x
Rpta.: 1
12. Si sec(m – 10º) = csc(n + 10º), calcule:
sen(x+y) = cos20º
 m+n 
 m+n 
E  tg 
  csc 

 2 
 2 
calcule sen (y – x).
Rpta.:
1
2
Rpta.: 3
13. Siendo  un ángulo agudo, tal que:
Calcule el valor de:
E = 2csc52º (4sen52º + 2cos38º)
Rpta.: 12
7.
4 3
3
11. Si sen3x · csc(40º – x) = 1, calcule:
Rpta.:
6.
3
2
10. Si se cumple que tg2x · tgx = 1, calcule:
cos(x+20º) · sec(2x –10º) = 1
5.
3
8
Del gráfico calcule a si sen    20º   cos  .
cos  
sen50º  sec 40º
3tg10º  tg80º 2 ctg 20º  ctg 70º
calcule:

M  tg  tg  
 2
Rpta.:4
9
a
14. Si ctg(+30º) – tg(x + 20º) = tg(60º –), calcule:
2
E = tg (2x + 10)
– 2°
Rpta.: 12
160
Rpta.: 3
Trigonometría
15. Indicar el mayor valor que toma tgx si:
16. Si




sec  tgx   csc   ctg x 
5

5

x y
 y además sen(2x + y) = cos2y, calcule:
3 4
E = 5x + 3y
Rpta.: 5
1.
Sabiendo que cos(2x+20º) · sec70º = 1, hallar
x+20º.
A) 43º
D) 65º
2.
B) 45º
E) 30º
Rpta.:
5.
Si se cumple que:
sen10º · tg2x = ctg(3x+10º) · cos80°
C) 55º
2
calcule E = sec (3x – 3º).
A) 1
Si se cumple que:
sec(x+10º) = csc70º
D)
cos2y · sec40º = 1
calcule ctg(x+y).
3.
6.
A)
3
3
B)
3
4
D)
3
E)
4
3
C) 1
A)
7.
B) 2
25
9
3
3
4.
A
.
B
A) 0
D) 2
B) 1
E) –2
sen    20º   csc 3  1
A) 
8.
C)
1
2
Simplifique:
1
2
tg10º  2tg80º  ctg 10º 
sen20º  csc 20º 5 sec 70º 
B) 
D) –1
Del gráfico, calcule a sabiendo que:
2 1
E) 2  3
A
C) –1
4
3
25
16
B)
1
3
B =ctg87º + ctg88º + ctg89º
calcule E = 1 –
E)
C)
Sabiendo que tgx · tg3x = 1, calcule tgx.
D)
Si A = tg1º + tg2º + tg3º
5
6
1
4
C) 
1
3
E) 0
Si se cumple que:
tg    30º   tg2  1
calcule el valor de:
E
6
4
a
A) 6 3
B) 15
D) 8 3
E) 12
C) 16
A) 0,25
D) 2,5
sen  2    10 
 cos 3
cos  3  20   
B) 3,5
E) 1,5
C) 0,5
161
Trigonometría
9.
Siendo x e y ángulos complementarios tal que:
tgx 
11. Si se cumple que:
x3
1
y ctg y=
7
x3
x y
  15º
2 3
calcule:
calcule:
 xy
E  csc 2 

 2 
A) 3
D) 5
B) 6
E) 1
E
C) 2
A) 0
B) 1
3
2
E) 3
D)
10. Si se cumple que:
 
 
cos  ctg 2 x   sec  tg  x     1


5

 sen20º cos 40º   sec 70º sen2 x  1
A  senx  cos
1
3
D) 1
C) 2
12. Calcule x – y a partir de:
calcule:
A)
tg  2 x  y  sen  3 x  y  45º 

ctg  x  y 
cos  45º  y 
1
2
E) 0
B)
2
5
C)
 tg40º 


 csc 10º 
2
2
A) 5º
D) 20º
sec 50º
  ctg 50º  cos 80º 
B) 10º
E) 25º
csc  x+y 
C) 15º
Curiosidades
•
•
162
Orejas
¿Qué parte del cuerpo crece durante toda la vida?
Las orejas humanas crecen hasta una edad muy avanzada, aunque lo hacen muy lentamente.
Oswiecim
La ciudad polaca de Oswiecim (con tilde en la s y
cedilla en la e, en polaco), a 61 km de Cracovia, es
más conocida por el nombre que le dieron los alemanes nazis cuando invadieron Polonia durante la II
Guerra Mundial (1939-1945), Auschwitz. Esta ciudad tiene el monumento a la iniquidad más importante y grande del mundo: El campo de concentración y exterminio de Auschwitz es considerado como
el mayor cementerio del mundo. Construido en abril/
mayo de 1949 y al mando del sanguinario comandante Rudolf Höss, se estima que allí fueron asesinadas muchos más de 1 millón de personas. Las cifras
exactas no se conocen, pues los archivos fueron destruidos antes de la rendición de Alemania. El campo
fue liberado el 27 de enero de 1945 por los rusos
pero muchos prisioneros habían sido trasladados a
otros campos. Hoy día, se puede visitar el campo con
•
•
sus crematorios de cadáveres y sus cámaras de gas,
donde se probó por primera vez el gas letal Zyklon
B. En la puerta de entrada puede verse la macabra
leyenda: “Arbeit macht frei” (El trabajo os hará libres).
Papel
El papel fue inventado por un eunuco chino llamado Ts'ai Lun en el año 50 de nuestra era. En occidente, los egipcios usaban el tallo de una planta, el papiro, para hacer algo similar al papel y que se ha conservado bien gracias al clima árido. El papiro fue bastante usado incluso en Europa hasta que se amplió
el uso del papel de China en el siglo XII, que fue
fundamental para el uso de la imprenta inventada
por Gutenberg (h 1398-1468) hacia el año 1450.
Perros
¿Cómo rastrean los perros? Cuando damos un paso,
nuestro calzado deja miles de millones de moléculas
olorosas de un ácido llamado butírico. Una vez el
animal identifica ese olor con la persona, es capaz de
saber si ha pisado por un determinado lugar.
• Alumno(a)
:
Trigonometría
______________________________________________________________
• Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor
:
______________________________________________________________
1.
6.
Si se cumple que:
Si: M = sen5º + sen25º
N = cos85º + cos 65º
cos(2x + 15º) · sec55º = 1
calcule:
2
calcule E = tg 3x – 2cos3x.
3
A)
B) 1
D) 3
2.
E
C) 2
E) 4
A) –
A  sen  4   3º   tg5
3.
A)
5
3
D)
3
2
7
2
E)
6
2
C)
7.
5
2
calcular P = csc(4,5).
A)
 5 cos 67º  2sen23º  csc 23º
 tg40º 3 ctg 50º  ctg 40º
D) 
4
B) 
5
1
3
E) 
8.
B) 2
2
5
4
E)
E
2
3
A) 1,5
9.
1
2
3
D)
5
5.
3
2
B)
C)
2
2
D) 2
calcule:
z

P  ctg 2  x  

3
4
E)
5
 3 
M  cos 3  sen  
 2 
1
2
C) 2,5
tg3x – ctgz = 0
Si tg4 · tg10º = 1, calcule:
A)
tg 2 6 x+ ctg 2 3 x
sec 6 x+ csc 3 x
Siendo 3x y z ángulos agudos tal que:
halle cos(x + y)
A)
3
5
3
B) 0,5
3
E)
4
D) 1
Si: sen(x + 10º) = cos70º
C)
Si tg3x = ctg6x, hallar:
1
C) 
2
tg(y – 10º) = ctg50º
C) 2
Sabiendo que:
D)
3
A) 
2
B)
sen  4   10º   cos  5   10º 
Simplifique:
A
4.
B)
1
2
E) 0
1
2
D) 1
Si sen(30º + 3) = cos24º, calcule:
M
1
N
B) 1
E)
3
2
C)
A) 3
B) 1
D) 2
E) 1/3
C)
3
10. Si 2x y 3y son ángulos complementarios, simplificar:
A
3
2
A) 3
D) 2
2tg  x+2y 
ctg 2y

ctg  x+y  tg  2 x+y 
1
2
E) 1
B)
C) 0
163
Trigonometría
SEGUNDA SESIÓN
1.
Si se cumple que sen3x · csc66º = 2sen30º, calcule:
8.
Si  y  son complementarios, además:
tg(2x + 1º)
sen 
Rpta.: 1
2.
calcule a.
Si sec( + 40º) = csc20º, calcule sen.
Rpta.: 2
Rpta.:
3.
3a  1
4a  1
y cos  
25
25
1
2
9.
Si sen4x · tg36º · tg54° = cos2x, calcule:
H = tg(x+15º) · tg(x+22º)
Si tg7x = ctg2x, calcule:
Rpta.:
E  3tg6 x  4sen3 x
3
4
Rpta.: 5
10. Si se cumple que sen2x · sec4x = 1, calcule:
4.
Sabiendo que:
E = tg2x + tg4x
sen  30º     cos  40º 2   1
Rpta.:
calcule tg6.
Rpta.: 3
5.
11. Si cos3x · sec(40º – x) = 1, calcule:
M = ctgx · ctg2x · ctg3x ... ctg8x
Si se cumple que:
Rpta.: 1
sen3x · csc51º = tg45º
12. Siendo  ángulo agudo tal que:
tg2x = ctgy
tg  30º     ctg  30º  3   0
calcule y – x.
Rpta.: 39º
6.
4 3
3
calcule:
E  sen2  sen4   cos 2  cos 4 
Simplifique la expresión:
Rpta.:
A = sen20º · cos25º · tg45º · sec70º · csc65º
3
2
Rpta.: 1
7.
13. Si ctg  90º   
Del gráfico, calcule BC si:
tg  2  5º   tg55º  3tg30º
B
M
5
y  es agudo, hallar:
3
sen  csc  90º     ctg 
tg  90   
D
Rpta.:
10
A


C
Rpta.: 5
4
3
14. Simplifique la expresión:
E
sen60º  tg 20º  sec 25º sen25º
cos 70º  csc 70º  ctg 65º
Rpta.: 2
164
Trigonometría
15. Si se cumple que:
16. Si 3 y 4 son agudos; además:
sen7x = cos4x
tg2  ctg 4  y sec 3  cos 2  1
calcule:
calcule    .
E  cos x  csc 10 x 
tg3 x
ctg 8 x
Rpta.:
5
32
Rpta.: 2
1.
5.
Si se cumple que:
Sabiendo que:
sen3x · csc(70º – 2x) = 1
tg39º · tg51º · tg3x = ctg2x
hallar x + 20º.
A) 44º
D) 24º
2.
calcule E = cos(2x – 6º).
B) 64º
E) 34º
C) 30º
A)
4
5
Sabiendo que:
2
2
D)
senx = cos30º
B)
1
2
E)
3
5
3
2
C)
tgy = ctg60º
6.
calcule tg(x – y).
A)
3
B)
D) 2  3
3.
3
3
Si se cumple que:
tg(x + 10º) · tg3x = 1
C) 1
hallar:
E) 2  1
 3x 
H  cos 3 x  sen 

 2 
Sabiendo que:
A) 1
tg67º · ctg(3x – 2º) = 1
calcule:
D)
M = sen(x+7º) – 5cos(x+30º)
A) –1,5
D) 1
4.
B) –2,5
E) 0
C) –0,5
7.
4
3
En el gráfico, calcule b si tg( + 40º) = ctg40º.
B) 4
E) 11
B) 3 3
D)
3
2
E)
3
5
C) 5
Si se cumple que sen2  sec   1, calcule el valor de:
M
3
5
2
3
4
b
8.
A)
E)
C)
 7sen42º  cos 48º   csc 42º


tg   x   tgx
2

A) 7
D) 9
6
3
3
2
Reducir:
P
3
B)
C) 2 3
tg      40º 
 2sen
ctg  20º  
A) –1
B) 0
1
2
E) –
D)
C) 1
1
2
165
Trigonometría
9.
Siendo  y  ángulos complemetarios tal que:
sec  
x2
1
y cos  
5
x2
calcule ctg.
D)
6
12
x
y
 30º
3
calcule:
B) 2 6
A) 3
11. Sabiendo que:
E)
C) 3 6
1
5
M
A) 2
10. Sabiendo que:
D)

 

csc  tgx   sen  ctg  x     1
6 


B) 1
2
2
A) 0
B) 1
D) 3
E)
1
2
C)
1
2
E) 0
12. si x e y son agudos tal que:
calcule:



E  tg  x+   ctg

4
12
sen  x  y   cos 2 x
tgx  ctg y
csc x  sec y ctg y  tgx

csc x  sec y ctg y  tgx
además:
2tgx + ctgy = 3ctgx – 2tgy
C) 2
calcule el valor de:
P = ctg2x + 2secy
A) 4
D) 7
B) 16
E) 8
C) 9
El animal mas dormilón es el koala, duerme 18 a 22 horas por día . Por cierto, los koalas no beben
agua, la toman de las hojas de eucalipto que comen. De hecho, parece que “koala” quiere decir
“no bebe”.
166
• Alumno(a)
:
Trigonometría
______________________________________________________________
• Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor
:
______________________________________________________________
1.
6.
Si se cumple que:
Siendo:
sen2 · csc70º = tg45º
B = ctg70º + ctg50º + ctg30º
calcule E = 2sen( – 5°) .
2
B)
3
A) 1
2
D)
2.
calcule:
E
1
C)
2
A) 3
D) –1
3
E)
A = tg20º + tg40º + 3
Siendo tg( + 35º) = ctg35º, calcule:
7.
A  2B
A  2B
B) 2
E) –2
C) –3
Sabiendo que:
2
M  ctg  2  5º   sen 3
4
A)
5
D)
3.
8
B)
5
5
4
E)
A)
B)
D) 1
1
E)
3
3
8.
9.
calcule E = y – x.
5.
E  2 csc  2  1º 
D)
3
2
1
2
B)
E) 2
2
C)
2
2
2
5
3
P
5sen  5 x  3º 
3  ctg 3 x
B)
3
4
C) 2
3
E)
Siendo  y 2 ángulos agudos tal que sen  cos 2 ,
calcular:
C) 55º
Si sen3 · sec24º = 1, calcule:
A)
4
3
D) 1
seny · csc77º = 1
B) 44º
E) 88º
E)
C)
Si sec6x = csc3x, hallar:
A)
sec4x = csc46º
3
B)
C) 3
Si se cumple que
A) 77º
D) 66º
2 3
3
D) 2
Calcule:
A) 2

4
calcule Q = sec6.
4
7
H = (2sec59º + csc31º) · cos59º
4.
sen  4   10º   csc 100º  5    ctg
7
C)
4


E  tg    
2

A) 1
B)
4
3
D) 2
E)
3
4
C)
3
10. Si      = 90º, reducir:
E
A) 2
D) 9
sen     
tg

 7tg       tg
cos 
ctg     
B) 3
E) 11
C) 7
167
Trigonometría
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN I
1
2
3
4
5
6
E
D
B
E
E
A
7
8
9
10
11
12
E
C
E
B
C
C
AUTOEVALUACIÓN II
1
2
3
4
5
6
E
E
C
E
D
A
7
8
9
10
11
12
D
E
B
B
C
C
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN I
1
2
3
4
5
6
D
C
C
E
B
A
7
8
9
10
11
12
A
B
C
A
D
B
AUTOEVALUACIÓN II
1
2
3
4
5
6
C
C
D
D
E
A
7
8
9
10
11
12
C
C
C
B
D
B
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN I
1
2
3
4
5
6
B
D
A
E
B
B
7
8
9
10
11
12
B
E
C
E
C
D
AUTOEVALUACIÓN II
168
1
2
3
4
5
6
E
B
B
B
C
A
7
8
9
10
11
12
D
B
B
A
E
D
Trigonometría
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL I
7
Aprendizajes
Aprendizajes esperados
esperados
•
•
•
•
Define el ángulo en posición normal.
Define y calcula el radio vector.
Define las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.
Simplifica expresiones utilizando las razones trigonométricas.
Estrategias motivadoras
AMIGOS VERDADEROS
Dice una leyenda árabe que dos amigos viajaban por el desierto y en un determinado punto del
viaje discutieron y uno de ellos le pegó una bofetada en el rostro. El otro, ofendido, sin nada que decir,
escribió en la arena:
HOY, MI MEJOR AMIGO ME PEGÓ UNA BOFETADA
EN EL ROSTRO.
Siguieron adelante y llegaron a un oasis donde
resolvieron bañarse. El que había sido abofeteado comenzó a
ahogarse, siendo salvado por el amigo. Al recuperarse tomó un
estilete y escribió en una piedra:
HOY, MI MEJOR AMIGO ME SALVÓ LA VIDA.
Intrigado, el amigo preguntó: ¿Por qué después que te
lastimé, escribiste en la arena y ahora escribes en una piedra?
Sonriendo, él respondió:
“Cuando un gran amigo nos ofende, deberemos escribir
en la arena donde el viento del olvido y el perdón se encargarán
de borrarlo y apagarlo; por otro lado, cuando nos pase algo grandioso, deberemos grabarlo en la piedra de
la memoria del corazón donde ningún viento en todo el mundo podrá borrarlo”.
117
Trigonometría
Esquema
Y
q
q
se genera
0
X
por un
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
0
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Inscrito
sobre un
Y
Y
r
(x, y)
X
X
a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PLANO CARTESIANO
tenemos
1.
•
y
sena = r
•
r
csca = y
•
x
cosa = r
•
r
seca = x
•
y
tga = x
•
x
ctga = y
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Es aquel ángulo trigonométrico que está ubicado
sobre el plano cartesiano cumpliendo las siguientes
Y
LF
q
condiciones:
• El lado inicial está contenido sobre el semieje
positivo de las abscisas.
• El vértice del ángulo coincide con el origen de
coordenadas.
118
0
LI
X
Trigonometría
1.1. Posición relativa
Y
Y
Y
(x, y)
r
r=√x2+y2
X
a
a
X
a∈IC
a∈IIC
X
2.2. Definiciones
Y
Y
X
X
a
a∈IIIC
2.
r
Y
a
X
a
a∈IVC
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
•
y
sena = r
•
r
csca = y
•
x
cosa = r
•
r
seca = x
•
y
tga = x
•
x
ctga = y
2.1. Radio vector
Es la distancia entre el origen de coordenadas
y cualquier punto del plano cartesiano.
1.
De la figura mostrada, calcule:
Luego:
E = 3tgb – √10 seca
(–1, 3)
Y
1
√10
E = 3 3 – √10
1
E=1 –10
b
x : abscisa
y : ordenada
(x, y)
∴ E = –9
X
a
Rpta.: 9
Resolución:
2.
De la gráfica:
De la figura mostrada, calcule:
(–1, 3)
b
W = √5 sen f + tgf
Y
(3, 1)
b
a
r
Y
y=2
X
(1, –3)
⇒
⇒ r2=10 → r=√10
r2=12+(–3)2
y=2x+4
f
X
119
Trigonometría
Resolución:
Resolución:
De la figura tenemos:
Graficando:
Y
P
y=2
Y
r
X
f
y=2x+4
–2 = 2x → x = –1
Por condición:
P = (–1, 2)
d(P, Q) = x2+(2x+1–2)2
2
2
• r = (–1) +2
√65 = x2+(2x–1)2
r = √5
Luego:
2
2
W = √5 √5 +
–1
W = 2 –2
X
q
• Determinamos las coordenadas de P:
2 = 2x+4
P(x, 2x+1)
Q(0, 2)
65 = x 2 +4x 2 –4x+1
5x 2 –4x 2 –64=0
5x
x
∴ W=0
16
–4
→ x=4
Luego:
Rpta.: 0
P(4; 9)
3.
De la figura mostrada si d(P, Q) = √65 y L : 2x–y+1=0.
Calcule tgq.
Y
2
Q
∴
tgq = 9
4
P
Rpta.: 9
4
X
q
NIVEL I
1.
2.
Calcule x si:
Calcule E = tga+seca
Y
Y
X
a
X
13
(8, –15)
(x, –5)
Rpta.: –12
120
Rpta.: 1/4
Trigonometría
3.
8.
Calcule Q = 1+senq · cosq.
Del gráfico, calcule Q=8tgq.tga donde b < 0 y a > 0.
Y
Y
(2b, 3a)
(–3, 1)
(–4a, –b)
q
X
q
a
Rpta.: 0,7
4.
Calcule T = tgq + ctgq.
Rpta.: 3
NIVEL II
9.
Y
X
Si M es punto medio de AB y AB = 2OB, calcule ctgq.
Y
B
(3, 2)
M
q
X
q
O
A
X
Rpta.: –√3
Rpta.: –13/6
10. Calcule E = (tgf+ctgf)–1.
5.
Calcule M = (senq – cos q) secq.
Y
(a+1, 1–a)
Y
(2, 4)
2√5
φ
X
q
X
Rpta.: –2/5
Rpta.: –1
11. Si tga =
6.
Calcule E = sec2a+2tga.
4
, calcule n.
3
Y
(4, 5)
Y
a
X
a
X
(2n–2, 3n–2)
Rpta.: –2
Rpta.: 1/16
7.
12. Calcule G = tga · ctgq.
Calcule G = csc2a – ctg2a.
Y
Y
a
a
q
X
X
(a, b)
(5, –6)
Rpta.: 1
Rpta.: 1
121
Trigonometría
NIVEL III
13. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 3u, calcule
Q=ctgq – ctgb.
15. Calcule R = ctgq+1.
Y
Y
q
(–7, 0)
b
X
y=2–x
y=4+ x
3
q
X
Rpta.: 1
14. Calcule E = tga – 3ctgb si:
Rpta.: 4/7
16. Calcule tgq si BC = 2AC.
Y
Y
B
(–3, 5)
a
C
X
b
A
(6, –2)
f
30º
O
Rpta.: –√3 /9
Rpta.: –2
NIVEL I
1.
X
3.
Calcule P = √3 senq+ √5 cosq.
Y
Calcule y si:
Y
X
13
(5, y)
A) –12
D) –20
B) –15
E) –14
C) –10
4.
2.
X
q
(√5 , –√3 )
A) √2 /6
B) √2 /4
D) √2 /2
E) √2 /8
Calcule W = tgq + √13 secq.
Calcule E = sena · cosa·tga .
Y
Y
a
C) √2 /3
X
(6, 4)
q
X
(4, –3)
122
A) 4/5
B) –4/5
D) 1/5
E) –3/5
C) 3/5
A) 4
B) 3
D) 2
E) 5
C) 1
Trigonometría
NIVEL II
5.
9.
ctga+2csc2a .
Calcule Q =
Y
Calcule G = ctga+ctgq, donde ABCD es un cuadrado,
además M es punto medio.
Y
(5, 4)
C(–3, 4)
B
M
a
6.
a
X
A) 1/3
B) 1/4
C) 2/3
D) 1/2
E) 3/4
A
Calcule E = sec2b + 3 , donde P es punto medio.
14
D
A) –21/4
B) –17/4
D) –19/4
E) –27/4
X
q
C) –23/4
10. Calcule E = cosa – sena si ABCD es un cuadrado.
Y
Y
(8, 10)
P
(–4, 4)
a
b
A) 3
D) 5
7.
45º
X
B) 4
E) 1
X
C) 2
A) √5 /2
B) √5 /5
D) √5 /4
E) √5 /6
Calcule P = ctga + ctgq, donde M y N son puntos medios.
DESAFÍO
11. Calcule n si tg f = –
Y
q
a
M
8
.
13
Y
X
(14, –2)
(–12, –2)
(3n–1, 4–n)
N
(–6, –8)
A) 2
D) 1
f
B) 0
E) 4
X
C) 3
NIVEL III
8.
C) √5 /3
A) 2
B) 4
D) 6
E) –5
C) –4
Calcule tg a si:
L2
Y
L1
12. Calcule E = ctgq+tgq.
Y
y=5
a
q
X
X
L1: 2x–5y+4=0
L2: 5x+3y–21=0
A) 1/3
D) –1/3
B) 5/3
E) 2/3
C) 4/3
y=2x–3
A) 51/20
B) 41/20
D) 31/20
E) 2
C) 21/20
123
Trigonometría
Alumno(a) : ____________________________________________________________________
Curso
:
__________________________________________________
Profesor
:
____________________________________________________________________
1.
Calcule y si:
A)
B)
C)
D)
6.
Y
–1
–2
2
3
– 2ctgq.
Y
7.
X
q
Del gráfico, calcule Q=tga+sec2a.
Y
A) 12
B) 11
C) 13
Y
5/6
–5/6
1/3
6/5
8.
(6, 4)
q
X
E) 2/5 4.
(–5, 2)
Del gráfico, calcule tgb, donde ABCD es un cuadrado.
Y
A) 2/5
A(2, 5)
B) 7/5
B
C) 5/2
E) 3/5 Y
9.
(4, 2)
X
D) 5/7
Calcule E = ctgf . tga + cscf . cosa.
b
D
a
X
C
X
Del gráfico, calcule tga.
Y
A) –17/6
f
(3, 6)
a
D) 10
(–3, –2)
Calcule P = tgq– ctgq.
A)
B)
C)
D)
(a, –a√2)
E) –1
sen2q
E) 9
3.
X
D) –3
0
–1
2
1
E) –2 Y
C) –2
(6, 4)
Del gráfico, calcule E = 13
A)
B)
C)
D)
b
B) –3/2
E) –3 2.
Del gráfico, calcule R = √2 senb . cosb.
A) –2/3
X
2√10
Aula : __________
B) –17/3
C) –15/4
5.
A) –2
B) 3
D) 4
E) –1
Si ctgf = –
5
, calcule n.
12
C) –3
D) 6/17
37º
E) –6/17
a
X
10. Del gráfico, calcule ctgb.
Y
b
Y
X
(1–2n, 5n–3)
(0, –6)
f
37º
124
A) 3
B) 4
D) 1
E) 5
C) 2
10
5
X
A) –10/11
D) 11/10
B) –11/10
E) 5/11
C) 10/11
Trigonometría
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL II
8
Aprendizajes esperados
Aprendizajes esperados
•
Deduce el signo de las razones trigonométricas.
•
Reconoce los ángulos cuadrantales.
•
Determina y aplica las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales.
Estrategias motivadoras
Boda matemática
Jaime Quezada
Asomaba el Sol por el eje X cuando los numéricos habitantes de la ciudad de Tales se preparaban para asistir a la boda
entre un ábaco convergente y la variable independiente y finita Fi-Fi. Era el padre de Fi-Fi un ilustre parámetro jefe del partido de
los incrementos, y su madre había sido mantisa en las tablas logarítmicas, pero tuvo que dejarlo debido a una hipótesis repentina
que degeneró en tesis y estuvo a punto de anularla.
Iban los novios en una magnífica fracción tirada por dos posibles hiperboloides; detrás iba el complejo formado
por logaritmos e incógnitas auxiliares entre el bullicio de la música que interpretaban las clásicas integrales. Mientras
tanto, y aprovechando este bullicio, algunos de los puntos irregulares se entretenían lanzando tangentes a las curvas de los
concurrentes.
Entraban los contrayentes en el templo, que era una magnífica sala troncocónica adornada por conos oscilantes e
iluminada con parábolas. Oficiaba la ceremonia un severo segmento rectilíneo ayudado por dos infinitésimos.
Todo hubiera transcurrido con normalidad a no ser por un positivo y un negativo que dadas las circunstancias fueron
difíciles de despejar. Terminada la ceremonia, entró el juez con la regla de Ruffini bajo el brazo y como primera precaución
mandó encerrar al novio entre corchetes. Luego, cogiendo a Fi-Fi por el punto de inflexión, se la llevó a la sombra de un
vector, donde se dedicó a la dulce tarea de derivarla, ante el creciente asombro de los elementos de los parámetros. Mientras
tanto, Fi-Fi, con los senos despejados, las paralelas tendiendo al infinito y bajadas las
medias proporcionales, veía con horror cómo el juez sacaba su factor común, que iba
tomando valores proporcionales crecientes y se lo iba permutando con repetición.
Alarmados los concurrentes por la anormal transformación cogieron al juez
entre paréntesis y lo elevaron a la enésima potencia, lanzándolo por la pendiente del
eje X al infinito.
Allí quedó Fi-Fi, que se hallaba al borde de la ecuación con los miembros
diferenciados y la matriz cuadrada. El novio, por su parte, fue un ser despejado que
anduvo errante de raíz en raíz y de radical en radical hasta que abrumado por la
congoja ingresó bajo la rígida regla de Kramer en el convento de Euler.
125
Trigonometría
Esquema
Y
sen
csc
todas
positivas
tg
ctg
cos
sec
depende del
a
cuadrante de a
X
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
SIGNOS
puede ser
ÁNGULO CUADRANTAL
Y
a
X
a = 90º n , n∈
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Ejemplo: Si a∈IIC, entonces:
y
(+)
sena = r = (+) = (+)
Recordemos, el signo de la abscisa (X) y la ordenada (Y) en
los diferentes cuadrantes, además el radio vector r > 0.
Y
IIC
(–, +)
(–, –)
IIIC
126
(x, y)
–+
IC
(+, +)
↓ ↓
x y
(+, –)
IVC
x
(–)
cosa = r = (+) = ( – )
Y
r > 0 → (+)
x
(–)
ctga = y = (+) = ( – )
r
X
y
(+)
tga = x = ( – ) = ( – )
X
r
(+)
seca = x = ( – ) = ( – )
r
(+)
csca = y = (+) = (+)
Trigonometría
En forma análoga podemos determinar los signos de las
razones trigonométricas de los ángulos en posición normal
en los otros cuadrantes.
Y
Y
X
X
a=–270º
Y
IIC
a=180º
a=90º
Podemos resumirlo en el siguiente gráfico:
IC
sen
csc
(+)
tg
ctg
(+)
todas
cos
sec
IIIC
Y
X
(+)
IVC
a=90º
Y
a=180º
X
Por ejemplo, en el 3.er cuadrante (IIIC) la tg y ctg son positivas
(+); el resto de las razones será negativas (–).
a=–90º
X
Ejemplo:
Determine el signo de E =
sen280º·cos(140º)
.
tg 400º
Y
Y
Resolución:
Y
•
•
200º ∈ IIIC
⇒ sen200º = (–)
a=270º
a=360º
X
X
200º
X
–140º ∈ IIIC
⇒ cos(–140º) = (–)
Y
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
CUADRANTALES
–140º X
Supongamos que tenemos una circunferencia de radio igual
a uno (r = 1).
Y
Y
•
400º ∈ IC
⇒ tg400º = (+)
E=
400º
(–)(–)
(+)
X
= (+)
ÁNGULOS CUADRANTALES
Un ángulo a es cuadrantal si tiene la siguiente expresión:
a = 90º k , k ∈
O sea: a ∈ {...–180, –90º, 0º, 90º, 180º, 270º, ...}
(0, 1)
x y
↓ ↓
a=360º
(–1, 0)
(1, 0)
r=1
X
(0, – 1)
Determinamos por ejemplo las RT para a = 180º; notamos
que:
x = –1
P(–1, 0)
y=0
127
Trigonometría
Un punto del radio final de a = 180º, luego tenemos:
y
0
sen180º = r = 1 = 0
y
–1
cos180º = r = 1 = – 1
y
0
tg180º = x = – 1 = 0
x
–1
ctg180º = y = 0 = NO DEFINIDO (ND)
r
1
sec180º = x = – 1 = – 1
En forma análoga podemos determinar las RT de otros
ánculos cuadrantales. Lo resumimos en la siguiente
tabla:
0º
90º
180º
270º
360º
sen
0
cos
1
1
0
–1
0
0
–1
0
1
tg
0
ND
0
ND
0
ctg
sec
ND
0
ND
0
ND
1
ND
–1
ND
1
csc
ND
1
ND
–1
ND
r
1
csc180º = y = 0 = NO DEFINIDO (ND)
1.
ND: no definido
Si q es la medida de un ángulo en posición normal,
además cosq = 0,25 y senq < 0, calcule:
G=
R=
secq+cscq
1–ctgq
R=
Resolución:
Determinemos en qué cuadrante está q si:
cosq: (+)
senq: (–)
Y
4
q ∈ IVC
• Si q ∈ IC
→ R=
(+) (+)
→ R = (+)
(+) (+)
• Si q ∈ IIC
→ R=
(+) (+)
→ R = (–)
(–) (+)
• Si q ∈ IIIC
→ R=
(+) (+)
→ R = (+)
(–) (–)
• Si q ∈ IVC → R =
(+) (+)
→ R = (–)
(+) (–)
⇒ y2=15 → y=±√15
⇒ y = – √15
(–1, 4)
∴ (+) , (–) , (+) , ( –)
Rpta.: (+) , ( –) , (+) , ( –)
Luego:
M=
4 –
–1
4
– √15
1–
–1
– √15
–4 1 – 1
√15
→ M=
1
1–
√15
Rpta.: –4
Determine el signo de W en cada uno de los cuadrantes:
R = secq · cscq – cscq – secq + 1
Resolución:
Tenemos:
R = cscq(secq – 1) – (secq – 1)
R = (secq – 1)(cscq – 1)
128
3.
Si a∈ ⟨0º, 270º⟩ y cos x = ctg 270º, calcule:
M = 2senx + csc3x + 3tg
x
2
Resolución:
⇒ cosx = 0 → a = 90º ó 270º, luego:
∴ M =– 4
2.
1 – senq –1
senq
El signo de R depende de los signos del senq y cosq:
⇒ 42=(–1)2+y2
X
1 – cosq –1
cosq
1
–1
senq
Se observa que 1 – cosq > 0 y 1 – senq > 0.
Graficamos:
q
1
–1
cosq
x = 90º
Reemplazando:
M = 2sen90º + csc3(90º) + 3tg
M = 2(1) + (–1) + 3(1)
∴
90º
2
M =4
Rpta.: 4
Trigonometría
NIVEL I
1.
NIVEL II
Si tgq > 0 y senq < 0, determine el cuadrante de q.
9.
Calcule:
2
2
E = (sen90º + cos360º) +(cos0º – 2sen270º) – 3cos180º
Rpta.: III
2.
Si senf · cos 130º < 0 y cosf · sen190º < 0, determine
el cuadrante de f.
Rpta.: I
3.
Rpta.: 4
10. Calcule:
E=
(3sen270º + 2cos180º)sec60º – 4cos0º
4cos360º – sen90º
Rpta.: 7
Determine el signo de a, b y c respectivamente:
11. Si sen2a = 1 y cos 3q = –1, siendo 2a y 3q ángulos
cuadrantales menores a una vuelta, calcule:
a = tg130º · sen320º ·cos240º
b = sec146º · csc323º
E = 2tga + 4cosq
c = ctg200º · cos81º · tg301º
Rpta.: 4
Rpta.: (–)
4.
Si sena = –
5
y a∈IIIC, determine ctga.
8
12. Si a y b son ángulos cuadrantales tal que:
sena – cosb = 2
calcule K = sen2a + cos2b.
Rpta.: 2
Rpta.: √39
5
5.
Si q∈IIC, además tg2q =
NIVEL III
49
, calcule:
25
13. Si 2tgq+2=3ctgf– √2 , donde q∈IIC y f∈IIIC,
E = senq · cosq
calcule K = secq · cscf.
Rpta.: –35/74
6.
3
Si cosf = –
y f ∈ IIIC, calcule:
√10
Rpta.: √15
14. Si a≠q, calcule el producto del valor máximo y mínimo
de la expresión:
P = 2ctgf+csc2f
Q = 2sen2a – cos2q
Rpta.: 16
Rpta.: –2
7.
Si senb>0 y cosb<0, además ctg2b =
25
,
144
15. Sabiendo que a, b, q son ángulos cuadrantales
diferentes mayores o iguales a 0º pero menores o
iguales a 270º y además se cumple que:
169
calcule Q =
.
secb · cscb
cosb = senq – sena
Rpta.: –60
8.
calcule sen(a+b – q).
Calcule M+N si:
M=
N=
3
Rpta.: 1
4sec0º– 4csc270º
27
y ctgb < 0, calcule:
125
M = 12secb + 5senb
16. Si (cosb)5cosb =
6tg360º + 4cos360º
sen90º + 2tg180º
Rpta.: 6
Rpta.: 16
129
Trigonometría
NIVEL I
1.
7.
Si sena > 0 y seca < 0, indique en qué cuadrante
está a.
A) I
B) II
D) IV
E) ninguno
sen192º · cos281º · tg 250º
a=
ctg132º · csc 98º
3.
D) (+), (+)
E) ninguno
D) 3
E) –3
C) (–), (+)
Si tgf = 1 y f∈IIIC, calcule:
4
Determine los cuadrantes de q y α si:
–tgθ · –senq < 0 ...
(1)
3
(2)
cosa · ctgq < 0 ...
9.
A) III y I
B) I y IV
D) III y II
E) IV y I
Si a∈IIC, donde
2
√17
D) 1
√17
3
√17
E) – 1
√17
4.
B)
C) – 3
√17
A) –1
B) 2
D) 5
E) –5
ctg α
, calcule:
C) –2
1 0,25
, además 3x es cuadrantal,
2
calcule Q = (sen3x + cos3x)(sen6x + cos6x).
2sen90º – 3cos180º – 4sen270º
cos0º + 2cos360º
A) 2
B) 1
D) 3
E) –1
C) 4
A) 0
B) 1
D) √2
E) –1
C) 1/2
DESAFÍO
NIVEL II
Si se cumple que:
11. Si 42tgq+1+16 = 65(4tgq), senq < 0 y q∉IVC,
√5 sena – √2 = 0 y a∈IIC,
calcule H = –2ctgq – √5 secq .
calcule M = √6 tga + √15 seca.
6.
tg θ = 5 ctg θ
10. Si (senx)senx =
Calcule:
E=
5.
3
C) II y IV
E = csca + tga
E = senf – cosf
A)
C) 2
además a no pertenece al IIIC.
b = tg201º · ctg332º + sen100º · cos140º
B) (+), (–)
B) –1
NIVEL III
Determine el signo de a y b respectivamente.
A) (–), (–)
A) 1
C) III
8.
2.
Si f(x)=sen2x – cos4x + sec8x, calcule E = f2(45º).
A) –3
B) –5
D) 5
E) 7
C) –7
A) 1
B) 2
D) √2
E) 5
C) 3
12. Si a y q son ángulos positivos menores a una vuelta,
además sena–1 + cosq =sen270º, calcule:
Si se cumple que:
tgq = 1 y secq < 0,
3
E = √2 sen(a+q) + cos
q–x
2
calcule E = √10 (senq + cosq).
130
A) –7
B) –13
D) –4
E) –1
C) –12
A) –1
B) 0
D) 1
E) 2
C) –
√2
2
Alumno(a) :
Trigonometría
____________________________________________________________________
Curso
:
__________________________________________________
Profesor
:
____________________________________________________________________
1.
Si tga = 2 y a∈IIIC, calcule:
3
6.
Aula : __________
Si sena = – 5 y a∈IVC, calcule:
13
E = tga – ctga
M = √13 (cosa – sena)
2.
3.
A) –1
B) –2
D) 3
E) 2
sen100º · tgf < 0
cos220º · cosf > 0
A) I
B) II
D) IV
E) ninguno
7.
129
60
B)
123
60
D)
117
60
E)
119
60
C)
111
60
C) III
8.
Calcule:
4cos0º + 5cos360º – cos180º
2sen90º
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
B) 2
D) –1
E) 0
C) 3
N = (3sen90º – 4cos180º) (sec245º + cos360º)
D) 38
E) 32
B) –5
D) 7
E) 3
C) 48
C) –7
Dado los ángulos cuadrantales a, b y q positivos,
diferentes y menores que una vuelta tales que:
A) 1
B) –1
D) –2
E) 3
C) 2
Si sena < 0 y cosa > 0, además tg2a = 4, calcule:
C) –2
M = (2cos0º – 3sen270º) (sec60º + csc30º)
B) 42
A) 1
calcule P = senq – cosa – senb.
9.
Calcule M+N si:
A) 30
1
y sena < 0, calcule:
3
cosq = sena = ctgb y q < a < b
Si f∈IVC, además cos2f = 1 , calcule:
2
A) 1
Si tga =
W = √10 csca + ctga
G =tgf + ctgf
5.
A)
Determine el cuadrante de f si:
E=
4.
C) 1
E = 2csca + 3seca
A) – √5
B) 2√5
D) 3– √5
E) 5
C) –3√5
10. Calcule el valor de G = coskp, k∈.
A) 0
B) {–1, 1}
D) 1
E) {0, 1}
C) –1
131