Elipse Definición. Una elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante Ecuación canónica de la elipse de eje mayor coincidente con el eje horizontal Sea O el origen de un sistema (O;x;y) ortogonal. Sean F≡( -c; 0) y F’≡ ( c; 0) dos puntos fijos equidistantes de O. Sea P ≡(x;y) un punto cualquiera de la elipse tal que │PF│+ │PF’│= 2a ,con a ˃c y a˃ 0. Observaciones: 1) La curva es simétrica con cada uno de los ejes coordenados y con el origen. 2) La elipse es una curva cerrada limitada por el rectángulo cuyos lados pertenecen a las rectas: x=a ; x= - a ; y=b ; y= - b. Excentricidad Definición. 𝑐 Es la razón 𝑒 = 𝑎 . Resulta 0<e<1. Observaciones: 1) Si c tiende a 0, entonces la elipse tiende a una circunferencia de centro O. 2) Si c tiende a a entonces la elipse se ” achata “. Con estos insumos se deduce que la ecuación de la elipse de eje mayor horizontal y con centro en el centro de coordenadas es: 𝑥2 𝑎2 𝑦2 + 𝑏2 = 1 Ecuación canónica de la elipse de eje mayor coincidente con el eje vertical Observaciones: 1) La curva es simétrica con cada uno de los ejes coordenados y con el origen. 2) La elipse es una curva cerrada limitada por el rectángulo cuyos lados pertenecen a las rectas: x=b ; x= - b ; y=a ; y= - a. Excentricidad Definición. 𝑐 Es la razón 𝑒 = 𝑎 . Resulta 0<e<1. Observaciones: 1) Si c tiende a 0, entonces la elipse tiende a una circunferencia de centro O. 2) Si c tiende a a entonces la elipse se ” achata “. Con estos insumos se deduce que la ecuación de la elipse de eje mayor vertical y con centro en el centro de coordenadas es: 𝑦2 𝑎2 𝑥2 + 𝑏2 =1 Actividades 1) Dada la elipse 3x2 + 4y2 – 6x + 24y + 27 = 0, calcúlense las coordenadas del centro y su excentricidad. 2) Dada la elipse 4x2 + y2 + 24x - 4y + 36 = 0, calcúlense las coordenadas de los focos y de los vértices. 3) Los vértices de una elipse son A≡ (- 3; 4) y A’ ≡ (- 3; 0). Dedúzcase la ecuación sabiendo que su semieje menor mide 1.4) Dados los vértices A≡ ( - 4;2) y A’≡( 2; 2), calcúlense las coordenadas de los focos de una elipse, sabiendo que su semieje menor mide 2. 2 5) Los focos de una elipse son F≡( 1; -2) y F’≡(5; - 2) y su excentricidad es e=3 Dedúzcase la ecuación de la elipse y calcúlese la longitud de la cuerda principal. 6) Dados los vértices B≡( 2;3) y B’≡( 2; - 5) y los focos F≡( -1; -1) y F’≡(5; -1) de una elipse, calcúlense la excentricidad y la longitud de la cuerda principal. 7) Dedúzcase la ecuación correspondiente de la elipse de vértices A≡( -2;6) ; A’≡( -2; -4) B≡( - 6; 1) y B’≡(2; 1). 8) Determínese la ecuación de la elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados que pasa por los puntos E≡( -2; 2) ; G≡( -3; 4) ; C≡( - 4; 2) y P≡( -3; 0).
