Elipse
Definición.
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias
a dos puntos fijos es una constante
Ecuación canónica de la elipse de eje mayor coincidente con el eje
horizontal
Sea O el origen de un sistema (O;x;y) ortogonal. Sean F≡( -c; 0) y F’≡ ( c; 0) dos puntos fijos
equidistantes de O.
Sea P ≡(x;y) un punto cualquiera de la elipse tal que │PF│+ │PF’│= 2a ,con a ˃c y a˃ 0.
Observaciones:
1) La curva es simétrica con cada uno de los ejes coordenados y con el origen.
2) La elipse es una curva cerrada limitada por el rectángulo cuyos lados pertenecen a las
rectas: x=a ; x= - a ; y=b ; y= - b.
Excentricidad
Definición.
𝑐
Es la razón 𝑒 = 𝑎 . Resulta 0<e<1.
Observaciones:
1) Si c tiende a 0, entonces la elipse tiende a una circunferencia de centro O.
2) Si c tiende a a entonces la elipse se ” achata “.
Con estos insumos se deduce que la ecuación de la elipse de eje mayor horizontal y
con centro en el centro de coordenadas es:
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1
Ecuación canónica de la elipse de eje mayor coincidente con el eje
vertical
Observaciones:
1) La curva es simétrica con cada uno de los ejes coordenados y con el origen.
2) La elipse es una curva cerrada limitada por el rectángulo cuyos lados pertenecen a las
rectas: x=b ; x= - b ; y=a ; y= - a.
Excentricidad
Definición.
𝑐
Es la razón 𝑒 = 𝑎 . Resulta 0<e<1.
Observaciones:
1) Si c tiende a 0, entonces la elipse tiende a una circunferencia de centro O.
2) Si c tiende a a entonces la elipse se ” achata “.
Con estos insumos se deduce que la ecuación de la elipse de eje mayor vertical y
con centro en el centro de coordenadas es:
𝑦2
𝑎2
𝑥2
+ 𝑏2 =1
Actividades
1) Dada la elipse 3x2 + 4y2 – 6x + 24y + 27 = 0, calcúlense las coordenadas del centro y su
excentricidad.
2) Dada la elipse 4x2 + y2 + 24x - 4y + 36 = 0, calcúlense las coordenadas de los focos y de
los vértices.
3) Los vértices de una elipse son A≡ (- 3; 4) y A’ ≡ (- 3; 0). Dedúzcase la ecuación sabiendo
que su semieje menor mide 1.4) Dados los vértices A≡ ( - 4;2) y A’≡( 2; 2), calcúlense las coordenadas de los focos de
una elipse, sabiendo que su semieje menor mide 2.
2
5) Los focos de una elipse son F≡( 1; -2) y F’≡(5; - 2) y su excentricidad es e=3
Dedúzcase la ecuación de la elipse y calcúlese la longitud de la cuerda principal.
6) Dados los vértices B≡( 2;3) y B’≡( 2; - 5) y los focos F≡( -1; -1) y F’≡(5; -1) de una
elipse, calcúlense la excentricidad y la longitud de la cuerda principal.
7) Dedúzcase la ecuación correspondiente de la elipse de vértices A≡( -2;6) ; A’≡( -2; -4)
B≡( - 6; 1) y B’≡(2; 1).
8) Determínese la ecuación de la elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados que pasa
por los puntos E≡( -2; 2) ; G≡( -3; 4) ; C≡( - 4; 2) y P≡( -3; 0).
0
