Hallar la ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene por focos

Realizado por Daniel Arias Maseda
Enunciado:
Hallar la ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene por focos:
a) F (2,0), F’ (-2,0) y suma de distancias 5.
b) F (0,2), F’ (0,-2) y suma de distancias 5.
Teoría:
•
Coordenadas del punto medio de un segmento.
m=
•
1
[(x 1, y 1 ) + (x 2 , y 2 )] = x 1, y 1 + x 2 , y 2
2
2
2
Relaciones entre constantes:
♦ Relación entre a, b y c.
BF' + BF = 2a → BF + BF = 2a ⇒ 2BF = 2a ⇒ BF = a
a2 = b2 + c2
♦ Demostrar que la constante = 2a.
AF' + AF ⇒ (F' F + AF) + AF = 2a
• Ecuación reducida de la elipse.
Tomando los siguientes elementos:
F(c,0); F’(-c,0); A(a,0); A’(-a,0); B(0,b); B’(0,-b)
1. P(x, y )
2. d(P,F) + d(P,F' ) = 2a
3. ( x − c) 2 + ( y - 0) 2 + ( x + c) 2 + ( y - 0) 2 = 2a
4. 

(x - c )2 + y 2 
2
=  2a 

(x + c )2 + y 2 
x 2 y2
+
=1
a 2 b2

2
Resolución gráfica:
Apartado A:
1. Situar los focos.
2. Situar el centro de la elipse (que hemos hallado aplicando la definición
del punto medio del segmento FF' ) en el origen de coordenadas.
3. Trazar la elipse teniendo en cuenta los semiejes mayor y menor.
Apartado B:
1. Situar los focos.
2. Situar el centro de la elipse (que hemos hallado aplicando la definición
del punto medio del segmento FF' ) en el origen de coordenadas.
3. Trazar la elipse que hemos hallado mediante la definición.
Cálculo:
Apartado A:
1. Primero hay que hallar “a” mediante la demostración de la constante
2a y luego hallamos “c” teniendo los dos focos y el centro de la
elipse.
2a = 5 ⇒ a =
5
;c = 2
2
2. Aplicamos la relación de las constantes a, b y c.
a2 = b2 + c 2
2
9
5
b2 = a2 - c 2 ⇒ b2 =   − 22 ⇒ b2 =
4
2
3. Aplicar la ecuación reducida de la elipse.
4x 2 4y 2
x2 y2
+
=1
+
=1⇒
25 9
25
9
4
4
Apartado B:
1. P(x, y )
2. d(P,F) + d(P,F') = 2a
3.
(x - 0)2 + (y - 2)2 + (x - 0)2 + (y + 2)2
2
=5
2
2
4.  x 2 + (y - 2)  =  5 − x 2 + (y + 2) 

 

2
x 2 + y 2 - 2y + 4 = 25 - 10 x 2 + (y + 2) + x 2 + y 2 + 4y + 4
2
2
10 x 2 + (y + 2)2  = (8y + 25 )2


(
)
100 x 2 + y 2 + 4y + 4 = 64y 2 + 400y + 625
100x 2 + 100y 2 + 400y + 400 = 64y 2 + 400y + 625
100x 2 + 36y2 − 225 = 0
Solución:
a)
4x 2 4y 2
+
=1
25
9
b)
100x 2 + 36y2 − 225 = 0