Mecánica del continuo - herramientas matemáticas

Capítulo 1
Herramientas Matemáticas
1.
Introducción
Las leyes de la física, si desean describir el comportamiento de los sistemas naturales, deben ser
independientes del observador que las estudia. Esto es, que las particularidades sobre un dado fenómeno,
hechas por dos observadores distintos, deben poder reducirse de modo que se pueda concluir una ley de
comportamiento del sistema que sirva en igual forma para ambos observadores.
Las magnitudes vectoriales y las tensoriales son magnitudes tales que, al sufrir una transformación de
coordenadas, se transforman dejando, no obstante, invariante la forma de las ecuaciones de gobierno de los
sistemas. Esta es una propiedad importante, ya que las leyes que se expresan en un sistema de referencia
siguen siendo válidas aún cuando el mismo se cambie. La forma en que las ecuaciones de gobierno varían ante
transformaciones entre sistemas en movimiento relativo, sin embargo, depende de otras consideraciones no
sólo geométricas y que no se abordarán por ahora.
Para este curso se darán por conocidos los principios básicos del álgebra vectorial. Entonces se asumirá que
se tiene una noción geométrica del vector, aquella del segmento orientado: se sabe que para definirlo debemos
dar la dirección sobre la que actúa, el sentido de la acción y su intensidad o módulo.
Por definición, se dice que dos vectores son iguales si tienen idéntica dirección, intensidad y módulo; esto
implica que un vector que se desplaza paralelamente a si mismo no sufre cambios. Sin embargo, para algunas
aplicaciones el punto de aplicación del vector o su recta de acción son importantes: esto lleva a diferenciar
entre vectores fijos y deslizantes. En los últimos, la definición de igualdad cambia. Con la definición anterior
se obtiene lo que usualmente se denomina “vectores libres”. Los “vectores deslizantes” requieren, para ser
iguales, que además de módulo, dirección y sentido se verifique que la recta de acción sea la misma. Los
“vectores fijos” requieren para la igualdad, que estén aplicados en el mismo punto. Este y los posteriores
capítulos utilizarán vectores libres, salvo expresa indicación en contrario.
Una consecuencia casi automática es la definición de la operación “suma” o “adición”, que se puede
interpretar geométricamente diciendo que el vector resultado o vector suma tiene la dirección definida por la
diagonal del paralelogramo que se construye a partir de los vectores sumando o términos de la suma,
arreglados con un origen común. Y que tiene como módulo la longitud de dicha diagonal, orientado con el
sentido desde el origen común de los vectores término.
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Esta es por cierto una construcción geométrica. Más adelante se dará una definición analítica. Sin embargo la
definición geométrica de un vector junto con la definición geométrica del vector suma nos permite deducir
algunas propiedades de la suma:
i).
ii).
Conmutatividad
Asociatividad
iii).
Desigualdad triangular
   
a b  b a
     
(a  b )  c  a  (b  c )
   
a b  a  b
Otra operación que se define, pero esta vez entre un vector y un escalar es el “producto por un escalar”.


Siempre geométricamente hablando, el vector a será un vector con igual dirección que a , pero con módulo
 a y, si a 0 , tendrá igual sentido, pero si a0 tendrá sentido contrario. A partir de esto se puede ampliar lo
dicho antes definiendo la “suma algebraica de vectores”. Otra cosa que se puede notar es que si   0 ,

a  0 define un vector llamado “vector nulo”.
Un vector siempre podrá escribirse como suma de dos o más vectores términos. Estos reciben el nombre de
“componentes vectoriales” del vector. Sin embargo el uso frecuente reserva este nombre para el caso en que
estos vectores término coincidan en dirección con los versores de un sistema coordenado y para cuando,
además, haya tantos vectores término como ejes tenga el sistema coordenado. Por ejemplo en 2 , un sistema
coordenado tiene que tener dos ejes (obviamente no coincidentes). Así que, fijado un sistema coordenado
cualquiera (y con “cualquiera” se quiere indicar que no tiene porqué ser un sistema de coordenadas
ortogonales) se llaman componentes del vector en ese sistema a los dos (por estar momentáneamente
trabajando en 2 ) vectores, cada uno paralelo a un eje del sistema cuya suma da como resultado el vector
dato.
Estas “componentes vectoriales” forman una base y por ende, un vector puede escribirse de una única forma

en una base. Del álgebra lineal se puede concluir que un vector a puede escribirse como combinación lineal
 

de los vectores v1, v2 ,..., vn  de la base:




a  1v1   2 v 2  ...   n v n

donde los escalares  i son las componentes escalares de a (o simplemente sus “componentes”). Un caso
importante es cuando esta base de componentes vectoriales es ortonormal (las componentes vectoriales son
ortogonales entre sí y todas tienen módulo unitario). Tal base recibe varios nombres equivalentes: base
ortonormal, base canónica, base de los versores fundamentales, etc. Obviamente, podemos escribir cualquier

vector a como combinación lineal de los vectores de esta base:
n

a  1eˆ1   2eˆ2  ...   neˆn   k eˆk
1
(Nota al pie)
k 1
3

En  3 , n  3  a    k eˆ k
y
k 1
eˆ1  iˆ , eˆ2  ˆj  eˆ3  kˆ

con lo que a  1iˆ   2 ˆj  3kˆ
1
Entiéndase que
êi se reserva como símbolo de versor para el caso genérico de la base canónica.
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La palabra “componente” está asociada frecuentemente al concepto de proyección ortogonal en una dirección
arbitraria. Tomemos una dirección definida por la del versor n̂ (que a la sazón no tiene porqué coincidir con

la dirección de las componentes vectoriales). La proyección de a sobre n̂ (o lo que es equivalente, la

componente de a según n̂ ) puede calcularse como:


an  a cos

Si se está en 3 y se ha tomado una base ortonormal, las proyecciones de a sobre los vectores de la base
eˆ1 , eˆ2 , eˆ3  a1 , a 2 , a3 son las componentes de a , de modo que
a3
a1
a2
  cos  1 ,
  cos  2 ,
  cos  3
a
a
a
2
sabiendo que a  a12  a 22  a32 y que

 
cos  1 

a
a1

1
2 2
3
, cos  2 

a2

1
2 2
3
, cos  3 

a3
 a 22  a
a12  a 22  a
a12  a 22  a 32

Estos son los “cosenos directores” de a respecto del sistema definido por la base a1 , a 2 , a3 .
2
1

1
2
Algunas proposiciones que pueden demostrarse:
i).
cos 2  1  cos 2  2  cos 2  3  1
a
a
a
 
ii).
a // b  1  2  3
b1 b2 b3
iii).
a b  a 2 b2  a 3 b3
 
El coseno del ángulo formado entre a y b es cos   1 1
ab
Antes de proseguir, se discutirá en este punto un concepto que acompañará la consecución del curso: el de

invarianza. Para estudiar este concepto, al menos en forma elemental, se requiere un vector a y dos bases del
  
  
espacio usual v1 , v 2 , v3  y v1 ' , v 2 ' , v3 '. Sea cual sea la expresión de estas componentes vectoriales hay algo

de a que no cambia: su módulo.
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Una cantidad como esta, que ante cambios de coordenadas no se altera, se denomina invariante. Los vectores
tienen asociado un único invariante que es precisamente su módulo (esto se demostrará más adelante).
Disponer de las componentes del vector, permite redefinir en forma analítica, las operaciones de “producto
por un escalar” y “suma entre vectores”, respectivamente:

 a   a1v1  a 2 v2  ...  a n vn   a1v1  a 2 v2  ...  a n vn
 









a  b  a1v1  a2v2  ...  anvn   b1v1  b2v2  ...  bnvn   a1  b1 v1  a2  b2 v2  ...  an  bn vn
 


Es decir que el vector a es el que se obtiene de multiplicar las componentes de a por  y el vector a  b
 
es el que tiene por componentes las sumas de las correspondientes componentes de a y b .

Ejemplo: Las rotaciones finitas no son vectores
No todas las cantidades que pueden representarse como segmentos orientados son vectoriales. Un ejemplo
son las rotaciones finitas de un sólido rígido: estas frecuentemente se indican como flechas orientadas que
tienen por dirección el eje de giro, módulo proporcional al ángulo girado y sentido tal que satisfaga la regla del
tirabuzón. Pero veamos que sucede en este ejemplo. Supóngase tener una placa plana con vértices
(0,0);(0,A);(A, B);(B,0) al que se aplique sucesivamente tres giros:
i).
ii).
iii).
90º alrededor del eje X1
90º alrededor del eje X2
90º alrededor del eje X3
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Si fueran vectores, la rotación total sería el vector

2
iˆ  ˆj  kˆ  .
Sin embargo se ve del gráfico que basta con
una rotación de 90º alrededor del eje X2 para alcanzar la configuración final, es decir, basta con hacer

ĵ .
2
Claramente, las rotaciones finitas no satisfacen las propiedades de la suma entre vectores, porque NO son
vectores.
Antes de seguir, conviene detenerse a establecer una convención: en muchas expresiones se encontrará
2
necesario sumar sobre todas las componentes de un vector; por ejemplo a se calcula como:
n
2
a  a12  a 22  a 32   a k2
k 1
Se enunciará entonces lo que se conoce como Convención de Einstein o de la supresión del símbolo de
la suma: “Cuando en una expresión monómica figuren dos índices repetidos, se entenderá que se trata de
una suma en la que los índices repetidos van de 1 a n con n dimensión del espacio”. Se verán algunos
ejemplos:
n

aib j ci   aib j ci  a1b j c1  a2b j c2  ...  anb j cn
i 1
n

aibi   aibi  a1b1  a2b2  ...  anbn
i 1
A veces, y por razones que se justificarán más adelante, se utilizarán supraíndices, aplicándose a estos las
mismas reglas que a los subíndices:
n
1)
a b j ci   aib j ci  a1b j c1  a 2b j c2  ...  a nb j cn
i
i 1
O incluso se encontrarán casos de objetos con más de un sub/supraíndice:
n
ij
ij
ij
ij
ij
2) ak bkl   ak bkl  a1 b1l  a2 b2l  ...  an bnl
k 1
y más de uno repetido:
3) a b c 
i
k
jk i
n
n
 a
i 1 k 1
i
k
jk i
bc
Se definirá ahora otras operaciones entre vectores:
Producto escalar o producto interno: Se define el producto escalar entre dos vectores como el producto de sus
   
magnitudes por el coseno del ángulo subyacente entre ellos: a  b  a b cos  . Se enuncian pero se dejan sin
demostrar algunas propiedades del producto escalar:
 
 
i). a  b   a  b 
   
ii). a  b  b  a
      
iii). a  b   c  a  c  b  c
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iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0
iv). 
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1
n
 
v). a  b   a k bk  a k bk utilizando la convención de Einstein;
k 1
  2
vi). a  a  a
vii). Desigualdad de Cauchy: ai bi  ai ai 
1
2
bi bi  2
1

 
Producto vectorial o externo: Se define el producto vectorial entre dos vectores a  b al pseudo vector c que
tiene:
 Módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo subyacente entre los vectores,
 Dirección perpendicular al plano definido por ambos vectores,
  
 Sentido tal que el triedro a, b , c tenga la misma orientación que el espacio en el que están
definidos.

Es esta última condición la que le da el carácter de pseudo vector a c , ya que no puede fijarse su sentido si no
se conoce la orientación del espacio (es decir, la del triedro fundamental en  3 )
Se enuncian a continuación algunas propiedades, nuevamente sin demostración, para el producto vectorial:
 
 
i). a  b  b  a

 
  
ii).  a  b   a   b  a  b 
      
iii). a  b  c  a  c  b  c
 
 
iv). a // b  a  b  0
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0
v). iˆ  ˆj  kˆ ˆj  kˆ  iˆ kˆ  iˆ  ˆj
ˆj  iˆ  kˆ kˆ  ˆj  iˆ iˆ  kˆ   ˆj
ˆj kˆ
iˆ
a   3
 
vi). a  b  a1 a 2 a 3

3
b  
b b b
1
2
3
Una aplicación importante es determinar una dirección normal a otras dos: si se tienen dos direcciones dadas
 
por los vectores a y b , la dirección n̂ , normal a ambas, viene dada por:
 
a b
nˆ   
a b
Por cierto, se puede expresar el producto vectorial con notación indicial. Para ello, se debe introducir el
símbolo ijk . Su significado preciso será aclarado más adelante, por ahora tómese como una notación
conveniente:
123 231 312  1
 1 si i, j, k   1,2,3, 2,3,1, 3,1,2

ijk   1 si i, j, k   1,3,2, 2,1,3, 3,2,1  132 213 321  1

0 en cualquier otro caso
111 112 113  ...  0

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 
Con este símbolo de permutación se puede expresar la k-ésima componente del vector a  b como:

a  b 
k
klm al bm
Esto puede verificarse con sólo escribir las sumas que no aparecen al adoptarse la convención de Einstein, y
comparar lo obtenido con lo que surge de desarrollar la expresión en vi.
Ejemplo: Utilización de Notación Indicial y de la Densidad de Levi-Civita.
  
Demostrar que a  b  a  0 .
  
 
Sea a  b  v , que en notación indicial sería vi ijk a j bk . Sea además   v  a  vi ai , entonces
 ijk a j bk ai . Sólo con el objeto de mostrar todos los términos correspondientes a la expresión indicada se
hará la expansión de la Convención de Einstein implicada en dicha expresión:
3
3
3
 ijk a j bk ai  ijk a j bk ai 111 a1b1 a1  112 a1b2 a1  113 a1b3 a1 
i 1 j 1 k 1
 121 a 2 b1 a1  122 a 2 b2 a1  123 a 2 b3 a1  131 a3 b1 a1  132 a3 b2 a1  133 a3 b3 a1 
 211 a1b1 a 2  212 a1b2 a 2  213 a1b3 a 2  221 a 2 b1 a 2  222 a 2 b2 a 2  223 a 2 b3 a 2 
 231 a3 b1 a 2  232 a3 b2 a 2  233 a3 b3 a 2  311 a1b1 a3  312 a1b2 a3  313 a1b3 a3 
 321 a 2 b1 a3  322 a 2 b2 a3  323 a 2 b3 a3  331 a3 b1 a3  332 a3 b2 a3  333 a3 b3 a3 
Al tener en cuenta la definición, se anulan los términos en los que al menos dos subíndices en la Densidad de
Levi-Civita se repiten, quedando
 123 a 2 b3 a1  132 a3 b2 a1  213 a 2 b3 a1  231 a3 b1 a 2  312 a1b2 a3  321 a 2 b1 a3 
Al reemplazar el pseudo-vector por su valor correspondiente a la definición, se tiene
  a 2 b3 a1  a3 b2 a1  a 2 b3 a1  a3 b1 a 2  a1b2 a3  a 2 b1 a3 
Reagrupando,
  a 2 b3 a1  a 2 b3 a1   a1b2 a3  a3 b2 a1   a3 b1 a 2  a 2 b1 a3   0
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Problemas de la Sección 1 - Introducción
1) Calcular la magnitud y dirección de los siguientes vectores, que se definen en una base ortonormal:

a) v  2eˆ1  2 3eˆ 2  1 / 3eˆ3

b) w  2.5;0;1
  
c) x  v  w
Tómese por ejemplo el caso a). Para calcular la magnitud o módulo es posible utilizar la fórmula
pitagórica
2
2
2

v  a12  a 22  a32  2  2 3   1 / 3  145 / 9  145 / 3  12.041 / 3
 
a
Para calcular su dirección nos va a servir su módulo pues, como ya se dijo, cos  i  i . Con lo que
a
1
2
2 3
3  0.083
cos  1 
 0.498; cos  2 
 0.863; cos  3 
145
145
145
3
3
3
El vector subtiende un ángulo de 60.11º con el eje X1, 30.34º con X2 y 94.74º con X3. Se sugiere
comprobar que cos 2  1  cos 2  2  cos 2  3  1 y dibujar el vector en papel milimetrado.


2) ¿Es cierto que a v  a v (siendo a un escalar cualquiera)?
3) Demostrar las siguientes relaciones
   
a) a  b  b  a
  
  
b) a  (b  c )  (a  b )  c
   
c) a  b  a  b
d) cos 2  1  cos 2  2  cos 2  3  1
 
a
a
a
e) a b  1  2  3
b1 b2 b3
a b  a b  a3b3
f) cos   1 1 2 2
a b
i).
Tómese por ejemplo el caso c). Para demostrarlo es necesario tener demostrado un teorema
posterior entre estos problemas planteados: el que figura para su demostración en 6.d.
 
 
a b  a b




Si a  0  b  0 la relación es trivial. Pero para el caso no trivial en el que a  0 y que b  0 .
   
a  b  a b cos 
   
a  b  a b cos  pero cos   1
   
 
a  b  a b cos   a b
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

a b
0   
a b




 
    2
 
a b   a b  a  a 2a  b b  b a
2a  b
ii).
    2  2    
       
a b   a b  a 2
ab
ab
a
b
 





2a  b
2a  b
 
 
 2     0   2     a b   a b
ab
ab
Uniendo i) y ii) se puede decir que:
     
   
 a b  a b  a b  a b  a b
2




2
b
2 
b
   
a b  a  b
2
 2
 
 
2
 
a  b  a  b   a  b   a  2 a  b  b
que, por efecto de la desigualdad anterior, es
2
  2 2
  2
a  2 a b  b  a  2 a b  b
 
De donde puede desprenderse que siempre a b  0 , dejando demostrada la desigualdad. Lo que se ha
demostrado en primer término es la llamada Desigualdad de Cauchy-Schwarz, mientras que lo que se ha
demostrado en segundo término es denominado en la literatura la Desigualdad del Triángulo: se invita al
lector a verificar ambas gráficamente.




4) Dar las componentes de un vector unitario de dirección colineal a u  3i  2 j  2k .
2
2
2

u  u i  3   2   2  17  4.123
 
uˆ  u u  3 / 17iˆ  2 / 17 ˆj  2 / 17kˆ
5) Dar las componentes de un vector unitario de dirección colineal a la línea que pasa por P(0,2,-1) y Q(1,4,2)
6) Demostrar las siguientes propiedades del producto escalar


a)
 a   b    a  b 
   
b)
a b  b a
      
c)
a  b c  a c  b c
 
 
d)
a b  a b
     
i  j  j k  k i  0
e)
     
i i  j  j  k k 1
  2
f)
a a  a


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Tómese por ejemplo el caso f).
  2
a a  a

2
a  a12  a 22  ...  a n2  a  a12  a 22  ...  a n2 


 
 a1eˆ1  a1eˆ1  a 2 eˆ2  a 2 eˆ2  ...  a n eˆn  a n eˆn   a1eˆ1  a 2 eˆ2  ...  a n eˆ n  a1eˆ1  a 2 eˆ2  ...  a n eˆn   a  a
7) Hallar la ecuación del lugar geométrico del espacio que ocupan todos los puntos (x, y, z) tales que un
vector desde (2,-1,4) a (x, y, z) es perpendicular al vector de (2,-1,4) a (3,3,2).
La ecuación buscada va a estar dada a través del producto escalar entre dos vectores, uno fijo dado por los
puntos dato y el restante que queda dependiendo de (x, y, z). Por la condición de perpendicularidad
  90º  cos   0  a1b1  a 2 b2  a3 b3  3  2x  2  3  1 y  1  2  4z  4 
x  2   y  14  2z  4  0
8) Hallar el ángulo entre los vectores que naciendo en el origen de coordenadas van a A (3,1,4) y B (-2,2,3)
respectivamente.


9) Sea v un vector no nulo y u un vector cualquiera. Mostrar que entonces el vector
 
  u v 
wu 2 v
v

es ortogonal a v
10) Demostrar las siguientes propiedades del producto vectorial
 
 
a)
a  b  b  a


  
b)
 (a  b )  ( a )  b  a  ( b )
      
c)
(a  b )  c  a  c  b  c
 
 
d)
a b a b  0
     
i i  j  j  k k 0
  
 
i  j  k  ( j  i )
e)
 
  
j  k  i  ( k  j )
  
 
k  i  j  ( k  i )
 
11) Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B es A  B .
12) Hallar el área de un triángulo cuyos vértices son P(1,3,2); Q(2,-1,1) y R(1,2,3)
13) Para el triángulo de la figura, verificar que
sin A sin B sin C


a
b
C
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  
14) Verificar que el producto mixto a  b  c puede calcularse como:
a1 a2 a3 
   
a  b  c   b1 b2 b3 
 c1 c2 c3 
¿Cómo se interpreta geométricamente este producto?
  
  
15) Chequear que si una base a, b , c es linealmente dependiente, entonces a  b  c  0
  
Los vectores a, b , c son linealmente dependientes si existen constantes  ,  , no todas cero tales que

a  b c  0 . En componentes escalares, las ecuaciones del vector son
a x  b x  c x  0

a y  b y  c y  0

a z  b z  c z  0
Como todo sistema de ecuaciones con incógnitas  ,  , , la solución no nula ocurre cuando el
determinante de los coeficientes se anula, i.e.:
ax
ay
az
bx
by
bz  0
cx
cy
cz
  
Este determinante es, por definición, a  b  c .


 
16) Probar que el vector V  ai  bj  ck es perpendicular al plano ax  by  cz   .


 

17) Si r  xi  yj  zk es el vector posición del punto P( x, y, z ) y d un vector constante, verificar que
  
r  d  r  0 y que esta es la ecuación vectorial de una esfera.


18) Escribir explícitamente las componentes cartesianas de las siguientes expresiones, si el espacio sobre el que
se definen estos objetos es 3:
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a ) t i  Tij n j
b) e   kk
c) 2W  Tij  ij
d ) Tij*  2G  ij*
e)
Tsr
 br  a r
x s
Tómese (a), (c) y (e).
a) t i  Tij n j utilizando la convención de Einstein, se presupone el símbolo de sumatoria sobre el
3
subíndice que se repite, en este caso j, entonces t i   Tij n j  Ti1 n1  Ti 2 n 2  Ti 3 n3 con i variando de 1 a
j 1
3.
t1  T11n1  T12 n2  T13n3
t 2  T21n1  T22 n2  T23n3
t 3  T31n1  T32 n2  T33n3
c) 2W  Tij  ij utilizando la misma convención de Einstein, los subíndices que se repiten son ij entonces la
sumatoria es
3
3
2W   Tij  ij  T11 11  T12 12  T13 13  T21 21  T22 22  T23 23  T31 31  T32 32  T33 33
i 1 j 1
e)
Tsr
 br  a r donde debe presuponerse sumatoria en los subíndices que se repiten en los
x s
monomios. El único presente que repite subíndices es el primer término, por lo tanto:
3
Tsr
T
 br  a r   sr br  a r
x s
s 1 x s

 T11 T21 T31 
  b1


 a1  

x

x

x
2
3 
 1


 T12 T22 T32 

  b2


 a 2  

x

x

x
1
2
3






 a3   T13  T23  T33   b3


x 2
x3 
 x1
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Josiah Willard Gibbs
El estudio de los vectores desde un punto de vista analítico se originó con los cuaterniones de Hamilton. Fueron
desarrollados por este como herramienta matemática para la exploración del espacio físico. Pero los
resultados fueron una decepción debido a su complicado manejo y aplicación. Los cuaterniones contenían
una parte escalar y una vectorial y los problemas de manejo radicaban fundamentalmente en que Hamilton
intentaba manejarlos simultáneamente. No fue hasta que Josiah Willard Gibbs (1839-1903), un doctor en
física norteamericano de Connecticut que estudió en Yale, París y Berlín, publicó un libro denominado Vector
Analysis en 1881, mientras era profesor de física matemática en Yale University (re-editado en 1884) .
En realidad el innovador libro era un pequeño folleto impreso que se distribuía en privado, principalmente
entre sus alumnos. Sin embargo tuvo gran aceptación cuando llegó a las manos de E. B. Wilson, un
matemático que también buscaba una solución a los cuaterniones, quien invitó a Gibbs a convertir el apunte
en libro y publicarlo allá por 1901.
Todo estudiante de física elemental accede de alguna forma u otra con la obra de Gibbs. En su apunte, un
vector se conceptualiza como un segmento orientado o flecha, y se definen las operaciones de igualdad, suma
y multiplicación por escalar o por vector. Recuérdese que Gibbs era físico; de hecho utilizó esta herramienta
en un problema relativo a lo que el denominaba la “efectividad de una fuerza”, lo que hoy para nosotros podría
ser entendido como el producto escalar de una fuerza por una dirección. También explicó el significado del
par de fuerzas a través de lo que denotó como producto vectorial.
En 1902 Gibbs publicó otro libro, denominado Elementary Principles of Statistical Mechanics. En la Teoría de las
Series de Fourier, existe un efecto denominado fenómeno de Gibbs, vinculado.
Al estudiar matemáticas en los albores del siglo XXI, no debe perderse de vista que gran parte de las
matemáticas modernas fueron desarrolladas con el propósito de resolver problemas reales. Los vectores son
un ejemplo exitoso de esta idea.
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