3.4 método de descomposición lu La factorización o descomposición lu es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, por ejemplo, si un elemento de la diagonal es cero, es necesario pre multiplicar la matriz por una matriz de permutación. Método llamado factorización PA = LU o LU con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U). Esto es: A = LU Donde: L - Matriz triangular inferior U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. La matriz a se factoriza o "descompone" en matrices triangular inferior (L), y superior (U). La sustitución: L y U se usan para determinar una solución x para un lado derecho b. Este a su vez se divide en dos: – Ld = b, se usa para generar un vector intermedio d por sustitución hacia delante. – El resultado es sustituido en Ux – d = 0, que se resuelve por sustitución hacia atrás. Paso 1: descomposición de L y U, es posible utilizar gauss para descomponer nuestro sistema de ecuaciones en una matriz L y otra U. Matriz L F21 = a21 / a11 F31 = a31 / a11 F32 = a’32 / a’22 Matriz U obtenida mediante eliminación de gauss Paso 2: realizar sustitución adelante y atrás para obtener nuestra solución Igualar la matriz L a D y hacer sustitución adelante para obtener los valores de D = Igualar la matriz U a nuestros nuevos valores D y hacer sustitución hacia atrás para obtener los valores de D que representan la solución del sistema. 3.5 método de gauss – seidel el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi. Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva. se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal: Para determinar si el método de Gauss-Seidel converge hacia una solución. Se evalúan las siguientes condiciones de convergencia: La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), es decir, para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A: 1. Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila i. 2. A partir de la siguiente identidad: Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag(a11, a22, ..., ann)), -L corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se puede deducir la fórmula vectorial de este método: , k = 1, 2, ... De donde BG (conocida como la matriz de iteración de Gauss-Seidel) es (D-L)-1U. Para que el método de Jacobi converja hacia una solución, , para una norma matricial inducida. ρ(BG), que corresponde al máximo de los valores absolutos de las raíces de la ecuación característica de la matriz BG (det(BG - λI)) es menor que 1. 3.6 método de krylov El método de Krylov se puede aplicar para determinar una matriz cuadrada de orden n, si se conoce su ecuación característica de grado n. Los pasos a seguir en este caso son: 1) Proponer un vector auxiliar 2) Se propone la , compatible con A diferente de cero y normalizado. forma de la matriz A; según el orden se determinarán n × n elementos. 3) Se resuelve el sistema de ecuaciones no lineales resultante, obteniendo los elementos de la matriz A. El método de Krylov se fundamenta en la aplicación del Teorema de CayleyHamilton, mismo que establece que toda matriz A verifica su ecuación característica: F (A) = 0 Es decir, si sustituimos a la matriz A en el polinomio, el resultado deberá ser cero. Sin embargo, operativamente es necesario hacer algunos comentarios. De inicio, la matriz A es de orden n, por lo cual la sustitución arrojar un sistema de n ecuaciones lineales; en consecuencia, el coeficiente a0 deberá ser diferente de cero. Resulta conveniente hacer que este coeficiente sea la unidad, por lo cual se divide el polinomio entero por a0, resultando: λn + b1 λn−1 + b2 λn−2 + ... + bn−1 λ + bn= 0 Referencias Antonio Nieves Hurtado, F. C. (2014). Métodos Numéricos aplicado a la ingenieria. mexico: patria. Métodos Numéricos. (s.f.). Obtenido de Gauss-Seidel: http://test.cua.uam.mx/MN/Methods/EcLineales/Gauss-Seidel/Gauss.php Sánchez, a. n. (2002). metodos numericos aplicado a la ingenieria. mexico: COMPAÑÍA EDITORIAL CONTINENTAL .
