MÉTODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVAS PARA RESOLVER

MÉTODOS DE
APROXIMACIONES SUCESIVAS
PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES.
LOS MÉTODOS EXACTOS DE ELIMINACIÓN PARA RESOLVER
SISTEMAS, DAN SOLUCIÓN PARA SISTEMAS HASTA DE 15 O 20
ECUACIONES, CUANDO ES MAYOR ESTOS MÉTODOS PRESENTAN
SERIOS PROBLEMAS DE EXACTITUD EN SU SOLUCIÓN.
SIN EMBARGO EXISTEN ALGUNAS TÉCNICAS QUE SE PUEDEN
UTILIZAR EN LA SOLUCIÓN DE ESTOS SISTEMAS, ALGUNOS DE
ELLOS SON LOS DE JACOBI Y EL DE GAUSS-SEIDEL, UNA
DESVENTAJA ES QUE NO SIEMPRE CONVERGEN Y EN ALGUNOS
CASOS LO HACEN LENTAMENTE

LA CONVERGENCIA DE ESTOS MÉTODOS SE
CUMPLE CUANDO:

1)
UNO
DE
LOS
COEFICIENTES
EN
CADA
ECUACIÓN ES MAYOR EN VALOR ABSOLUTO QUE
LOS DEMÁS EN LA MISMA ECUACIÓN.

2) Y SE ASEGURA LA CONVERGENCIA SI ESTE
VALOR SE ENCUENTRA SOBRE LA DIAGONAL
PRINCIPAL.

MÉTODO DE JACOBI.

DADO EL SISTEMA
Ax  b
(1)
LA MATRIZ A SE SUSTITUYE POR
A  D  R (2)

EN DONDE D ES UNA MATRIZ DIAGONAL, EN DONDE SUS
ELEMENTOS SON CEROS EXCEPTO LOS DE LA DIAGONAL

PRINCIPAL Y R ES UNA MATRIZ CON CEROS
EN
LA
DIAGONAL
PRINCIPAL
RESTANTES DE A.

SUSTITUYENDO (2) EN (1)
( D  R) x  b
Dx  Rx  b
Dx  b  Rx
PREMULTIPLICANDO POR D 1
x  D 1 b  D 1 R x
(3)
Y
LOS

ESTA ÚLTIMA ECUACIÓN SE MANEJA COMO
FÓRMULA DE RECURRENCIA DE LA SIGUIENTE
FORMA.
( k 1)
x
 D 1 (b  R x k )
PARA k  0,1,2,

(4)
ESTE MÉTODO DEFINIDO POR LA FÓRMULA
MATRICIAL DE LA ECUACIÓN (4) SIGNIFICA QUE
DADO EL SISTEMA DE ECUACIONES, SE DESPEJE

x1 DE LA PRIMERA ECUACIÓN, x 2 DE LA SEGUNDA,
HASTA
xn
DE LA ENÉSIMA ECUACIÓN, QUEDANDO:
x
( k 1)
1
b 1  ( a 12 x 2( k )  a 13 x 3( k )    a 1 n x n( k ) )

a 11
x
( k 1)
2
b 2  ( a 21 x 1( k )  a 23 x 3( k )    a 2 n x n( k ) )

a 22
                  
                  
                  
x n( k  1 ) 
b n  ( a n 1 x 1( k )  a n 2 x 2( k )    a n , n  1 x n( k 1)
a nn
EL VECTOR INICIAL PARA EMPEZAR LAS APROXIMACIONES, SE
PROPONE, CUANDO NO LO DAN, EL VECTOR CERO.

x 0   x1(0) , x2(0) ,  , xn(0)   0

SE SUSTITUYE EN LOS SEGUNDOS MIEMBROS DE LAS
ECUACIONES DESPEJADAS PARA OBTENER LA SIGUIENTE
APROXIMACIÓN.

SE REPITE EL PROCESO CON LOS SIGUIENTES VECTORES
HASTA QUE SE CUMPLE CON LA TOLERANCIA
PRESTABLECIDA DE ANTEMANO.

EN ESTE CASO SE DEBE CUMPLIR QUE TODAS LAS
COMPONENTES DE
DOS APROXIMACIONES SUCESIVAS
ESTÉN DENTRO DE LA TOLERANCIA.

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL.

ESTE
MÉTODO
IDÉNTICO
AL
DE
ES
PRACTICAMENTE
JACOBI,
LA
ÚNICA
DIFERENCIA ESTÁ EN QUE GAUSS-SEIDEL
ES MAS RÁPIDO EN LA CONVERGENCIA
DEBIDO A QUE UNA VEZ QUE SE CALCULA
LA COMPONENTE
xi( k 1)
SE UTILIZA DE
INMEDIATO EN LA MISMA ITERACIÓN.

ENTONCES LAS ECUACIONES DE RECURRENCIA
QUEDAN DE LA SIGUIENTE MANERA:
x
x
x
( k 1)
1
( k 1)
2
k 1
3



b1  (a
b
 (a
2
( k )
2
x
12
21
x
 a
( k 1)
1
13
x
a
11
 a
23
a
b
3
 (a
31
x
( k 1)
1
 a
 
( k )
3
x
( k )
3
 a
 
1 n
 a
x
( k )
n
2 n
x
)
( k )
n
)
22
32
x
( k  2 )
2
 
 a
3 n
x
( k )
n
                  
                  
                  
x
( k 1)
n

b
n
 (a
n1
x
( k 1)
1
 a
n 2
x
( k 1)
2
a
nn
 
 a
n ,n 1
x
( k 1)
n 1

EL CRITERIO DE CONVERGENCIA ES
EL MISMO, PERO DEBIDO A QUE
PRACTICAMENTE
SE
LLEVA
UNA
ITERACIÓN
ADELANTADA
BASTARÁ
CON
LA
DE
QUE
PRIMERA
LAS
INCÓGNITAS ESTÉ EN TOLERANCIA
PARA QUE TODAS LAS DEMÁS LO
ESTEN.


TAREA 4.
POR LOS MÉTODOS DE GAUSS-JORDAN Y LU
RESUELVA, CON CUATRO CIFRAS DECIMALES CON
REDONDEO, LOS SISTEMAS:
4 X 1  3X 2
 24
3 X 1  4 X 2  X 3  30
 X 2  4 X 3  24

2X 1  3X 2  X 3
  15
3X 1  5X 2  2X 3
 12
X 1  3X 2  3X 3
 11
POR GAUSS-SEIDEL RESUELVA PARA UNA
TOLERANCIA MENOR O IGUAL A .001 LOS
SISTEMAS:
10 X 1  X 2  2 X 3  44
7 X 1  2 X 2  3 X 3  19
X 1  2 X 2  10 X 3  61
X1  8X 2  6X 3  9
2 X 1  10 X 2  X 3  51
2X1  4X 2  9X 3  5