Método de Gauss-Seidel Este es uno de los métodos más interesantes del análisis numérico y particularmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas. Para comenzar es preciso mencionar que es un método iterativo, es decir que debe aplicarse recursivamente hasta encontrar una solución adecuada o con un error considerablemente pequeño. En cada iteración obtenemos una solución posible del sistema con un error determinado, a medida que aplicamos nuevamente el método, la solución puede ser más precisa, entonces se dice que el sistema converge, pero si al aplicar el método reiteradas veces la solución tiene un error (ya explicaremos como se calcula este error) cada vez mayor se dice que el sistema no converge y no se puede resolver el sistema de ecuaciones por este método Desde la fórmula anterior resultan las fórmulas que se deberán ir aplicando en las diferentes iteraciones. Para comenzar a aplicar el método debemos asignar un valor arbitrario a las variables x2,…xn con el fin de obtener x1. Lo más conveniente en este caso es que los valores comiencen en cero, lo cual nos facilitaría el trabajo ya que se reduce el cálculo de las primeras soluciones, entonces de esto resulta que: El método de Gauss-Seidel es un procedimiento iterativo para hallar soluciones aproximadas a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales con una precisión arbitrariamente elegida. El método se aplica a matrices cuadradas con elementos no nulos en sus diagonales y la convergencia se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante. Fue creado por Carl Friedrich Gauss (1777-1855), el cual le hizo una demostración privada a uno de sus estudiantes en 1823. Posteriormente fue publicado formalmente por Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) en 1874, de ahí que lleve el nombre de ambos matemáticos. Para ilustrar en qué consiste el método de Gauss-Seidel tomaremos un caso sencillo, en el cual se puede encontrar los valores de X y Y en el sistema de ecuaciones lineales 2×2 que se muestra a continuación: 5X + 2Y = 1 X – 4Y = 0 Pasos a seguir 1- En primer lugar hay que determinar si la convergencia es segura. De inmediato se observa que, en efecto, se trata de un sistema diagonalmente dominante, ya que en la primera fila el primer coeficiente tiene mayor valor absoluto que los demás de la primera fila: |5|>|2| Igualmente, el segundo coeficiente de la segunda fila también es diagonalmente dominante: |-4|>|1| 2- Se despejan la variables X e Y: X = (1 – 2Y)/5 Y = X/4 3- Se coloca un valor inicial arbitrario, denominado “semilla”: Xo=1, Yo=2. 4-Comienza la iteración: para obtener la primera aproximación X1, Y1 se sustituye la semilla en la primera ecuación del paso 2 y el resultado en la segunda ecuación del paso 2: X1 = (1 – 2 Yo)/5 = (1 – 2×2)/5 = -3/5 Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20 5- Se procede en forma similar para obtener la segunda aproximación de la solución del sistema de ecuaciones: X2 = (1 – 2 Y1)/5 = (1 – 2x(-3/20))/5 = 13/50 Y2 = X2/4 = (13/50)/4 = 13/200 6- Tercera iteración: X3 = (1 – 2 Y2)/5 = (1 – 2 (13/200))/5 = 87/500 Y3 = X3 / 4 = (87/500)/4 = 87/2000 7- Cuarta iteración, como iteración final de este caso ilustrativo: X4 = (1 – 2 Y3)/5 = (1 – 2 (87/2000))/5 = 913/5000 Y4 = X4 / 4 = (913/5000)/4 = 913/20000 Estos valores coinciden bastante bien con la solución hallada mediante otros métodos de resolución. El método de Gauss-Seidel no se limita únicamente a sistema de ecuaciones lineales 2×2. Puede generalizarse el procedimiento anterior para resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, el cual se representa matricialmente así: AX=b Donde A es una matriz n x n, mientras X es el vector n componentes de las n variables a ser calculadas; y b es un vector que contiene los valores de los términos independientes. Para generalizar la secuencia de iteraciones aplicadas en el caso ilustrativo a un sistema n x n, del que quiere calcularse la variable Xi, se aplicará la siguiente fórmula: En esta ecuación: – k es el índice para el valor obtenido en la iteración k. -k+1 indica el nuevo valor en la siguiente. El número final de iteraciones queda determinado cuando el valor obtenido en la iteración k+1 difiere del obtenido inmediatamente antes, en una cantidad ε que es justamente la precisión deseada.
