FACTORIZACIÓN
Concepto
Observación
Factor primo:
Es aquel factor que se le
reconoce por:
• Presentar coeficientes
racionales.
• Es aquel que tiene por lo
menos una variable.
• Es divisible por si mismo y
por la unidad.
Es la operación que consiste en transformar un polinomio como una multiplicación indicada de sus factores
primos.
Factorización
x4 + 2x3 - 13x2 - 14x + 24 = (x + 4)(x - 3)(x + 2)(x - 1)
Multiplicación
Conteo de factores
Número de factores primos
Para calcularlo se considera solo las bases de los factores, estos deben contener a la variable.
Ejemplos:
• H(x) = 7x3y (x - 2y)(2x + 1)(x3 + 5)
• P(a,b) = ab3(a + 2)(b3 - 5)(a3 - 3b)
5 factores primos
5 factores primos
Número de factores totales (n.° factores)
Sea el polinomio:
R(x, y, z) = (x2 + a)m(y - 2b)n(z + c)p
Ejemplo:
B(x, y) = (x - y)3(2x + 1)(x - 3y2)3
& n.º factores = (3 + 1)(1 + 1)(3 + 1) = 32 factores
n.° factores = (m + 1)(n + 1) (p + 1)
Número de divisores o factores algebraicos (n.° factores alg.)
Estos divisores o factores solo consideran la
parte algebraica y ninguna constante.
Sea el polinomio factorizado:
R(x, y, z) = (x + 2)m
(y3 + u)n (z - 7)p
n.° factores alg. = (n + 1)(m + 1)(p + 1) - 1
Nota
El polinomio debe estar
expresado en función de sus
factores primos para hacer el
respectivo conteo de factores.
Ejemplo:
2x + 1
3y - 1
(2x + 1)2(3y - 1) (2x + 1)(3y - 1)
(2x + 1)2
(2x + 1)2(3y - 1)
Factores algebraicos totales
n.° factores alg. = (2 + 1)(1 + 1) - 1 = 5
Métodos de factorización
A) Factor común y/o agrupamiento de términos
Se emplea cuando todos los términos del polinomio tienen un factor en común o agrupando términos en forma
conveniente se logra obtener factores comunes.
Ejemplos:
• A(x,y) = x3y2 + 2xy2 + 2x2y
• B(x,y) = ax + by + bx + ay
= x(a + b) + y(b + a)
= (a + b)(x + y)
2
= xy (x y + 2y + 2x)
B) Identidades
I. Diferencia de cuadrados
II. Suma de cubos
m2 - n2 = (m + n)(m - n)
m3 + n3 = (m + n) (m2 - mn + n2)
Ejemplo:
8
6
Ejemplo:
42
32
4
3
4
3
• x - y = (x ) - (y ) = (x - y )(x + y )
• 27a3 + b3 = (3a)3 + (b)3
= (3a + b)(9a2 - 3ab + b2)
I. Diferencia de cuadrados
x
IV. Trinomio cuadrado perfecto (tcp)
m2 ! 2mn + n2 = (m ! n)2
m3 - n3 = (m - n)(m2 + mn + n2)
Ejemplo:
• 4x2b + 4xby + y2 = (2xb)2 + 2(2xb)y +y2
Ejemplo:
• a3b - b3a = (ab)3 - (ba)3
= (ab - ba)(a2b + abba + b2a)
Nota
Los factores reciben el
nombre de:
x + 1 : factor lineal
x2 + 1: factor cuadrático
= (2xb + y)2
C) Aspa simple
Válido para aquellas expresiones transformables a las siguientes formas:
Q(x) = Ax2n ! Bxn ! C
W(x;y) = Ax2m + Bxmyn ! Cy2n
; A,B y C ! 0, m, n ! Z+
Atención
Solución esquemática:
W(x;y) = Ax
2m
m n
Ejemplo:
• Factoriza: Z(x) = (x + 3)2 + 4x(x + 3) + 3x2
2n
+ Bx y +Cy
m
C1yn
A2C1xmyn +
A2xm
C2yn
A1C2xmyn
A1x
Resolución: Z(x) = (x + 3)2 + 4x(x + 3) + 3x2
x+3
3x
3x(x + 3)
x + 3 x x(x + 3)
4x(x + 3)
Z(x) = (x + 3 + 3x)(x + 3 + x)
Bxmyn
` W(x;y) = (A1xm + C1yn) (A2xm + C2yn)
Solo se realizará la factorización de polinomios en el
campo de los números racionales (Q).
(Coeficientes
enteros
o
fraccionarios).
A menos que nos indiquen lo
contrario.
` Z(x) = (4x + 3) (2x + 3)
Recuerda
D) Aspa doble
Válido para aquellos polinomios transformables a la siguiente forma:
V(x;y) = G.x2m + Hxmyn + I.y2n + Jxm + K yn + L.
A.x2m y C.y2n: términos fijos
; {m,n} ! Z+
Solución esquemática:
V(x,y) = Gx2m + Hxmyn + ly2n + Jxm + Kyn + L
G 1x m
l 1y n
(1)
G2xm
L1
(2)
(3)
l 2y n
L2
Verificación del 2.º, 4.º y 5.º término según el desdoblamiento conveniente de los factores primos.
(1) : (G1xm)(I2yn) + (G2xm)(I1yn) = (G1I2 + G2I1)xmyn = Hxmyn
(2): (I1yn)(L2) + (I2yn)(L1) = (I1L2 + I2L1)yn = Kyn
(3): (G1xm)(L2) + (G2xm)(L1) = (G1L2 + G2L1)xm = Jxm
Nota
Tomando la suma horizontal:
Verificamos:
` V(x;y) = (G1xm + I1yn + L1)(G2xm + I2yn + L2)
(1) 14x8y2 - 5x8y2 = 9x8y2
Ejemplo:
4
2
8 2
16
• Factoriza: L(x;y) = 1 - 10y - 3y + 9x y + 7x + 8x
16
8 2
4
8
8
2
Resolución: L(x;y) = 7x + 9x y - 10y + 8x - 3y + 1
7x8
-5y2
(1)
1x8
(3)
2y2
1
(2)
1
(2) -5y2 + 2y2 = -3y2
(3) 7x8 + x8 = 8x8
Suma horizontal:
` L(x;y) = (7x8 - 5y2 + 1)(x8 + 2y2 + 1)
En este método, si falta algún
término, se completará con
ceros.
• G.x2m, I .y2n, L.: términos
fijos.
Tomamos la suma horizontal:
E) Aspa doble especial
Nota
• En este método se completa con ceros si falta algún
término.
Términos fijos: G.x4n, .K
Se emplea para factorizar expresiones:
`T(x) = (G1x2n + Z1xn + K1)(G2x2n + Z2xn + K2)
T(x) = Gx4n + Hx3n + Ix2n + Jxn + K
Ejemplo:
• Factoriza: D(x) = 3+10x4 + 14x8 + x6
Solución esquemática:
T(x) = Gx4n + Hx3n + Ix2n + Jxn + k
G 1x
2n
Z1x
(2)
G 2x
2n
n
K1
n
(2)
K2
2x
Comprobamos:
Recuerda
Coeficiente principal: es aquel
coeficiente de la variable con
MAYOR EXPONENTE.
mayor exponente
P(x) = 3x5 + 5x10 + 3x - 1
Coeficiente principal 5.
-3x2
7x4
(3)
(1)
Z2x
Solución:
D(x) = 14x8 + x6 + 10x4 + 0x2 + 3
(1)
4
x
2
3
(3)
1
Comprobamos:
(Z1xn)
(1) 6x4 + 7x4 = 13x4 & falta: -3x4 = (-3x2)(x2)
(1) G2K1x2n + G1K2x2n = Sx2n & Ix2n - Sx2n = Zx2n
(Z xn)
2
(2) G1Z2x3n + G2Z1x3n = Hx3n
6
6
(3x2) (-x2)
6
(2) -6x + 7x = x
(3) 3x2 - 3x2 = 0x2
(3) Z1K2xn + Z2K1xn = Jxn
` D(x) = (7x4 - 3x2 + 3)(2x4 + x2 + 1)
F) Divisores binomios (Evaluación binómica)
Se emplea para factorizar polinomios solo de una variable, este polinomio puede ser de cualquier grado.
Como su nombre lo indica, admiten factores lineales de la forma: ax±b
Se emplea el criterio de divisibilidad:
a es un cero de P(x) + P(a) = 0
Luego: (x - a) es un divisor o factor de
P(x) (teorema del factor)
Caso general de obtener dos posibles ceros racionales (PCR)
PCR = !
Divisores del término independiente de x en P(x)
Divisores del coeficiente principal en P(x)
Procedimiento:
i) Determina los PCR
ii) Deducir el factor que anula al polinomio: “a” es cero & P(a) = 0 & (x - a) es un factor.
Observación
El número de ceros debe
coincidir con el grado del
polinomio.
iii) Aplica el método de Ruffini y asi determina el otro factor. Este método lo emplearás tantas veces como ceros
tenga el polinomio.
Ejemplo:
Factoriza:
P(x) = x3 + 6x2 + 3x -10
iii) P(x) ' (x - 1)
1
Resolución:
i) PCR = ! {1;2;5;10}
1
ii) Determinamos el cero del polinomio:
3
2
x = 1 & P(1) = (1) + 6(1) + 3(1) - 10=0
(CERO)
“1” es un cero del polinomio & (x - 1) es un factor
6
1
3 -10
7 10
1 7 10
2.º 1.º 0.º
0
P(x) = (x - 1)(x2 + 7x + 10)
x 5
2
x
` P(x) = (x - 1)(x + 5)(x + 2)
