03TallerPotenciaLogaritmo

Universidad
de Ibagué
— Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas
Comprometidos con el desarrollo regional
Fundamentos de Matemáticas
Taller – Potencias y Logaritmos
1. Exprese en forma de logaritmo las siguientes igualdades:
(a) 42 = 16
(c) 22 x2 = 32
(e) 8x = 12
(b) e3x = 7
(d) 32 x = 3
(f) 5z π = e
2. Exprese en forma exponencial las siguientes igualdades:
(a) log4 16 = 2
(b) logx n = y
(c) log 1000 = x
(d) loga a2 = 2
(e) log(1/2) (1/8) = 3
(f) log(p/q) (q/p) = −1
(g) log(x−y) (x3 − 3x2 y +
3xy 2 − y 3 ) = 3
3. Calcule el valor de x para las siguientes expresiones:
(a) log4 x = 1
(c) logx 27 = 3
(e) log(36/25) (6/5) = x
(b) log(9/16) x = 3/2
(d) logx (1/4) = −2
(f) log(6) (4x) = 5/6
4. Expanda las siguientes expresiones utilizando las propiedades de logaritmos:
2 4√ b c
(a) log(2ab)
(d) log (a5 b4 )
(g) log 5a2xy
√
(e) log 2a b
(b) log 3a
4
2
√
√ √
3
x3y
2a
3a b
√
(c) log 3
(f) log
(h) log 4 zw
c
5. Aplicando las propiedades de los logaritmos, reducir a la mı́nima expresión logarı́tmica
las siguientes expresiones:
(a) log(a) + log(b) + log(c)
(e) log(2) + log(3) + log(4)
(b) log(x) − log(y)
(f) log(p) + log(q) − log (log(r)) − log(s)
(c) 2 log(x) − 3 log(y)
(g)
(d) log(a) − log(x) − log(y)
1
2
log(x) + 3 log(y)
(h) log 12 + log(16) − log(1/4)
6. Aplicando sólo las propiedades de los logaritmos, reducir a la mı́nima expresión lo siguiente:
2
q p
−2 √ √
5 √ 125
(a) ln x y(m+n)
(e)
log
5
(c) log2 2 2 2 2
m·n
25 3 625
ab 3√
−1 √ 3
2 √3 32
5 5
(b) log5 51/a 51/b
(d) log2 24 128
(f) log3 33−2 8132
7. Argumente por qué a en y = loga x no puede ser igual a 1 (a 6= 1).
20 de febrero de 2017
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8. Considere la expresión y = 3x . Encuentre los valores de y para x = −8, −6, −5,
y 72 .
(a) ¿Qué ocurre con y si x < 0?
(b) ¿Qué ocurre con y si 0 < x < 1?
(c) ¿Qué ocurre con y si x > 1?
10 1 2 10 5
, , , ,
33 2 3 9 3
(d) Escriba una conjetura que relacione el
valor de la base y el valor del exponente si este es mayor o menor que 1.
Justifique su respuesta.
9. Deacuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, la diferencia entre la temperatura de
un objeto y su entorno decrece exponencialmente en el tiempo. Suponga que una taza de
café está inicialmente (t = 0) a 95◦ C y se encuentra en un cuarto a 20◦ C. Podemos modelar
la diferencia de temperatura de esta taza como ∆T = 75(0,875)t donde ∆T = T0 − Tt es
la diferencia de temperatura y t el tiempo (en minutos).
(a) Encuentre la temperatura del café luego de 15 min (R. 84,9◦ C).
(b) Grafique la diferencia de temperatura.
10. De acuerdo a la ley de decaimiento radioactivo simple, la cantidad de elemento se reduce
a la mitad cada cierto tiempo, conocido como periodo de semidesintegración o semivida.
Si la semivida de la Kriptonita es de 4000 años, y Superman ha sido encadenado con
grilletes de Kriptonita, los cuales tienen una masa de 10 kilogramos, para cuando los
grilletes tengan una masa inferior a 1.3 kilogramos, estos se partirán por el efecto de la
gravedad. ¿Cuántos años deben transcurrir para que Superman pueda escapar?. Justifique
su respuesta.
11. En la música occidental se dividen las posibles frecuencias en porciones llamadas octavas,
y cada octava en 12 partes llamadas notas. Cada nota de una octava tiene exactamente
la mitad de frecuencia que la misma nota en la octava superior. Teniendo en cuenta como
referencia la frecuencia de afinación de 440 hertz (nota de la en cuarta octava), la función
que permite hallar la frecuencia de las otras notas es:
n−10
f (θ, n) = 440e((θ−4)+ 12 )Ln(2)
En la cual θ es la octava, n es la nota y f la frecuencia en unidades de hertz. Las notas
en orden de menor a mayor son Do=1, Do#=2, Re=3, Re#=4 , Mi=5, Fa=6, Fa#=7,
Sol=8, Sol#=9, La=10, La#=11, Si=12, donde el # significa sostenida.
Si un violı́n tiene su nota de La a 3520 hertz, ¿estará bien afinado si los demás instrumentos
se afinaron a 440 hertz?. Justifique su respuesta.
20 de febrero de 2017
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