APLICACIÓN DE DERIVADAS Función creciente y decreciente Una gráfica que sube tiene una derivada positiva ☺ f’(x) > 0 Una grafica que baja tiene una derivada negativa. f´(x) < 0 Función creciente y decreciente Una gráfica que sube tiene una derivada positiva ☺ f’(x) > 0 Una grafica que baja tiene una derivada negativa. f´(x) < 0 Cuando la pendiente de la tangente es positiva, la función crece; y cuando la pendiente de la tangente es negativa, la función decrece. 1 1 2 2 𝑥 = ′ 𝑥 − 4𝑥 + 1 + 𝑥 − 4𝑥 + 1 ′ 2 2 1 ′ 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 4 2 2𝑥 − 4 ′ 𝑓 𝑥 = 2 2 𝑥−2 ′ 𝑓 𝑥 = 2 𝑓′ 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 − 2 Como , o sea si , entonces f es creciente cuando Como , o sea si , entonces f es decreciente cuando . . Determina los intervalos creciente y decreciente para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 si 𝑓′ 𝑥 = 0 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 4 𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 𝑦 = −22 + 4(−2) − 5 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 4 = 0 2𝑥 = −4 𝑥 = −4/2 𝑥 = −2 𝑦 =4−8−5 𝑦 = −9 Cuando f’(x) < -2 la gráfica es decreciente. Cuando f’(x) > -2 la gráfica es creciente. El punto crítico de la función es (-2,-9) D B Máximos y Mínimos Relativos Los máximos y mínimos son los PUNTOS CRÍTICOS de la gráfica. En ellos la derivada es cero porque la pendiente de la tangente es cero. En ellos la derivada es paralela a x. A C Punto máximo relativo: punto cuyos vecinos inmediatos son menores en el eje de y. f’(x) antes de el es positiva y f’(x) después de el es negativa. Punto mínimo relativo: punto cuyos vecinos inmediatos son mayores en el eje de y. f’(x) antes de el es negativa y f’(x) después de el es positiva. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 El punto crítico de la función es (-2,-9) (C, d) es un máximo relativo y que está definida. es un valor mínimo relativo y es el máximo valor que toma la función en el intervalo en es el mínimo de la función en ese intervalo. El punto crítico de la función es (-2,3) 1 2 𝑓 𝑥 = − (𝑥 + 4𝑥 − 8ቇ 4 𝑓′ 𝑥 = (𝑥 2 1 4 + 4𝑥 − 8)′(− ) 1 4 𝑓′ 𝑥 = (2𝑥 + 4)(− ) ′ 𝑓 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑓′ 𝑥 2𝑥 + 4 =− 4 2(−2) + 4 =− 4 −4 + 4 =− 4 =0 Compruebas que es un punto crítico si al reemplazar x tienes una f’(x) = 0 TEOREMA 1: Si 𝑓 𝑐 es un valor máximo relativo, entonces 𝑓′ 𝑐 = 0 El punto crítico de la función es (3, -2) 𝑓 𝑥 = (𝑥 2 − 6𝑥 + 7) 𝑓′ 𝑥 = (2𝑥 − 6) 𝑓′ 𝑥 = 2(3) − 6 𝑓′ 𝑥 = 0 Compruebas que es un punto crítico si al reemplazar x tienes una f’(x) = 0 TEOREMA 2: Si 𝑓 𝑐 es un valor mínimo relativo, entonces 𝑓′ 𝑐 = 0 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = −2𝑥 = 0 𝑥=0 El punto crítico de la función es (0, 4) y = 4 − 𝑥2 y = 4 − (0)2 y=4 Para encontrar el punto crítico si no tienes la gráfica: 1. Calculas f’(x) 2. Igualas f’(x)=0 3. Despejas x 4. Reemplazas x en f(x) para encontrar y Criterios de la segunda derivada La función tiene un máximo si f’’(x) < 0 La función tiene un mínimo si f’’(x) > 0 F’’(x) te dice si el punto crítico es un máximo o un mínimo El punto (5, 5) es un MÍNIMO 𝑓 𝑥 = 4 + 3𝑥 − 𝑥 3 𝑓 ′ 𝑥 = 3 − 3𝑥 2 = 0 3(1 − 𝑥 2 ) = 0 1 − 𝑥2 = 0 −𝑥 2 = −1 𝑥2 = 1 𝑥 = √1 𝑥 = ±1 𝑓 𝑥 = 4 + 3𝑥 − 𝑥 3 y = 4 − 3𝑥 − 𝑥 3 Los puntos críticos de la función son (1, 6) y (-1,2) y = 4 − 3(1) − (1)3 𝑦=6 𝑓 𝑥 = 4 − 3𝑥 − 𝑥 3 y = 4 − 3𝑥 − 𝑥 3 y = 4 − 3(−1) − (−1)3 𝑦=2 𝑓 ′ 𝑥 = 3 − 3𝑥 2 = 0 𝑓 ′′ 𝑥 = −6𝑥 𝑓 ′′ 𝑥 = −6(1) 𝑓 ′′ 𝑥 = −6 𝑓 ′′ 𝑥 = −6𝑥 𝑓 ′′ 𝑥 = −6(−1) El punto (1,6) es un MÁXIMO 𝑓 ′′ 𝑥 = 6 El punto (-1,2) es un MÍNIMO Concavidad y Convexidad Una función es CONCAVA si f’(x) cambia de negativa a positiva. Una función es CONVEXA si f’(x) cambia de positiva a negativa. Concavidad y Convexidad Una función es CÓNCAVA si todos los puntos estan situados encima del punto crítico. Una función es CONVEXA si todos los puntos estan situados por debajo del punto crítico. Concavidad y Convexidad Una función es CÓNCAVA si f’’(x) > 0 Una función es CONVEXA si f’’(x) < 0 F’’(x) te dice si en ese punto hay concavidad o convexidad • F’’(x) > 0 el punto es mínimo y ahí la función es cóncava • F’’(x)< 0 el punto es un máximo y ahí la función es convexa 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 2 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2 = 0 2𝑥 = −2 𝑥 = −1 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 2 𝑓′ −2 = 2(−2) + 2 = −4 + 2 = −2 El punto crítico de la 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 función es (-1, -4) y = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 y = (−1)2 +2(−1) − 3 y =1−2−3 y = −4 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 2 𝑓′ 0 = 2(0) + 2 = +2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 2 𝑓 ′′ 𝑥 = 2 El punto (-1,-4) es un MÍNIMO y es CÓNCAVA Punto de Inflexión Punto en el que la derivada es 0. Punto en que f’(x) cambia de signo. Confirmas que es un punto de inflexion si la tercera derivada es distinta de cero, o sea, si existe! 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 Los puntos críticos de la función son (√3, -9); (−√3,-9); (0,0) 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 3 − 12𝑥 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 3 − 12𝑥 = 0 4𝑥(𝑥 2 − 3) = 0 4𝑥 = 0 𝑥2 − 3 = 0 𝑥2 = 3 𝑥 = ±√3 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = 𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑥=0 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = (√3)4 −6( 3)2 y = (−√3)4 −6(− 3)2 y = −9 y = −9 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = (0)4 −6(0)2 y=0 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 3 − 12𝑥 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 12 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 2 − 12 = 0 12𝑥 2 = 12 𝑥2 = 1 𝑥 = ±1 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = (1)4 −6(1)2 y=1−6 y = −5 Para buscar los puntos de inflexión: 1. Calculas f’(x) 2. Calculas f’’(x) 3. Igualas f’’(x) = 0 4. Despejas x 5. Reemplazas x en f(x) para encontrar y 𝑥4 − 6𝑥 2 𝑓 𝑥 = y = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = (−1)4 −6(−1)2 y=1−6 y = −5 Los puntos de inflexión de la función son (1,-5) y (-1,-5) 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 12 𝑓 ′′ ′ 𝑥 = 24𝑥 Compruebas que es un punto de inflexión si existe f’’’(x) P. Crítico 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 Los puntos de inflexión de la función son (1,-5) y (-1,-5) 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 3 − 12𝑥 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 12 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 2 − 12 = 0 12𝑥 2 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 12 𝑓 ′′ ′ 𝑥 = 24𝑥 = 12 𝑥2 = 1 𝑥 = ±1 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = (1)4 −6(1)2 y=1−6 y = −5 P. Inflexión 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = 𝑥 4 − 6𝑥 2 y = (−1)4 −6(−1)2 y=1−6 y = −5 P. Crítico P. Inflexión P. Crítico Taller: Para las siguientes funciones determine los puntos críticos (máximos y mínimos relativos), puntos de inflexión, intervalos de concavidad y convexidad e intervalos crecientes y decrecientes. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 4 𝑓 𝑥 = 3𝑥 4 − 4𝑥 3 − 12𝑥 2 Máximo: (0,0) Mínimos: (-1,-5) (2,-32) Inflexión (1.2,-17.97) (0.53, -3.73) Máximo: (1,1) Mínimos: (2, 0) Inflexión (1.5, 0.5) Un investigador está probando la acción de un fármaco sobre una bacteria. Ha averiguado que el número de bacterias, N , varía con el tiempo, t en horas, una vez suministrado el fármaco, según la función: a) ¿Cuántas bacterias había en el momento de suministrar el medicamento? ¿Y al cabo de 10 horas? b) En esos momentos, ¿El número de bacterias está creciendo o disminuyendo? 𝑁 𝑡 = 20𝑡 3 − 510𝑡 2 + 3600𝑡 + 2000 N′(t) = 60𝑡 2 − 1020t + 3600 N′(0) = 60 0 N′(0) = 3600 2 − 1020(0) + 3600 En el momento inicial, el número de bacterias está creciendo a un ritmo de 3600 bacterias/hora. N′(t) = 60𝑡 2 − 1020t + 3600 N′(10) = 60 10 2 − 1020(10) + 3600 N′(10) = 6000 − 10200 + 3600 N′ 10 = −600 A las 10 horas el número de bacterias está disminuyendo a un ritmo de 600 bacterias/hora. c) ¿En qué momento la acción del fármaco es máxima? N′(t) = 60𝑡 2 − 1020t + 3600 N′′ t = 120t − 1020 = 0 120t = 1020 t = 1020/120 t = 8.5 𝑁 𝑡 = 20𝑡 3 − 510𝑡 2 + 3600𝑡 + 2000 N = 20𝑡 3 − 510𝑡 2 + 3600𝑡 + 2000 N = 20(8.5)3 −510 8.5 2 + 3600 8.5 + 2000 N = −735 A las 8 horas y media de administrar el medicamento, el número de bacterias está decreciendo a un ritmo de 735 bacterias/hora, que es cuando más eficaz está siendo. Desde un punto de vista físico: • F’(x) es velocidad • F’’(x) es aceleración • Se quiere estudiar la velocidad de reacción de dos fármacos. Sea C (gr/dl) la concentración del fármaco en sangre y t (en horas) el tiempo transcurrido después de ser inyectado por vía intravenosa. ¿Cuál de los dos fármacos alcanza su máxima concentración en menor tiempo? Se dan las siguientes reacciones: 𝟑 o Para el fármaco 1: 𝑪𝟏 = 𝒕 − 𝟑𝒕 𝟑 o Para el fármaco 2: 𝑪𝟐 = 𝟒𝟖𝒕 − 𝒕 b) ¿Cuándo se produce la mayor ganancia? ¿Cuál es esa ganancia? c) ¿Cuanto más tiempo se permanezca jugando, ¿es mayor la ganancia que se obtiene? d) ¿A qué ritmo varía la función a los 10 minutos de juego? ¿Y a los 40 minutos? ¿Y a las 2 horas? RESOLUCIÓN: a) G(10) = 200 G(60) 150 b) A los 20 minutos de juego se están ganando 250 c) No, puesto que la función decrece a partir de los 20 minutos de juego. El punto es máximo y la función convexa, a partir de el la función decrece. d) G’(10)=12 G’(40)=-3 G’(120)=-0,64 Es decir, a los 10 minutos de juego se está ganando a razón de 12/min, a los 40 minutos se está perdiendo a un ritmo de 3/min y a las dos horas el ritmo de pérdida es más lento, 0,64/min. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas RESOLUCIÓN La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por: r = 300t (1−t). Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide: 1 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo? 2 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? RESOLUCIÓN 1.El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1). 2.El rendimiento máximo es un 75% a la media hora. La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = 0.01x³− 0.45x² + 2.43x + 300 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último. RESOLUCIÓN 1.La máxima cotización fue de 303.51 el día 3. 2. La mínima cotización fue de 234.39 el día 27.
