Ingeniería en Control y Automatización Introducción al control retroalimentado Reseña histórica TEORÍA DEL CONTROL III 06 de agosto de 2018 Autor: M. en C. Rubén Velázquez Cuevas Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Introducción al control retroalimentado Reseña histórica El control por realimentación es el mecanismo básico mediante el cual los sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos o biológicos, mantienen su equilibrio u homeóstasis. La homeostasis de un sistema se mantiene mediante el uso del control retroalimentado. Según la teoría de C.R. Darwin, la retroalimentación durante largos períodos de tiempo es la responsable de la evolución de las especies que se han ido adaptando según sus necesidades y su entorno. El control por realimentación se puede definir como el uso de la diferencia de señales, que se obtienen comparando los valores reales de las variables del sistema con sus valores deseados, como un medio para controlar un sistema. Un ejemplo cotidiano de un sistema de control de retroalimentación es el uso de los sentidos para regular o corregir cualquier acción determinada como, regular la temperatura del agua mediante el sentido del tacto y la apertura a o cierre del grifo. En general, como la salida del sistema se usa para regular su entrada, se dice que dicho dispositivo es un sistema de control de circuito cerrado. En estas notas se estudia el uso de la teoría de control clásica para diseñar sistemas de control retroalimentados. Por lo tanto, no hay que preocuparse por los sistemas naturales de control, como los que ocurren en los organismos vivos o en la sociedad, sino con sistemas de control hechos por el hombre, como los que se utilizan para controlar aeronaves, automóviles, satélites, robots y procesos industriales. El control de retroalimentación es una disciplina de ingeniería y como tal, su progreso está estrechamente relacionado con los problemas prácticos que deben resolverse durante cualquier fase de la historia de la humanidad. Introducción al control retroalimentado | 06 de agosto de 2018 El nacimiento de la teoría del control matemático y su evolución 1 El diseño de los sistemas de control de retroalimentación hasta antes de la Revolución Industrial fue por ensayo y error junto con una gran cantidad de intuición de ingeniería. Por lo tanto, era más un arte que una ciencia. A mediados de 1800, las matemáticas se usaron por primera vez para analizar la estabilidad de los sistemas de control de retroalimentación. Dado que las matemáticas son el lenguaje formal de la teoría del control automático, el período anterior a este momento se le considera preliminar a la teoría del control. En 1840, el astrónomo real británico en Greenwich, G. B. Airy, desarrolló un dispositivo de retroalimentación para apuntar un telescopio. Su dispositivo era un sistema de control de velocidad que giraba el telescopio automáticamente para compensar la rotación de la tierra, y permitía estudiar una estrella determinada durante un tiempo prolongado. Airy descubrió que mediante el diseño inadecuado del circuito de control de retroalimentación, se introducen oscilaciones no deseadas en el sistema. Fue el primero en discutir la inestabilidad de los sistemas de circuito cerrado, y el primero en usar ecuaciones diferenciales en su análisis [Airy 1840]. La teoría de ecuaciones diferenciales estaba entonces bien desarrollada, debido al descubrimiento del cálculo infinitesimal por I. Newton (1642-1727) y G.W. Leibniz (1646-1716) y el trabajo de los hermanos Bernoulli (finales de 1600 y principios de 1700), J.F. Riccati (1676-1754) y otros. El uso de ecuaciones diferenciales en el análisis del movimiento de los sistemas dinámicos fue establecido por J.L. Lagrange (1736-1813) y W.R. Hamilton (1805-1865). Posteriormente, el trabajo inicial en el análisis matemático de los sistemas de control fue en términos de ecuaciones diferenciales. J.C. Maxwell analizó la estabilidad del gobernador flyball de Watt [Maxwell 1868]. Su técnica consistió en linealizar las ecuaciones diferenciales de movimiento para encontrar la ecuación característica del sistema. Estudió el efecto de los parámetros del sistema sobre la estabilidad y mostró que el sistema es estable si las raíces de la ecuación característica tienen partes reales negativas. Con el trabajo de Maxwell podemos decir que la teoría de los sistemas de control estaba firmemente establecida. E.J. Routh proporcionó una técnica numérica para determinar cuándo una ecuación característica tiene raíces estables [Routh 1877]. El Ruso I. I. Vishnegradsky [1877] analizó la estabilidad de los reguladores usando ecuaciones diferenciales independientemente de Maxwell. En 1893, A. B. Stodola estudió la regulación de una turbina de agua usando las técnicas de Vishnegradsky. Él modeló la dinámica del actuador e incluyó el retraso del mecanismo actuador en su análisis. Fue el primero en mencionar la noción de la constante de tiempo del sistema. Sin darse cuenta del trabajo de Maxwell y Routh, planteó el problema de determinar la estabilidad de la ecuación característica de A. Hurwitz [1895], quien la resolvió de forma independiente. El trabajo de A.M. Lyapunov fue fundamental en la teoría de control. Estudió la estabilidad de ecuaciones diferenciales no lineales utilizando una noción generalizada de energía en 1892 [Lyapunov 1893]. Desafortunadamente, aunque su trabajo se aplicó y continuó en Rusia, el tiempo no estaba maduro en Occidente para su teoría elegante, y permaneció desconocido allí hasta aproximadamente 1960, cuando finalmente se realizó su importancia. El ingeniero británico O. Heaviside inventó el cálculo operativo en 1892 – 1898. Estudió el comportamiento transitorio de los sistemas, introduciendo una noción equivalente a la de la función de transferencia. Es dentro del estudio de los sistemas que la teoría del control retroalimentado tiene su lugar en la organización del conocimiento humano. Por lo tanto, el concepto de un sistema como una entidad dinámica con “entradas” y “salidas” definidas que lo unen a otros sistemas y al medio ambiente era un requisito previo clave para el desarrollo posterior de la teoría de control automático. El análisis matemático de los sistemas de control se había llevado a cabo utilizando ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo. Sin embargo, durante los años 1920 y 1930, los enfoques del dominio de la frecuencia fueron desarrollados en Bell Telephone Laboratories por: P. S. de Laplace (1749-1827), J. Fourier (1768-1830), A.L. Cauchy (1789-1857); mientras que otros fueron explorados y utilizados en los sistemas de comunicación. Un problema importante con el desarrollo de un sistema de comunicación masiva que se extiende a largas distancias es la necesidad de amplificar periódicamente la señal de voz en las líneas telefónicas. Desafortunadamente, a menos que se tenga cuidado, no solo se amplifica la información sino también el ruido. Por lo tanto, el diseño de amplificadores repetidores adecuados es de primordial importancia. Para reducir la distorsión en los amplificadores de repetidor, H.S. Black demostró la utilidad de la retroalimentación negativa en 1927 [Black 1934]. El problema de diseño fue introducir un cambio de fase en las frecuencias correctas en el sistema. La teoría de la regeneración para el diseño de amplificadores estables fue desarrollada por H. Nyquist [1932]. Derivó su criterio de estabilidad Nyquist basado en la traza polar de una función compleja. Por otro lado, H. W. Bode en 1938 utilizó los diagramas de fase y magnitud para analizar la respuesta en frecuencia de una función compleja [Bode 1940]. Así mismo, investigó la estabilidad de lazo cerrado utilizando las nociones de margen de ganancia y margen de fase. A medida que las comunicaciones masivas y los modos de viaje más rápidos hicieron que el mundo fuera más pequeño, hubo mucha tensión cuando los hombres probaron su lugar en una sociedad global. El resultado fue la Guerra Mundial, durante la cual el desarrollo de sistemas de control de retroalimentación se convirtió en una cuestión de supervivencia. Un problema militar importante durante este período fue el control y la navegación de los buques, que se estaban volviendo más avanzados en su diseño. Entre los primeros desarrollos fue el diseño de sensores para el control de lazo cerrado. En 1910, E. A. Sperry inventó el giroscopio, que usó en la estabilización y dirección de barcos, y más tarde en el control de la aeronave. N. Minorsky [1922] introdujo su controlador de tres términos para la dirección de barcos, convirtiéndose así en el primero en utilizar el controlador proporcional – integral – derivado (PID). Consideró los efectos no lineales en el sistema de circuito cerrado. Un problema principal durante el período de las Guerras Mundiales fue el de apuntar con precisión las armas a bordo del barco y la aeronave en movimiento. Con la publicación de “Theory of Servomechanisms” por H. L. Házen [1934], se inició el uso de la teoría del control matemático en tales problemas. En su artículo, Házen acuñó la palabra servomecanismos, que implica una relación maestro / esclavo en los sistemas. La bomba Norden, desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial, usó repetidores sincronizados para transmitir información sobre la altitud y la velocidad de la aeronave y los disturbios del viento a la visión de la bomba, asegurando la entrega precisa de armas. Introducción al control retroalimentado | 06 de agosto de 2018 El análisis en el dominio de la frecuencia 2 Introducción al control retroalimentado | 06 de agosto de 2018 Para estudiar los problemas de control y procesamiento de la información, asociados con el radar recién inventado, se estableció el Laboratorio de Radiación en el Instituto de Tecnología de Massachusetts en 1940. Gran parte del trabajo en teoría de control durante la década de 1940 salió de este laboratorio. Mientras trabajaba en un proyecto conjunto de M.I.T / Sperry Corporation en 1941, A.C. Hall reconoció los efectos nocivos de ignorar el ruido en el diseño del sistema de control. Se dio cuenta de que la tecnología de dominio de la frecuencia desarrollada en los Laboratorios Bell podría emplearse para enfrentar los efectos del ruido, y utilizó este enfoque para diseñar un sistema de control para un radar aerotransportado. Este éxito demostró de manera concluyente la importancia de las técnicas de dominio de frecuencia en el diseño del sistema de control [Hall 1946]. Usando enfoques de diseño basados en la función de transferencia, el diagrama de bloques y los métodos de dominio de frecuencia, hubo un gran éxito en el diseño de controles en Radiation Lab. En 1947, N. B. Nichols desarrolló su Nichols Chart para el diseño de sistemas de retroalimentación. Con el M.I.T. trabajo, la teoría de los servomecanismos lineales estaba firmemente establecida. Un resumen de M.I.T. El trabajo del Laboratorio de Radiación se proporciona en Theory of Servomechanisms [James, Nichols y Phillips, 1947]. Trabajando en North American Aviation, W.R. Evans [1948] presentó su técnica del lugar geométrico de las raíces, que proporcionaba una forma directa de determinar las ubicaciones de los polos de lazo cerrado en el plano s. Posteriormente, durante la década de 1950, gran parte del trabajo control de se centró en el plano s, y en la obtención de características deseables de respuesta de paso en lazo cerrado en términos de tiempo de subida, porcentaje de sobreimpulso, etc. En este momento, la teoría del control automático que usa técnicas de dominio de la frecuencia ha alcanzado la mayoría de edad, y se ha establecido a sí misma como un paradigma (en el sentido de Kuhn [1962]). Por un lado, se había establecido una teoría matemática firme para los servomecanismos, y por el otro, se proporcionaban técnicas de diseño de ingeniería. El período posterior a la Segunda Guerra Mundial se puede llamar el período clásico de la teoría de control. Se caracterizó por la aparición de los primeros libros de texto [MacColl 1945; Lauer, Lesnick y Matdon, 1947; Brown y Campbell 1948; Chestnut y Mayer 1951; Truxall 1955], y con sencillas herramientas de diseño que proporcionaron una gran intuición y soluciones garantizadas para los problemas de diseño. Estas herramientas se aplicaron utilizando cálculos manuales, o como máximo reglas de diapositivas, junto con técnicas gráficas. 3 Con el advenimiento de la era espacial, el diseño de controles en los Estados Unidos se alejó de las técnicas de dominio de frecuencia de la teoría de control clásica y de vuelta a las técnicas de ecuaciones diferenciales de finales de 1800, que se expresaron en el dominio del tiempo. Las razones de este desarrollo se debieron a que el enfoque de dominio de frecuencia fue apropiado para sistemas lineales invariantes en el tiempo. Es lo mejor cuando se trata de sistemas de entrada única / salida única (SISO: single input / single output), ya que las técnicas gráficas no eran convenientes para aplicar con múltiples entradas y salidas. El diseño de controles clásicos tuvo algunos éxitos con los sistemas no lineales. Usando las propiedades de rechazo de ruido de las técnicas de dominio de frecuencia, se puede diseñar un sistema de control que sea robusto a las variaciones en los parámetros del sistema y a los errores de medición y las perturbaciones externas. Por lo tanto, las técnicas clásicas pueden usarse en una versión linealizada de un sistema no lineal, dando buenos resultados en un punto de equilibrio sobre el cual el comportamiento del sistema es aproximadamente lineal. Las técnicas de dominio de frecuencia también se pueden aplicar a sistemas con tipos simples de no linealidades utilizando el enfoque de función descriptiva, que se basa en el criterio de Nyquist. Esta técnica fue utilizada por primera vez por el polaco J. Groszkowski en el diseño del transmisor de radio antes de la Segunda Guerra Mundial y formalizada en 1964 por J. Kudrewicz. Desafortunadamente, no es posible diseñar sistemas de control para sistemas multivariables no lineales avanzados, como los que surgen en aplicaciones aeroespaciales, utilizando el supuesto de linealidad y tratando los pares de transmisión entrada / salida de uno en uno. En la Unión Soviética, hubo una gran actividad en el diseño de controles no lineales. Siguiendo el ejemplo de Lyapunov, la atención se centró en las técnicas del dominio del tiempo. En 1948, Ivachenko investigó el principio del control de relés, donde la señal de control se conmuta de forma discontinua entre valores discretos. Tsypkin usó el plano de fase para el diseño de controles no lineales en 1955. V.M. Popov [1961] proporcionó su criterio de círculo para el análisis de estabilidad no lineal. La filosofía del control clásico Un sistema real tiene perturbaciones y ruido de medición, y no puede describirse exactamente por el modelo matemático que el ingeniero está utilizando para el diseño. La teoría clásica es natural para el diseño de sistemas de control que sean robustos para tales perturbaciones, ofreciendo un buen rendimiento de lazo cerrado a pesar de ellos. El diseño robusto se lleva a cabo usando nociones como el margen de ganancia y fase. En la estructura de control generalmente se utilizan compensadores simples como el proporcional – integral – derivativo (PID), adelanto – atraso o filtros derivativos. Los efectos de tales filtros en los diagramas Nyquist, Bode y lugar de las raíces son fáciles de entender, de modo que se puede seleccionar una estructura de compensador adecuada. Una vez diseñado, el compensador se puede sintonizar fácilmente en línea. Otro concepto fundamental en el control clásico es la capacidad de describir las propiedades de lazo cerrado en términos de propiedades de lazo abierto, que son conocidas o fáciles de medir. Por ejemplo, los diagramas de Nyquist, Bode y lugar de las raíces están en términos de la función de transferencia de lazo abierto. Nuevamente, las propiedades de rechazo de perturbaciones de lazo cerrado y el error de estado estacionario se pueden describir en términos de la diferencia y sensibilidad de retorno. La teoría del control clásico es difícil de aplicar en sistemas de múltiples entradas / salidas múltiples (MIMO) o de lazos múltiples. Debido a la interacción de los bucles de control en un sistema multivariable, cada función de transferencia de entrada única / salida única (SISO) puede tener propiedades aceptables en términos de respuesta de paso y robustez, pero el movimiento de control coordinado del sistema puede no ser aceptable. Por lo tanto, el diseño clásico MIMO o multilazo requiere un esfuerzo minucioso utilizando el enfoque de cerrar un lazo a la vez mediante técnicas gráficas. Por ejemplo, se debe trazar un lugar de raíz para cada elemento de ganancia, teniendo en cuenta las ganancias previamente seleccionadas. Este es un procedimiento de prueba y error que puede requerir varias iteraciones y no garantiza buenos resultados, ni siquiera estabilidad en lazo cerrado. El control clásico en la actualidad A pesar de sus limitaciones, las técnicas de control clásico se siguen utilizando ampliamente. Debido a que existe una gran cantidad de aplicaciones que requieren el control de lazos simples; por ejemplo desde el movimiento de un servomecanismo, hasta el control de temperatura, nivel o presión de una sola variable en la industria de la transformación y servicios, etc. Por tal motivo existe aún un amplio número de aplicaciones e investigación que explota al máximo el uso y comparación de métodos de control clásico. Existen también diversos dispositivos de medición y acondicionamiento de variables que utilizan como parte de su principio de funcionamiento la retroalimentación y regulación clásica. Introducción al control retroalimentado | 06 de agosto de 2018 Después de la reseña histórica sobre la teoría del control automático, se observa que así como evolucionó el diseño de amplificadores para la retroalimentación, la teoría de control clásica se expresó naturalmente en el dominio de la frecuencia y en el plano s. Dependiendo de los métodos de transformación, es principalmente aplicable para sistemas lineales invariantes en el tiempo, aunque algunas extensiones a sistemas no lineales se realizaron utilizando por ejemplo, métodos de linealización de Taylor o la función descriptiva. La descripción del sistema necesaria para el diseño de controles utilizando los métodos de Nyquist y Bode es la magnitud y la fase de la respuesta de frecuencia. Esto resulta conveniente, ya que la respuesta de frecuencia se puede medir experimentalmente y en consecuencia, la función de transferencia se puede calcular. Para el diseño del lugar geométrico de las raíces, es necesaria la función de transferencia. El diagrama de bloques es una herramienta ampliamente utilizada para determinar las funciones de transferencia de los sistemas compuestos. Una descripción exacta de la dinámica interna del sistema no es necesaria para el diseño clásico; es decir, solo el comportamiento de entrada / salida del sistema es importante. El diseño puede llevarse a cabo a mano usando técnicas gráficas. Estos métodos imparten una gran cantidad de intuición y permiten al diseñador de controles una amplia gama de posibilidades de diseño, de modo que los sistemas de control resultantes no son únicos. El proceso de diseño es un arte de ingeniería. 4
