Trigonometria

I. - TRIGONOMETRÍA
DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION
DE OTRA
En función del coseno del ángulo doble:
FÓRMULAS BÁSICAS
En función del seno:
(Usadas para integrar)
sen α =
c
a
cosec α =
cosα =
b
a
sec α =
tan α =
sen α
c
=
cos α
b
cosec α =
1
a
=
cosα
b
cotan α =
sen 2 α + cos2 α = 1
1 + tan 2 α =
1
a
=
c
sen α
sec α =
a
α
1 + cotan 2 α =
c
sen α =
b
sec α =
sen
Segundo Cuadrante
cos
sen
tan
tan
Primer Cuadrante
tan
cos
cos
cotg
sen
tan
sen
cos
Tercer Cuadrante
sen α
tan α =
1 − sen α
2
1 − sen 2 α
sen α
Ángulos complementarios:
1 − cos 2α
2
sen
cosα =
1 + cos 2α
2
cos
tan α =
1 − cos 2α
1 + cos 2α
tan
cosec α =
En función de la
tangente:
ctg α =
ctg α =
1
tan α
1
1 − cos2 α
cosα
1 − cos α
2
1
cosα =
tan ( α ± β ) =
2
α
2
=
1 + cosα
2
=
1 − cos α
1 + cos α
1 + tan 2 α
Ángulos que difieren
en π/2 radianes:
En función de la tangente del ángulo mitad
sen (π − α) = sen α
cos (π − α) = − cos α
tan (π − α) = − tan α
sen (π/2 + α) = cos α
cos (π/2 + α) = − sen α
tan (π/2 + α) = − ctg α
sen α =
2 tan ( α / 2 )
1 + tan 2 ( α / 2 )
sen 2α =
2 tan α
1 + tan 2 α
Ángulos que se diferencian
π radianes:
Ángulos opuestos:
cos α =
1 − tan 2 ( α / 2 )
1 + tan 2 ( α / 2 )
cos 2α =
1 − tan 2 α
1 + tan 2 α
sen (π + α) = − sen α
cos (π + α) = − cos α
tan (π + α) = tan α
sen (− α) = − sen(α)
cos (− α) = cos α
tan (− α) = − tan α
tan α =
2 tan ( α / 2 )
1 − tan 2 ( α / 2 )
tan 2α =
2 tan 2 α
1 − tan 2 α
tan α
1 + tan 2 α
(Usadas para integrar)
1
tan ( α + β
sen α + sen β
2
=
1
sen α − sen β
tan ( α − β
2
tan α ± tan β
1 m tan α tan β
ctg ( α ± β ) =
)
)
cos sα + cos β
α +β
α −β
=−
cotan
2
2
cos α − cos β
ctg α ctg β m 1
ctg α ± ctg β
TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA
(Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)
1 + tan 2 α
Su suma vale π radianes (180°)
sen α =
α
1 − cosα
2
cos ( α ± β ) = cosα cos β m sen α sen β
cosec α =
1 + tan α
tan α
2
=
sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cosα sen β
sec α =
2
α
RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
sen (π/2 − α) = cos α
cos (π/2 − α) = sen α
tan (π/2 − α) = ctg α
Ángulos suplementarios:
sen α =
1 − cos2 α
Cuarto Cuadrante
Su suma vale π/2 radianes (90°)
REDUCCION AL 1er
CUADRANTE
1
cos α
1 − cos2 α
cosα
tan α =
cotg
1 − sen 2 α
En función del coseno:
1
= cosec2 α
sen 2 α
cotg
1 − sen α
2
ctg α =
LINEAS TRIGONOMÉTRICAS
cotg
cosα =
1
1
b
=
tan α
c
tan α × cotan α = 1
1
= sec 2 α
cos2 α
1
sen α
SUMAS a PRODUCTOS
sen α + sen β = 2 sen
cosα + cos β = 2 cos
tan α + tan β =
2
α +β
2
cos
cos
sen (α + β )
cosα cos β
sen (α + β )
cosα cos β
tan α − tan β =
ctg α + ctg β =
ctg α − ctg β =
α +β
sen (α + β )
sen α sen β
sen ( β − α )
sen α sen β
α −β
2
α −β
2
sen α − sen β = 2 cos
α +β
cosα − cos β = − 2 sen
2
sen
α +β
2
α −β
sen
2
α −β
2
PRODUCTOS a SUMAS
sen α sen β =
1
cos ( α − β ) − cos ( α + β
2
)]
sen α cos β =
1
sen ( α + β ) + sen ( α − β
2
)]
cosα cos β =
1
cos ( α + β ) + cos ( α − β
2
)]
[
[
[
FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO
Ángulo doble
sen 2α = 2 sen α cosα
cos 2α = cos α − sen α
2
2
tan 2α =
TEOREMAS IMPORTANTES:
2 tan α
1 − tan 2 α
sen 3α = 3 sen α − 4 sen 3 α
c
cos 3α = 4 cos α − 3 cosα
3 tan α
tan 3α =
1 − 3 tan 2 α
a
A
arc sen x = arccos
1− x =
arc cos x = arcsen
1 − x2 =
arctan x = arcsen
x
1 + x2
π
cos B =
π
2
(
)
(
)
arcsen x + arcsen y = arcsen x 1 − y 2 + y 1 − x 2
arcsen x − arcsen y = arcsen x 1 − y 2 − y 1 − x 2
[
arccos x − arccos y = arccos [ xy +
arccos x + arccos y = arccos xy −
arctan x + arctan y =
x+ y
1 − xy
( 1 − x )( 1 − y ) ]
2
S=
2
( 1 − x )( 1 − y ) ]
2
x− y
1 + xy
sen
A
=
2
B
sen =
2
C
sen =
2
cos
( p − b )( p − c)
bc
( p − a )( p − c)
ac
( p − b)( p − a )
ab
A
=
2
p ( p − c)
bc
B
c
a
A
C
b
B
cos =
2
p ( p − b)
ac
C
cos =
2
p ( p − c)
ab
p=
a+b+c
2
Ch ( α − β ) = Ch α Ch β − Sh α Sh β
cosC =
S=
Th α + Th β
1 + Th α Th β
FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD
a 2 + b2 − c2
2 ab
Ch 2α = Sh 2 α + Ch 2 α
Sh 2α = 2 Sh α Ch α
Sh
α
2
1
( Ch α − 1)
2
=
Ch
α
2
1
Ch ( α + β ) − Ch ( α − β
2
)]
AREA DEL TRIÁNGULO
Sh α Ch β =
1
Sh ( α + β ) + Sh (α − β
2
)]
S = pr =
[
[
p=
A
(
ArgTh x =
a
r
R
b
a+b+c
2
α
2
Ch α − 1
Ch α + 1
=
Ch α Ch β =
1
Ch ( α + β ) + Ch (α − β
2
[
( Ch α ± Sh α )
n
C
x2 + 1
)
1 1+ x
ln
2 1− x
ArgCth x =
1 x +1
ln
2 x −1
ArgTh x = ArgSh
(
ArgCh x = ln x +
x2 − 1
x 2 + 1 = ArgTh
ArgCh x = ArgSh
x 2 − 1 = ArgTh
x
= ArgCh
x
1 − x2
= ArgCth
)
x
ArgSh x = ArgCh
1 − x2
)]
= Ch nα ± Sh n α
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
ArgSh x = ln x +
B
p
abc
=
4R 2R
Th
2 Sh α Ch α
Sh 2 α + Ch 2 α
TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS
1
1
1
ab sen C = cb sen A = ac sen B
2
2
2
c
Th 2α =
1
( Ch α + 1)
2
=
Sh α Sh β =
p ( p − a )( p − b )( p − c)
Th α − Th β
1 − Th α Th β
Th ( α − β ) =
A+ B
tan
sen A + sen B
a+b
2
=
=
A−B
sen A − sen B
a −b
tan
2
FÓRMULAS DE BRIGGS
Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones
análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las
fórmulas que dan
las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas
fó
mulas ya se han tratado anteriormente.
Ch ( α + β ) = Ch α Ch β + Sh β S h α
(Fórmula de Herón)
2
arctan x − arctan y =
Sh ( α − β ) = Sh α Ch β − Sh β Ch α
Th ( α + β ) =
Teorema de las tangentes
− arctg x
Sh ( α + β ) = Sh α Ch β + Sh β Ch α
b 2 + c2 − a 2
cos A =
2bc
a 2 + c2 − b 2
2 ac
− arcsen x
2
=
C
b
− arccos x
2
Teorema de los cosenos:
R
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
π
a
b
c
=
=
= 2R
sen A
sen B
sen C
B
3
2
FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
Teorema de los senos:
Ángulo triple
x2 + 1
x2 − 1
x
1
x
AREA DE UN CUADRILÁTERO
D
A
AC BD
S=
sen α
2
α
C
B
II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS
FÓRMULAS BÁSICAS
Sh α =
eα − e − α
2
Th α =
eα − e − α
Sh α
= α
Ch α e + e −α
eα + e − α
Ch α =
2
Ch α − Sh α = e −α
Sh α + Ch α = eα
C h2 α − S h2 α = 1
RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS
sen x =
1 ix
( e − e − ix )
2i
cos x =
1 ix
( e + e − ix )
2
Sh ix = i sen x
sen ix = i Sh x
e ix = cos x + i sen x
Ch ix = cos x
cos ix = Ch x
e − ix = cos x − i sen x
Th ix = i tan x
tan ix = i Th x
sen ( x + iy ) = sen x Ch y + i cos x Sh y
cos( x + iy ) = cos x Ch y − i sen x Sh y
arcsen ix = i Arg Sh x
arccos ix = − i Arg Ch x
arctan ix = i Arg Th x =
1
1+ x
i ln
2
1− x