Límites 11. Límites laterales 1. Índice 2. ¿Qué es el Cálculo? 12. Continuidad en un intervalo 3. El problema del área 13. Propiedades de la continuidad 4. Introducción a los límites 14. Teorema del valor intermedio 5. Límites que no existen 15. Límites infinitos 6. Definición formal de límite 16. Asíntotas verticales 7. Cálculo analítico de límites 17. Propiedades de los límites infinitos 8. Continuidad en un punto 18. Concepto de límite infinito 9. Definición de continuidad 19. Definición de límites en el infinito 10. Discontinuidades 20. Propiedades de los límites en el infinito 21. Formas indeterminadas 0/0 , / 22. Formas indeterminadas 0. , - 23. Formas indeterminadas 1 , 0 , 00 24. Asíntotas horizontales 25. Asíntotas oblicuas 26. Ejemplo Tema 2.Límites Límites 1 ¿Qué es el Cálculo? El Cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones. Se estudian las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,... y una gran variedad de conceptos para crear modelos para las situaciones de la vida real. Matemáticas previas al Cálculo Estáticas tasa de variación media t=a t=b Describe un objeto que se mueve con velocidad constante Dx Dy Describe la pendiente de una recta Describe el área de un réctángulo Cálculo Dinámico tasa de variación instantánea en t=c Describe la velocidad de un objeto que se mueve aceleradamente dx dy Describe la pendiente de una curva Describe el área bajo una curva Tema de 2. Límites Tema 1. Preliminares Cálculo 2 El problema del área Consideremos la región limitada por la gráfica de la función y=f(x) , el eje x y las rectas verticales x=a y x=b Y=f(x) Y=f(x) x=a x=b Se puede estimar su área usando varios rectángulos Y=f(x) Al hacer crecer el nºde rectángulos la aproximación va mejorando cada vez más El objetivo es determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando su número crece sin tope Tema de 2. Límites Tema 1. Preliminares Cálculo 3 Introducción a los límites Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función x3 1 f ( x) , x 1 x 1 f (x) 3 - 2 - (1,3) -1 - - -2 - - Con los procedimientos usuales para x 1 obtenemos 1 ¿Qué sucede en las proximidades de x=1? x tiende a 1 por la izquierda x tiende a 1 por la derecha x 0,75 09 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25 f(x) 2,313 2,710 2,970 2,997 ? 3,003 3,030 3,310 3,813 f(x) tiende a 3 f(x) tiende3 A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1, y como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3. lim f ( x) 3 x 1 Tema de 2. Límites Tema 1. Preliminares Cálculo 4 Límites que no existen Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite x lim x 0 x lim x 0 1 x2 f(x)=1 f(x)=-1 1 1 f ( x) 2 100 10 x 1 1 0 x f ( x) 2 1.000.000 1.000 x 0 x - - f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c. x 1, x 0 x x 1, x 0 x - f(x) tiende a números diferentes según x tienda a c por la derecha o por la izquierda f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c. 1 lim sen x0 x 2 x sen 1 x 1 2 3 -1 2 5 1 2 7 -1 2 9 1 2 11 -1 x 0 El límite no existe Tema 2. Tema 1. Preliminares deLímites Cálculo 5 Definición formal de límite Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y escribimos lim f (x) L x c Sean f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un número real. La afirmación lim f (x) L x c significa que para todo e 0 existe un d 0 tal que si 0 x-c d , entonces f ( x) L e Si el límite de una función existe, entonces es único Tema de 2. Límites Tema 1. Preliminares Cálculo 6 Cálculo analítico de límites 1. Límites básicos 2. Propiedades de los límites 3. Límites de funciones polinómicas y racionales 4. Límite de una función radical 5. Límite de una función compuesta 6. Límites de funciones trigonométricas 7. Técnicas de cancelación y racionalización 8. Regla del Sandwich 9. Límites trigonométricos especiales Tema de 2. Límites Tema 1. Preliminares Cálculo 7 Continuidad en un punto Una función es continua en x=c si no hay interrupción de la gráfica de f en c No hay “saltos”, “agujeros” ni “aberturas” Condiciones para que el gráfico de f no sea continuo en x=c a c b f (c) no está definida en x=c a c b No existe límite de f (x) en x=c a c b El límite de f (x) en x=c existe, pero no es igual a f (c) Tema de 2. Límites Tema 1. Preliminares Cálculo 8 Definición de Continuidad Decimos que una función f es continua en x=c si se satisfacen las tres condiciones siguientes f (c) está definida. lim f(x) existe x c lim f(x) f(c) x c Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real (se llama continua en todas partes , ) Tema de 2. Límites Tema 1. Preliminares Cálculo 9 Discontinuidades Sea I un intervalo abierto que continene un número real c. Si una función f está definida en I (salvo, posiblemente, en c) y no es continua en c se dice que f tiene una discontinuidad en c - 2 1 - discontinuidades f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) evitables apropiadamente f (c) x2 1 f ( x) x 1 1 Discontinuidad evitable en x=1 discontinuidades inevitables f no se puede redefinir para evitar la discontinuidad 1 f ( x) x -3 -2 2 -1 1 1 -1 2 3 -2 Discontinuidad inevitable en x=1 Temade 2.Cálculo Límites 10 Tema 1. Preliminares Límites laterales lim f(x) L x tiende a c para valores superiores a c x c x Límite por la izquierda x tiende a c para valores inferiores a c x lim f(x) L c x c Límite por la derecha f ( x) x lim x 1 2 Función parte entera -3 -2 -1 x 0 lim x 0 1 1 -1 2 3 x 0 -2 Existencia de límite Sean f una función y sean L y c números reales. El límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y solo si lim f(x) lim f(x) L x c x c Temade 2.Cálculo Límites 11 Tema 1. Preliminares Continuidad en un intervalo Decimos que una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) y lim f(x) f (a) y lim f(x) f (b) x a x b La función es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b [ a ] b Temade 2.Cálculo Límites 12 Tema 1. Preliminares Propiedades de la continuidad Si b es un número real y f , g son continuas en x=c, entonces las siguientes funciones también son continuas Múltiplo escalar: bf Producto: fg Suma y diferencia: f g f Cociente: , si g(c) 0 g Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios Funciones polinómicas: f ( x) an x n an1 x n1 ai x i a1 x a0 p ( x) , q( x) 0 Funciones racionales: f ( x) q ( x) Funciones radicales: f ( x) n x Funciones trigonométricas: senx, cos x, tgx, ctgx, sec x, cos ecx Muchas funciones elementales son continuas en sus dominios Si g es continua en x=c y f es continua en g(c), la función compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es continua en c Temade 2.Cálculo Límites 13 Tema 1. Preliminares Teorema del valor intermedio f(a) - k Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en tal que f(c)=k - f(b) - [ a c1 c2 c3 ] b Útil para localizar ceros de una función continua en un intervalo cerrado Si f es continua en [a,b] y f(a) y f(b) difieren de signo, entonces existe al menos un cero de f en [a,b] (Teorema de Bolzano) f ( x) x 3 2 x 1 Tiene un cero en el invervalo [0,1] f es continua en [0,1] f ( 0) 0 f (1) 1 existe c : f (c) 0 (1,2) 0 (0,-1) (c,0) 1 Temade 2.Cálculo Límites 14 Tema 1. Preliminares Límites infinitos 3 f ( x) x2 f decrece sin cota cuando x tiende a 2 por la izquierda f crece sin cota cuando x tiende a 2 por la derecha y d c x2 3 x2 2 lim x 2 3 - x2 Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c, salvo, posiblemente, en el propio c. La expresión lim f(x) M d lim x c x Análogamente la expresión significa que para todo M 0 existe un d0 tal que f(x) M siempre que 0 l x-c l d. lim f(x) x c significa que para todo N 0 existe un d0 tal que f(x) N siempre que 0 l x-c l d. Para definir el límite infinito por la izquierda, basta sustituir 0 l x-c l d por c-d x c. Para definir el límite infinito por la derecha, basta sustituir 0 l x-c l d por c x c +d. Temade 2.Cálculo Límites 15 Tema 1. Preliminares Asíntotas verticales Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x =c es una asíntota vertical de la gráfica de f x2 1 f ( x) 2 x 1 1 f ( x) 2( x 1) -1 Asíntota en x=-1 JOHNY QUINTERO Si una función f posee una asíntota vertical en x =c , entonces f no es contínua en c -1 1 Asíntotas en x=-1 , x=1 Temade 2.Cálculo Límites 16 Tema 1. Preliminares Propiedades de los límites infinitos Sean c y L números reales, y sean f y g funciones tales que lim f(x) y lim g(x) L x c Suma o diferencia Producto x c lim f(x) g(x) x c lim f(x)g(x) , L 0 x c lim f(x)g(x) , L 0 x c Cociente g(x) lim 0 x c f(x) Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite cuando x tiende a c es - Temade 2.Cálculo Límites 17 Tema 1. Preliminares Concepto de límite en el infinito Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función 3x 2 f ( x) 2 x 1 - -1 - - f(x) 2 - -2 x decrece sin tope - 3 - Gráficamente los valores de f(x) parecen aproximarse a 3 cuando x crece sin tope x 3 f (x) 1 x crece sin tope -100 -10 -1 0 1 10 100 2,999 2,97 1,5 0 1,5 2,97 2,999 f(x) se acerca a 3 lim f ( x) 3 x Límite en - 3 f(x) se acerca 3 lim f ( x) 3 x Límite en + Temade 2.Cálculo Límites 18 Tema 1. Preliminares Definición de Límites en el infinito Sea L un número real. y La expresión x e e L M lim f(x) L x significa que para todo e 0 existe un M 0 tal que l f(x) L l e siempre que x M La expresión lim f(x) L x significa que para todo e 0 existe un N 0 tal que l f(x) L l e siempre que x N Temade 2.Cálculo Límites 19 Tema 1. Preliminares Propiedades de los límites en el infinito Si lim f(x) y lim g(x) existen ambos x x Suma Producto lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) x x x lim f(x)g(x) lim f(x)lim g(x) x x x Propiedades análogas son válidas para límites en - Cociente Si r es un número racional positivo y c es cualquier c número real, entonces lim x Además, si xr r 0 x está definida para x 0 , entonces c lim r 0 x x Temade 2.Cálculo Límites 20 Tema 1. Preliminares Formas indeterminadas 00 , Sea p un número real, + o - 0 0 f(x) es del tipo 0 lim f(x) lim g(x) 0 lim x p x p x p g(x) 0 0 no es el resultado de ningún límite 0 Los límites de este tipo pueden tener resultados diversos Es un tipo de indeterminación Si f y g son polinomios, descomponer en factores y simplicar puede ayudar a resolver la indeterminación Para resolver la indeterminación se puede intentar dividir todos los términos por x elevado a la potencia más alta Temade 2.Cálculo Límites 21 Tema 1. Preliminares Formas indeterminadas 0 Es fácil transformar esta indeterminación en otra del tipo ya que cuando , 0 g( x ) f g ( x ) 1 f ( x) f 0 , g x p x p Se puede resolver multiplicando y dividiendo por la conjugada a b a b a 2 b 2 ab a b a b También se puede transformar en 0 1 1 a b a b b a Temade 2.Cálculo Límites 22 Tema 1. Preliminares Formas indeterminadas 1 0 00 1 0 00 Para resolver la indeterminación se hace uso del número e 1 lim 1 e x x Para resolver la indeterminación usualmente el límite se transforma (tomando logaritmos) en otro del tipo 0 , y éste, a su vez, en otro del tipo También es habitual el uso de la Regla de L´Hôpital (Tema 3) Temade 2.Cálculo Límites 23 Tema 1. Preliminares Asíntotas horizontales La gráfica de f(x) tiende hacia la recta y=L cuando x crece sin cota y La recta y = L es asíntota horizontal de la gráfica de f si L y f (x) yL lim f(x) L o bien lim f(x) L x x 2x 1 f ( x) x 1 2 Asíntota vertical en x=-1 x f ( x) 3x 2 2x 1 2 y 3 2 asíntota horizontal por la derecha -1 y=2 asíntota horizontal y 3 2 asíntota horizontal por la izquierda Temade 2.Cálculo Límites 24 Tema 1. Preliminares Asíntotas oblícuas y mx n La función f(x) se va aproximando a la asíntota oblícua cuando x tiende a - o a + m lim x x2 2x 4 f ( x) x2 f(x) x n lim f ( x ) mx x Asíntota oblícua y=x 2 2 Asíntota vertical en x=2 Temade 2.Cálculo Límites 25 Tema 1. Preliminares Ejemplo de aplicación de los límites Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)=1 corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t =0, se vierten resíduos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser t 2 t 1 f (t ) t 2 1 ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después? ¿Y 2 semanas? ¿Y 10 semanas? ¿Y una vez transcurrido “suficiente” tiempo? 1 0,75 0,5 0,25 l l l l 2 4 6 8 El nivel de oxígeno en el estanque tiende al nivel normal 1 cuando t tiende a 12 1 1 1 f (1) 2 50% 1 semana 1 1 2 22 2 1 3 f ( 2) 60% 2 semanas 2 2 1 5 10 2 10 1 91 f (10) 90,1% 10 semanas 10 2 1 101 t2 t 1 lim f ( t ) 2 1 100% t t 1 Temade 2.Cálculo Límites 26 Tema 1. Preliminares Bibliografía Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill Temade 2.Cálculo Límites 27 Tema 1. Preliminares