Derivada Parcial de Funciones con ejercicios

\ I UI':RIVADA
PARCIAL
DE UNA FlJNCI{)N
1>10: VAI(IA:-i VAI~I¡\ULES
1" 7,S¡l/cOS ele Cálculo ['01. 1 , hemos visto que pala cstudlrn 1'1 pcndicurc de la
a la gráfica de una función [ 1:11UI1 punto ) P,II,I rnedu 1,1 r,'pidcl'. de
l lI11hio dc la variable dependiente
respecto él la vun.iblc iud pcndrcmc, crn
11( cesarlo emplear
la derivada de la función f. Ln este capítulo \ eleliters c, )11111
l ,11 ideas se generalizan a funciones de varias variables.
Il (1,1 umgcnte
UI
tluiclén
1.- Sea [: D ~
I c: (1l1jlllllo D
e
fR{2 -t
IR una función de dos variables con domlnio en
fR{2
I 1 derivadas parciales de primer orden de f con respecto a las variables
IlIlI"pcndlcntes x e y, en cualquier punto (x; y) E D, son las runciones dadas pila
éJ[Cx;y) = ¡;( .
x x,y
ax
rJI(x;y)
iJ y
1 C;;IO'i
) -'"D i fr,x,y. ) = l'rm [Cx + h;y)h - [(x;
It
-o
_ f, ( _ ) _ D fC _ ) _ l' [(x
-
y x, y -
2
x, Y -
y)
In1
k·~O
+ h;y)
k
- [(x; y)
•
límites existen.
'" por lo cual para calcularlos se
I (1, límites en esta definición son en una variable,
I1tu:dc IIS.11 las técnicas aprendidas en Tópicos de Cálculo 1'01. l. sobre
1,ICIClnali/,lclón,regla de L'Hospital, ele.
1'lIes", que la derivada parcial de una función de dos variables es la derivada
IItdlllflria de la función que se obtiene al fijar constante una de las variables x :. y.
,11 cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que se
111111/:11\ para las funciones de una variable real.
"I'\l,,.\,:tciún 1.- Cuando querernos definir la derivada de f en un punto particular
(\,,: )'0) E D. sunplemcnte reemplazarnos (x; y) por (xo; Yo) en la definición
, Il'llll'llI 1.- Dada la función [ex; y)
= 3x2y
IlllI\.ld.1 parcial calcule J~( 1; 1) ~ 'y(-l; 1).
+ X + Y . Usando la definición de
Solución
. {el + h; 1) - {(1; 1)
. [3(1 + h)2 + h
(
)
{x 1; 1 = h~O
hm
h
= h~O
11m
h
h(3h + 7)
= hlim
=7
... O
h
{y(-1;1)
. {(-1;1+k)-{(-1;1)
11m
k
+ 2] - s
. [3(1+k)+k)-3
11m
k
= k...O
= k...
O
4k
k ....O k
=lim-=4
Definición 2.- Sea {: D !;;; u¡n -+ R una función de n variables con dominio el
conjunto D !;;; IRn,tal que z = {(Xl; Xz; ... ; xn)
Las derivadas parciales de primer orden de {con respecto a las variables
Xl; Xz; ••. ; Xn en cualquier punto (Xl; Xz; ... ; Xn) E D son las funciones de n
variables dadas por:
si estos limites existen para i
= 1,2, ... , n.
r
La derivada parcial de una función de n vari~s
es su derivada de respecto
una de sus variables independientes y mantiene a'Jas otras como constantes
Ejemplo 2.funciones
a)
Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes
{(x; y) = x"3 - 2xZy2
e) h(x;
+3
y: z) = 2 COS(xy2)
d) {(x; y; z) =
fZ
et:dt
x
b) g(x; y) = ex2-yZ
+ tan(yz)
+ (x
-ln(x2
cos(t2)dt
l.;
- 4y)
+ In(xz + y2
+ JXY7
+ arctan(xyz) + 8
Solución
a) Al derivar {con respecto a x manteniendo constante y, se tiene
fx(x;y)
(1
= 3xz -4xy2
Al derivar f con respecto a y manteniendo constarue x, se obtiene
1).(x; y) = -4xZy
- 4)
I J Al derivar 9 con respecto a x manteniendo constante y. resulta
•
_
X2_)l2
2x
_
xZ_yZ
2x
IJ, (x, y) - e
. 2x + 2
2
4 - 2xe
+ 2 2
x +y - 4
x +y -
Al derivar 9 con respecto a y manteniendo contante x, se obtiene
tJ .(X;y)
• )
=
Z
eX
-y
2
+ X2 +2y
y2
(-2y)
a
= -2ye
4
X
-
-y
2
+ X2 +¿y
.,
y' -
4
\ I A I derivar h con respecto a x manteniendo constante y Y'Z, resulta
Ilx(x;y;z) = -2 sen (xy2)(y2) -
= -2y2 sen
(X)'2)
2x
2
x -
y
4y
X2 -
Las derivadas parciales de h con respecto a y y
/¡ (x; y; z)
y
= -2 sen (xy2)(2xy)
2
,.
.2
v
,
+ z cos(x·) + 1
{
2Jx)'z
í.:
2,,)'
fiY
+ '2vz
x, y y z son:
'\.yz
.,
-t x'Y'z'
"
x~.,.,
dt + 1
xy
+ x 2"y-z
XY(X2 _ y2)
,(2
}'
+-==
+ x'y·z·
= eZ 2 + IX_y cos(t2)
Ejemplo 3.- Sea {(x; y) =
4"¡;:;'
4 +
x -
xy
r= = }' sec1(y?)
2 xyz
{,y(x;y; z) = 7. COS(y2) + 1
'.(x; y; z)
1
xz
-4
Á2-4y
+ sec2(y7.)(z) -
d) Las derivadas parciales de ( con re5pe~
fx(x; y: 70) = =e"
son:
.,
- ..:).
+
Z
+ Z sec-(yz) +
= -9xy senJxy )
hz(x; y: z) = sec2(yz)(y)
yz
.JXYz
2 xyz
JYz
+-2."fX
2x
-
+
4
si (x; y) :;:.(O; O)
+ y2
O
,
2
SI
(x;y) ~ (0:0)
lIalle (..,(O;O», (y(O; O) SI es que existe.
Solución
i) Para y :1= O.;>ctiene
hy(/t1 _ ~l)
. feO + h;y) - feo; y)
.
IzeO;y) = h-O
11m
h
-- = h-O
11m
Jr2 + Y
I
1
o
.
= h-O
11m
hy{1z.2 - y2)
.
+ y2)
h(J12
.
= 1t~O
lirn
y(h2 _ y2)
fl2
+ y2
= -y
Luego, para y :::::
O resu Ita {x(O; O) = O
ii) Para x :;;0\ se tiene
[(x; 0+ It) - [ex; O)
.
;;_ 11m
h~O
h
h-O
.
f, (x; O) = 11m
y
xh(x'2 _
X2 + I
¡'2)
2
-
1
o
h
Luego, para x = O se obtiene [yeO; O) = O
I TERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES
DE UNA FUNCiÓN DE DOS VARIABLE
Sea z = [(x; y) una función -~e os variables con dominio D e JRl2 tal que
fx(xo; Yo) Y ¡;.(xo; Yo) e~isten para t~o; Yo) E D.
Si Y = Yo (plano paralelo al plano XZ) entonces el: Z = {(x; Yo) representa la
curva formada por la intersección de la superficie z = {(x; y) con el plano
y =)'0 como se muestra en la figura 3.1.
"""
z
z
, l1'
,
y
Fig.3.1
representa la pendiente de la recta tangente (1.1r) a la curva ~
Po(xo; Yo; f(xo; Yo». (Fig. 3.1)
en el punto
cartesiana de la recta tangente Lr en el punto Po(xo; )'0: f (xo; Yo)) es
- Zo = fx(xo; YO) (x - xo) 1\ y = Yo
(z¿ = {(xo; Yo))
I ecuación
LT:
Z
Xo
x -
1
(:=)
I
Zo
Z -
- [x(xo; Yo)
A
y = Yo
forma vectorial de la ecuación de la recta tangente LT es
Lr: ex; y; z)
= (xo;
Yo; zo)
+ t(l;
o; h (xo: Yo)),
tER
su forma paramétrica
= Xo
Lr: { y = Yo
X
+t
, t E lRt
z = Zo + t fx(xo; Yo)
d mde su vector dirección es ii = (1; O:(x(xo: Yo))
De forma simi lar.
r (
tv
.
XOI
-
) _ 1- [(xo; Yo + k) - f(xn; Yo)
Yo - k-40
irn
k
1.,
.....~
representa la pendiente de la recta tangente (L'T) a la curva
unersección de In superficie z = {(x; y) con el plano x
PC)(xo;Yo: {(xo; Yo))'
Lr ecuación cartesiana de esta recta tangente L' es
¿'7': z - Zo = fy(xo;Yo)(Y
e2 (obtenida
= Xo) en d
por la
punta
- Yo) 1\ x =t"~o
-zo
(y (Xo: Yo)
Z
----/\
X=Xo
I ,1 forma vectorial de la ecuación de L' 7' es
su forma paramétrica es
X
= Xo
L'T: Y=Yo+S
{
donde
z = Zo + s !y(xo; Yo)
b = (O; 1; (y (xo;
,SE.(R
Yo)) es su vector dirección.
Oh crvación 2.- Los valores de !'x(x; y) y fy(x; y) en el plinto Ro(xo; )'0: 20) de
1.1 superficie z = {(x; y) denotan la pendiente de In superficie en las direcciones
de los ejes X e y respectivamente.
PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE
Definición 3.- La ecuación general del plano tangente a la superficie
z = f(x;y) en el punto Po(xo;Yo;zo) (z¿ = [(xo);Yo)) con vector normal
-
J
L
JV=ü.xb=
k
1 O
fx(xo; Yo) = (-[x(xo; Yo); -fy(xo; Yo); 1)
~1 fy (xo; Yo)
O
La recta normal a la superficie z = f(x; y) en el punto
Po(xo; Yo: z()) es la recta que tiene la dirección del vector normal del plano
tangente a la superficie en Po; Su ecuación vectorial es
Definición
Ejemplo
4.-
Halle la ecuación vcctoriai de la recta tangente a la curva de
4.-
intersección de la superficie z = f(x~ y) =
en el punto p()C -2; 2; 4).
.J 64 -
Solución
Al deriv nr
5x2 - iy2 Y et plano x = -2.
.,
f
Iv (x; y)
con respecto a y manteniendo x cC}l¡stantc (x
=
-
-14y
2J64 -
SX2 -
7y2
= - 2),
se obtiene
7y
- - --;;:::=====::::======
J64 - 5x2
-
7y-:'
Luego. la pendiente de la recta tangente a la superficie en el punto Po es
14
111T
7
= {y(-2; 2) = - ..Jf6 = - 2
Por consiguiente,
la ecuación vectorial de la recta tangente
intersecci ·mde la superficie z = f ex; y) con el plano x = - 2 es
Lr: (x; y; 2)
= (-2; 2; 4) + t (o; 1; -
~) • t
a la curva
de
E I!!l
Ejem plo 5.- Una recta tangente trazada a la superficie
I(x;y)
,
= eXS(m(6Tr)'; -2x3
xy
-
arccot(xy) -1 +X2
en un punto donde y = 1 está en un plano paralelo al plano YZ y tiene pendiente
-12Tr. Encuentre la ecuación del plano.
Solución
( omo
¡; (x;
>'
x
y) = eX sen (6rry). X coS(6rry) (6rr) +
__
1 + x2y2
x
1+x2'
entonces la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la
upcrticie z = [(x; y) con el plano paralelo al plano YZ (x = xo), en el punto
I~l(
,'o; 1; [(xo; 1)) es
Xo
/lIT
= [y(xo; 1) = 6rrxo + 1 +xo2
1
Xo
2
+xo
= 6rrxo
I ),ldo que la pendiente de la recta tangente es -12rr, entonces
/11· = 6rrxo = -12rr ~ Xo =-2
I'..r 1,lI1l0, la ecuación del plano paralelo al plano YZ es
t',« = -2
1 [vmplo 6.- Encuentre los puntos de la superficie [ex; y) = xy(1 - x - y)
donde el plano tangente es paralelo al plano coordenado XY
'1f.1,,\'Í{ln
( 011111
el plano tangente es patalelo al plano XV. entonces su vector normal es
-
'>
paralelo al vector k = (O; O; 1). Luego, se tiene
iJ(ex; y)
';_ax"':"':"= y(1 - 2x - y)
(J{(x; y)
=.
ay
2y) = O
=x(l-x-
Al resolver estas ecuaciones simultaneas en~lrarnos
que los puntos donde se
'(;.
1IIIIIunlas deri vadas parciales son (O; O), (1/ 3;'1/3), (1; O) Y (O; 1). Luego.
It 1\ cuatro planos tangentes horizontales a la superticic en los puntos
1 1 1)
(O; O;O), (3: 3; 27 ,(1: O;O) y (O; 1;O)
1'2
1 I( mplo 7.- Considere el hiperboloide de dos hojas
y2
72
4 -4 -4= 1
" I ..e..entre el plano tangente al hiperboloide en el punto A (-6; 2; v'28)
h) Halle la ecuación vectorial de la recta normal al hiperboloide en el punto
A ( 6,2; v'28).
I1 Ilctcnlline los puntos sobre el hiperboloide en donde los planos rangernes son
paralelos al plano Q: 2x + y + z = O.
"nll"'II;1I
1)
Ile
l., ecuación
z = {(x;
del hiperboloide. se obtiene
y)
=
J X2 -
y2 -
'1-
Como las derivadas parciales de
L.. ex; y)
=
x
Jx
2
-
f
con respecto a x e y son
,
y2 -
J
f)' ex; y) =
4
-y
2
X
-y
2
-4
entonces
-3
fx(-6; 2) = j7
y [y( -6; 2) =
-1
V7
Luego, la ecuación del plano tangente al hiperboloide es
3
1
PT: - .J7 + 6) - .J7 (y - 2) - (z - v'28) = o (=) Pr: 3x + y
ex
+ .J7z + 2 = o
b) La ecuación vectorial de la recta normal al hiperboloide en el punto A es
LN: (x; y; x) -- (-6; 2; ffa)
+ t(3;
1;{7)11'
E
e) El vector norma} de) plano tangente a1 hipernolciée
fffi
en el punto Po(xo; Yo: 7.0)
es
El vector normal del plano Q es NQ = (2; 1.; 1)
Como el plano tangente es paralelo al pi o Q, entonces sus normales son
':c;
~
paralelos. Luego, se tiene
t
k
j
Ñ x NQ = +Xo
+Yo
2
1
-
Jr-X-5-Y-g---4
= ( ±Yo + J x~ - yJ -
1
J
4; .¡ Xo - 2 x~ -
yJ - ..; +xo + 2Yo)
= (O; O: O)
Al resolver la igualdad. se obtiene Xo = +2yo ¡Yo = +{2
Luego, los puntos del hiperboloide donde el plano tangente es paralelo al plano Q
son: B( -2.J2; {2;~)
y C(2.fl; -~;
-{2)
X2
Ejemplo 8.- Demuestre que el plano tangente al elipsoide
xox
YoY
2
Z2
+ 02 + 2"
=1
e
a
zoz
a + -b2 + -2
e
en un punto (xo; Yo: zo) tiene por ecuación Q: ~z
y2
=1
en
nsideremos
Im
l e
{ex; y)
'O,
se tiene
=e
la pane superior del elipsoide, es decir z
s.
( X)Z' - (y)2
1-;;
c2y
b2z
c2x
= --,
I (x: y)
"azz
>O
1)1' (x; y) = --
del plano tangente a la elipsoide en el punto Po(xo; Yo; 20) (z¿ > O)
PI': f.~(xo; Yo) (x - xo) + .0, (X(l;Yo)(Y - Yo) - (z - zo) = O
I ecuación
<= PT:
<=> P
-
b2
a2
)'0) -
(z - zo) = O
•
=1
+ YoY + zoz
,XOX
T'
I
C2xo
c2yo
(x - xo) - (y a2zo
b2z0
-
e2
~'' 111pto 9.- Halle la pendiente
I (x: y) = X2 + 8y2 en el
de la recta tangente al paraboloide
punto A(2; 1; 12), en las direcciones
de los ejes X
, respectivamente .
....
nluclén
t' I 11 la dirección
del eje X, la pendiente de la recta tangente es
L
(x;y) = 2x
I 11 el punto A (2: 1: 12). la pendiente de la recta tangente en la dirección del eje
es
~
1,(2;1)=4
In I n la dirección del eje Y. la pendiente de la recta tangente al paraboloide es
h,( .; y) = 16)'
'0
0..
I llego. la pendiente de la recta tangente en el punto A (2; 1; 12) es
/..(2; 1) == 16
I '1 "'ltPI~ETACIÓN DE LAS DERIVADA PARCIALES COl\10 RAZÓ '
'1\1\1 BIO
I 7.
I
= {ex: y) una función de dos variable
(l: ,) y ¡;,(x; y) existen V(x; y)
1)
8f(x;y)
éJx
I'CSP~C(O
az
= 8x
E D.
con dominio D
Entonces
!;
1m2 tales que
SI.! tiene:
mide la razón de cambio de la variable dependiente
a la variable independiente
x, dejando la variable)'
z con
constante
(o fija).
b)
n[(x; y)
ay
8z
=-
ay
mide la razón de cambio de z con respecto a)'¡ dejando
1,1 variable x constante
(o
fija).
10.- Suponga que una placa metálica delgada de forma rectangular se
calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en cualquier punto (x; y)
de la placa es
T(x;y) = 4x2y + y
Además, suponga que x e y están med idas en metros y la temperatura T en grados
.
lsius. ¿Cómo varia la temperatura T en el punto (2; 3) cuando y permanece fijo
en y = 3? ¿Qué significa esto?
Ejemplo
Solución
Cuando y permanece fijo, la derivada parcial de T con respecto a x es
Tx (x: )1) = 8xy
Luego! la rapidez de cambio de la temperatura T en el punto (2; 3) es
Tx(2; 3) = 48°C/m
Por consiguiente, cuando y = 3 (constante) y x = 2. la temperatura de la placa
aumenta a razón de lf"L. por caca metro be UUJl11!11ll.l1!I1-,¡t.
Ejemplo 11.- Se construye una caja rectangular cerrada de manera que su
volumen sea 36 pies clÍbicos~ El costo del material de la tapa y de la base es de
t. 10 el pie cuadrado. el del ~a lal para las partes de enfrente y de atrás es de
SI. 9 el pie cuadrado y el material paro los otros lados es de S/.7 el pie cuadrado.
a) Determine la función de costo C(x;y}, donde x e y son las medidas del largo y
el ancho de la base de la caja respectivamente.
b) Calcule el (3; 4) Y C),(3; 4) e inre
e los
resu hados.
ulución
a) El volumen de la caja rectangular es
V
= xyz == 36 ~
36
z == -
I
)_......----,,/
"
~
De acuerdo a 10 datos del problema, el costo del
material para construir la caja es
e = lO(2xy) + 9(2xz) + 7 (2yz) = 20xy + 18xz + 14yz
Al reemplazar la expresión de z en el COSlO e, se obtiene
648 504
C(x;y) = 20xy+ 18x (-36) +14y (36)
=20xy+-+-,x,y>O
xy
xy
y
x
b) Las derivadas parciales de e con respecto a x e }' son
504
648
Cx(x; y) = 20y - -2
Y Cy(x; y) = 20x ~ ~
x
y
Luego,
504
Cy(3; 4) = 60 - 40.5= 19,5
Cr(3; 4) = 80 - 9 == 80 - 56 = 24,
cuando el lado de la base de la caja de medida x es 3 pies y el lado de
IU ",dil 1 se mantiene constante en 4 pies. el COSIO de construcción de la caja
I
ma a tilla razón de SI. 24 por cada pie de aumento en x,
l' m IIH.:!'8 similar. cuando el lado de la base de medido y es 4 pies y el lado de
11' Ildd X se mantiene constante en 3 pies, el COSfO de construcción aumenta a una
, ,,(m de ...J. 19.5 por cada pie de aumento en y.
, JII I lino.
"ti
I [ernplo ] 2.- Se lanza un nuevo-producto al mercado. El volumen de ventas V del
pld
lucro se incrementa como una función del tiempo t medida en meses y de la
mi ldad de e nuevos soles gastada en la campaña publicitaria que está dada por
V - V(t; e) = 400(6 - e-o.oo2C)(l - e-l)
, rlcule Vf (1; 500) Y \'c(].; 500) e interprete el resultado.
nlueión
l/(t;c)
l'cCt;c) = O,8e-o.oo2C(1-e-t)
~ 100(6-e-O,002C)(e-t))'
I llego. e 't iene
11,(1; 500) = 100(6 - e-1 )(e-1)
= 207,194
l'eCl: 500) = 0.8e-1 (1 - ~~1)= 0,186
I ucgo, "t (1: 500) = 207,194 significa que después de un mes (t = 1) de haber
I ."/udo el producto al mercado y mantener constante el gasto en publicidad en SI.
~(l(), el volumen de ventas aumenta a una razón de SI. 207,194 en cada mes.
=
untlarmente, t'c(l; 500)
0.186 significa qt1~5uando se ha gastado SI 500 en
I uhlicidad en un mes (t' = :I fijo). el volumen d~ventas aumenta él una razón de
, 0,186 por cada sol de aumento en publicidad.
e la curva
I [cmplo 13.- Sea
\ un e( plano x
de intersección
del paraboloide
z
= z.
•) 1I lIe la ecuación
vectorial
de la recta tangente a la curva
= 12 -
e en
X2 -
y2
el punto
A(2:2;4)
h) 11 lile la ecuación del plano tangente a la superficie
x2 y2
.
{(x; y) = 6" + 8 que es perpendicular a la recta tangente obtenida en a).
~oltlc¡ n
J' Al parametrizar
la curva
e= a (t) = (2; t; 8 -
e en términos
de y = r, se tiene
t 2)
ASI. para t = 2 se obtiene el punto A(2; 2; 4)
1 1I'" '0, se tiene
a'et)
(O: 1; -2t) Y a'(2) = (O; 1;-4)
=
Por consiguiente, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva
punto A es
Lr: ex; y; z) = (2; 2; 4) + seo; 1; -4), s E lR
x
b) Como fxCx; y) = 3 y fy(x; y)
y
= 4'
e en el
entonces el vector normal del plano
tangente a la superficie z = {(x; y) en el punto Po (xo; Yo; f(xo; Yo)) es
Puesto que los vectores Ñ
paralelos, entonces se tiene
Ñ = ka
a = (O; 1; -4)
y
(T;~;-l) = k(0;1;-4)
<=)
Por consiguiente,
(vector dirección dc Lr) son
~ Xo = D,yo = 1
la ecuación general del plano tangente a la superficie
- 1) con vector normal Ñ = ( O:'41; -1 ) es
en el
punto Po ( O; 1; 8
P,,: Q(x - O) + 4-1 (y -~) - (].)
z - 8 = O ~ Rj: 2y - 8z - 1 = O
Observación
3.- (Continuidad.
Derivahilidad
Parcial).
derivadas parciales de una función en un punto no garantiza
función en dicho punto. POI' ejemplo, I ara la ñn ción
12xy
fe) x; Y.. =
.,
{
+Y
o ,
2 .si (x;
La existencia
la continuidad
de las
de la
y) :;:. (O; O}~w
X"
si (x; y)
= (O; O)
las derivadas parciales con respecto a x e y existen en el punto Po (O; O): sin
embargo, f no es continua en (O; O).
La razón por la que una función puede tener derivadas parciales)
no ser continua
en un punto es debido a que, la existencia de una derivada parcial depende del
cornportamicnto
de la función u lo lal~o de un camino lineal. mientras que la
continuidad depende del componamicmo de la función a lo largo de todas las
trayectorias que pasan por el punto.
X2(y
=
Ejemplo 14.- Dada la función [ex; y)
x
{
a) Analice la continuidad
b) Halle
iJf(-4;
ax
4)
y
de
f
- 4)
+y
o
I
en el punto A (-4; 4)
af(-4; 4)
ay
.
I
SI
.
existen
.
"* o
• SI X + Y
si x + y = o
Solución
Sean T1-{(x;y)E!lR2/X=-4}
1)
trayectorias
que pasan
trayectorias son:
Sobre T1:
y
1'z={(X;y)EiIl2/y=4}
el punto A{-4:4). Los llm ires sobre
por
dos
estas
[(x; y) = lirn {(-4; y) = lim 16(y - 4) = 16
(.\':Y)"'(-'l;·I)
Y "
1'-4
Y- 4 .
"obre T.,!:
lirn
{(x; y) = lim {(x; 4) = lim O = O
Hin
x--4
tx;y) ....(-4;4)
X-·-1
Por tanto. por la regla de las dos trayectorias, el limite no existe.
Luego, f es discontinua en el punto A (-4; 4).
A I considerar la definición de la derivada parcial, se tiene:
ft)
[x( -4; 4) '""lim f( -4
+ 11; 4; -
1,"'0
(,),(-4; 4) = lim
1
11-0
f(-4;k+4)-f(-4;4)
16k
Ií•
k-tO
Il r
f( -4: 4) '""lim (O) '"" O
= k-O
Hin-,-, = 16
1\
•
tanto. las derivadas parciales de f en el punto A(-4; 4) existen.
15.- Dada la fun~n (ex; y) = IX2 - 4x + y2 - 6y + 41. halle los
IHllllus en los cuales [y(x; y) no eX1s1e.
~hlnci,jn
Al considerar la definición de valor absoluto, se tiene
.,
_ { X2 - 4x + y2 - 6y + 4, si (X,. 2)2 + (y - 3)2 > 9
f (x: ..v) - - (')x&. - 4x + y" - 6y + 4 , si t;t._- 2).<. + (y - 3) 2 < 9
I deri vada parcial de I con respecto a }' es
2Y - 6, si (x - 2)2 + (y - 3)2 > 9
1), ex; y) = {6 - 2Y , s i
2) 2 + (y - 3)2 < 9
I [emplo
Ij
.)
~.,
ex -
hOI:1.analizarnos la existencia de [y (x; y) en tos puntos sobre la circunferencia
ey -
( - 2) 2 +
3) 2 ..... 9.
S 11 Po (xo; )'0) un punto sobre la.circunferencia (Fig. 3.3). Entonces:
r (ex' y )-) = llrn {(xo; Yo + k)
/y
o· o
k
k-O-
- (Cxo;Yo)
- 2kyo - k2 + 6k
/(-40k
= 6 - 2yo
· {(xo; Yo + k) - f(xo; Yo)
)+) = l un
o
k-O"
k
.
- hm------
I
«(X;)'o
= iim
k--O'"
2kyo + k2
k
-
-
6k
= 2yo - 6
Por consiguiente, [y(xo; Yo) existe si las derivadas parciales laterales son iguales.
esto es
ú - 2yo = 2yo - 6
De donde resulta Yo = 3. Al sustituir este valor en la ecuación de la
circunferencia (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9. se obtiene
xo = -1 6 Xo = 5
Así, [y (xo; Yo) existe en los puntos (5;3) Y (-1:3). En los demás puntos de la
circunferencia (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9. [y(x; y) no existe.
E.JERCICIOS
1.- Halle las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones:
e¡
a) [(x; y) = X2 sen2y
= 2x sen2y • st
ay = X2 sen 2y
al
2
b)[(x;y)=xY
R. iJx
iJ[
2
a
R. iJx=y2xY-l'ay=xY
2ylnx
+ In ( ......
Xl r::) + sen2(rrxy)
e) {(x; y) = x2e-Y
x - 'l/y
d)
[(x; y) = In (~) + arctan (~)
e)z=ln
-x)
Jx2 +y2
( JX2+y2+X
f) u = eX/Y
g) [(X; y)
+ arcsen
az
(2y - z
2x
yJX2+y2
+ x)
yZ)
( x )
X2 + y2 + arcsen 1 + Y
X2 -
= aretan
(
1)
= xye.rl+y2 + In (X y-l
xyz2 Z + eX)'z + aretan
i) [(x; y; z) = 2
x +y +z
h) [(x; y)
f
%2
,1'2
k)
ñz
~
R. éJx= Jx2+y2'ay=
+ eZ/Y + sen
j) [(x; y; z) = x
(xy)
1
1 + cos"t
dt
(3XY)
-2
Z
+ yz3
[(x; y; z) = (x2 + y2 + Z2) In( J""'x-=-z
-+-y-=-z-+-z-=-Z)
+ xz2 - yx2 + zy2
2.- En los siguientes ejercicios. determine las derivadas parciales indicadas en
caso de que existan.
+ cos(1l'xy)
x +y
l
-----
a) [ex; y)
:=::
{
o
= { y + eX
l
"
y
si
*' <.
X3 _ y3
=
X2
{
---
d)f(x;y)=
-1: y2 .si
O,
X:4
{
+ y2
y2+X
si
= in(x2 + xy + y2).
Sil
ti
=-+-+-,
SI
ti
= y¿.+ tar'(ye1/X),
x
x
x
)'
=o
fx(O; -1) )' 1;,(0; 1)
* (O; O) .
(x; y)
, si y2 + x
Si u
z
' [xCl; -1) Y {ye1;O)
.r..(0; O) y 1;.(0; O)
si ex; y) = (O; O)
o ,
y
O
si y = -ex
O ,
c)f(x;y)
+ v=
+Y
SL X
I
x2y2
b) [ex; y)
.
,SI X
),2
+X
'* o ,
ly(-l:l)
fx(-l¡l)y
=o
i)u
Pruebe que x ax
al!
+ y iJy = 2
au
irú
iJH
pruebc'que ~-+y-+z-= O
~ax
By
az
...
pruebe que
au + y-ñu = 2y
X2_
ox
2
ay
.;"
z
h SIU=
xy
+ yz
,
+ xz
y
'1)1l
au
ax
ay
oz
prucbequex-+y-+z-+1l=O
ñu
e"'}'Z
SI 11
Bu
+ e +e
z
J
pruebe que
au n«
-a x + -a y +~
(170
= u(xy
•
+ .~z + yz -
( 11ulc la pendiente de la tangente a la curva de intersección
J36 - 4x2
I
,
- 4)'2
Y el plano x = 2 en el plinto
1)
de la superficie
Q (2; -1: 4)
R. I
= 9 - yZ - yx'2 en UIl punto en el
I ~,octante donde x = -2 está en el plano paralelo al plano YZ y tiene
ndrcntc -9 Encuentre la ecuación del plano.
R. y = -2
"1
r ~cL1 tangente trazada a la superficie
lila camina hada
I ni"
11 t
tulh
7.
\. tHlIl
(1
arriba n lo largo de la curva dada como la
de la superficie 7. = X + xy3 + 12 con el plano x = 1. En el
~, ~). ~ull{) por 1" recta tangente. ¿En dónde tocó la araña al plano
R. (1:0;29)
11.- Una recta tangente trazada a la superficie
+4y5
z = e~ycOS(7/fX)
-
arctan(2xy2)
2xy2
+_ _..:.__
1 + y4
en un punto donde x = -1/2 está en el plano paralelo al plano XZ y tiene
ncndierue 141T. Encuentre la ecuación del plano.
R y = -1
12.- l.a intersección del plano y = 1 con la superficie z = x3 y + Sy2 es una
curva C. Si se traza la recta tangente a C en el punto donde x = 1, halle el
punto donde dicha tangente corta al plano x = O.
R. (O; 1; 3)
una esfera con centro en el origen y radio 13. Una recta tangente
trazada a esta esfera en un punto en el primer octante donde x = 3 esta en el
plano paralelo al plano XZ y tiene pendiente -1/4. Encuentre la ecuación del
plano.
R. y = 4
13.- Considere
14.- En cada uno d... los siguientes ejercicios. halle la ecuación del plano tangente
) de la recta normal a cadajina de las superficies en e' punto mdicado.
•
y2
X2
a)z = 3 -9-16
C)Z
= J4
-
("
'
X2 - y2.
d)z = 3x2 +y2
+ 2,
e) z = e2x cos3y
,
Q3)
Po 2;2;36
Po(1; 1; J2)
Po(-l;2;9)
Po(l;1T /3: _eZ)
1) 7. = IncJxz + y2) , Po( -3; 4; InS)
b)z =x
Iny ,(1; 1;0)
R. 6x - 4y
'O~
+z+S =O
R. 2e2(x - 1)
+ z + eZ
=O
15 - Halle los puntos de la superficie donde el plano tangente es paralelo al plano
coordenado X Y.
X2
a)
y2
Z2
1+9+1=
e) z = x3 - 12xy
1
+ 8y3
16.- Ilalle la ecuación del plano tangente a la superficie z = 4xy - X1 - y1 que
es paralelo al plano Q: 8x - 8y + z + 28 = O
R. 8x - 8y + z - 10 = O
17.- Encuentre el ángulo entre la recta L = (-2; 5; 12) + t( 4; 1;-3) / t E ~} }'
la normal a la esfera X2 + y2 + Z2
121 en el punto de mtersección de la
=
recta y la esfera
R. cos
e
=+
ffi
18 - ¿En qué puntos del gráfico de la ecuación x2
son los planos tangentes paralelos al plano XZ?
(-·2; -2; O)
+ 4y2 + 16z2
2xy
-
= 12.
R. (2; 2; O) y
1" - l lalle
un vector tangente a la curva de intersección de las superficies
~.z_ 3xz + y2z ::: 1 y 3xy + 2yz + 6::: Oen el punto (l. -2, O).
() - Demuestre que el plano tangente a la esfera X2 + y2
(xo; )'0; zo) de la esfera (zo > O) tiene por ecuación xXo
+ Z2 = 1 en
+ yYo + zZo
un punto
=1
~I • I:ncuentre las intersecciones con los ejes coordenados de cada plano tangente
u la superficie
,,
X2/3
+ y2/3 + Z2/3
= a2/3
Pruebe que el tetraedro acotado por los planos coordenados)"
cada plano
Q
tungente a la superficie xyz = a3 es de volumen constante.
R.I'
-= ;
a3
Halle sobre el cilindro (i',+ y)2 + (y - Z)2 ::: 4 el lugar geornétnco de los
¡llUIOS en los cuales la normal es paralela al plano XV. R. y::: X,x + y::: +2
'\
,
el valor de 111 para que el plano x - 2)' - 27. + In ::: O sea
t.u'~l."nte a la superficie de ecuación X2 +V+ 16z~ 144::: O
1>1."11."11111111.'
.,,~
''1
(.
111 temperatura T de una placa rectangular está dada por
r{.\;)') = 4xyl(S - x)(S - y). SI O <x S 5.0 S Y S S.
Fn (4:2),
determine la razón de cambio de T a) con respecto a x b) con respecto a y.
de utilidad U = {(x; y) mide la satisfacción (utilidad)
una persona al consumir dos productos x e y. Supongamos
1.1 función
que
encuentra
que
11 5.\'· - xy + 3y2
di Calcule la utilidad marginal con respecto al producto x (U,,(x;
le) I icrcrrnine la utilidad marginal con respecto al producto y (Uy(X;
l) Cu.IIHlu x:
2 e y = 3, una persona ¿debe consumir una unidad más de x o
¡fc)' parn tener mas utilidad?
y»
y»
'JI1 filhru:antc de pistones para autos estima que su producción total en miles
.te unidades esta dada por P(x;y)
lSX2/5y1/S. donde "x" es el número de
unidades de fuer/a tic trabajo e "y" es el número de unidades de capital
tlllll;',ld,)
a) Encuentre el número de unidades producidas cuando se utilizan 32 unidades
de fuerza de trabajo y 7776 unidades de capital.
b) Encuentre e interprete Px(32; 7776) Y Py(32; 7776).
e) ¿Cuál seria el efecto aproximado sobre la producción de incrementar a 33
unidades de fuerza de trabajo mientras se mantiene el capital en su nivel
presente?
d) Suponga que las ventas han sido buenas y la administración quiere
incrementar el capital o bien la fuerza de trabajo en una unidad. ¿Qué
opción dará un mayor incremento en la producción?
28.- Después que un nuevo producto se ha lanzado al mercado, su volumen de
ct + 450
ventas V (en miles de unidades) está dado por V =
. donde e el>el
Ve + t2
tiempo (en meses) desde que el producto fue iruroducido por primera vez y e
la cantidad (en cientos de nuevos soles) gastada cada mes en publicidad
a) Calcule VI Ce; t)
b) Use el resultado de la 'parte a) para predecir él número de meses que
transcurrirán, antes de que el volumen de ventas empiece a descender. si la
cantidad destinada a publicidad se mantiene lija 011 SI. 9000 por mes.
R, 18 meses
29,- Una compañia que fabrica computadoras hadctcrrrunado que su función de
.,
producción está dada por PCx; y)
= SOOx + 800y + 3x2y -
x3
-:
• donde
x es el tamaño de la fuerza de trabajo (en horas de trabajo por semanal e yes
la cantidad de capital (en unidades de S . 1000) invertido
Encuentre Px(x; y) }' I~(.K;F) cuanJo K = SO J' ,. = 20 e
resultados.
,:17\\.'.-,7'-':,':
las
30 - La función de costo de la empresa SAJ ITA S.A. que produce dos IIpOSde
productos A y B es Cex; y) = SO In x + 40 Iny + 15y2 + 12x2, donde x e y
son las cantidades producidas de tipo A y B respectivamente.
a) Fncucntre el costo aproximado de producir 50 de tipo A y 20 de upo B.
b) Halle C.r(50; 20) y Cy(SO; 20) e interprete los resultados.
el Suponga que las ventas de los productos hall sido buenas y la empresa
quiere incrementar la producción del producto de tipo A () del IIpO B en
una unidad "Qué opción dará el menor costo de producción':'
,.! nERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERrOR
I 11 mismo que sucede con las derivadas ordinarias de una función de una variable
rcnl es posible encontrar derivadas parciales de segundo. tercero, cuarto y en
l' neral de orden n de.' una función de varias variables.
VU1I10S a empezar por denotar las derivadas parciales de orden superior de una
IIII1CIt'1I\ de dos variables. Luego. se generaliza esta idea para funciones de n
\ nri.ibles.
!.C.I7. = {(x; y) una función de dos variables con dominio el conjunto D e 1112
l'uesto que las derivadas parciales de primer orden de f
oz
ax = fx(x;y)
iJz
-iJ
y
= Dlf(x;y)
= fy(X; y) = D2f(x; y)
on t.unbién funciones de dos variables. entonces las derivadas parciales de estas
luncrones se llaman derivadas parciales de segundo orden de [,
I ~I,l"segundas derivadas de [ sOn cuatro y se denotan por
a2z
iJx2 = fxx(x; y) = Dllf(x;
aZ7
iJy2 = fyy(x; y) = D22f(x;
y)
y)
iJ2z
iJyéJx = fxy(x;y)
= D¡¿f(x;y)
iJ2z
J a = fyx(x; y) = D21f(x; y)
(X Y
1th derivadas parciales fxy(x; y)
y
!yx(x; y) se conocen como derivadas
1!.l1~1.llcsmixtas o cruzadas de [.
{ ,11110 1.lsderivadas parciales de segundo orden de z = f(x; y) son funciones ue x
( y. entonces se puede derivar nuevamente para obtener las derivadas parciales de
tercer orden de f )'aSI sucesivamente hasta el orden n.
11[1111,1" IS.-llalle las derivadas parciales de segundo orden de
fll. y) - 2.ry2 - 3x + 3x2y2 } calcule el valor de [l<y(1,-2)
!\'llllci""
I I dcrlvnd.ts parciales de primer orden de f son
[x(x; y)
== 2y2
3 + 6Xy2 y fy(x;y)
-
+ 6x2y
== 4xy
y las derivadas parciales de segundo orden de f son
f.l:X(X;
fyy(x; y) = 4x
y) = 6y2 ,
+ 12xy ,
(xy(x;y) = 4)'
+ 6X2
[)/x(x; y) = 4y
+ 12xy
Luego.
fxy(l: -2)
= -8
- 24= -32
Teorema 1.- Si z = {ex; y) es una función continua en un punto P(x; y) y las
funciones derivadas parciales (xCx; y)) f)'(x; y), /~>,(x; y) y ~'x(x; y) están
definidas y son continuas en la vecindad del punto P, entonces se cumple:
fxy(x; y) == ['y (x; y)
¡:. D e Ji2
derivadas
parciales D1fCx; y), D'J.f(x; yrl'Dúj(x; Y), D2! {ex; y), D1?1[CX; y), DZ11!(X; y)
son continuas en el punto Po (xo; Yo)! entonces se cumple
Observación
4.-
Si la función
-J
III y sus funciones
..".
En seguida vemos cómo estos conceptos de de'
das parciales de orden superior
para funciones de dos variables se generalizan a''fi)ncioncs de n variables.
Sea z = {(Xl; X2; ... ; Xn) una función de 11. variables con dorninio el conjunto
D e (R11.
Como la derivada parcial de f con respecto a la i-ésirna componente
(i == 1,2.... In)
Di!(Xl;
X2; ... ;
Xn)
=.
[X, (Xl: ... ; Xn)
=.
iJ f (Xl; ... ; Xn)
aXr
es una función de n variables. entonces las derivadas parciales de estas funciones
se llaman derivadas parcia/es de segundo orden de t y se denotan por
.
Dijf(x1;
...
;xn)
== ['fl'-':¡Cx1; ... ;x") =
iJ2f(Xl:
... ;xlI)
ax.ax
J
'Vi=.1;2,
... ;n,
Vj=1;2,
1
... :n
Las derivadas parciales de la función Dlj[: D e iIln -+ ~ con respecto a la k-ésima
componente se denominan derivadas parciales pe tercer orden y se denotan por:
iJ2f(x1; oo.; xn)
DCJk f (x) :
xn) = [XIX 'Xk (Xl; ... ; Xn) -== a a a
o ••
;
#
J
Xk
AJ' Xc
vi = 1,2, ... ; n; j = 1,2, ... , n ;k = 1,2.. , n
I n Ionna similar. se puede continuar en hallar las derivadas parciales de orden n
de {. ,'11 caso existan.
I 11'1111'10
I.y,(x:y;z)
!o.lIlul'ión
I
t~
16.- Dada la
y fzxy(x;y;z).
función
{(x; y; z) = eXYz- e-Y cosfxz),
halle
derivadas parciales de primer orden de { son
/, (';y;
+ ze-Y
z) = yzexyz
sen (xz»)' fz(x;y; z) = xyexyz
+ xe-Y
sen (xz)
I ucgo, las derivadas parciales de segundo orden de { son:
/.y(x;y;
z)
= zexyz
+ xyz2eXYZ -
Iz.. (x; y; z) = yelCYZ+ xyZ zexyz
luuhnente,
ze-Ysen (xz)
+ e-Y sen
(xz) + xze"? cos(xz)
las derivadas parciales de tercer orden de f son:
1,".1('\: y: z)
= eXYz + 3xyze~!Z + x2y2z2elCYZ-
J
e-Y sen(xz) - xze"? cos(xz)
'¡ ...)
I,,¡.(x: y; z) = elCYZ
+ 3xyzexyz
+x2y2z2eXYZ - e-Ysen(xz)
- xze-Y cos(xz)
EJERCICIOS
l·
l lalle todas las derivadas parciales de ~undo
funciones:
b) 7. = arctan
cj z
= u = xy + yz + zx
el {(x; y) = eX/)'
g)
{(x: y) = x In
d)f(x;y)
f) z = X2
(:2)
4y
-
+ y)
1-xy
X
=.:---
x+y
+ In( J Xl + y2)
-
3 arctan (;), x > O.
h) z = eYX: + In(cos(x - y»
...- Verifique en eada caso que D12{(Á:y)
DI {(x; y)
= x~ + 4x3y
bJI(x;)')
= eXYsenxcosy
1+
X
(
orden de las siguientes
- 3x2y2
X)
d){(x; y; z) = In ( 1 + z
= D21{(x;y).
+ 6xy3 + 9y4
e) {(x; y) = xe-YZ
- eX)'
+ x sec y
x-y
=
c)f(x;y)
= sen
3.- Si {ex; y)
= xe'?
f)f(x;yJ
x+y
+ y) + C05(X
(5rcx
4.- Una función f: 1i2
1;,x(O: O)
57Ty) .calcule
-
fxxt O: O)
lJa se llama armónica si satisface la ecuación de Laplace
-;
a2! »¡
ax2 + iJy2 = O. Pruebe si las siguientes funciones son armónicas
b) {(x; y) = e-x sen y
a) {ex; y) - x3y - xy3
e) II
= eX sen y + In(x2
el)
= e ~.._),..sen 2xy
ti
5.- i ti
A cO!ilm(
Ui.:t
bX
3xy2
-
1
e) f (x: y) = --¡=:;;::==:=
JX2 + yZ
+ lJ sen
• at)]
o·u
iJ2u
~~t¿ =
.
..
+ ),2) + x3
a,~ nI,"
l ' donde 11,
I'n(x - aL)] . Pruebe que
.
) a son consmmes,
a21l
6.- Para In ~lInC161l u - fe .; )': 70) lo ecua ron tic I ,lpIJCC es ax2
iJ2u
a2u
+ cJy2 + i) z?'
I ruebe que In siguientes funciones satlsf] n In ecua ión de Laplace.
aj u = (.\"2+)'2 f· Z2)-1/2
b) z = eX s(J~! + aY sen x
7,- o¡ {(x: y) = (y + ax)2e>,+ClX
8.-
•
y
Pruebe que {xx = a2 (yy
a2u
iu = arctan (-) , pruebe que ~
'x·
9.- Si u = e"
.
+ eY + e
Z
(jX~
pruebe que
•
a2u
+ -:::-::;=O
ay"
a?u
axay
= e"
aaL = a2 ax2
au
211
2
10.- Si u = eX-U! cos(x - at), pruebe que
j 1L
3
= ve: + xer pruebe que ax ay
~.f()
I"')
-.l.
x; )'
=1
x
t o
I
-
+y
y2)
2
'2
I
Si X
+Y
311
?
í
( xy(x22
2
au
a
ax 2 ay + ay" aX
a?u
11.-
( azz + -_
az- - -_
az)
iJxiJy
OX
iJy
2
=1=
si (x; y) = (0:0)
o
~ O
pruebe que f12 (O; O) = -1
•
/21 (O; O) = 1
13 - Dada la función F(x; y) = Ax:l + 3Bx=y + 3Cxyl + Dx", Determine que
relación debe existir entre los coeficientes A. B. C y D para que ,.~)' - f"xx"'yy
sea un cuadrado perfecto.
14.- Dada la función z = ~XS - 2X3
+ 2Sx + ax3y2 + bxy" + cxy?
i)'z
a) Determine los valores de a. b y e de modo que -') ., y
e x-
i)2z
-a y~,sean
iguales
) de signos opuestos.
b) lIalle los puntos de la superficie representativa lié dicha función en los que
el plano tangente es horizontal
=
1".- Sea la función f(x;y)
e'lX+by
= gl'(x;y)
Si 9x(x;y)
g(x;y).
= 1. l Ialle
los valores de las constantes..a } b, tales que fx(x; y) = [y (x; y) y
1+ [:r.y(x;y) = a + fyx(x;y)
i
R. el = b =
1h - Sean g(x; y; z) =
Halle
a2 f(2;
rr: 1)
z.fiY
2
a2 f(2;
L01%'Y;Z I
Y [(x; y; z) =
n: 1)
sen (L 2)dL
•
-
v
.J2rr
R . -- 32'
J
7 - Para k una constante
(IJ(X;I)
I
111
(x; r)
= Jo
POSill\'3) g(x; t)
tJ~r(O;O)
a{
kiJ2f
e-U duo Pruebe que ax2
eX
{
iJ'l!(O; O)
v -a:--x-ao--j-'''';_
+ eY +.
SI
= at
xy
,
x- + y~
2,
-l/~
. sea
2.fki
2
I)aJa la función (x; y) =
II,IIle
1 x
= --
1
--I?rr)·
2 v-
SI
,Sl
(x;y)
es que existen.
(x; y)
'1=
= (0;0)
(0;0)
.
O
3.3 DERIVADA DJltECCIONAL y GRADIENTE DE UNA FUNCiÓN DE
VARIAS VARIABLES
En la sección 3.1 hemos determinado la pendiente de la superficie z = fex; y) en
dos direcciones diferentes: en la dirección del eje X (la pendiente estaba dada por
la derivada parcial fx(x; y)) y en la dirección del eje y (la pendiente estaba dada
por la derivada parcial [y(x; y).
En esta sección veremos cómo se puede usar estas dos derivadas parciales para
encontrar la pendiente de In superficie z = {(x; y) en una dirección arbitraria.
Deflnición
5.- Sen f: f) e I1Rtt-+ 1R! una función de 11 variables con dOIl1 in lo
D e jR!" tales que Dlf(x1; ... ; xtl), ... , Dnf(x¡; ... ; xn) existen \t(Xl: ... : Xn) E/).
El gradiente de la función r en el punto (x 1; ... ; Xli) E D es el vector
1
V!(x1;·
..
;xn)
= (Dlf(~"(l:···;Xn)):·
.. ;/Jnf(Xl;
donde V es el operador nabla.
Geométricamente,
el gradiente 'V {(Xl: ...; x,J es
superficie en el espado en la c'-'f}ls estudia.
.. ·;Xll))
un vector normal a una curva o
41'
Observación 5.i) Si z
= [(x;
y) es una función de dos variables. tales que
Vf(xo;Yo)
= (fx(xo; Yo); !>,(xo; Yo)) =;; (5 . ronces fJ!(xo;yo) es un vector
normal (ortogonal) a la curva de n ivel de {V"Ct1w: (ex; y) = e) que pasa por el
punto Po (xo; Yo) (Fig. 3.4).
Fig 3.4
FIg.3.5
ii) Si w = [ex: y; z) es una función de [res variables tal que
V[(xo; Yo~ zo)
= (fx(xo;
Yo; zo); fy(xo; Yo: zo); f%(xo:
)'0;
Zo»)
'=F
O.
entonces V{(xo; Yo; zo) es un vector normal (ortogonal) a la superficie de
nivel (S,..:{(x;y;z)
= e) que.pasa por el punto Po(xo; Yo; zo) (Fig. 3.5).
I 1l'1II1'11I 17.-llalle el vector gradiente de las siguientes funciones
1) 1(').;)')
= Bxy
- 2x" - 2y·
= cos(xy) + X3y3z3
b) g(x;y;z)
"ulllril\n
= (!xCx; y); {y(x; y») = (By - 8x3; Bx - 8y3)
h)Vg(x;y;z)
= (fx(x;y;z);{y(x;y;Z);{z(x;y;z»)
= (-y sen (xy) + 3X2y3Z3: -x sen (xy) + 3x3y2z3;
1) 'ílf(x; y)
Si {(x;y)
111'11'1'1018.-
= xeYz -151n(x2
3X3y3Z2);
+ y2 + 16). halle V/(2;O)
.-.........
'-1_1•• _: 1._
=
Vf(x;y)
=
(Ix (x; y); [y (x: y»)
(ey2 _ x2+y2+1630.i( ~.
2x eYz _
y
IlICitC), V f(2; O) = (-2; O)
30y
)
x2+y2+16
..,.
'
.
IRfunciones de n variables. entonces V es un
<;.
2.- Sean 1, g: D e 1Il" -+
'l'c'lld,)r que satisface las siguientes propiedades:
Iru.\'11111
VIJ (l') + g(p)}
= Vf(p)
+ Vg(P).
'v'p(xl;
••. :
xn)
E
D
VII1;lf- g(p)f= V[(p) - Vg(P)
VIA I (p)]
\llf(p)g(p)]
vii
=).
V[(p)
= f(P)Vg(P)
(11)1 == g(P)V/(p)
0(1')
+ g(P)Vf(P)
- f(P)'Vg(P)
[g(p)]2
.si
():¡e:
9 p
O
Vil/ (,1»' 1= rlf(p)]'-lV{(p)
I I vector V/(p)
Indica la dirección de máxima razón de cambio de 1 en el
I>EIUVA()A
OIRECCIONAb
DE
UNA
FU CIÓN
DE
VARIAS
VARIABLES
Definición 6.Sea f: 1) e Jm2
llRuna función de dos variables con dominio D e 1m2, y sea
Ü = (u]; lL2) un vector unitario en IR2.
La derivada direccional de f en el punto ex; y) E D en la dirección del vector
unitario U, es la función de dos variables denotada por
4
'C"
)
D 11 j x; Y
=
l( (x; y) + hü) - [ex; y)
u m ___;,----}__;_----
1"
11-0
1
si este lim ite existe.
INTERPRETACiÓN
GE()r\lÉTRICA
lOE LA
llER1VAnA DIRECCIONAL
Sea f: D e ~2
1lRuna función de dos variables
.ta I que Dü[Cxo; Yo) existe para (xo; Yo) E [) Y r¡
vector unitario en Jm.2.
..~~
La derivada direccional de f en él punto (xo: Yo) E
D en la dirección del vector unitario fi esto es.
-1
t"
..
) - 1"
1) ji f( ~o¡
Yo - 1111
fe (xo;
h~O
)'0)
+ hu)) h
f(xo; Yo)
~
representa la pendiente de la recta tangente (Lr~t_,a la curva de intersección de la
superficie z = f(x; y) con el plano perpendicular al plano XV que contiene a la
recta L: (x; y; t) = (xo; )'0; O) + l (xo; Yo; O), t E a:R
Observación 6.- (1nterprctación de la derivadn direccional como razón de
cambio)
i) La derivada direccional de f en el punto (xo: Yo) E D en la dirección del vector
unitario ii = (111; Uj!), esto es,
-f(
.
)-1"
D u xO Yo - Jm
.h.....O
I
f((xo;yo)+ltü))-[Cxo;Yo)
h
mide la razón (o velocidad) de cambio instantáneo del valor de la variable
dependiente z = [(x; y) con respecto a la distancia en el plano XY. medida en
la dirección del vector unitario ü.
ji) Si la dirección del vector unitario ü está dado en términos del ángulo que
forma este vector con la parte positiva del eje X. esto es. Ü = (cos 8: sen B).
entonces la derivada direccional de f en cualquier punto (x; y) E D es dada
por
IJu!<
Ie
.
";)1)
+ 11 sen O) -
+ hcos9;y
rcx
= hlirn
....
O
h
f(x;y)
I
te limite existe.
1"1,10 19.- Sea [(x; y) = eXY - y2. Halle la derivada direccional de
.1'ltll I punto (x; y) E D, ' en la dirección del vector unitario
ti
f
en
J
1
(J7_;- {2)
ón
(tlll
1)uf
+ hü) - f(x;y)
. ) = 1" t((x;y)
( x, y
In}
11.....
I
0
1
f (x + _E_; y - J!_) - f ex; y)
= Ji m ·
-.fí.
-ti
..
h
It-O
= lirn
[
e
(y .s.f] - [e%)' -
(x+7z)(Y_-:Z) --
_,._
.
eXY
[):Z)'-~
= lirn
.
h~O
/2
h
h-.O
~2)-1]
.
..f2
. ~o
r_
h2
(y _
- .lim
h
y2]
y2
h
,.~
h
= eX>'lim
e ( .¡zY
lim
-)'-~-.h
11
112)
e..fi
..;2
2
(
= e x)' J'1m
_.
-
_
J2.J2
1
h_,O
e'Y(~- ~)
(Y
2h
""2 - . r;;; y
h...O
,...
=
~ h2
h'2)
ti
h-O
LOII
h
sr:« - 1_
X) -
v L.
h
Iz
h-
2r::Y
,,2- l'lm-----h-O
1
+{2y
Ión 7.- Sea f: D e 11124 IR una función de n variables con dominio el
f,hUllO IJ e li", Y sea ü = Cu1; ... ; un) un vector unitario en IIln.
I I ti Irl\' di direccional de f en cualquier punto (Xl; X2; ... : -l'n) E D en la
I t iun del vector unitario ü es la función de n variables dada por
I
,
tímltc existe.
Teorema 3.- Sean f: D e 1Jl2 -) 1Ji una función de TI variables con dominio D.
Ü = (Ul: ... : ttn) un vector unitario en IIln y V/(P) el vector gradiente de f en el
punto P(x1: 0.0; Xn) E D. entonces la derivada direccional de f en la dirección del
o
•
vector unitario
_
es
lJ
= Vf(P)
Düf(P)
_
• u ==
af(p)
a. Xl
iJl(P)
+ oX2
Ul
U2
+ ,..+
af(p)
iJ
Un
XII
Ejemplo 20.- Calcule la derivada direccional de la función
f(>.:; y; a) = In(x2 + y2 + z2) en el punto [Jo (2; 2; -4) en la dirección que va de
P1 (2: 2: -4) a Ql (3; 1; -5)
olución
Un vector en la dirección indicada es
a == "1 Q1
=- (1;-1;-1)
y un vector unitario en la dire-cción de este vector es
_
U¡j
ii
= 11011 ==
( 1
1
1)
J3; ~ va; ~~
2x·J;",
Como 'V{(x; y; z)
•
= ( x 2 + )' 2 +.a 2;;¿x
22)
2y
+y
2
+z
2 : . 'J.
2
r +y +z
2
I
entonces el
vector gradiente en el punto Po es
"1 1 ])
,\)[(2' 2' -4)
, •
= (-..
-' -- 3
6 6'
1
Por tanto, la derivada direccional de f en el pllnirs~Po es
Dtif(2;
2; -4) = Vfe2; 2; -4) • ti =
1
¡;:;
3v3
EjempJo 2 J.- (',Cuál es el vator dd :ingulo O para el cual ItI deriwlda airccc¡on~11
de [(x; y) = J2S -
en el punto (1; 2) es mínimo y cuál es este valor
X2 - y2
mínimo:
Solución
AJ usar el vector unitario 11= (tOS 8 : sen 6). se
tiene
B (9) = Dfif(l: 2)
1
= - --::::cos (J
2~S
1
- -
{5
2
sen. 8
Oc donde resulta
1
2\'5
CJ'(9) = ---senB
~
1
- -cosO
.¡g
v
"
el
37
9"(8) =
1
1
treos 8 + trsen 8
2v5
v5
1'1 hacer ,(j'(O) = O,el punto crttico de.9 es (J = arctan(2)
J ,u:gn.
,
1
1.
1
= 2...[5cos(arctan(2)) + ...[5sen (aretan(2)) = 2 > O
11 '(.lIcl3n(2))
A~I. O = arctan(2) corresponde a un valor mínimo de g.
J'''' tanto. el valor mínimo de la derivada direccional de [es
1'lHll'lEDADES
DE LA DERIVADA DIRF.CCIONAL
~c.,n 1,g: D e IR" -+ IR funciones reales de n vanables, tal que Vf(l') Y t:.g(P)
evrstcn. '!IP(x¡: oo.; Xn) E D, y,,_sea
ü = (U¡. oo.; u,,) un vector unitario en an.
,
I utonccs se tiene:
1I1/)¡¡(f
+ g)
= Dü[
+ Düg
11) IJ¡¡(f·g) = fDüg + gDa!
,,) I)a
11)
(f) = gDü[ ~ f Drrg •sr g(P)
'F
O. '!IP E
D
I.a dirección del
ascenso más rápido de la variable dependiente
l = {(x¡; oo.; xn)
(o la dirección de máxima razón de cambio de z = f (P)
1.:11 el
punto P(xl; oo.; Xn) E D, se presenta cuando el vector unitario
r; = (ul; oo. ; tLn) tiene el nusmo sentido que el vector grad lente V [(XI; '00: xn)'
En esta dirección. el valor máximo de la derivada direccional de f es
e I La dirección del descenso más rápido de la variable dependiente
7. = [(x,: oo.; XII) (o la dirección de decrecimiento más rápido de z =
en d punto P(x,; oo. ;Xn) E D, se presenta cuando el vector unitario
,i::: Cu,; 00.;11'1) tiene el mismo sentido que el vector -V[(xl; oo.:xn),
(ep»
I u esta dirección, el menor valor de la derivada direccional de [~'s
f
en la dirección de
cualquier vector unitario ü del espacio R" satisface la desigualdad
De las propiedades
d) y el. la derivada direccional de
1) Cualquier dirección ti = (u1; •.• ; u") perpendicular al vector
'iJf(xl; ... ; XII) es tina dirección de cambio cero en [, esto es
= 'iJ[(XI;
: XII)
D_¡¡f(xl: ,.. ;x,,) = -D;¡[(Xl:
; x,,)
D,¡f(xl;
g)
... ; XII)
•
uradiemc
e-
ii = O
nI Las relaciones de las derivadas parciales tic la función z = {(x; y) con la
dcriv ada direccional de f son:
D¡l(x; y) = 'iJ{(x; y) • i = f,(x; y) (i = (1; O)
D~{(.x: YI = 'iJ ((¡:; y) • ( = ['j(x; y) (i
(O;-1»
=
Ejemplo 22.- La distribución de la temperatura sobre una placa mctáltca viene
dada por la función
T(x; y) = 1O(xe-Y~ +Ye-'.a:,-Z)2)
SI una mosca se sitúa en el punto Po{2; O). se pide:
a) Determinar la razón de cambio de la temperatura al desplazarse hacia el punto
Qo(2; 2).
b) ¡,En que dirección desde el punto Po d~
moverse la mosca para que la
temperatura dtsminuya lo más rápidamente' 'posible'? SI SIgue esta dirección.
"cual es la rapidez de cambio de la temperatura?
el ¿En que dirección desde el punto Po debe moverse la mosca para que la
icrnperarura aumente lo más rápidamente posible',' Si sigue eS¡3 dirección,
J:.1-'-"J.~<;.IJl.~"'..lfjJIt2.rIitC'JUJ:)hin /~ la.remneratura?
d) Si la mosca no quisiera apreciar ningún cambio de temperatura. "que dirección
debe lomar?
Solución
a) Un vector en la dirección de Po hacia Qo es
_.
b = p()Qo = (O: 2)
~
)' un vector unitario en la direccrón de este vector es
-.
_
b
u¡; =
= (O; 1)
IIbll
Como \7T(x;y) = (10(e-yi - 2y(x - 2)e-tx-2l:):
entonces el vector gradiente de T en Po es
\71'(2; O) = (10; 10)
10(-2xye-Y~;.
e-1X-l)2»).
Luego, la razón de cambio de la temperatura
-
vector b es
Dü;; T(2: O)
al moverse
en la dirección
del
= VT(2,; Q) • uij = 10
b] Para que la temperatura disminuya lo más rápido posible, la mosca debe
moverse en la dirección del vector
-VT(2; O) = (-10; -10)
En esta dirección, la rapidez de cambio de la temperatura es
=
=
IDut1T~(2; 0)1 1-IIVT(2; 0)111 1,-10\Í21 = lOJ2
) Para que la temperatura aumente lo más rápido posible. la mosca debe moverse
en la dirección del vector
V1'(2,; O) = (10; 10)
I n esta dirección, la rapidez de cambio de la temperatura es
= fl0V21 = lO~
fDÜVtT(2;OYf = IIl\7T(2:0)111
1) P"ro que no haya cambio
en la temperatura,
se busca el vector unitario
.1 e (Ul; uz), tal que
VT(2:0).Ü
{
111111 = 1
= O ~ 10Ul T 10uz = O
~ ll~+ lli = 1
...
(1)
(2)
I resolver las ecuaciones (1) y (2). se obtiene
11,
=
(Jz;- Jz)
Ó
1i2 = (-
Jz; ~~
l'or lamo. la mosca debe lomar una de las direcciones lit o U2 para no tener
ningún cambio en la temperatura de la placa.
, t
111 plo
ti,
23.- La altura de una montaña sobre el nivel del mar es dada por la
1011 7.
= 900 - 2x2
-
2y2.
donde x e y medidas
udenudas este-oeste y sur-nene respectivamente.
, IlnHl 11(6: 5: zo)'
,~
en metros
son las
Un hombre se encuentro en el
que altura se encuentra el hombre'.'
I t1 que dirección desde el punto A debe caminar el hombre para escalar la
lo más rápido posible'? Si sigue esta dirección. ¿cuál es la rapidez de
l unbto del hombre? (considere la unidad de tiempo el) segundo).
( II ti 'S Id dirección que apunta a la cima de la montaña desde el punto A? Si
, ·U • t f.¡ladh ección, ¿cuál es el valor de la pendiente de la montaña?
I I hombre se mueve en la dirección sur-oeste.
¿cc;tá ascendiendo o
f
mil "d()~'. :cuál es su rapidez?
IIHIIII¡lí\U
e) Describa el lugar geométrico de los puntos que el hombre debe recorrer, si su
deseo es estar a la misma altura sobre el nivel del mar que en el punto A.
Solución
I
él)
El hombre
20
S~
encuentra a la altura de
= [(6;
5)
= 900 -
2(36) - 2(25)
= 778 metros
b) Como \Jfe>.:; y) = (fx(x; y); fy(x; y)) = (-4x; -4)').
gradiente de
r en A' (6; 5) (Proyección
entonces el vector
de 1\ sobre el plano XV) es
V{(6; 5) = (-24; -20)
Luego, la dirección que debe caminar el hombre para escalar la montaña lo
más rápido posible es
V[(6: 5) = (-24: -20)
En esta dirección. la rapidez de cambio de
Dr;fJf(6; S)
= IIV[(6;
f es
5) 11 = .J976 ....31,24
~.
Por consiguiente, el hombrtesta
ubicndo con una rapidez de 31,24 uvseg
le) Como
la superficie de la montaña tiene la forma de un paraboloide elíptico con
vért ice en el punto V(O~O:900), entonces la dirección que apunta a la cima de
la montaña es dada por el vector que va dej.punro A' (6; 5) hacia el origen de
coordenadas. esto es
a = -A'O = (-6; -5)
Yel vector unitario en esta dirección es
.
a
6
s
1I¡¡ = Ha\\ = (- "61; - -1(1)
Luego. el valor de la pendiente en esta dirección es
244
Dij_í(6; 5) = Vf(6; 5) • üa = ~. = 31,24
v61
a
d) Para la dirección sur-oeste, se tiene
f)
= 225
0
(Fig. 3.X)
N
o
.E
Luego, el vector unitario en la dirección sur-oeste es
= (cos 2250• •."en 2250)
Ü
A 1. /)¡¡{C6; 5) = r¡!C6; 5) • ü
P
'1'
= (_
[2)
{2.
2 ~ 2
I
= 22...[2 -
31,1 J
tamo. el hombre está subiendo con una rapidez de 31.11 m/scg,
J I I lugar geométrico de los puntos en la que el hombre debe recorrer alrededor
de In montaña manteniendo la misma altura que en el punto A(6,; 5: 778).
corresponde a la curva de nivel
[ex;
}I)
~
X2
= 900 - 2x2 - 2y2 = 77B (:::) 2X2
+ y2 = 61 (circunferencia).
+ 2y~ =
122
cmplo 2 ....- Calcule el valor de 10derivada direccional de la función
[(x; y) = x5 + xy +)'3 en el punto A(l; 6). en la dirección de la curva
\' .g(x) = 4X2 + 2
SOlución
~ \ del ivada de la función 9 es ~r¡.íx
Como la curva y = g(x) pasa por el punto
l( 1: 6). entonces su dirección es dada por la
f ta tangente a la gráfica de 9 en A (Fig, 3.9).
I Id pendiente de la recta tangente a la cut ~
g(x) en el punto A es
.,..;""
'llT
== g'(l)
=8
1)
, u ecuación es
tr:y = 8x- 2
I llego. la ecuación vectorial de la recta tangente es
Lr: ex; y) = (1; 6) + t(!; 8), t. E R
J I \"ClO" unitario en la dirección de la recta Lr, esto
"
'i
x
FIg :3 9
CS,
en la dirección del vector
(1: U) es
_
Uü
( Ul1l0
(1
8)
= lIa" = .¡-¡;s;.¡-¡;s
a
V[ex; y) = (5x"
+ y; x + 3y~)~ entonces
el vector gradiente en el punto
(I,i,) es
V{(1;6)
= (11: 109)
licU tanto, la derivada direccional de
nr I , - {}(x) es
f
en el punto A (1; 6), en la dirección de la
883
IJUd,{O: 6) = Vfel; 6) • Üéi = {65
Ejemplo 25.- Considere una función [(x; y), tal que
'V{(,x; y) = (4x3 + 2Xy4 + yexy; -3y2 + 4xZy:l + xexy) y {(O; O) = 21
La temperatura en UIl punto (x; y) de una placa rectangular con centro en el
origen está dada por
T(x; y) = [(x; y) + y3 - e">'
a) Determine la dirección en que una araña debe Ir. partiendo dI!) punto B( 1; 1) de
la placa. para que se enfric lo más rápidamente posible.
b) ¿Cuál es la rapidez de la araña en esta dirección?
Solución
Como {"ex; y) = 4x3 + 2xy4 + ye">', entonces
f(x;y)
=
J (4x
3
+ 2xy4 + ye"Y)dx = x' + x2y~ + eXY + C(y)
donde C(y) es una función de la variable y.
Al igualar las derivadas parciales de [ con respecto a y, se tiene
ry(x; y) - 4X2y3 + xe")' + C'(y) = -3y2 '1 4X2y3 + xe'?
(::) C'(y) = _3y2 (::) C(y) = _yJ + k
Luego.
....
[(x;y) = XII + X2y4 +~elY - y3 + k
Dado que reO; O) = 21 (::) 1 + k = 21 => k = 20
Así. la temperatura de la placa rectangular es
T(x; y) = [(x; y)
+ y3
= x4 ~y4
+ 20
."-;...
2xy4; 4X2y3). entonces el vector gradiente de Ten
-
eX)'
a) Como 'VT(x; y) = (4x3 +
el punto 8(1; 1) es
VT(1; 1) = (6;4)
Por tanto. la dirección que debe lomar la araña para enfriarse lo más rápido
posible es
v = -VT(1:
1) = (-6: -4)
b) La rapidez de la araña en la dirección del vector ¡; es
IDü¡;T(l:
= 1-./521 = J52
1)1 = 1-II'VT(1; 1)111
Ejemplo 26.- Sea [(x; y; z) = Xl + cos(x + y) - 7,:1. Halle la derivada
direccional de { en el punto Po (1; -1; 1) en la dirección de un vector ortogonal a
la superficie de nivel de { que pasa por Po
Solución
Como V{ex; y; z) = (2x - sen ex + y); +sen (x + y); -3z2),
entonces el
vector onogonal a la superficíe de nivel de f en el punto PD es
ji = V{el; -1; 1) = (2; O;-3)
'1 vector unitario en esta dirección es
Por tanto. el valor de la derivada direccional de f en la dirección del vector
utogonal a su superficie de nivel en Po es
13
DÜ(j{(l; -1; 1) = Vf(l; -1; 1). ua = .ff3 =
ro
emplo 27.- Sea f(x~ y; z) = x2y2(2z + 1)2. Halle la derivada direccional de f
en el punto A(l; 1; -1). en la dirección de la recta tangente a la curva de
uuer sección de las superficies
I
SI: X2
+ y2 + 2(y
- x) - 2
S2: x - y - 2z - 2
=O
=O
de modo que al mirar la curva, desde el origen, el sentido es horario.
S(,llIción
~
, ecuación cartesiana de la ¡curva de intersección de las superficies es
1)2 + (y + 1)z = 4
e: {
ex -
y
x - y- 2z - 2 = o
1) donde las ecuaciones paramétricas del m
hnmrlo está dado por
x-l
--=
2
y+l
2
sen t
.
= cos t
. liento sobre la curva. en sentido
~
= 2 sen. t + 1
~ e; { y = 2 cos r - 1
X
z = sen t - cos t
x-y-2
z=---2
I .1 función vectorial que describe el movimiento sobre la curva e es
(3: a(t) = (2 sen t + 1;2 tos t - l:sell t - cos t) y a(O) = (1;]; -1)
= (2 cos z: -2
t + sen r), entonces la dirección de la
l( I rangcme a la curva e en el punto a(O) == (1; 1;-1) es
li = a'(O) = (2; O;1)
I vector unitario en esta dirección viene dado por
l UII10 a'(t)
n
li
Iltll
(
= lIul! =
2
c'ís;
sen t; cos
1
O; \oÍS)
ru 0, el valor de la derivada direccional de
, I \ cctrn ri es
f en el punto
A. en la dirección
Dü¡¡I(1; 1;-1) = \71(1; 1; -1) • üa
= (2; 2; -4)
• (~;
O;~)
=O
Ejemplo 28.- Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto A(S; 4)
de una placa metálica cuya temperatura en (x; y) es T(x; y) = 100 - X2 - 3y2.
Halle la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección
de más rápido crecimiento de la temperatura.
Solución
Sea a(t) = (x(t); y(t)), t E J la función vectorial que describe la trayectoria de
la partícula en el plano XY.
Luego. el vector tangente en cada punto (x(t); y(t)) de la trayectoria es dado por
a'ee) =
(dXdt '.~)de
Como la partícula busca el crecimiento más rápido de la temperatura. las
direcciones de: a'ee) y \lT(x;y) = (-2x;-6y)
son iguales en cada punto de la
trayectoria. esto es
a'(t)
= (~:; ~)
= \l1'-Ex;y)
= (-2x;
-6y)
de donde se obtiene las ecuaciones
dx
-= -2x
dt
dy = -6y
de
dx
~
-= -2dt
x
dy = -6dc
y
~
~~
Al integrar las dos últimas ecuaciones. se obtiene
lnX = -2t + el
{X = e-2t+C, = eC'.e-2t
[X = A¡e-21
{Iny = -6t + e2 ~ y = e-61+C2 = eC2.e-6t ~ y = A2e-61
donde Al y A2 son constantes reales. Así. la función vectorial que describe la
trayectoria de la partícula es
ate) = (A1e-2t; Aze-61), tE J
=- [O; +00)
Puesto que la partícula p311edesde el punto A(5; 4), se tiene
0'(0) = (AJ;A2) = (5;4) ~ Al = S )' A2 = 4
Por tanto, la trayectoria de la partícula es la curva
4
e: a(t) = (Se-2e; 4e-6t) ~ e: y = 125 x3
Ejemplo 29.- Dada la función I(x; y) = (2by - X)3. Calcule el valor de b para
que el valor de la derivada direccional máxima de 1, en el punto A(-l; O) sea
igual a
Solución
3m
Como '<:Jf(x;y) = (-3(2bY-X)2;6b(2bY-X)2),
entonces vl vector gradiente
de f en el punte A('-l; O) es
'<:Jf( -1; lJ) = (-3;6b)
La derivada direccional de [ es máxima en la dirección
I \ ector gradiente
'i/[(-l; O) = (-3; 6b) Y su valor es el módulo de este vector sto cs.
Oiíof(-1;0) = lI'i/f(-l;O)1I = J9+36b2
Por tamo, los valores de b son b = -2 ó b = 2
= 3m
~ b = +2
EJERCICIOS
I - Ilalle el gradiente de las siguientes funciones en el pU11l11 .d,e: .do
a) [(x;
y; z) = zZe:l(sen y
z) = Jx2 + y2
b) f(x;y;
Cl fex;
y; z)
d)f(x;y;z)
e)
f(x;y;z)
PoCO; rr /2; 2)
-
z
Po(2; -1: O)
= sen (3x)cO$'.;x tan z
= InJx2 + y2 +1:"2
= XZ + ZX + yZ + zY
PoCO; ti] 2, rr /4)
Po(-1;1;3)
Po(2; 1; 1)
."!.- Encuéntrese la razón de cambio máxima 'tle las
punto que en cada caso se indica Ol'i/(II). -J,
= xy? +x2z
b) [(x; y; z) = eX cos y + erseu 7.
c) {(x; y; z) = (x + y)2 + z! - xy
L!) {(x; y; z) = XZ + ZX + yZ + z}'
a)[(x;y;z)
e)
f(x,j';Z;
+ 2z
+ y2(
t) = xz
n
Sigul!:I"\.
(1.1'3)
I ictonc .. en el
11(3;1;2)
11(-1;2,2)
11(-2' ~; 2)
11{4. ;1,
A(l; O;
3 - Calcule la derivada direccional de las siguientes funciones en el punto P en la
-
dirección del vector PQ .
ill
{(x; y) = e2,ty
hl[(X;y)
T
3x arctanty)
=excosy+eYseny.
, peO; O»)' Q(1; -1)
P(1;0»)'
Q( 3,2)
y2 - 2xy + 1. P(4; 3) y Q(7; 7)
e)
[(x;y)
ti)
(ex; y; z) = x sen (yz). pe!; 1:O) ~ Q(3; 2; -2)
= J3x2
-
cos(Y sen e)
e) {(x; y; z) =
r
-xy
ecostdt,
P(O; 1; O)Y Q(1; 2; -1)
4.- Para cada una de las siguientes funciones. calcule el valor máximo de la
derivada direccronal en los puntos que se indican. así como el vector dirección
en el que este ocurre.
e
X3 X-l
a) {(x; y) =
x
+y '
P(1; 3)
b) {(x; y) = cos(rrxy) - y sen (rrx2),
c){ex;y;z)=
.
x+ln(y)
"
z
d) {(x; y; z) :::....:.- xyz
xy
e){(x;y;z):::fZet2dt+zfx
X
pe1;-1)
,P(1:1:1)
+ yZz
,
P(-1; 1; O)
1 (ldt,
P(1;-1;1)
'''>., --, 1 + e
,
-/
'
5.- Calcule la derivada direccional de la función {(x; y) :::2y3x - 3x2 en el
. punto A(1; 2) en la dirección del vector a = (A.; .J1 - ,lz) (A. > O)
Halle A. para que esta derivada sea máxima .. -R A = 5/13
"
6.- Una función { de dos variables tiene en el punto P(2; 3) los valores de las
derivadas direccionales de 4 en la dirección al punto A(3; 3) y de -4 en la
dirección al punto 8(2; 4). Determine el vector gradiente de { en el punto
(2; 3) ) calcule el valor de la derivada de { en el punto P(2; 3) en la dirección
al punto Q(8; 11).
'
4
R. 'il{(2;3) ~ (4; -4) y Dua{C2,3) = - 5
7 - Sea {(x; y) = x2y. ¿Qué ángulo forma el vector dirección con la pane
posiuva del eje X, si la derivada direccional en el punto P(l; -1) es 2?
R.8 :;::arcsen (:)
8.- Calcule el valor de la derivada direccional de la función 2 = In(x + y), en la
dirección de la pendiente más pronunciada que caracteriza a la superficie
22 = In(eX + eY) cuando 2 = 1.
e
R. D Iif (x; y) = -¡:::::;:'===;::=7
-/C·1
l) •
-
2ec
J
Si [t»; y) = 169 .. XZ - y2. encuentre el vector dirccclón ii, tal que el valor
de la derivada direccional de f' en el punto 1>(3; 4) es cero.
R.
In ,
:,1:11
que dirección
l
1-
5 (4; -3)
+ y): + (y + 7.)~ + (7. + x):!
crece má-,
rápidamente en el pUIHO l>ol2;-1; 2)'? ¿Cuáj es la razón instantánea ue
cambio de [por unidad de distancia en esa dirección'?
[(x; y; 7.) = (x
R. d=(-lO;4;lO)y
=v'2i6
IIVf(2;-1;1)1I
l l • La altura (11: una colina sobre el ni, el d..:I mar
h = {(x; y) = 200a (• .¡ ¡' .. lI()yc-~\'~
CSl:1
d.ltla
pOI
donde x e y mcd Idas I.!I1metros, son la, coordcnaduc t:~te'III:'I": ~ sur-norte
,c,pecll\ amente. Un atleta Si; encuentra en I!I punto A ( 1;Il;/ru)
,1). \ qué altura se encuentra d ,¡tlela"
11) .En qué dirección desde el punto A debe comenzar a caminar el atleta para
escalar la colina lo mas rápido posible'? Si sigue esta dirección, ...cuál es su
rapidez de cambio del mleta?
. I Si el atleta SI.! l1111e\e CIl la direcci<'fl,1 sur-este .• .csta ascendiendo 11
descendiendo? I,ClIúl es su rapidez:'
~
dI Describa el lugar geométrico de In\ punto, que 0:1atleta Jebe canunar . panl
estar a la nusma "hura sobre el nivel del mm que en el punto 11
-
l' • l.u superficie de un lago se representa por una región D en el plano XY de
modo que la profundidad debajo del punto (x: y) E D es dada por
[(x; y) = -lCl - 2XL - 2y2
Si una pariguana Se encuentra en el agua en el punto ("¡;3):
,'I:n que dit ección debe nadar para que la profundidad debajo de ella
disminuya lo mas rapido povible? ¡.Cuál c\ el valor máximo de la dcrivau.:
dil cccrona 1en esa dircccron?
R. el = (-16;-12»)'
IIV{(3;4)1I = 20
h] (1 n qué dirección debe nad..r para que la profundidad debajo de cll.r
.1I1111elllC In más rúpido posible? ...Cuál es el menor \ alor de la dcriv;«] ..
direccional CI1 esa dirección')
1
'J" I n qué dircccion IlO cambia I:l profundidad? ti = + r (-3;'1)
.1'
•I
13.- Una nave espacial ha sobrepasado el planeta Marte cuando su capitán nota
que la cápsul- está comenzado a derretirse. La temperatura a su alrededor esta
dada por T = 'x: y; z) = 2e-(x-2) + 3e-2(y-2) + 4e3(7.-2)
SI 1,1 nave se encuentra en el punto 11(2; 2: 2), ¿qu~ rumbo debe tomar para
enfriarse lo más rápidamente posible?
1-1.- 1 la)"alguna dirección en la que la razón de cambio de
[(x; y) = 8X2 - 2x2y - 7y2
en el punto A(l;
1) sea Igual a 21~ (Justifique su respuesta"!
15.- Halle la derivada direccional de la función [(x; y) = 4x3 - 2xy + r" en el
punto A(l; -1), en la dirección del vector que forma con la parle positiva del
eje X un ángulo de 30°
16.- Considere que T(x): 7 + 3x~ +)'2 representa la distribución de la
temperatura en el plano XY {suponga que x e y se miden en metros y 1,1
temperatura en OC). Un hO]!lbrcse encuentra en 1" posición A(J '1) Y pretende
dar un paseo.
'~
a) Describa el lugar geométrico <1.; los puntos que él debe recorrer si su de~ell
el>disfrutar siempre la misma temperatura que en el punto A
R. 3x:! + y~= 16
h) .:.Cuáles la dirección que debo:lomar ~I . deseo es caminar en el sentido tic
mayor ascenso tic la temperatura". ;~Uiil es la temperatura en C~I"
dirección?
R I)lrecciún<Í=(6:U)y
el
II~TlJ:·qll=
lO
su deseo c~ canunar en la dirección del dcsccnvo lila, rapidu dc 1..
rcmpcraurrn. ¿que dircccrón debe lomar'? R Dirección b = (-6. -8)
d) Observe que el punto (O; O) es el punto más frio del plano XV I'ncuemrc la
trayectoria que el hombre (que busca el Irio) debe seguir hacia el ungen.
partiendo del punto 1\( I:o.l) R. Y = 4VX
e) ¿rn que dirección debe moverse desde J\( I;o.l) si su deseo es que la
temperatura aumente 01 razón tic 4°C 111"
SI
I7.- l.a altura del
\'01
11= 5400 -
cá 11 Sara 5"r<1. en mctros sobre e1ti 1\ e 1de1mar, e~t.id,.da P(11'
,
yo
Xl - - .)
~
un alpinista ccmicnza su ascenso en el punto A( 40.20 l. ",cuál es la
Ira) cctoria en el plano XV que corresponde a la ruta 111¡¡~ CI11¡11113t1a tic ascens«
SI
;,1\ olean"
R .1' '" \110.\
I ¡¡ - La temperatura en un punto (x; y; z) de un solido está linda por
., -, -.
T(x;y; z) ::: cos(xy) + eX'+Y-+z- -In(yz)
a) Calcule la razón de cambio de la tcmpcr.uura en el punto {,(O; 1; 1) yen la
dirección del vector Ü ::: ( 1; 2; 2),
h) ;,En qué dirccc i<in T crece más rápidamente" ioA que ritmo?
+
I!),-Dada la función g(x; y) ::: cx+y
l'
L~
dt:
o "t4 + 1
nI Calcule la derivada direccional de 9 en el punto (O; O) en 1a dirección del
vector ii ::: (2; 1)
b) "En qué dirección la dcrix nda direccional de .el en (O; O) toma el valor
111:\x imo O?
.!(lo- ;,Cual es la razón de cumhro de 1,.luucion
[tx; y; z ) ::: x~ ·1 y~ ¡. z - 4 a lo
(~CoS o 1 3
3 3
)
largo de la curva CleO) ::: \., 2 ; 2 + 2 sen U; 2 - 2 sen O en el punto
que corresponde a O ::: n
6 '?
, 1 - Calcule las constantes
" .J
...".r
e para que 1.1derivada direccronal tIe la función
I (.\;y; 7.)::: ClX7.~ + bxy I cx~y~ CI1 el lliI'IlO P( 1;1;-1) tcng..¡ un valor
mávimo tic 4. ) este en el scnudo positivo lid.l'lc /
R. (1 = +2. b ::: +2. e::: +1
(1,
f¡)
~:!- Sea z :::f(ax + by). donde a y b son constantes positivas y f es una funcrón
dcnvable.
Demuestre que en cualquier punto A (x(); Yo). el vector gradiente de 7. es
paralelo al vector ti = (a; b)
h) Determine los PUIlIO Q(x¡; YI) tales que la derivada direccronal de z en (1 ;1:11 la dirección del vector jj = (-b; a) es 19.u:l1 a cero.
,1)
1>.1.1" la función (x;
¡I)
fI-lI~
z
dt - (2y - X)z
1I,lIk la derivada direccional de 1 en d punto A(1; -1) según la dirección
IIIII-eSlé.
(\1
f
·"
y) = I e
En esta dirección. (,aumenta o disminuye el valor de r~
Determine la dirección del descenso más rápido de f en el plinto A. "Cu;¡f
es el \.11111'de la derivad a direccional de { en esta dirección?
~4.- Un grupo de alpinistas escalan una montaña que se encuentra sobre la
Cordillera Blanca ubicada en el departamento de Ancash. Suponga que la
altura de la montaña sobre el nivel del mar viene dada por la ecuación
z = 6 - 2x2 - 3xy +)'3 (las distancias" se miden en kilómetros),
Los
alpinistas se encuentran en el punto ;1 (1; 2; 6) a las 12 de la noche en plena
oscuridad.
a) Los alpinistas
no se ponen de acuerdo qUL' dirección
deben seguir para
escalar lo más rápido posible a In cima de la montaña, por lo que decide n
calcular la pendiente de la montaña en d plinto ¡\ I!'Il la dirección norte y en
la d irección nor-oeste, Si deben scgu ir por la ruta de mayor pcnd iemc,
c',cu{t!de las dos direcciones deben elegir? R. Deben elegir la dirección
nor-oeste.
b) ¡'.Cuál es la dirección de máxima
pcnd ientc?
R. Dirccc ión
pendiente en A ': ~·.Cllóles el valor lit: dicha
a = (-10;
9) Y 1I v f (1; 2) 1I ::::
\/TIff
y; z) = In(x2 -f¡)'~ + Z2). Halle la derivada direccional
de J en el
punto (1; 3; 2) a lo larg~"r.:de la curv a de intersección de las superficies
SI: 36x2 + 4y:! + 9z:! = 108 Y S2: X2 + y2 - 57. ::. O. si al 111 irar éste desde
25.- S~~lf(x;
el origen, el sentido es horario.
Diíf( 1; 3; 2) =
~U.
~
3fl
IV
rrrr:
¡t)/l
de los cilindros X2 + y:'! = 1 Y x-+7.-=1.
en ~I primer octante. Halle la derivada direccional de la función
{(x; y; 7.) = x:! + y:! + 7.~ a lo largo <.kesta curv a en el punto
.J
16.- Sea e la curva de intersección
/2)
{2 .J2, ( 2 ·2 2
_'-
U.
¡
/):¡¡
•
2/6
r = -"..)
JA PLA
O TA 'GENTE y I~ECTA NOI~l\l..\L A UNA ~ UPERFICIE
Teorema
5.- Sea S:
Ft;»: y; z)
es una función con primeras derivadas parciales continuas. Si I·~¡¡')'
Y
N
Fex; y; z)
=O
la ecuación
de una superficie.
donde
I'~ no son iodos ceros en el punto Po(xo; )'u; /.1}) E S. entonces L'I vector
= \lFCxo;
)'0:
zo) es Ilnrl11HI ~IIplano tangente a I~ su¡ erfic ic S en
PCI'
neñnlclón
F (x; y. z)
8.- Sea S: F(x;y; z) = O la ecuación de una superficie. donde
es una función con primeras derivadas parciales continua-, en
1'''(.\'0; Yo; 7.0), con \11-'(xo;Yo;7oo):t. O.
1)
El plano que pasa por Pu Y es normal a '!JF(Pu)
en PI) ~ tiene por ecuación general
SI.!
denomina plano tangente a S
ii) La recta que pasa por Po y tiene la dirección de \lF{xo;
recta normal a S en Po ) tiene por ecuación vectorial
La ecuación simétrica Jc 1,1 n.·¡;I,1 normal
.1 S en
Yo; 700) se denomina
I'u .:sl¡i dada por
"".
30.- Halle las ecuacidnes del plano tangente y de la recta normal a la
superficie 4x2 + y2 - 16z = O en el punto (2; 4; 2).
Ejemplo
'nlllción
\1 considerar
F(x; y; 7.) = 4x2
+ y2
-
l(,z = O. se
\11-"(x: y; 7.) = (Bx: 2)'; -16)
tlCI1':
'l)¡,
,\<;1. el \CCIOr gradiente en el punto l'u(2:4; 2) es
\11-"(2:4: 2)
= (16;
8; -16)
l.ucgo. la ecuación del plano tangente en Po(2; 4; 2) es
PT: 16(x - 2)
+ 8(y
- 4) - 16(70 - 2) = O
= p·r: 2x + v -
270 -
-1 =
l)
I .1 ecuación simétrica de la recia normal es
x-2
L....:-.,--
y--1
J
~
Oh\cr\ ación 7.- Sea
I-'(x;y;z)
=O
70-2
--- -?
-
t! la curv il de intersección de la, vupcrficics
yo G(x;y:z)
I a recia tangente a la curva
de los planos
tangentes
a
=O
e en el punto
Put.\o; )'ll; 7.0), es la recia mtersección
las superficies
F(:<; y; z) = O ) G(x; y; 7.) = O
en
el
punto
Po.
Luego.
los
vectores
=
normales
Ñ1
= 'VF(xo;
y
)'0; 7.0)
e
Ñ2 VG(xo: Yo: zo) son ortogonales al vector tangente a la curva en Po.
Por tanto. el vector tangente ti la curva en el punto Po tiene la misma dirección
e
-. -
que el vector N1 x N2•
Observación 8.- Si la ecuación de una superficie está definida de manera
explícita por z = ¡ex; y), se define la función F por F ex; y; z) {(x; y) - 7. o
y la ecuación del plano tangente en el punto Po(xo; Yo; lo) viene dada por
=
PT: f.l:(xo: Yo)(x - xo)
+ (y(xo;
Yo)(Y - Yo) - (z -
·7.0)
=
=O
Ejemplo 3 J.- Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva de
intersección de las superficies e: X2 + y2 - Z = 8 Y x - y2 + 7.2 = -2 en el
punto
(lO
(2; -2; O).
Solución
Sean las superficies:
P(x; y; a) = x2
+ y2
- Z - 8 Y G(x; y; z) "= x - y2
Luego, los vectores gradientes <~'"' e tas funciones son
+ Z2 + 2
..,.
\lP(x;y;z)
= (2x;2y;-1)
y V'G(x;:v;z)
= (1;-2y;2z)
En el punto Po (2; -2; O), los vectores normales de los planos tangentes son
VF(2; -2; O) = (4; -4; 1) Y Ñ'Z = veelff' -2; O) = (1; 4; O)
,'\'.
Oc donde se obtiene
N1 x Ñ2 = (4: -1; 20)
Por tanto, la ecuación vectorial de la recto tangente a la curva e en el punto Po es
N1 ==
a-
Lr: (x;y; z)
= (2; -2;
O) + t(4: -1; 20). t E lRl
Ejemplo 32.- Halle el valor de m para el cual el plano Q: x - 2y - 22 + m = O
es tangente a la superficie S: X2 + 4y2 + 16z2 = 144
Solución
Al expresar la ecuación de la superficie S en su forma explícita. se tiene
F(x;)': z) = X2 + 4y2 + 1622 -144
Si Po (xo: Yo; zo) es el punto de tangencia del plano tangente. entonces su normal
es
Ñ
= 'VF(xo;
Yo; 20) = (2xo; 8yo; 32zo)
Como el vector normal de] plano dado NQ = (1; -2; -2)
sigue que
Ñ
X
ÑQ
= (-16yo + 64zo;
4xo
+ 32zo:
y
-4xo - 8yo)
Ñ son paralelos. se
= (O; O; O)
I le donde resulta Xo = -8zo
y Yo= 4zo
I'IIC~to que Po( -8zo; 4zo;zo) es un punto de la supcrlic ic S. entonces sus
coordenadas satisfacen su ecuación, esto es
64Z~ + 64z5
+ 167.5=
144 <=>
Zo
= ±1
1 ucgo, los puntos de tangencia son
Po(-8;4;1)
y P'0(8;-4;-1)
l'or tanto. al ser Po (-8; 4; 1) y P' 0(8; -4; -1) puntos del plano
Q: x - 2y - 2z + m = O, se obtienen m = 18 para el punto Po Y m = -18 parn
el punto P'«
X2
l.jem plo 33.- Halle los puntos de la superficie S: -¡- + y2 +
Z2
4' =
11. en los
cuales el plano tangente a S es paralelo al plano Q: x + 2y..¡ 37. = 3. Para cada
uno de los puntos obtenidos. escriba la ecuación general del plano tangente,
~lIlución
~
Consideremos la ecuación de lií¡su~rficie como
F(x;y;z)
x'
=-¡-+y'+-¡-ll
Z2
Como 'VF(x; y; z) = (; ; 2y; ~). entonces el ~or
normal del plano tangente
a la superficie S en el punto Po(xo: Yo:zo) es
Dado que el plano tangente Pr )' el plano Q' son paralelos. se sigue que sus
vectores normales Ñ y ÑQ = (1; 2; 3) son paralelos. lo cual significa que
- Q-=
NxN
( 6Yo-zo;-2xo+Z;xo-2yo
3
Zo
)
=(0;0;0)
De donde resulta: Xo = 2yo Y Zo = 6yo
Pucsto que P(2yo; Yo;6yo) es un punto de la superficie de S. sus coordenadas
satisfacen su ecuación, es decir
S: yJ + Y5 + 9yJ = 11 <=> Yo = + 1
I.uego. los puntos de tangencia son: PI (2; 1; 6) y P, (-2; -1; -6)
Por tanto. las ecuaciones generales de los planos tangentes en los puntos 1'. )' I'J
son respectivamente
Q¡:x+2y+3z-22=0)
Q2:x+2y+3z+22=0
Ejemplo 34.- Sea (J la curva de intersección del paraboloide z = 9 - X2 - yZ con
el plano x = 1
a) llallc la ecuación vcctonal de la recta tangente a la curva e en el punto
''1(1;2;4).
b) Halle la ecuación del plano tangente a la superficie S: 4x2 + 3y2 - 24z = O.
que es perpendicular a la recta tangente obtenida en a).
Solución
La función vectorial que indica la posición de un pumo sobre la curva
es
C' a(t) = (1; t; 8 - t2)
Para t = 2. se obtiene a(2) = (1: 2; 4)
COl1l0 (f'(r)
(O; 1; -2t), entonces (1"(2) (O; 1; -4)
a) 1•.1 ecuación vectorial de la recta tangente a la curva
en d punto p¡ (1; 2; 4).
que sigue la dirección del vector a' (2) es
e
=
=
e
LT: (x; y; z) = (1; 2; 4)~+ l(O; 1: -4), t E IR.
b) Sean F(.-r; y: z) = 4x2 + 3yi ~lz
) I'(xo; Yo; zo)el punto de tangencia del
plano tangente a la superficie S. Luego. se llene
N = 'V¡:(Po) = (8xa: 6yo:-24)
Como el plano tangente es pcrpendicular'(¡a
N
recta tangente obtenida en al,
~
entonces el vector normal
y el vector dirección
ti (O; 1:-4) son paralelos. lo cual implica que
=
Ñ x ti = (-24yo
+ 24;
de la recta tangente
32xo: 8xo) = (O; O; O)
De donde resulta. Yo = 1,xo = O
Así, en virtud de que P(O; 1; zo) es IIn punto de la superficie S. se tiene
0+ 3 - 24zo = O
Por consiguiente.
=
Zo
1
=-
8
la ecuación del plano tangente que pasa por P ( O; 1; ~) es
PT: 2y - 8z - 1 = O
Ejemplo 35.- Demuestre que la suma de los cuadrados de las intersecciones con
los ejes coordenados de cualquier plano tangente a la superficie
X2/3 + y2/3 + Z2/3 = b2/3 es constante e igual a b 2.
Solución
Sean . F(x; y; z) = X2/3 + y2/3 + Z2/3
tangencia de la superficie. Entonces
Ñ = VF(P.) = (~X-I/3.
b2/3
Y Po(xo; Yo; zo)
el punto de
2 v-l/J. 2Z-I/3)
' 3,1"0 '3 o
3 o
o
-
Luego, la ecuación del plano tangente a la superficie en Po es
-1/3( x - Xo )
Pr:
Xo
+ Yo-1/3(y -
Yo )
+ 20-1/3( Z -
Zo
)
=O
el cual es equivalente a
PT·
. _:._ _l_
1/3+
Xo
Z
_
1/3+I73-b
Yo
2/3
2/3
( Xo
+ Yo2/3 + zo2/3
_
b2/l)
Zo
l.:,~intersecciones del plano tangente con los ejes X.Y y Z son respectivamente
x = X~/3 b2/3, Y = y~/3 b2/3
~ Z
= 2~¡:¡b2/l
Por consiguiente, la suma de los cuadrados de estas coordenadas es
..
~
+ y2 + Z2 =
X2
(x~/3
+' y~!l + z~/l)b"/l
= b2/3b4/3 = b2
EJERCICIOS
l.- Determine la ecuación general del plano t¡¡'rIgentey de la recta normal, para
cada una de las superficies. cuyas ecuaciones se dan a continuación, en el
punto P dado,
a) X2 + y2 + Z2 = t 7, P(2, -2; 2)
R, 2x - 2y + 3z = 17
b) z =
e) XS
x
x
+ y'
P(2:, +L:, 2.)
+ yS + 2s = 30 - xyz, P(2;
1;-1)
+ v'" + ZI/2
= 4, P(4; 1; 1)
e) 2x2 - xy2 - yz2 = 1S, peO; -2; 3) .
f) X2/l +
+ 22/3 = 14, pe-S; 27; 1)
d)Xl/2
v'"
2 • I:n los siguientes casos. halle la ecuación vectorial de la recta tangente a 1.1
curva de intersección entre las superficies dadas en el punto indicado.
a}y=x2,y=
16-z2,
b) x '/ .. Z2 + 4y = O,X2
P(4;16;O)
+ y'l + Z2 + 7 = O, P(O; -1; 2)
e) x = 2 + cos(nyz) ,y = 1 + sen (lTxz), P(3; 1; 2)
11)xyz = 36, 4x'l
y2 - 2X22 = 105, P(6; 3; 2)
+
3y2
X2
3.- Dada la función [(x; y; z) = crcsen
(
Z2
"61- T + 24 -
1)
2
al Ifalle la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel
R. x + 3)' - 7. = 6
(x; y; z) = ~. en el punto (1; ~ ; -4)
¿En qué proporción varian los valores funcionales cuando comienza a
moverse desde el punto (1; 1/3; -4) hacia el punto (2;-5/2; -2)?
Sugerencia: Aplique el concepto de la derivada direccional.
b)
XL
.
4.- ¡,En que: puntos del elipsoide - 2"
(1
~
y'
..
Z'
+ b~+ -:;
e: = 1 la normal
forma ángulos
L
iguales con los ejes coordenados?
+ 2y2 + 3z2 = 21. trace a ella planos tangentes que
sean paralelos al plano x + 4y + 6z = O
5 - Dada la superficie
(l.-
X2
Halle la ecuación del plano 't:~n&l1te a la superficie 4y: - 2x~ - 77. = O que
x z
pase por el punto (-8; O;4) ) sea perpendicular al plano 4 - 7 =
.,...
R, ·Ix:!:.4\'6,)'
+ 77. + 4 = ()
7 - ¡.En qué puntos de la gráfica de la supcrticib S: 4xl + y~ + z~ - 2x)' :: 12.
los planos tangentes a la superficie son paralelos al plano YZ"
R. (2; 2; O) ~ (-2; -2; O)
R.· Ilalle la!'>ecuaciones del plano tangente ~ recia normal. si se sabe que el plano
tangerue es honzontal a la grrifica de la superficie 7. = x:: j. "y=' + I
R. Plano tangente: z = J
'>.- Verifique que la suma de las rrnersecciones con los ejes coordenados de todo
plano tangente a la superficie
igual al valor de (l.
,¡; + "Y + ..¡z = Fa. a > O
es consraruc e
la superficie x~- _v~ - 37.
X - 2y = O
pase por el punto (O; O;-1) ) sen paralelo a la recta { 2y ~ 7. = O
10.- Halle
la ecuación del plano tungeruc
¡¡
R, 4x - 2y - 37. = 3
= 11que
+ y2
= O los puntos en que los planos
tangentes a ella sean paralelos a los planos coordenados. R. En los puntos
(1; +1; O) los planos tangentes son paralelos 01 plano X7. ) en los pumos
(6; O; O) Y (2; O; O) al plano Y Z. La superficie carece de puntos en los cuales
11.- Halle en la superficie
X2
- Z2 - 2x
el plano tangente sea paralelo al plano XY.
1:2.- Halle la mayor razón de cambio de la función
[(x; y; z) = ex2 cos«x
+ 2y)
rr)
+ 16y2 + z2
en el punto Po. donde Po es un punto de la superficie
S; 22 = XZ
2y2
-
+ 3y -
6
en el que el plano tangente es paralelo al plano 2x - y - 2z = 6
x~
13.- Halle la ecuación del plano rangcrue a la superficie
"2 + y2 + 722
= 126
que es ortogonal a la recta tangente cn (2; 1; 6) a la curva de intersección de
las superficies 7. = X2 + 2y?-~,!;,I.2x2 - 3y2 + 1
,
í63
R. Sx
+ 2y + 28z + 166
J~::
O
1·),- Halle el valor de k para que en todo pn'nto de 1<1uiterseccrón de las dos
esferas (x - k)~ + y" 1- 22 :: 4 y X2 + (y - 1)2 + z- = L los planos
tangentes !>e¡HIperpendiculares
uno al otro.
R k
+2
...
"'lo
~~
...
=
15.- Def, Dos superficies son tangentes en el punto p. si tienen el mismo plano
tangente en P. Demuestre que las superficies dadas SOI1 tangentes en P
a) x2
+ y2 + 7.2
bl XZ
+ y2 + ZZ = 3.
::
2. yz = 1, P(O; 1;1)
xyz = 1, P(1: 1; 1)
I r.~). 1'(0; +b:c)
1(>• I)er. Dos superficies son ortogonales en el punto l' ~I SIIS normales en P son
perpendiculares. Demuestre que las superficies dadas son perpendiculares
entre si en el punto dado.
a) 3x~ + 2y2 - 22 = 1. XZ + yZ + z: - 4y - 2z + 2 = O. (1,1; 2)
h¡x2 - y2 +Z2 = -2, X2 + yZ +3z2 = 8,(-1;2; 1)
3.5 I"ICREI\1E¡\¡TO y DIFERE"ICI/\L
VARIABLES
DE UNA FUNCJÓ~ DE VARIAS
Para una funcion { de varias variables no es suficiente la existencia de las
derivadas parciales en un plinto para decir que la función es difercnciablc en ese
pumo. puesto que la existencia de la dcnvada en la dirección de los ejes
coordenados no implica la existencia de la derivada en otras direcciones.
Es más. aunque la derivada de la función existiera en un punto en todas las
direcciones. no se puede garantizar la existencia del plano tangente a la gráfica de
f en ese punto,
Por ejemplo. una función l de dos variables, geométricamente es difercnciable en
un punto (xo; Yo) E DI si existe plano tangente n la gráfica de { en el punto
Q(xo; Yn; {(xo; Yo)): Y esto ocurre cuando la gráfica de
f
es suave en ese punto.
es decir. su gráfica no tiene vértices. puntos cnucos, etc. en ese punto
La di ferencial de una función de varias variables es el concepto teórico que
garantiza la existencia del plan(t.~angente a la gráfica de la función cn un punto.
Vamos a empezar a definir el concepto de incremente de una función de varias
variables, Luego. se presenta el concepto de diferencial de una función de ...arias
<!>
Definición 9.- Sea {: D e 1R2
Z
IR una
-+
función
de dos variables. tal que
= [(x; y). y sean tJ.x y tJ.y los incrementos de x y de Y respectivamente. El
incremento de z
Af(x;y)
= [(x;
y) en cualquier punto (x: y) E D es dado por
= tJ.z = (ex -f 6x;y
+ Ay)
- f(x;y)
En general se llene la sigu iente definición.
Definición
Z
= [(Xl;
P(x1;
••• ;
10.- Sea
... ; xn)
y
f: D e IRn
sea
óP
-.
IR una
= (Ax1;
•.•;
función de
ÓXn)
el
II
variables. tal que
incremento
xn) E D. El incremento total de la función ( o simplemente
de [ en P es dado por
ó{ep) = 6z = [(Xl
Ó[(P) = fep
+ óxl; "';Xn + ÓXn)
+ AP) - [CP)
{(Xl; ...;xn) ó
del
punto
mcrernento
= 3x2 + 2xy
Ejemplo 36.- Sea [(x; y)
Halle et incremento de
f
y2. Sx
-
= 0,03 ,Ay = -0,02
en el punto P(1; 4).
Solución
1·1incremento de la función z = [ex: y) en el punto pe1; 4) es
flf(l; 4) = f(l + 0,03; 4 - 0,02) - f(l; 4) = [(1,03; 3,98)
= [3(1,03)2 + 2(1,03)(3,98) - (3,98)2] - [3 + 8 - 16] = 0,54,11
Sea [: /) e ~~_,Iffi una
función de dos variables. tal que z = [ex; y), y sea 6P = (lix; l\y) el incremento
del punto P(x; y) E D.
Se dice que la función
es diferenciable en P(x; )'), si existe el vector gradiente
r¡f(P) tal que para P + ilP E D el incremento 8z se puede expresar en la forma
I efinición
11.- (Diferenciabllldad
de una función]
t
6.f(x:.~)= 0.7. = O·,f(x·~ y)J.l>: -+ D~f():; y)6.y -+ e..dl: + F.:1;~Y á
= tep) + Vf(l')
fel' + [)'P)
lim EeAP) =
donde
tlP-O
lírn
• AP + E(AP).
f(Ax; Ay) = O
~.
(tlx:A)')-<t~q;O)
= 4x - 2xy2.
Ejemplo 37.- Sea fex;)')
lodos los puntos de nt2•
Demuestre que
f
es diferenciable
en
Solución
Para P(x; y) E 1R2 y llP = (l\x; A)I), se tien
[(1'
+ Al»
=
= 4x - 2xy2
= {(x; y)
+ ~)') = 4(x + ~x)
(ex + ~X;)'
+ (4 -
+ Vf(P)
2y2)llx
• vP
....
.::. 2(x
+ ilx)(y + L\y)2
- 4xyL\y - (4y6y)Ax
- [2xiljl
+
26xó)' JJ.\y
+ E(L\X: 6y),
donde
lím
t ,l1y
I'nl'
)-tlO:O)
E(Ax; L\)') ~
consiguiente.
r es
e tiene la siguiente
I.cfinición
t'c
1;
o ..
" dice
I ti
;
di ferenciable
definición:
12.- Sea [:
[C·l;"';Xn)
L-(4y6y)Ax - (2x.1y
lim
lllx:~)'J-! lO:O)
y
i)
1.::11cualquier
e ~n ~ iR
sea
punto ex:}')
una función de
IlP=(llx1;.oo:LlX,.)
+ 211xl1y)L\yl
el
Il
E ~2
o
En general,
variables
incremento
=O
tal que
del
punto
XII) E D.
CJueles difereuciablc
que p(IJOaP + tlP
I.!Il
P(x); ... ;xll) si existe el vector gradiente \/[(J ),
E D el valor de 1..1
función se puede expresar el! In
io, ma
rep + ~P) = fel') + 'Vf(P)
donde lim, E(6P)
=
t\P-D
+ E(J1P)
• 'VP
lim
(.1x, : ..·:Il'~I1)--(O:...:O)
E(~Xl; ... ; ~Xn) = o
Teorema 6.- Si una función f: D e ¡m,2 ~ lIi de dos variables es difcrcnciablc
el punto PlI(xo: Yo) . entonces f es continua en Po.
El recíproco del Teorema 6 no es necesariamente
en
verdadero, como se puede
observar en ~I siguiente ejemplo.
Ejemplo
(ex; y)
38.- Demuestre que la función
IO! 0),1"1('1""
= Jx2 + y2
es continua
en
dirt~r.r.llJ:iahl"J~tl{.n·JlJ'
1111 (',
Solución
i)
reO; O) = o
¡ii)
lim
ii)
f(x;y)
{;C..V)-'(O;O}
Por tanto,
f
= t.\'.Y)-(O,U)
lim
,Ix'! + y2 = o
[ex; y)
lim
lx,y) ....(O;O)
=o
= f(lJ~ O)
...._
es continua en (O; O). Por otro lado.
VI (x; y) =
(Jx~
ir
•
+ y2
:
.
V
Jx
.,
2
+ }'z)
~
ro
110 existe
Teorema
en (O; O). Luego.
es dircrcllciablc'ttn (O; O).
r!lO
7.- Si la función [: D e 1m2
'(
)
1x x;)'
=
a.f(x;y)
ox
r es difcrcnciable
y J;.(x; y)
IR! Y Ias funciones
~
=
af(x;)').
son conunuas en D. entonces
ay
en D.
Ejemplo 39.- Sea [(x; y) =
{
.....
x"y(.\'2
o
.
+ y2F .s: ex; y) ~ (O; O)
,
si (x; y) = (O: O)
Demuestre que ft:(O; O) Y 1;,(0; O) existen. pero que
tO:!) }.
Solución: Se t icne
t·(O; O)
.
= Il-tU
11m
{(1l;O)-[CO;O)
•
11
.
= 11m
'1--0
O-O
f¡
1
=O
r
no es difercnciable
en
I (O; O)
y
= lim' [(O·/{)
k ·0
- [(O' O)
O- O
• = lim
k
k
k-O
=O
r
I llego. las derivadas parciales de en (O; O) existen,
Ahora, sean 1'1 = (x;y) E ~~ IY = x}
\
1'2 = (x;y) E IR~ Iy = O} dos
trü~cctorias que pasan por el punto (O; O). Los límites de { sobre estas trayectorias
,,)1\
Sobre TI:
Sobre 1'2:
lim
tx;y)~(O;O}
lim
1
[ex; y) = lirn [(x; x) = x"O
L~
{ex; y) = lim [ex; O) = O
x
(Y.y)-+(O.U)
'0
As], por la regla de las dos trayectorias
lim
lA
significa que
r no es continua en (O: O).
,vl.. (O.OI
[(x; y) no existe, lo que
Por consiguiente. en virtud del teorema 7. [ no es difcrcnciablc
en (O; O).
Definición 13:- (Diferencial Total) Sea [: D e IR~ -+ IR una funcion de dos
variables para la cual existen [4x;~) ~ [y(x; y) en lodo ex; y) E D. ~ sean Al. )
.\y Incrementos de x e y rcspecuvamcntc.
I Las diferenciales de las vanablcs independientes x e y son
dx = tJ.x •
dy = tJ.y
ii) La diferencial total de[, denotada pOI d{(~;y) es
df(x; y) = a[~x;y) dx
+ iJ{~;
y) dy
"'1,
Y
I.a extensión de esta definición a funciones de n variables es el siuuieute:
X
Definición 1....- Sea f: /) e iR" -t R una función de n variahles para 1:1 cual
existen DI f (x 1; x~; ... ; x,,) para I = 1.2 ..... n ) sean 1\x I ... tJ.xn incrementos de
las variables Xi .... ,x" respecuvameme.
il Las diferenciales de las variables independientes XI •.... l.,. son
ii) La diferencial total de
.
clf(x"
.... xII) =
r. denotada
iJ(x¡ ..... xn)
a .\I
dx,
por df(x"
+.
.... Xn)
d(x, •... XII)
---;:--..;.
d x 11
I.Jcmplo "'0.- Halle la diferencial 10'<11 de la función
y
? = f(x: y) = x3
}'
+ arctan (Xl)
<':5
¡) .\'11
Solución
Las derivadas parciales de l son
[x (x; y) =
3)1
--1
1}'x~
-.
x
X', + y~"
I
Luego, la diferencial total de f es
3)'
dz == df(x;y)
= ( --. x""
9.- Sea [:
P(x¡; ...: X,I) E D. C~ decir
Oh .ervaciún
1fR'1
f) e
¡j{CP) = D1fCP)!1x1
--t ~
+ ( -1 +
x~
x:{)
xll + Y"
. el)'
una rundún difereuciable
en ~I punto
+ ...+ /)lll(P)t'1x" + t:(ñP)
=O
donde lim E(~P)
tlr\
3YX2)
., ttx
xc, + Y'"
-(1)
Así. cuando llP = (~Xl; ... ; ~Xl1) -) (O; ... : O). el cambio real de
z ~ [(x]; ... :xn) 'S aproximadamente igua: a la diferencial toral iiz: es decir.
!1z = 1\[(1') :: dz = cf:rUJ
De donde resulta
'
rcp + ÓP)
::
tep) + df
(P)
Ejcm plu ·H.e diferenciales
V6(1.98)3 + (4,1)2
para
el
valor
aproximado
de
. olución
A I considerar la funcil n {(x; ),)
[(2; 4) = V48
Luego. al tornar Xo
+
=2
I
=
~/6x3
16 == V64
Yo
ftX(l + llx;yo + ily)
=
+ y2.
se puede calcular
COI1
facilidad
4
= f1x == -0,02 Y el)' = ny = 0,1
= [(1,98; 4,1) = ,,6(l.98)~ + (4,1)2
==
4 . dx
• se tiene
:: f(2; 4) + df(2; 4)
--- 4 + ¡;_.(2; 4)dx + [y(2; 4)dy
6x3
Como {y (x; y) = (6x3
+ ),2)2/3
2)'
Y Iy(x;y)
= 3(6xJ + y2)2/31
se tiene
48
f-c(2; 4)
Por lamo.
= 16 = ~ y
8
[y(2;4)
1
= 48 = 6
entonces
1
\/6(1.98)Z + (4.l)~':: '1- + 3(-0.02) +-;-(O,l) = 3.9567
o
PROI' \(;,\CIÓN
DE ERR()RE"i
los valores medidos de dI), \ ,Iriabh:\ )' .\' + .lv Y Y + Cly
.. rIC~:::![:I:1 !1~S'\:llt)IC, 0.;:\,11':10', entonces Ax ~ Cly son los l!II'O:'l'S de medición.
<;, :,), \al .. re medidos lit: x e y M: usan pMól calcular el valor dc' la variable
dependiente 7. = {ex; y), entonces el error propagado ....11 11 IIlt:did,1 do.:la variable
SI .~ ,,' y denotan
;; es
Az = rcx t Ax; y
+ Ay)
f t»: y)
-
Ob\cn ación 10.1) 1 I error pn1pa,::at!o en la vari.ihlc 7. ~ / (v: yJ 'c L'~lllllól (l se ,1Jl 1('\1111.1por la
diferencial total de z , e\t\) es
tlr. == «Ir. = /.,(.\':y)tI.\ l· I;.(X; y)dy
111Para determinar si el error prop,lgaúo en 1a 101110101
e d"l1L'IlJki1h. r. 0.:, gr.mdc o
pequeño, SC lIS,1 el error r<íJall\l) ~ el error 110f,"IIII1,1I el. 7. - r(x. Y)':1l el
.., ". .
..
punto (x; y) :\SI, se ucnc
i) 1] error relativo o cumhro relaiiv
=
I:.U.({U»)
li)
(t
de J ':11I'(.\:; y) SI: cstnn.. por
..,
a¡ (1')
Cl( (1')
/(1') .:: ((1')
r
1:1error porcentual de expresa el c<1mlill, de
tam,1I10antes del cumbre y s.: estima por
1.' P '/ (/»).--:
.. . ~
Af(P)
{(I')
r
llil11u
1111 1'111'1:.'111.1)<:¡IL' SIl
dJ(P)
x IUO :: 1(1') y lOO
I.jcmplo .$1.- 1:1 radu de la buse ~ la :lltur.1 U~ 1I1l cono circul.n I'l'llll miden 2(1cm
\ 51) cm r,'tl~~II\alllC!1II.'. (011 un I'thlbl.: .:rror CII 1.1medición •.k !l.OI cm. 1 tl:,e'_
,lrh:r.:ncI.dcs para estimar el error mavimo y el error porccnrual cn el calculo del
\ olumcn del CUIll!
~1I11ll'i¡'n
II volumen del cono es ¡/ "" .~ iTl';h. con h. cu.il
,11 dilcl~lll'i.rJ
11.10,1 C,
.)
(JI'
av
2/T1'1I
([1' -= - ti r + - dh = ., dI
ti,.
(lh
.)
( "11111 ,.
= 20,/t = 50, dr
,[1' =
~OOOrr
~
.1
iO,OI)
+
= Al'
IOOrr
...~
lT1'~
'1' -:;-
,l
dl:
= U.Ol :' dñ = Ah = 0,01.
lO,O}) = B:r
':111011'<:,>
tamo. el máximo error en el cálculo del volumen es aprcximadarnente
El error porcentual c. timado en el cálculo del volumen es
cl\'
RTf
E.P.(\!)
X 100 = 200007r (100) = 0,120/0
POI'
Un: cm.
=v-
3
~3.- El CITor porcentual cometido en la medición
torre es 1~o . para lo cual se mide el ángulo d
elevación hasta la parte superior desde el punto A
Ejemplo
situado ~ ~O
4 So con
de
111
un
base, El áJl~lIIO
._,
SlI
po ihle
de :l0,5
error
es plauo.
Suponiendo que el 1 rreuo
es
medid:
de la altura de una
Tarre
de
minutos.
halle en formn
aproximada el máximo error porcentual cometido en
In medición de In distancia del punto A a la base de
la torre.
¡.
g J 10
Soluciún
• i x es la distancia del punto 11 a In base de la torre. a el ángulo de elevación ~ h
la altura de la torre, entonces (H~
..ln fi gura 3.10 se t iene
h = x tan (i
,
1..1Ie~o. la diferencial rotal ele In altura e
D/t
ah
.,
dl, = -dx + -dO = tan a dx + x sec=ü de
-
ax,(JO
De donde se obt iene
dh
h=
.,
x sec~()
LaH ()
h
dx +
h
()
dO
Ahora, de la relación de medidas entre grado y m 111 lito se obtiene
r
10
-'1
60171111
lz -. 0,5 nlin
1
f (l'180
1"
=' 7. -
.-
(-)
l120)
}'
120
0 ..-
tt
--t
rad }
JI rad
tt
:=::;.
J' I (lfl
- (120)(1 BO)
.
Luego, al reemplazar los datos
x
= 40
, , 0=
450 , dO
..
h = 40 tan 45°
= 40
mll1
dh
•v - 11
= (120)(180)'
1
= -100 = O 01
I
= 0000145 rtul
en C;) se tiene
,
(40 sec? ('ISO))
O
(0,000145) ::) üx = O.3f.HH
4
Por tanto. el error porcentual e metido en la medición de 1(1 distancia del punto 11
(1 In base de la lOIT\.: es
üx
(0 3804)
0,01
= lan4O45° dx
n
= 05
f.;".P.(x):;
-.
o'\:
1-
(100) = \
•
1
'1
O
(10U) = O,Y71%
..J..J.- Si el radio ~ la altura de un cilindro aumentan en O.soo)
Ejemplo
10/0
respectivamente. ¿cuál es el cambio porcentual aprox im<1<10 en su \ olumcn'
Solución
1'1\ olumvn del cilindro de radio r ~ altura h e,
l'
= rrr~/¡
De donde rcsu Ita
DV
flV
+ -ah dl:
di' = - tlr
¡JI'
C0l110
E, P. (1')
dr
= -r
x 100
= 2Terluil'
=
•
+ nr=dñ
.
porcentual aprcximado en el \ olumcn del
elV
elh
= -,1 x
0.5 \ E, P (Ir)
es
CIIIlO
dr
H.I'.(V)::v-X1()()=:!
100 = 1. el cambio
dI!
(1)
'2
7Xl0()+hXI()()~2
+1=2'l{¡
Ejemplo ..JS.- La rcsrstcncia toral R de n resistencias I? I.n!.....Rn conectadas en
paralelo esta dada por
~. )
1
1
-=-+-+
1
1 .,'
...+-
R RJ i?~
R"
Los valores de R •• R2 ..... Rn son 50.1011.150. , ..SOn ohnuos icspecuvumentc.
con Ull error porcentual m6:\11110 de 0.80 o en las mediciones. Fxtirnc el error
porcentual maxuuo en el cálculo del valor de
t:.:
>
'loluciilll
I .IS derivadas parciales de U con respecto a N,
au RZ
= --:r. I = 1.2 ..... 11
éJR ,
R,
DIO' donde resulta
RZ
RZ
dR=-dR
I
+-cIR
21
¡lZ
R 2t
':!
RZ
..·+-dR
R~
.
l:..P.(R)::
R
-.RI
as,
n,
n
ii
el/?,
Como E.P.(R,) :: -1 x (lOO) -; 0.8%•
<,
porcentual de R es aproximadamente
R
=- 1.2, ....
R dR:
x 100 + -.-
- R, (0.80/0)
j
R:
1/2
R
+R:
SOIl
'l. entonces
N
el error
au;
x lOO + .. +-.- x 100
H" R"
R
(0.8°/0)
+...+ Rn (0.8IYo)
== 0.8°Al
Ejemplo
46.-
Consideremos
isósceles T de la figura
el
triángulo
3.11. ¡,Clljl
~~
aproximadamente el cambio que ocurre en el
área ele T si las lonuitudcs de sus lados iuualc
~
-
aumentan en una pulgada ~ el ángulo ''':11 ('1
vértice se
iI1Ct'~I11~l1ta
en
O,I)~
radianes?
....oluclún
Si
x es 1:1 mcd ida de In lonaimd
de los Indos .\
"'"
a el ángu lo comprcnd ido entre ellos. cnronccs
el tiren del triángulo es
1 .,
A = ') x .. sen (a)
....
DA
dA = i)x dx -4
Como dx
nA
oa da = '\"sen Ca)dx +
j
~
2 X" cos(a)da
1
:=
-=l pies, da = 0,04 radianes: el cambio que
l¿
OCUI
re en el arca del
triángulo e
Ejempln
47.- Cuando se calcula el arca de n trapecio isósceles se obtiene
256 c7nz con un error porcentual de ~o. Si . e '!.he que al medir las longitudes de
~
la base menor b. base mn) or B y de In altura h. los errores de medición fueron
iguales, halle los errores porcentuales al medir /J. B y h respectivamente. cuando
11 12 cm, B
20 cm y h = 16 cm.
....ulución
FI área del JJ1Jpcrjo isósceJ('s es
=
=
A
= eb 1- B)h
2
De donde resulta
aA
dA = -dlJ
ah
Como clb:= d H
iJA
+-d8
aA
+ -dll
ah
olJ
= d ti.
h
:=
16, b
:=:
Ir
= -db
2
12 y B
h
(b + B)
+ -dl1
+
2
2
dl:
I
:=
20. el error aproximado en la
medida del área es
dA := 8db + 8db + 1ódb = 32db
()
Puesto que el área medida es A = 256 cm:? y su error porccmual 40/0, se tiene
dA
f. P. CA) = A x 100 = 4
Luego. de (*) se tiene
4
c=
dA = 100 A = 10,24
10,24 = 32clb
1'01
= db
10,24
= 32
= 0,32 = da = clh
tanto, los errores porccniualcs al medir b, a
~ h son
(0-tz
32) (100) = 2,67
1:'.1'(8) ::: e: (lOO) = (0;~2)(100) = 1.6'Yo
dñ
(O 32)
E.I'(h):: 'h(100) = ~6 (IDO) = 2%
[;'.¡>(b) ::
ellJ
T(IOO) =
%
rjcmplo "8,- t.a utilidad mensual CII
comercializa un solo producto es dada por
U(r;}')
1
,
= 50 (x'
soles de una empresa que
IlUI.:\US
.
+ 2.\:y).
donde x representa el número de unidades vendidas en Lima e y el número de
unidades vendidas en Arequipa, SI en la actualidad la empresa vende :!OO
unidades en Lima} 300 unidades en Arequipa, estime el cambio aproximado en
1,1utilidad de IJ empresa si las ventas en 1 ima dismmuvcu en 1"0, micmra« que
'11 \requip.\ aUI1lCnt'111en 2~ o, "
,
•
....ul ució n
t 1\1\\1> la~ \cnta>; de 1.\ empresa disminuyen
Arcquipa en un 20., entonces s.: nene
dx = .1x = -200(0,0 1) = -2
l.a diferencial total de la utilidad es
tlUt.\; y) = UA (x; y)d.\
l'.lr¡¡
x = 200 ) Y
+ Uy(x;
en l.ima en
\' d.\' -~
1m
1'~" ) aumctuan cu
= 300(0,02)
:=
ti
''1>..
I
X
y)dy = 25 (x ..¡ y)dx -1- 25 el)'
= 30U, se t rene
= 20e 2) I 8(6) = 11
t.ucgo. ~lJ(200; 300) :: dU(200; 300) = B
l'or tanto. 1.\ utilidad mensual de la empresa aurnenta uproxirnadarncntc
e/U(200; 300)
20 dx t Ud)'
mensual,
I'jcmplo
-'9.- Se fabrica un recipiente sin tapa que nene la
turma de un tronco de
C0l10
circulur con has.: una scnucsfcra.
t,II ~(l11\1I se mucstru en la figur'l adlunt,l La~ dimcnstoncs
tkl
rcc rpicmc son
/i=18nn)
,.=12('111
.... 1 ,11 recipiente se desea bailar con una capa de plata de 0.01
1..111 tic espesor, ~III11C el volumen aproxunado de plata que se
11~·':C,lIapara bañar la superficie cxtcnor.
en S
X
Solución
El volumen del tronco de cono circular reCIOde radio mayor R. radio menor r )
altura h es
"h
20"
Vrc = T(r2 + rR + R2) = 3(r2
+ rR + RZ)
y de la esfera de radio r es
4
VE = 3
"r J
Luego. el volumen del recipiente es
20rr
2rr
V = -3-(r2 + rR + R2) + Tr3
La diferencial total del volumen Ves
dV
av
av
rr
rr
= iJr dr + iJR dR = 3 (101' + 61'2 + 20R)clr + 3 (201' + 40R)dR
Para R = 18, r :: 12, dR .,.. I::.R == 0,01 )' dr :' I::.r = 0,01: se tiene
dI'
=
rr
3 (480
rr
+ 864 + 36Qlco,Ol) + 3 (240 + 720)(0,01) ==
8,88rr
Por tanto. para bañar la superficie exterior del recipiente se necesita
aproximadamente llV :: 8,88rr cm3 de plata
Ejemplo 50.- Sea [(x; y) =
+ yJ)Jx2 +~,"es [diferendable
(Xl
en (O; O)?
Solución
'i,
Por el Teorema 7 podemos ver que {es difcrcnciable en (O; O) SI
{(x; y),
i) Como
of(x;y)
él
lim
( .•;y)~(O,O)
a!ex;y)
y
x
[(x,y)
o
)'
.
son continuas en (O; O).
= O = leO: 0.1 concluirnos
Quef
es continua en (0:0)
ji) La derivada parcial de t con respecto a x es
h( x; y )
pues.
=
o{(x;y)
ax
a{(O;O)
ox
={
3x2JX2+y2+
+ y3)
J
+ y2
X2
O
,(Ch;O)-{(O;O)
/•. 1)
h
= 11111
X(X3
•
,
,si(x;y)*eO;O)
SI
(x;y)
= (O; O)
•
= h m h-, h' - O
h -o
Ahora, al utilizar coordenadas polares. se obtiene
lim
h(x; y) = Iiml3r.l cosze + r2 cos 8 (cosJO ..¡ sen' O») :: O :: h{O; O)
t.t.)')~(O,O,
Asi, h(x; y) =
r~O
a{ex; y)
iJ
x
es continua en (O; O)
iii) La derivada parcial de [ con respecto a y es dada por
H( x;y )
donde
=
o[(x;y)
ay
={
y(X3 + y3)
3y2JX2+y2+
Jx2 +y2
,si
o
,si(x:y)~(O;O)
(x; y) = (O; O)
0[(0' O)
[(O' k) - [(O' O)
f<.3.Jk'i
O'
= lim
'
k
' = lim k = lim k21kl = O
y
k~o
k-,I)
k~O
En forma similar, al usar coordenadas polares se tiene
lim
H(x;y) = Iim[3r3 sen26 + r2 sen 6(cos3e
(x;)')-(O.O)
r ...O
+ sen39)]
=O
= H(O; O)
Luego,
o[(x;y)
oyes
continua en (O: O)
Por consiguiente, [(x; y) es diferenciable en (O; O).
.
'~ EJERCICrOS
=
1._ Sea f(x;y)
VXY
+
{
xy2
+ y2
Xl
.si (x; y) *.(0; O)
si (x; y) = (O; O)
en los puntos (O; O), (~), (1; 1)'1 Jusufique
O,
¿Es {difercnciable
R. 110, 110, si
>
:!.- Sea la función
( (x; y) =
ex
+ eY +
{2
x
2 xy
+y
2
* (0;0)
.si (x; y)
,si
(x; y) = (O; O)
Analice la diferenciabilidad en (x; y) = (O; O) R. 110 es diferenciable
3 - Para las siguientes funciones, analice la diferenciabilidad en el punto (0:0)
(X2 + y2) cos (
(
a)[x;y)=
b)[(x;y)
{
=
O
1
JX2+y2
,si
{x sen (x yz)
2:
O
,si
.si
)
,SI
(x; y)
* (O; O)
(x: y) = (O; O)
(x; y) * (0;0)
(x; y)
= (O; O)
1.- Sea la función {(x; y) = JlxYI, (x; y) E R2• Determine el conjunto de puntos
donde [ no es diferenciable.
R. [no es difercnciable en los eje X e y
5.- En cada uno de los ejercicios halle df(x; y) y t:.f(x; y) para los valores
dados de x, y, t:.x y tsy,
a) f(x;y)
= X2
b)f(x;y)
= sen xy
-
+ y2 ,x
xy
= 2.y = -l.Ax
= -O.Ol.t:.y = 0.02
rr
+ cos(x + y).x = 6'y = 0.6x = 2rr.Ay
rr
e) {(x; y) = eXYsen
+ y).x = 4'y = O.t:.x
xy
d)f(x;y)=
2
2,x=3,y=1,t:.x=-0.1,t:.y=0.OS
ex
=-
rr
4,Ay
= 3rr
= 411'
x +y
= X2 - 2y2 + Z2 - xz
(x; y; z) = (2; -1; 3), (éx: Ay; Az) = (0.01; 0.02; 0.03)
e) {(x;y;z)
f) {ex; y; z)
= sen (x + y) - cos(x - z) + sen (y + 2z)
ex; y; z) = (; ;~;
O). (t:.x; Ay; t:.z) = (: ; ;; 2rr)
.
6.- Halle el valor ap:oximado de-Ias ~iguientcs cantidades utilizando diferenciales .
a)
J(S.02)2
el (3.01)2
+ (11,97)2
b) \/(3,02)2 + (1,99)2 + (5,97)2
+ (3.98)2 + (6.02)2 + (1.97)-1/2
R. O, t 11427
d) sen 32° cos 59°
el 111[(1.1)3
+ (2,3)31
-In 9
R.O,273
R.OA3
7.- Un envase de metal que tiene la forma de un cilindro circular recto tiene una
altura interior de 8 pulgadas, un radio interior de 3 pulgadas y un espesor de
0.2 pulgadas. Si el costo del metal que va a ser usado en su construcción
cuesta S 10 por pulg3 • encuentre el cosro aproximado del metal que se usará
en la manufactura del envase.
R, S , 13211'
A
8.- La gravedad especifica S de un objeto está dada por la fórmula S = A _ W
donde A es el número de libras de peso del objeto en el aire ~ W es el numero
de libras del peso del objeto en el agua Si el peso de un objeto en el aire es :!O
libras con un posible error de 0,0 I libras. ~ su peso en el agua es 12 libras con
un posible error de 0,02 'Iibras, encuentre el máximo error posible al calcular S
a partir de estas medidas. También halle el máxirno error porcentual.
7
R. 1600;0.18%
'1.-
Una compañla va a manufacturar I(lOOO cajas de madera cerradas con
dimensiones 3 pies. ~ pies) 5 pies. [1 costo de la madera que va ,1 ser usada es
de :. soles por pie cuadrado. SI las l11¡jqllina~que se usan para cortar las picl:<I\
de madera tienen un posible error de O.(J5 pies en tilda dimensión, halle
aproximadamente
usando 1" diferencial toral. el mavimo error posible en la
estimación del costo de la madera.
R. 12000(J sole-,
10.- Si cada individuo y cada corporación en 1.1 economía de un país gasta una
propurcion x de cada sol recibido. entonces por el principio multiplicador
v
(kcj nes), la cantidad de dinero generada por la Infusión de y soles es __:.._
l-x
Si y se incrementa de I él 1.03 millones ~ x disminuye de 0.0 J 0.58. úCuál es
el cambio aproximado en el monto de dinero generado". I,aUlllel1la 11
disminuye?
II - ,'1 medir un triángulo se encuentra que los lado,
llenen Ionguudcs de 50 ~)\tlg. ~ 70 pulg. : el
ángulo comprendido entre elltl:' es de 30°. ~I
existen errores posibles de I 2 n·o en la medida de
los lados) I 2 grado en la del ángulo Halle el
máximo error aproximado en la medida del área
_.
1 "1
-
kT
La ecuación JI = V ' donde: k constante. expresa la presión P de un g,IS
encerrado. de volumen l' ~ temperatura T. Calcule aproximadamemc .:1
porcentaje de error I11<1Xllll0 l)1II: se comete en fJ cuando el error en Id medida
de:T y V es dé 1.4°" Y0,9°" respectivamente ..
R. Porcentaje de error max 11110 de P es 0.5°'0
13.- Se desea embalar un telex isor CU\¡lS
~ucm
. dimensiones son' 55 cm de tarco,
~
de ancho y gO cm de a hura. con un material homogéneo cuyo peso es de: I 2ú
gramos por cnr~.Si el grosor del embalaje lateral debe ser de 5 cm mientras
que el de la base y la parte superior de 2.5 cm cada uno, use drfcrcncralev ~
calcule aproximadamente el peso de la envoltura.
I.J.- Cuando un medicnmento se ingiere. el tiempo T en el que ha~ mayor
cantidad del producto en la sangre se puede calcular en términos de la
xcmivida "x" del medicamento en el estómago, y la sernivida "y" en la sangre.
Para fármacos comunes T está dado por
T = xy(lnx -Iny)
(x-y)ln2
Para un medicamento en particular x = 30 min e y = 1 hora. i.Cu<Í1es el
máximo error porcentual en el cálculo de T si el error máximo en la
estimación de las sernividas es de 10'ló'! R. 10°"
-
15.- El radio de la base v la altura de un cono circular recto miden 6 cm \' 8 cm
.
respectivamente, con un posible error en la medición Ae 0.1 cm en cada
dimensión. Utilice diferenciales para estimar el error máXl!110posible en el
cálculo del área de la superficie lateral.
(SU!!,. Área lateral= rrr-Jr2 + hZ)
R. 1.84rr C1112
-
16." Se llene un cilmdro circular recto metálico cuyas dimensiones son:! metros
d..: alcurJ r 1 IIIt.!Croele radio en la base. Se desea pintar extcriormcnre con una
capa de pintura de 0.002 m de espesor tanto en la parte lateral, como en las
bases. ese diferenciales para estimar la cantidad de pintura que será necesario.
R. O,012rr m3
'".~. .....•
17.- La producción mensual de la fábrica Sajita S.A. es
P(x; }') = 60x 1/3 Y 1/2 Unidades
donde x representa el capital invertido 1.'11 miles de soles e y el trabajo medido
en horas de trabajo. I~nla actual idad, el e~al mensual invertido es de 8000
soles y se emplean cada mes 900 horas de trabajo
a) Calcule la producción actual
b) Italle el aumento aproximado en la producción de la empresa que resulto de
aumentar el capital en 2000 soles)' la fuerza de trabajo en :! horas.
R a) 3600 unidades b) aumenta en 154 unidades.
1))- Se quiere constru Ir una pieza mecánica de acero que tiene la forma de un
paralelepípedo recto de base cuadrada Si al medir el lado del cuadrado de la
hase) al calcular el volumen de dicha pieza mecánica se han cometido errores
de I~ó~ 4~órcspccuvamente, ¿cuál es el error porcentual cometido al medir la
altura del paralclepipcdo?
R. 2~¡'
19.- El ancho. el largo y la profundidad de un tanque que tiene la forma de un
paralelepípedo rectangular han sido medidos con errores de 20/0. 1,S°10 Y 2,5%
respecuvamente, Estime el error porcentual máximo al calcular el volumen de
dicho tanque.
R. 6~~
3.6 ItECLAS
DE LA CADENA PARA UNA FUNCiÓN DE VARIAS
VARIAIJLE
Recordemos que la regla de ro cadena para funciones difercnciablcs de una
variable establece que si y = f(ll)
es una función derivable de II y ti = ,g(x) es
una función derivable de x, entonces la derivada de la función compuesta
y = f(g(x)) es dada por
el)'
dx
dy du
--
du·dx
En el siguiente Teorema consideraremos la regla de la cadena para funciones de
dos variables. donde cada una de las variables independientes es también función
ele dos o más variables independientes.
Teorema 8.- Sea z
= [(x;
y) una función diferenciable
de x e }'. Si x
= f(r;
s)
y y = [ex; y) son tales que las derivadas parciales de primer orden
OX éJx ay
-,-,-
itr
as al"
ay
y -
as
.
existen: enronce la función
1" es de forma
indirecta
función de r y s, y se tiene
OZ
ñz ax ñz ay
-=--+-iJr
ñx' ñr ay· al"
iJz ilz ñ« 07. ay
-=-+--
as
ñx
o
as ay·
iJs
(1)
(2)
derivadas parciales dadas en las igualdades (I) Y (2).
0=
ar
8= o.Y
0= al'
-+ -....:;._
OX • ñr
ay .
8=
a= ex
-= -
Variables
intermedias
-:-.-T-s
cJ:x as
ñ
Variables independientes
or
0=
O)
aya,.
Teorema
9.- tRegla
difcrcnciable
variables tI'
de
variables. donde cada
esto es,
... cm"
a~ .
... ,lm)Y
z = ((Xl;'"
generan, Sea
11
= FI(t),
X,
de la cadena
Xl
una función
es una función diferenciable de
;Xn)
.
.
= 1,2, ... ,1l Y j = 1,2, ... .m existen.
-;l-,l
(Ji)
Entonces la función z
Se tiene
OZ
02 dx)
= [(x.:
... ;xn) es de forma indirecta función de
OZ
ñx;
1
cJXII
aL!
ax'!_
07.
aXn
OX'2
()z
-=-.-+-.-+
aL!
OXl al.
iJX2 ut
oz
(Jz
itz
BXI
tI' .... lm ~
...
-t--.-
-=-.-+-.-+"'+-.iJc2
oX1
iJtz
aX2 éJ(,:
OA"1I
Ul2
'?-'o.
Corohlrio.I
cada x, (i
Z
Sea
=
Z
= {(XII "'IX,I)
una función difcrcncíablc
dt
11
variables. Si
1.2 ... , In) es una función derivable de una única variable t. eruonccs
es función de ( y la derivada toral de
dz
-=
de
az
az
dX1
7.
dx¿
con respecto a t es
QZ
xn
-.--+-.-+'''+-.~
(Jx1 dt:
iJX'l
dt
aXn
tu
EjcmJ'Iln 51.- CaJcJJJe...medíaore JE seg)»
ni? JJJ caDena
.I~,socrsvsoos pascuúes uue
se indican a continuación:
()x
a)
a"
ñz
y
as' siendo z
= eX ln(y)
iJw
c)w
b) or y Ds ' siendo w
J
x
= S + 21",
'1
dz
X
'..
== e:',
'\
}' = sen
Solución
La regla de In cadena para este caso es
az
ñz
OX
02
= rs
= zy' + »: + y IX = r' + s,
e) dt ' siendo z = xy2 - y.
u)
y
ay
-=--+-or ñx or ay . or
t
y
= -1' + S,
t·
z == ;
OZ ox az ay
-=--+as áx' as ay' as
OZ
Las derivadas parciales de z con respecto a x e y son
ñz
OZ·
- = eXlny
-=-
ay
OX
eX
y
y las derivadas parciales de x e y con respecto a r y s son
ax
o,.
-=2
ax
, as
- =1
¡
ay
-=s
\'
i),.
•
ay
-=,.
os
Luego. al reemplazar cada una de estas derivadas parciales en la regla de la
cadena. se obtiene
az
" =
v"
eX
(eX In y). 2 +-,s
y
eS+2r
+--
= 2es+2T.ln(rs)
,.
h) La regla de la cadena para este caso es
cJw __
i1w iJx
_=
+ aw
__
a,- ox . ñr ay
dw iJw ox r)w
oy¡.+L-_
ñw az
. ¡)I' tJz.· a,·
ély
aw il2
-=--+--+-~ h'~
~'~
~'h
Las derivadas parciales de w con respecto
OIV
alV
-ax = 3x2 ay = 2zy + 1,
¡
-
cJw
cJz
-=y
1~¡
y )' son
.~
Z
2
) las deriv atlas parciales de x, y y Z con respecto a " y s son
ux
ar
ax
= 27',
as
ay
()?
1 iJz
os = 1, ar = -;' as = -
iJy
= 1,
a"
= -1,
,.
S2
luego. al reemplazar cada una de estas derivadas parciales en la regla de la
cadena. resulta
aw
1
-:;-= (3x2).2r + (2zy + 1).(-1) + y2._
or
S
31':!
"t
=6r5
dw
as
t 12ris
I 61's"+--41'+5-}
s
=(3x2)(1) +(2zy +1)(1) +y2 ( - S2,.)
= 3r4
+67'2s +3s2
1'3
-
-
S2
+r + 1
e) La regla de la cadena para la derivada total es
di!
dx
i}z
{Jz dy
-=--+-dt
ax'dt'
8y'dt
Las derivadas parciales de z con respecto a x e y son
az
iJx
~
iJz
- = y4. -
= 2xy - 1
ay
)' las derivadas ordinarias de x e y con respecto u t son
dx
-
iu
= -e-l
ely
-
. di
= cos t
l.ucgo. al reemplazar cada una de estas derivadas en la regla de la cadena,
resulta
dz
2
dt =y ,{-e-I)+(2xy-l),cost
.
= -e-t sen2t
J
-
~¡
+ 2e-L sen t cos t -
cos t
=
Ejemplo 52,- Muestre que la sustitución x = e' . y
x~ (rJZU) + y2 (rJ2U) + x (au) + }'
ay2
i)xl
t!11
a2u
la ecuación -
OS2
ax
i}2u
+ -iJL2' = O
donde
et conviene la ecuación
(all~
O
ay!·:'
11
= [(x' • )1)
Solución
La regla de la cadena para la función u = f(x; y) es
au
as
-=-
ou ox OU iJy
OU
-+-= eSñx' as
ay' as
' ax
iJu au ax
~ =- at
ax'at
OU oy
+_ -
{)y'{)t
=
au
'ay
e' _
AI derivar cada una de estas funciones con respecto a s y t. se tiene
(Por regla del producroj
o[
éJ'lu _
Vil] _
I
t
OU
éJt e ay - e . ay
ot'l -
o
él
I
(éhL)
+ e ac ay
o
o
(Por regla del producto)
au
L [a'Zu
ax iJ'lu iJY]
-e 'ay +e axayo¡¡¡+ ay'Z°at
_
t
I
au
l
a u
_
au
2 a u
2
J
l )
- e 'ay + e e ayZ + O - y (ay) + y ( ay2
_
I
I
o
Ejemplo 530- Una lancha se dirige hacia el sur con una velocidad de 8 krnrh > otra
hacia el este a 12 km/h. A las 16
... horas. la segunda lancha pasa por el punto donde
I~I
primera estuvo hace tres hora"~ -:)
,
a) ¿Cónlo \ aria Id distancia entre cll,,, a las 15 horas?
b) ¿Cómo varía la distancia entre ellas a las 17 horas?
Solución
a) A las 15 horas. las lanchas se encuentran e~~ puntos A y B (Fig. 3.13), cuya
distancia entre ellas es dada por
..,
::/o( o __
I
r+:!
También, a las 15 horas la primera lancha se encuentra a y = 16km del punto
de cruce y la segunda a x ",. 12 km del punto de cruce.
Al aplicar la regla de la cadena. resulta
dz az dx oz dy
-__ +- -=
dt-oxOdt
Oy°dt
x
.Jx2+yz'dt
Luego. para los datos x = 12. Y = 16,
dz
-=
dt
dx
-+
dx
y
.Jx2+yzOdt
dt = -12
y
dy
-
dy
dt = 8. se tiene
(12)
- (-12)+ (16)
_ (8)=-0,8
20
20
Por tanto, la distancia entre las lanchas disminuye a una velocidad de 0,8
km/h.
y
y
.r
x
O
x
)
»
d.
,11
---IUllllh
dr =IZXmlh
dv
--.~kmlh
UI
B
d,
d.' •
JI
U.m
IIr
Flg 3 14
Fig 3 13
b) En forma similar. a las 17 horas lFig. 3.14) x= 12 km. y=32
km \ la
d\st\\nc\a ~nt'\"e t\.'.s la\\\:ht\s es '..\\\d~\P~\'
Z
=
.~/X2 + )'2
Luego, la regla de la cadena en este caso es
,
dx
dy
Luego, para los daros x = 12, Y = 32. -1- - 12 Y dt'= 8, resulta
e c.
rlz
dt
-
12
"122
+ 322
(12)
+
32
.J121
+ 322
..
(t1) = 11,7
Por consiguiente. a las 17 horas. la distancia entre lns lanchas aumenta a una
velocidad de 11.7 km/h.
Ejemptu 54.- Una piscina tiene 22 pies de ancho.
-6 pies de largo, 5 pies de profundidad en un
extremo) I~ pies en el otro extremo. siendo el
fondo un plano indinado. ~ i la piscina I:SH}
llenándose con un caudal de 20 pies3 /seg.
~
¿a
que velocidad se esta elevando el nivel de agua
cuando dicho nivel es de 7 pies en d extremo mas
profundo?
I
Flg 3.15
Solución
De la figura 3.15. ('1 \ olumen de agua en In pi e ina \ lene dada p
V=
1
... (xy)(22) =
?
l1x)'
11'
La regla de la cadena en este caso es
dV
dt
=
av
dx
av
ax 'di + ay'
dx
dy
dt == 11y-¡¡;
+ 11xTt
dy
(1)
Por semejanza de triángulos (Fig. 3.15), se tiene
y x
-=-
56
Luego, al derivar con respecto a t ambos lados de la igualdad, se obr ienc
7
1 dy
7' dt
=
1 dx
56 . di
Así. al reemplazar
dV
~
dx
dt
dy
dV
Al sustituir y = 7 Y dt
=
= 8.dt ... (2)
(2) en ( 1) resulta
di' = 88YTt + 11(8y)
20
dy
dy
áy
= 176YTt
dt
= 20 pies" / seg,
ely
176(7) dt ~
se obtiene
d}L
ctt= )01623
Por tamo. cuando la profundidad del agua es 7 pies, el ni vel del agua aumenta a
una velocidad de 0..01623 pies/scg,
Ejemplo 55.- En un instante dado. 'la longitu~
un cateto de un triángulo es 20
pies y está aumentando a razón de 2 pies/seg. y la longitud del otro careto es 24
pies y está disminuyendo a razón de 4 pies/seg. Encuentre la rapidez de cambio de
la medida del ángulo agudo opuesto al cateto de longitud de 24 pies en el instante
~
dado,
, olución
'can x,y y O las medidas de los catetos y el ángulo del triángulo rectángulo
(r· ig. .).16), Luego, se tiene
tan () == y (:=)8
x
= atetan
'x
(Y)
La regla de la cadena para la variable O es
dO
80 dx
ee dy
dt.
ñx' dt
ay' dt
-=,--+-y
=-
X2
dx
x
dy
+ y2 . dt + X2 + y2 ' dt
J'
Ftg 3.16
Al sustituir los datos x
dx
dy
24 dt = 2 pies /se.y y dt = -4 pies / sey
= 20, Y =
I
en la regla de la cadena. se obtiene
de
24
20
128
dt = - 202 + 242 (2) + 202 + 242 (-4) '= - 976 = -0,131
Luego, el ángulo agudo ,(J disminuye a una razón de O 13 i rad/seg.
Ejemplo 56.- Un filtro cónico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la
parte superior, se encuentra llena de una solución. La solución va pasando a un
vaso cilíndrico de 3 cm de radio. Cuando la profundidad de la solución en el filtro
es ]2 cm y el radio 4 cm. su nivel está bajando a razón de 2cm/seg y el radio va
decreciendo a razón de 2/3 cm/scg. lIalle la rapidez con que está subiendo la
solución en el vaso. para dichas medidas,
Solución
En la figura 3.17 se observa que el volumen de
la solución en el filtro cónico de radio r y
~
altura 11 es dado por
,
Vil =
VII
t~0710 -
1 .,
1
2
~
-rrr"ll = 3"(6) (18) - 1l(3)" H
3
Oc donde resulta
r2h
11 = 24 - 27
Luego. la derivada total de H con respecto a t es
dl!
dt
aH dr aH cLh
= or·di+ lJh°(it=
2rh dr
7.2
dh
- 27 ·di-27°dt
Al sustituir los datos r = 4. li = 12,
dlt
dt = -2
2
seg y - = - - cni /seg
dt
3
dr
C111/
en la derivada total. resulta
!IN == _ 2(4)(12) (_ 2) _ ~ (-2) = 32
di
27
3
27
9
Por tanto. la solución en el vaso cilíndrico sube a una velocidad de 32/9 cm/scg.
Ejemplo 57.- Un corredor va por una pista circular de 4() metros de radio a razón
de 8 m/seg. En el centro de ésta hay una luz, la sombra del corredor se proyecta
sobre un muro recto tangente a In pista en el punto de partida. ¿Con qué rapidez se
mueve la sombra cuando lleva recorrido 118de la pista?
"olución
I I arco S = AH recurrid" por el atleta e~dado por
S
=:
,'0
Como la sombra del corredor se proyecta sobre la
recta tangente Lr. entonces se tiene (Fig. 3.18)
Y
tan 0=r
Luego. la distancia recorrida por la sombra del
corredor (liT = y) vrcne dada por
y = r tan 0(1' = /101l! lijo)
La derivada total de las variables v \. S con
TI!Sl""!C\\) ',\\ \kl))'P\)
t ~\)"
tiy _ ay dr
ay de _
.z de _.
dt - aro dt + ae'dt as
as
cie
ch" dt
dr
_= __
+
()S
tanO (O)
.2
de
+ rsec B dt - rsec 0d(
·-1tb
ao ''_
-
dO d:
= 'odi
De estas dos ecuaciones. resulta
ay _
2
d, - sec
ele
e. dt
1
2n n
dS
A I sustituir los daros 8 = 8 (longitud de 1,1pista) = '8 = 1y dt = 8 II! /sC!!!
dy
en la derivada toral dt • se obtiene
dy
- = 2(8)
dc
= 16
-
Por consieuierue,
la sombra del corredor se mueve sobre la recta tangente a una
~
rapidez de 16 m scg,
Ejemplo 58.- Sea(: D e n¡,z-. lit una función difcrcnciable. tal que
[(18;0) = 4 )' DI{C18;O) = Dz{(18;O)
- Z2 + X2). halle la ecuación del plano
tangente a la superficie S: H(x; y: z) = O en el punto Po(3; -4; S)
SI
H(x; y; z) = {(Xl - y2
Solución
+ Z2; y2
=3
Al considerar u = X2
- y2
+ Z2,
V
= y2
+ X2
- Z2
= [(u;
y lI(x;y;z)
v) = O.
se tiene
vu
aH ex; y; z)
a{eH; v)
ñx
=
au
. a~ + av .ox
= Dl[(U; v). 2x
oH(x; y; z)
+ D2feu;
v). 2x
au a {eu; v)
iJf(ll; v)
VU·
----=
ay
av
8f(u; v)
-+
ay
av'
OV
oy
= D1!(1l; v). (-2y) + DI.!(1t; p). (2y)
af(u.;v)
8Jl(x;y;7.)
,----=
au'
fJz
= D1f(u;
Da
iJf(u;v)
iJz
av'
-+
v). (27,)
av
-
az
+ D2!Cu; u). (-2z)
Al evaluar estas derivadas parciales en el punto Po(3; -4; 5),
011(3; -4; S)
ax
= 36,
~(3; -4; 5)
"4J
y
Se
tiene
aH(3; -4: 5)
=oy
a 7.
=o
Por tanto. la ecuación del plano tangente a la superficie S en el plinto Po (3; -4; 5)
es
PT~ 36(x - 3) + O(y + 4)
+ 0(70 - S)
?r:x
.~
=3
Ejemplo 59.- Sea f'una 'función diferenciable, tal que
f(2: 2) = 2. Dlf(2:
2)
== -2 Y D2[(2; 2) = 4
olución
i) g(2)
= f(2; f(2; f(2; 2)) = f(2: f(2: 2)) = f(2: 2) = 2
ji) Al considerar v(x)
= [(x;
tiene
g'(x) = D1l(x;u (;r)).1
'=:
D1f(x; u(x))
x), u(x)
= {ex; v(x))
+ D2f(x;u(x)).'u'(x)
+ D2f(x; u(x))[D1f(x; v(x)) + D2f(x; v(x)). v'(XJ
= D1f(x; U(X)) + D2f(x; u(x) )Dlt(X: v(x))
+D2f(x;
y 9 (x) = [ex; u(x)). se
u(x))D2!(x;
Luego. al evaluar en x = 2 resulta
v(x))[D1f(x;
x)
+
+ D2f(x:
x)]
1
9'(2)
= -2 + 4[-2 + 4[-2 + 41] = 22
· (aW)2
(aw)2
éJx + ay
Ejemplo 60.- Transforme la ecuación
variables independientes a r =
J X2 + y2
=
o,
al tomar como
Y 8 = arctan (~)
..olucíén
El diagrama de árbol de dependencias se muestra el
cadena para w viene dada por
aw
ox =
aw a1'
ñr ' {)x
8w
= 01'
ehv
ao
+ as . éJx
(X)r + aw
( Y)
(JO - ,.'1
y
ñr
QW
:=
J'
11
aw i)e
-=--+-iJy ñr . ay ao . ay
UW
-:
)II~e<X
./
a w (Y) + él LV (~)~~
01' r
ao
1,
~--------------------~
Fig 319
..
1'2
';'
GW
Al sumar los cuadrados de las derivadas parciales iJx y
+ (iJW)2
( iJW)2
ñx
ay
= (OW)2
iJr
ow
ay'
se obt lene
+2_ (UW)2
,.2 Be
Por ranto. la ecuación resultante es
OW)2 1 (OW)2
( (h' + 1.2: a (J
,
=o
.'
.7 DERIVACION 11\1PLlCITA
e dice que la ecuación
F(x; y; z) = O
(.)
define en forma implícita a la función f: D e n¡2 -1 li, si al sustituir
en la ecuación (*). ésta se reduce a una identidad. esto es.
F(x; y; [(x; y») = O, \1'(x; y) E D
Por ejemplo. la ecuación
F(x:)'; z) = 3x2 + 4)'Z + Z2 - 12 =
representa en Iormn impl icitrl a las funciones
°
7.
= f(x;y);;
J12 - 3x2
- 4y2
Y
Z
= O(x;y)
= -J12
7.
-= ¡(x; y)
l. (11111111 ch' 1.. 1 unciún lrnpllcita 10.- Sea F: D e ~"+1 -+ IR una función real
de 11 ~ 1 \ ariablcs tal que:
i) F(.\'¡; ..• ; x,,: z) = O
(.)
ii) ¡: tiene derivadas parciales continuas en 1,1 vecindad del punto P(x¡; ... ; .\',,;z)
aF(p)
iii) -
az - '* O
Entonces la ecuación (*) representa a 7. en forma implícita como función de
XI: .•. ; x". esto es, Z = (Xl; ...; X,,) } para P(x¡: ... : X,,: z) E D. se tiene
iJF(xI: ... ;X,,: z)
az
ox,
i = 1,2..... n
-¡:7:7( --.:..._-,,:,)-,
x1;· .. ;x";z
az
Dz
(Jz.
Ejemplo 61.- l lallc D.\' > ay' s¡ Z
4 =O
., r.J.
xyZ + yzz + Z3 -+
Snlueión
Sea F(x; v;z) = xy-
(Cx;y) suustucc 1" ecuación
;(3 -
>.
, + ~+ z·1"+x'
-·1 = O
L:L~derr, adav parcinles de F con respecto a x, y) z son
iJF
,
•
iJF
•
oF
,
-) = y' + 3x·,
- = 2xv + Z', ¡-a
= 2y7. + 37.)lZ-
cJy
( X
..,
z
l.ucgo, al rccmpla/ur cada una de estas deri\lll4a~ en la forma de la dcrivacion
implicira. se Iicne
iJF
117.
,j~c
o'"
oz
éJx ,-. -
=
,,:!
J
2yz + 3z~
iJz
iJF
ay
ay = -
(JI-' = - 2yz
.
Ejemplo 62.-
2xy
az
SIl(,
o-f·
~\'~
• ...")",
+ z~
+ 3z~
11 son funciones
de
rcgion del plano X y por las ecuaciones
it
scn " + x~ = n
ti
cos
l
L' _
Y 2 = ()
x e )' definidas
IIllphclI.1I11CnlC
en
.1Ig.una
Solución
Al derivar en forma impl ícita ambas ecuaciones con respecto a ,r; se licite
au
av
iJxsen v + u eos v iJx + 2x = O
iJu
av
- eos v - IL sen v - = O
iJx
ax
éJu
av
Luego. por la regla de Cramer las variables iJx y ax vienen dadas por
-2x
cos v ,
au - ..:.".,,;;...,.,-......::::.::;.;..;,:.~
O
sen v
2xu sen v
-ax
=
-,senv
ueosv,
-u(sen2v+cos2v)
'cosv
-usen v
ti
-tL
sen v
ces v
I
ax =
iJv
-2xl
()
=-
----u - -
= - 2x s en v
2x (OS v
u
En forma similar, se obtiene
a~~
au
2y sen v
ay = 2y cos(v) y iJy:" '..... u
Las derivadas parciales de segundo orden son:
u
-=-
l2 cos v -
2x sen v.~] -~cos
iJx2
v.~
u2
=-
2u cos v -1- 8x2sen v cos v
2usa" v - 8y2sen vcos v
u2
l av
Luego. al sustituir estas derivadas parciales en la expresión de E. se obtiene
E
iJu
au + U
= y--xéJy
éJx
v]
2
a2
y2_+X2_
éJx2
ay2
+ 600 = 600
Ejemplo 63.- Si {(x - z: y - z) = O define en forma irnpllcita a z como funcu'lII
dexey.
iJz
lJx
halle-
iJz
+iJy
Solución
Al considerar a = x - z y b = Y - z, se tiene
F(x; y; z) _; [(u; b)
=O
Luego al aplicar la regla de la cadena y la
fórmula de la derivación impl ícita, se, tiene
iJF
rJF
oa
aF
af
ax = va . 8x = ,oa =
uf
iJy
éJF
=
8F
da
Ba . üy
DF ab
+
aF ña
az = Ba'
iJz
iJa
iJF af
ñb ' ay = ,ab = ab
al-' ah
iJF
+ ab'az = -
ñz
az
Ag. 3.19
aF
fJ[
oa - ab = -a-;¡ - ah
Por consiguiente.
ox + ay
Ejemplo 64.- Si z
+ eX sen
(y + z) - 1 = ~finc
iJ22
rr ~
función de x e y. halle
e¡
=1
a z en forma implícita como
..
ay ax
en el punto (O: -; O)
2
Solución
Sea F(x; y: 7.) = Z + eX sen (y + z) - 1 = O. Luego. al aplicar las fórmulas de
derivación implicita, se 'tiene
iJ,..
oz --ax
ox iJF
az
a2z
E=~-
az
el' sen (y + 7.)
'1 + eX cos(y + z) : iJy
aF
eXcos (y + z)
oF = - 1+ eX cos(y + z)
ay
=-
(Ji
rJyox
eX[cos(y
+ 2) + e"
cos2(y
+ z))
(1 + uyaz) + e
2x
sen2(y +z)
[1 + ayOZ]
[1 + el' cos(}' + z))2
.
. de segundo orden en el punto Po ( O: '2:
n O) ,resulta
Al evaluar la derivada
parcial
iJ2z ]
ilyilx (o:Í:0) = -1
EJERCICIOS
l.- En los siguientes ejercicios, obtenga las derivadas parciales indicadas al usar la
regla de la cadena.
ilu ilu
a) ti = (yz)X
X
=
es
+t
y
=
S2
+
3st
z
=
senr
. ,
.
.
, as ' -at
b)z=ln(x2+y2)+Jx2+y2,
x=etcost,
y=ecsent'dt
dz
dz
R. de = 2 + el
= xeí", x = t
e) z
- 3, y
d}u=2x2-y?+x?z.
du
-
dt
_.,
1
=e "
dz
dt
x...,.2sent,
y=t2-t+l.
z=3e-r.
en t = O
R. 24
= arcsen (3x + y). x = r2e". y = sen{rs);
y).
ou au
f) II = cosh (- , x = 21"s, y = 6ser; :;¡-, -iJ
x
v~
S
cj u
Y
glu= 1+x2+y2'
ñr
.....
y=r-2s+3t:
X -
x=r+3s-t,
h}u = xe-Y. x - arctantrst},
ilu ou
-
os
ilu
du
OU
ar' as' ¡¡¡
rJu
y = eos(31'5 + Ss,); T'
or
cJu
éJu
-as ' -:;ot:
2.- En los siguientes ejercicios. suponga que w es una función de todas las otras
variables. lIalle las derivadas parciales indicadas en cada caso.
•
,>
ilw Dw
a) 3x' + 2y' + 6w' - x + y = 12. ñx' iJy
b,
X2 "
2xy + 2xw + 3y2 + w] = 21,
•
2
el x'y - x·w - 2xy - yw
3
Suponga que {(x; y)
2
3
ow aw
áx ' iJy
aw
ow
x
oy
+ 1\1 = 7, -il ' -;-
= eX'j
y que g. h son funciones tales que: .l}('l)
y'(2) = -¡,h(Z) = 5.h'(2) = 6: Halle F'(2) si. F(l) = (Cg(t);II(I»
U
]B~Ir,
= J.
4.- Si f(r; s) es diferenciable en (0:0) y D¡{(O; O) == 2, D2fCO; O) == 3 ) cp(u; v)
es diferenciable en (O; O), cp(O; O) == O,cp,,(O;O) == 7, <p,,(0; O) == 9.
Sea 9(u; v) == [(cp(u; v);u). Calcule 9,,(0; O) y 9vCO; O)
R. 9u{0; O) == 17, 9,,(0; O) == 18
5.- Dado
lL
OU
= f(xu;
uDl{(xu;
y) demuestre que: - == -:----'-::--'-::-:-':""':""-:iJx
1-xD¡[exu;y)
y)
iJ2z
éJ2z
6.- Si z == <p(y + (Ix) + t/J(y - ax), demuestre a2 ay2 - ax2 == O
7.- Si z == {(x; y), x == r cos O ,y == r sen 0, demuestre que
11.\2
«ar')
(a1.\
1..
fd'l.\
2 _
'50) - \ax)
+ r!
(dl.\
Z
+
ay)
2
",
iJ2u
~a2u
8 .- Si u == ez-ut cos(x - aL) , nruebc
clUe
==
a-OX2
l'
a(!
= u(x; y)euZ+bY• donde «(x; y) es una función tic x e y tal que
a~lL
..... de CI .\ b que hacen qUI! la
a x cJ y == O, «(1, b constantes). Halle los \al,~~
9.- Dado z
expresión
a2z_
"
cJz
axoy
- -
ax
éJz
- -
ay
+? == O
N. a = b = 1
OW
10.- SI W == {(x1. - y2; y2 - x2), pruebe que Y-a
x
11.- Una función
11 es
OW
+ x-a == O
y
definida por una ecuación de la forma 11 == xy{
~ éJu
(X ;Y)
z ñu
Pruebe que IL satisface la ecuación x' OX - y ay == G(x; y)u y halle
R. G(x;y)==x-y
G(x;y).
12.- Una cierta función F(x;
el cambio de variable
aF)2
'OF)2
y) es tal que ( ax + (ay
= 2, V(x; y)
1
X
= uv, y == 2 (u2
-
v2) transforma la función
F(x; y)
en una función de u y v. Determine los valores de las constantes
tales que
aF
CI (-)
ou
Z
al"
b (-)al)
2
= u2
+ v2
1
(1
y b
1
R . a = -2' b = -- 2
Un lado de un rectángulo de x = 20 m. aumenta con una velocidad de 5
m seg. el otro lado de y = 30 m. disminuye con una velocidad de ..¡ 1111seg.
¿Con qué velocidad variará el perímetro)' el área de dicho rectángulo?
R. Perímetro 2 m/seg, área 70 m2/ seg
13.-
l-l.- El radio de una esfera disminuye a razón de 2 cm/seg y el radio de la base de
un cono recto. inscrito en dicha esfera. aumenta a ratón de 1 cm/scg, Calcule
la rapidez con que varia el volumen del cono cuando el radio de la esfera es
R.
de 10 cm) radio de la base del cono 6 cm.
dV
di =: 9"
15 - Una cantidad de gas obedece a la ley de un gas ideal PV = 12T. Y el gas está
en un recipiente que es calentado
a una rapidez de 30 por seg. Si en el instante
.,_
cuando la temperatura es 3000• la presión es 6lib /pulg2
}
esta
disminuyendo a la rapidez de O.] lib /pu102 por segundo. halle la rapidez de
cambio del volumen en ese instante R. Crece a r117.Ónde 16 puiOJ ¡seg
Nota P es la presión, V el volumen. T la temperatura.
16.- En un instante t. medido en minutes, una cfflnche sobre el plano XV está en
el punto ex; y), donde las distancias se miden en pies. La temperatura en
(x: y) es z = T(x; y) = e-x-2}' grados. Cuando la chinche está en el punto
(0;0) se mueve hacia el este ti una velocidad de 2 pies/min y hacia el norte a j
pies/ruin Desde el punto de vista de la clunche. ,,1:011 qué rapidez esta
cambiando la temperatura del suelo?
R -8°C:l11m.
17.- Un depósito en forma de un cono invertido. tiene una altura de 10m y una
base de 10 m de diámetro. SI el depósito está llenándose de agua a razón de
2 m3/ seg, ¿a qué velocidad se está elevando el nivel de agua cuando el nivel
se encuentra a 3 m de la parte superior del depósito?
8
R. 497T
111/seO
I K.- Uno de los lados de un paralelogramo está aumentando a razón de 10 cm/seg,
y uno de los adyacentes está disminuyendo a razón de 5 cm/seg, mientras que
el ángulo comprendido está aumentando a razón de 2°/ seg. Determine cómo
~ con qué rapidez está variando el área del paralelogramo
que tales lados miden
:!.-IO m \
1.50
III
en el momento en
respectivamente. si el ángulo
comprendido es 60°,
19.- Una piscina th:111.!
30 pies de ancho. -10pies de largo, 3 pies de profundidad en
un extremo y 8 pies en el otro extremo. siendo el fondo un plano inclinado <\i
la piscina está llenándose con un caudal de 40 nies" /Se9. ¿a qué velocidad
se está elevando el nivel de agua cuando dicho nivel es de 8 pies en el extremo
más profundo'!
R, 1130 pies scg
:!O.- 1'1 auto 11 sc dcspla/a
hacia el 110ne por una carretera )' el auto 13 \ iaja hucm
el oeste por otra carretera, cada uno se aproviru« al cruce de ésta ... carreteras.
ln crcrto momento. el auto !I. esta a 1.5 km del cruce y \ laja iI 90 km h.
mientras que el auto 13está a :!.S km del cruce y viaja a 60 t..lnrh ¡.Cuál es la
razón de cambio de la distancia entre los autos en ese momento?
'}1.- El radio de un cilindro cit't.plar se incrementa a razón de (l ccntimctrns por
minuto. ~ la altura decrece a razón de .¡ cenumetros por nunuto. ¡.Cual es la
velocidad con la que cambian el volumen ) el arca cuando d radio mide I:!
cm ) la altura 36 cm'.'
dV
)
R. dt = 4608rr cln / ruin
tls_.
~I 624rr
e t <_,~
,
Clll" / 111in
22.- En un triángulo ABC considere los lados AB ~ AC ~ el ángulo e
forman. Suponga que el lado ,\B Jumenta a 1/16 cm mino el
disminuye a I 16 cm.nun y que el ángulo U aumenta a O.o:!
Determine Id velocidud con la que val ia el área del triángulo cuando
:; cm, ,\( mide 4 cm ) el angula O mide" /,} r(ld
dS
121_
R. - =
\12 C"1~/ Iltill
dt: 1600
que ello"
lado ·\C
rad nun
!l.B mide
23.- El trigo que cae del orificio del fondo de un gran depósuo \ a formando. sobre
el terreno. un montón en forma de un cono circular recio. La altura del COIlO
mide 5 metros y aumenta a razón de 50 CI11 en cada minuto. El radio de la base
nudc 3 metros y aumenta a razón de 50 cm cada muuuo. Halle la variación del
volumen que se cxpcri menta en la unidad de tiempo.
13rr
R. -:;-
n13/ lnln
24.- La utilidad "U" de una empresa que fabrica )' vende UII I1I1ICO 1" odU~11l
depende del precio de venta "p" (en dolares) de dicho producto ) lid H.IStl)eu
publicidad "g" (en dolares) para promocionar el producto,
La ccuacion
.. que re laci
.
2
aciona Ias vana. bl es antenorcs
es U = pT
P9
- 100
.1/1
+ 1000
Por otro lado "p' y "9" dependen del numero "z" de unidades producidas
mediante las reglas de correspondencia
p = h(x)
J'
9 = lI(x).
Adicionalmente, se sabe que h'(1000) = 1; h(lOOO)
= 40; H'(1000) = 2
Y H(1000) = 5000.
dU
Calcule e mterprcte -i evaluado en x = 1000.
o
(X
R. L.a utilidad de la empresa aumenta
producida.
él
una razón de S 9.::! por unidad
25.- La altura de un triángulo disminuye a razón de 2Cll1iseg. mientras que el tiren
del mismo disminuye a razón de 3 cm~/seg ¿A que velocidad cambia la base
.,
del triánaulo
cuando la altu'ra mide 20 cm \ el área 180 cTnz,? R. 1.5 cm seg
~
,,-
26.- SI la ecuación {exl - y. + zz;}'~ ....x= + Z2) = O define a 7. irupllcitamentc
1 ¡¡z
1 az
como función de x e y. halle \v = -. - + -. R. O
x ax
27.- Sea la función z
y
()y
= [(x;
y) dada por la ecuación
sen (x + z) + sen ex + y) = 1
¿Parn que valor de la constante a en el punto (Ir; rr /2; rr) se verifica la
aZz
alz
ecuación x-+ Z-. =
ax2
ay"
(1
(az---?az)
ay
()x
R.
tl
= 2rr
EJERCICIOS DE DfSCUSIÓN
Verdadero o Falso
1 - <.;i z = (ex; y) es una función con derivadas parciales continuas hasta el 2uo.
ordeny además x = 1 + 21. Y = 3 - t entonces.
~
d+z
J
j)-z
-=4--4
d c~
ax2
~'
(I-Z
oxj)y
tr"., z
+ay2
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