semana 3

ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE
REAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
MOTIVACIÓN
¿Qué te recuerda esta imagen?
Matemáticamente, ¿qué representa esa curva?
¿Qué entiendes por puntos críticos en una función?
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
LOGRO DE LA SESIÓN
Al
finalizar
la
sesión
de
aprendizaje,
el
estudiante
calcula la elasticidad de la
demanda
y
determinas
intervalos de crecimiento de
una función señalando los
extremos relativos haciendo uso
del criterio de la primera
derivada mostrando exactitud
en sus cálculos.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SABERES PREVIOS (PRE
REQUISITOS)
➲ Funciones.
➲ Continuidad de
funciones.
➲ Reglas de
derivación.
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CONTENIDO DE LA SESIÓN
➲ Elasticidad de la demanda.
➲ Función creciente y
decreciente
➲ Extremos relativos.
➲ Número crítico y punto crítico.
➲ Criterio de la primera
derivada para extremos
relativos.
LA ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
El precio ejerce una influencia sobre la cantidad demandada del bien.
Cuando varía el precio del bien, los consumidores reaccionan
demandando una cantidad diferente.
Al respecto, debemos determinar si una variación del precio afecta mucho o
poco a la cantidad demandada. En ocasiones, los consumidores apenas
cambian su cantidad demandada ante un aumento del precio; en otras, por
el contrario, el cambio es muy considerable.
Una manera de medir la intensidad en la relación entre la variación del
precio y la variación de la cantidad demandada es mediante la Elasticidad de
la demanda
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LA ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
La elasticidad de la demanda se simboliza con la letra “e” y se calcula:
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
e=−
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜
Δ %: Variación porcentual
Vf : Valor Final
Vi : Valor Inicial
 V f  Vi
%  
 Vi

100 %


Ejemplo: La demanda q y el precio p de cierto artículo se relacionan con la
ecuación 2p=240-q. Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio
varía de p=30 a p=42
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
TIPOS DE DEMANDA
Esto ocurre cuando
variación porcentual en
cantidad es menor que
variación porcentual en
precio
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
la
la
la
el
Esto ocurre cuando
variación porcentual en
cantidad es mayor que
variación porcentual en
precio
la
la
la
el
Esto ocurre cuando
variación porcentual en
cantidad es igual que
variación porcentual en
precio
la
la
la
el
TIPOS DE DEMANDA
Esto ocurre cuando la
variación en el precio, no
afecta la demanda
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
Esto ocurre cuando a pesar
que el precio se mantiene,
la demanda varía
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función f en un punto x  Df se simboliza f’(x) y se define
como el número real (si es que existe) obtenido al calcular el siguiente límite:
f ( x  h)  f ( x )
f '( x)  lim
h
h0
Geométricamente se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de dicha función en el punto ( x; f(x).
Y
L
m = Pendiente de la recta L
f(x)
m  f ' ( x)
x
X
Nota: f’(x) representa una nueva función llamada función derivada o
simplemente derivada de f(x)
OTRAS SIMBOLOGÍAS:
Si y  f ( x ) representa una función, su derivada puede
representarse de las siguientes formas:
f '( x )
Se lee: “ f prima de x ”
y '( x )
Se lee: “ y prima de x ”
dy
dx
Se lee: “ Derivada de y, respecto a x ”
df
dx
Se lee: “Derivada de f, respecto a x ”
REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
1. Derivada de una constante:
Si:
f ( x)  k
Ejemplo:
f ' ( x)  0
f ( x)  8
Si
para todo k  R
 f ( x )  0
2. Derivada de la potencia de una variable:
Si: f ( x)  x n
Ejemplos: 1.
2.
f ' ( x)  n  x n1
para todo n  R
4
Si f ( x)  x5  f ( x)  5 x
Si f ( x)  12  3 x
3. Si f ( x) 
5
x3
 12x1 / 3  f ( x)  4 x 2 / 3
 5 x 3  f ( x)  15 x 4
3. Derivada de una suma o resta de funciones:
y '  f ' ( x)  g ' ( x)
Si: y  f ( x)  g ( x)
Ejemplos:
1. Si
f ( x)  5 x 3  2 x 4  7 x  13
 f ( x)  15 x 2  8 x 3  7
2. Si f ( x)  3 x 2 
5
x3
2/3
 5 x 3  7 x
 9x  x
 f ( x) 
2 1/ 3
x
 15 x 4  7
3
5. Derivada de un producto de funciones:
Si:
y  f g
y '  f ' g  f  g '
Ejemplo


f ( x)  x  3 x 3  2 x 1  5
Derivando

3
1

3

1

f (x)   x  3 x  2 x  5  ( x  3) x  2 x  5

f (x) 
1
x

3

 2 x 1  5
 ( x  3) 3x 2  2 x 2 
Luego
f ( x)  x 3  2 x 1  5  ( x  3)(3x 2  2 x 2 )
Respuesta
6. Derivada de un cociente de funciones:
Si:
y' 
f
y
g
Ejemplo
f 'g  f  g '
g2
; g(x)  0
x 3  3x
f ( x) 
x  6 x 5  2
Derivando
f (x) 
x
3
 3x

 x  6x  2  ( x
x  6 x  2
5
5
f ´(x) 
3x
2
3
 3x) x  6 x
2
 x  6x  2  ( x  3x) 1  30 x 
x  6 x  2
3
5
6
3
5
5
2
Respuesta
2
