bode

Sistemas de control 67-22
Versión 2003
Tema Análisis de Respuesta en Frecuencia
Sub - tema Diagramas Logarítmicos,
Diagramas de Bode
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La respuesta de un sistema, en estado estacionario, ante una entrada sinusoidal se la conoce
como respuesta en frecuencia.
Interesa conocer la respuesta ante una entrada sinusoidal ya que una señal real periódica será en
general una poliarmónica, la que a su vez se podrá descomponer en series de senos y cosenos
donde se tendrá en cuenta las funciones pares o impares, análisis de Fourier mediante, luego si el
sistema es lineal se analizarán las sinusoides por separado.
Sea la siguiente entrada sinusoidal y su correspondiente transformada de Laplace:
ω⋅X
= X (s )
s + ω2
de la señal ( no del sistema)
x ( t ) = X ⋅ sen( ω ⋅ t )
ω = frecuencia
L →
2
la salida tendrá una forma como la que sigue:
y ( t ) = Y ⋅ sen( ω ⋅ t + ϕ )
ϕ = ángulo de fase
X(s)
G
Y(s)
Se define que para un sistema como el indicado la transferencia sinusoidal se obtiene
cuando se reemplaza “s” por “jω”, lo que equivaldría a decir que la transferencia sinusoidal tiene
en cuenta solo la parte imaginaria de s, o que toma un imaginario puro.
Y(s)
G (s) =
X(s)
⇔
Y( jω)
G ( jω) =
X( jω)
(9)
Analizando la expresión (9), vemos que G(jω) es un número complejo y como tal
posee módulo y argumento. (Ver deducciones al final)
G( j ⋅ω ) =
Y ( j ⋅ω )
X ( j ⋅ω )
⇒
Y ( j ⋅ω ) = G( j ⋅ω ) ⋅ X ( j ⋅ω )
G ( j ⋅ ω ) = relación entre las amplitudes de salida y entrada.
G ( j ⋅ ω )] = Y ( j ⋅ ω )] − X ( j ⋅ ω )]
 Im[G ( j ⋅ ω )] 

G ( j ⋅ ω )] = arctg 
 Re[G ( j ⋅ ω )] 
G ( j ⋅ ω )] = ángulo de desfase entre las señales de salida y entrada.
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Por lo tanto conociendo la transferencia sinusoidal del sistema puedo saber como será la
amplitud de la salida y el ángulo de desfase, la frecuencia se mantiene constante
Resumiendo, el análisis que realizaremos presupone :
Régimen permanente.
Entrada sinusoidal.
La salida mantiene la frecuencia pero no la amplitud ni la fase ( Sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales).
Existe G(jω).
La respuesta en frecuencia nos brinda información indirecta acerca de la respuesta
transitoria, además existe una relación con el “tipo” de sistema siendo posible calcular los
coeficientes de error estático, de velocidad y aceleración (que a su vez describen el
comportamiento de los distintos ”tipos” de sistemas).
La respuesta en frecuencia se puede presentar en variadas formas, entre ellas se destaca
la de los gráficos logaritmicos o de bode:.
I.
G ( jω) en decibeles, o sea : 20 ⋅ log G ( jω) .
II.
G ( jω)] .directamente en ángulo
Ambos en función de ω en escala logarítmica ( o bien del log (ω/ωn))
Para trazar los diagramas de Bode se analizan ciertos factores, luego se trata de
descomponer a una transferencia cualquiera G(jω) en base a estos factores lo que simplifica la
construcción.
Los factores a analizar son:
(a) k; ganancia.
(b) (j.ω)± 1; (+) derivativo, (-) integral.
(c) (1 + j.ω.T)± 1 ; de primer orden.
±1
2

 ω   ω  
(d) 1 + 2 ⋅ ζ ⋅  j ⋅
 +  j⋅
  ; de segundo orden
 ωn   ωn  

Al analizar éstos factores, lo que se buscará es representar gráficamente las asíntotas de
la curva, ésta es algo más difícil de evaluar en forma exacta, de todas formas las asíntotas nos
brindarán la información buscada con suficiente exactitud. Al final resolveremos un ejemplo
para aclarar la mecánica con que se abordan estos problemas.
Así mismo se recomienda el uso de programas tales como el MATLAB para la
realización del trazado de las asíntotas o bien del diagrama, aquí indicamos las instrucciones para
hacer el diagrama de magnitud y fase de un primer orden con constante de tiempo 10 en Matlab.
num=[1];
den=[0.1,1];
bode(num,den);
G( j ⋅ ω ) =
1
1 + j ⋅ ω ⋅ 0,1
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Ganancia k.
Si la transferencia es G(s) = k, la correspondiente transferencia sinusoidal será:
G ( j ⋅ ω) = k
;
k>0
G ( j ⋅ ω) dB = 20 ⋅ log(k )
sí :
si
,
en decibeles.
k >1
⇒
G ( j ⋅ ω) dB > 0
k <1
⇒
G ( j ⋅ ω) dB < 0
ρ = G(j ⋅ ω) dB = 20 ⋅ log(k ) ; para algún valor definido de “k” se tiene:
Factores integral y derivativo
-1
Integral (jω) .
La transferencia es G(j.ω) = (j.ω)-1.
G ( j ⋅ ω) dB = 20 ⋅ log G ( j ⋅ ω) −1 = −20 ⋅ log ω
Sí G ( j ⋅ ω) = ( j ⋅ ω) −1 =
(10)
1
1
= − j ⋅ ; el argumento es : G ( j ⋅ ω)] = −90º , ∀ω (11)
j⋅ ω
ω
Como lo que se representa es el logaritmo de la frecuencia ω conviene analizar por décadas.
ω
G ( j ⋅ ω) dB
1/10
1
10
100
20
0
-20
-40
Disminuye 20 dB
por década.
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|G(j ω)| dB
20
0
-20
log(ω)
1/10 1
10
100
G(j ω)]
0º
-90º
log(ω)
1/10 1
10
100
Derivativo (j.ω)+1.
Realizando un análisis similar se llega a:
G ( j ⋅ ω ) dB = 20 ⋅ log( ω )
;
sube 20 decibeles por década
|G(j ω)| dB
40
20
0
log(ω)
1/10 1
10
100
G(j ω)]
180º
90º
log(ω)
1/10 1
10
100
Se puede generalizar lo anterior de la siguiente manera:
Factor
Pendiente
Argumento
(j.ω) - n
- 20 . n [dB / década]
- 90º . n [∀ω]
(j.ω) + n
+ 20 . n [dB / década]
+ 90º . n [∀ω]
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Factores de primer orden (1 + j.ω.T)±1.
Si tengo, G ( j ⋅ ω) =
1
1+ j⋅ ω⋅ T
⇒

1
G ( j ⋅ ω) dB = 20 ⋅ log
2
2
 1+ ω ⋅T
20
G ( j ⋅ ω) dB = − log 1 + ω 2 ⋅ T 2
2
(
1
G ( j ⋅ ω) =
1 + ω2 ⋅ T 2


 = 20 ⋅ log  1 + ω 2 ⋅ T 2



(
)
−
1
2



)
(
G ( j ⋅ ω) dB = −10 ⋅ log 1 + ω 2 ⋅ T 2
)
Para bajas frecuencias el módulo será “cero”.
Para altas frecuencias se puede considerar la siguiente expresión:
(
G ( j ⋅ ω) dB = −10 ⋅ log ω 2 ⋅ T 2
)
G ( j ⋅ ω) dB = −20 ⋅ log(ω ⋅ T )
lo adecuado es analizarlo por décadas:
ω
- 20 . log (ω . T)
1/T
0
10/T
-20
100/T
-40
Disminuye 20 dB
por década.
Analizo el argumento.
 − ω⋅T

2
2
G ( jω)] = arctg 1 + ω ⋅ T
1


 1 + ω2 ⋅ T 2


 = arctg(−ω ⋅ T) = − arctg(ω ⋅ T)



Para valores extremos de ω se tendrá:
ω
G(j.ω)]
ω→0
0º
1/T
- 45º
ω→∞
- 90º
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|G(j ω)| dB
0
-20
log(ω)
-40
1/10T
1/100T
1/T
10/T
100/T
G(j ω)]
0º
-45º
log(ω)
-90º
1/100T
1/10T
1/T
10/T
100/T
Similarmente para (1 + j.ω.T)+1 :
G ( j ⋅ ω) dB = 20 ⋅ log(ω ⋅ T ) ,
ω
- 20 . log (ω . T)
1/T
0
10/T
20
100/T
40
Aumenta 20 dB
por década.
G ( j ⋅ ω)] = arctg(ω ⋅ T )
ω
G(j.ω)]
ω→0
0º
1/T
45º
ω→∞
90º
Mirando el diagrama anterior y teniendo en cuenta estas tablas intente realizar el gráfico
correspondiente a (1 + j.ω.T)+1 .
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Aquí también se puede generalizar para un exponente “n”.
Factor
(1+j.ω.T) - n
(1+j.ω.T) + n
Pendiente
Argumento
Asíntota de baja frecuencia
en 0 dB.
Se multiplica por
Asíntota de alta frecuencia –
“n” ∀ω
20.n dB/década
Asíntota de baja frecuencia
en 0 dB.
Asíntota de alta frecuencia
+20.n dB/década
Se multiplica por
“n” ∀ω
2

ω  ω  
Factores de segundo orden 1 + 2 ⋅ ζ ⋅  ⋅ j  +  ⋅ j  
 ωn   ωn  

Si recordamos la transferencia:
1/T
1/T
±1
1
G ( j ⋅ ω) =
2
ω  ω 
1 + 2 ⋅ ζ ⋅  ⋅ j +  ⋅ j
 ωn   ωn 



1
G ( j ⋅ ω) dB = 20 ⋅ log 
 
2 2

ω


 1 −    + 4 ⋅ ζ 2
   ωn  

 
G ( j ⋅ ω) dB
Frecuencia de
corte




2 
ω
⋅  
 ωn  
2
2 2


ω


2  ω  



= −10 ⋅ log 1 −  
+ 4⋅ζ ⋅ 
  ωn  
 ωn  


para bajas frecuencias
para altas frecuencias
⇒
G ( j ⋅ ω) = −10 ⋅ log(1) = 0
⇒
 ω  4 
G ( j ⋅ ω) = -10 ⋅ log   
 ωn  
por lo tanto se tiene :
ω
G ( j ⋅ ω) = -40 ⋅ log 
 ωn 
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ω
|G(j.ω)|
ωn
0
10.ωn
-40
100. ωn
-80
Disminuye 40 dB
por década.
En cuanto al argumento es:
 2⋅ζ⋅ω 

ωn 
G ( j ⋅ ω)] = − arctg
2 
1 − ω

ωn 

( )
ω
G(j.ω)]
ω→0
0º
ωn
-90º
ω→∞
-180º
A esta altura le propongo al lector que realice los diagramas de módulo y argumento,
además esboce los diagramas correspondientes a :
+1
2

ω  ω  
G ( j ⋅ ω) = 1 + 2 ⋅ ζ ⋅  ⋅ j  +  ⋅ j  .
 ωn   ωn  

A continuación resolveremos algunos ejercicios para aclarar los conceptos.
Ejercicio Nº1
Sea la siguiente transferencia:
G (s) =
sustituimos “s” por “j.ω” :
(
)
5 ⋅ s 2 + 0.2 ⋅ s + 1
s ⋅ (0.01 ⋅ s + 1)
(
)
5 ⋅ ( j ⋅ ω) + 0.2 ⋅ j ⋅ ω + 1
G ( j ⋅ ω) =
j ⋅ ω ⋅ (0.01 ⋅ j ⋅ ω + 1)
2
los factores a considerar son:
1) k=5
2) (j.ω)2 + 0.2.j.ω + 1 ; comparándola con la forma que posee la transferencia de
segundo orden : ωn = 1; ζ = 0.1
3) (j.ω)-1
4) (0.01.jω + 1)-1; comparándola con la transferencia de primer orden: T = 0.01
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Recuerde que tanto ωn como T son frecuencias para las cuales el diagrama se quiebra
(frecuencias de transición).
Basta con graficar los cuatro diagramas en uno (una gran ventaja en los diagramas
logarítmicos es que el producto de funciones se transforma en suma), y posteriormente sumarlos
para obtener el diagrama de Bode de la transferencia G(s).
|G(j ω)|dB
80
(2)
40
20
(1)
0
(4)
-20
-40
1/10
270º
log(ω)
(3)
1
10
1000
100
G(jω)]
180º
(2)
90º
log(ω)
(1)
0º
-45º
-90º
(4)
(3)
-180º
1/10
1
10
100
1000
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Ejercicio Nº2
G (s) =
s +1
s ⋅ (s + 3) ⋅ s 2 + 5
(
)
Primero opero algebraicamente para que los factores involucrados sean los estudiados
anteriormente y estén expresados en igual formato(por ej. Constantes de tiempo):
G (s ) =
G (s ) =
s +1
1
 1

3 ⋅ 5 ⋅ s ⋅  ⋅ s + 1 ⋅  ⋅ s 2 + 1
3
 5

1
⋅
15
s +1
2

1
   s 
s ⋅  ⋅ s + 1 ⋅ 
 + 1

3
   5 

reemplazan do " s" por " j ⋅ ω" :
G(j ⋅ ω ) =
1
⋅
15
j⋅ ω + 1
2

1
   j ⋅ ω 
j ⋅ ω ⋅  ⋅ j ⋅ ω + 1 ⋅ 
 + 1

3
   5 

los factores a graficar son:
1)
1
.
15
2) j.ω + 1, T=1.
3) (j.ω)-1.
−1
1

4)  ⋅ j ⋅ ω + 1 , T=1/3 , 1/T=3.
3

−1
 j ⋅ ω  2 
5) 
 + 1 , ωn= 5
 5 

Graficando las curvas correspondientes a los cinco factores intervinientes, la curva
correspondiente al módulo de la transferencia G(j.ω) responde a la siguiente tabla:
G(j.ω) [dB/Década]
Tramo
-20
-∞ , 1
0
1,
5
-40
5 ,3
-60
3 , +∞
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|G(jω)| dB
40
(2)
20
(3)
0
-20
(1)
-40
(5)
1/10
180º
1
5 3
1000
(2)
(1)
(4)
-90º
log(ω)
(3)
(5)
-180º
-270º
100
log(ω)
G(jω)]
90º
45º
0º
1/10
10
(4)
1
5 3
10
100
1000
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Márgenes de fase y de ganancia.
Algunas páginas atrás aprendimos a construir el diagrama de “Bode” (recuerde que la
gráfica del módulo representa las asíntotas del verdadero diagrama, que es una curva suave),
ahora debemos presentar dos elementos que serán muy útiles para analizar la estabilidad del
sistema; además nos indicarán dónde estamos parados con respecto a la estabilidad, esto es:
“establecer un margen”.
Margen de fase “γ”: es el ángulo que hay que restar o sumar al desfase entre las señales
de entrada y salida, a la frecuencia de cruce del diagrama del módulo de la transferencia, de
modo que el desfase sea ±180º (ya que bajo esta condición el error no tiende a disminuir por el
contrario aumenta). Gráficamente lo anterior implica que si la curva del argumento no corta la
línea de ±180º el sistema es estable; de lo contrario tendremos un “margen de fase”, hasta llegar
a una situación de inestabilidad, matemáticamente es:
γ = ϕ + 180º
Margen de ganancia “kg”: es la inversa de magnitud del |G(j ω)| a la frecuencia de cruce
del gráfico de fase, o sea ω1 tal que ϕ = −180º :
kg −1 = 20⋅ logG( j ⋅ ω1) ϕ
Este margen indica cuanto se puede incrementar la ganancia hasta que el sistema se
torne inestable.
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