Ejercicios resueltos I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades 1) lim 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 − 4 = lim 𝑥 3 + lim 2𝑥 2 − lim 𝑥 − lim 4 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 = (2)3 + 2 (2)2 - (2) - 4 = + 8 8 𝑥 →2 Aplicar límite a cada término del polinomio. Sustituir la “x” por el 2 - 2 - 4 = 10 2) lim →𝑜 lim →0 = 2 − 7 + 1 lim 2 − 7 + 1 →0 = 3) lim 𝑥→−5 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3 𝑥2 + 2 = 3 02 0 = 0 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜 −7 0 +1 lim 𝑥→−5 = 3 = 3 −5 𝑥 2 2 +2 +2 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 "x" por el número 5 27 = 3 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 𝑥+5 𝑥−2 4) lim = lim 𝑥→2 𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2 = lim 𝑥 + 5 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑥 − 2) =2+5 =7 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 2 𝑥→2 . La sustitución directa hace cero a (x-2), en este caso se debe factorizar el numerador 5) Lim ∆𝑥 →0 𝑥 + ∆𝑥 3 − 𝑥 3 𝑥 3 + 3𝑥 2 ∆𝑥 + 3𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→𝑜 ∆𝑥 ∆𝑥 3𝑥 2 ∆𝑥 + 3𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 2 2 + (∆𝑥)3 − 𝑥 3 + ∆𝑥 ∆𝑥 3𝑥 2 + 3𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 = lim = lim 3𝑥 2 + 3𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥 ∆𝑥→𝑜 = 3𝑥 2 + 3𝑥 0 + (0)2 ∆x no puede ser cero. Desarrollar (x + ∆x)3 3 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 2 𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 ∆𝑥 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 ∆𝑥 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∆𝑥 = 0 = 3𝑥 2 Nota: La fórmula que se aplica: (x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 en donde Y se sustituye por ∆x. II. Hallar el límite de las siguientes expresiones, cuando X tiende al infinito. 4𝑥 3 + 𝑥 1) lim = lim 𝑥→+∞ 2𝑥 3 + 3 𝑥→+∞ = lim 4𝑥 3 + 𝑥 Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia que aparece en el denominador: X3 𝑥3 2𝑥 3 + 3 𝑥3 4+ 𝑥→+∞ 2 + Efectuar las operaciones indicadas y simplificar los términos comunes 1 𝑥2 3 𝑥3 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 4+0 = =2 2+ 0 1 =0 𝑥→∞ 𝑥 𝑝 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝. ∶ lim 𝑥2− 1 𝑥2 − 1 𝑥2 2) lim = lim 7−2𝑥+8𝑥 2 2 𝑥→+∞ 7 − 2𝑥 + 8𝑥 𝑥→+∞ 𝑥2 = lim 𝑥→+∞ 7 𝑥2 1− − 2 𝑥 1 𝑥2 + 8 Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia que aparece en el denominador: X2 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar los términos comunes 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 1−0 = 0−0+8 3) lim 𝑥→+∞ 𝑥2 1 =0 𝑥→∞ 𝑥 𝑝 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝. ∶ lim 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 – 𝑥 − 5𝑥 + 6 – 𝑥 = lim 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥 𝑥→+∞ Se debe racionalizar la expresión dada, multiplicando por ( 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥) para obtener una función racional y de esta manera aplicar la técnica de límites al infinito. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 − 𝑥 2 = lim 𝑥→+∞ 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥 Después de realizar las operaciones indicadas y simplificar resulta: lim 𝑥→+∞ − 5𝑥 + 6 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 + 𝑥 = lim 𝑥→+∞ − 5𝑥 6 + 𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥2 = lim 𝑥→+∞ 5 = − 2 − 5𝑥 6 + 𝑥2 𝑥2 1− 𝑥 𝑥 +𝑥 −5 + 5 Como X = 𝑥, dividir numerador entre X y denominador entre 𝑥 + 6 𝑥 6 𝑥2 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 +1 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 1 =0 𝑥→∞ 𝑥 𝑝 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝. ∶ lim 4) lim 𝑥→ − ∞ 9𝑥 2 + 1 = 𝑥−1 9𝑥 2 − 𝑥2 lim 𝑥 𝑥→ − ∞ 𝑥 − = lim 𝑥→ − ∞ = − − + 𝑥2 1 𝑥 9− 1− 1 1 𝑥2 Cuando 𝑋 → − ∞, dividir numerador entre − 𝑥 2 y denominador entre X o bien dividir numerador entre 𝑥 2 y denominador entre - X Simplificar los términos semejantes 1 𝑥 9 = −3 1 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 III. Encontrar las Asíntotas verticales y horizontales de las graficas de las siguientes funciones y trazar sus graficas: 5 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 8𝑥+15 Solución: Primero igualar a cero el denominador de la función para hallar la asíntota vertical x = a X2 + 8X + 15 = 0 Por lo tanto → (X + 5) (X + 3) = 0 X = -5 ʌ X=-3 → X+5=0 v X+3=0 son las asíntotas verticales Hallar los limites unilaterales correspondientes: lim + 5 5 = = −∞ 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 0 El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores negativos lim − 5 5 = = +∞ 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 0 El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores positivos 𝑥→ − 5 𝑥→ − 5 lim + 5 5 = = +∞ 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 0 El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores positivos lim − 5 5 = = −∞ 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 0 El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores negativos 𝑥→ − 3 𝑥→ − 3 Ahora calcular los límites al infinito para determinar las asíntotas horizontales. lim 𝑥→+∞ 5 = lim 𝑥→ +∞ 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 5 𝑥2 𝑥2 + 𝑥2 8𝑥 𝑥2 + Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia del denominador: X2 15 𝑥2 5 = lim 𝑥→ +∞ 𝑥2 8 15 1+ + 2 𝑥 𝑥 0 = =0 1+0+0 𝐷𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎: lim 𝑥→ −∞ 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠 1 =0 𝑥→∞ 𝑥 𝑝 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝. ∶ lim 5 =0 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 El límite cuando X→−∞ también es cero dado que X2 se vuelve positiva Por lo tanto se puede concluir que la recta Y = 0 es una asíntota horizontal La gráfica sería de la siguiente forma: y -5 2) 𝑥 = 2𝑥 -4 X -3 El denominador será cero si X = 1 ʌ X = -1 𝑥2 − 1 Asíntota vertical lim+ 𝑋→ 1 lim + 𝑋→ −1 Por lo tanto 2𝑥 𝑥2 − 1 = 2𝑥 𝑥2 − 1 X=1 2 = +∞ 0+ = 𝑁. 𝐸 . ʌ X = -1 lim− 𝑋→ 1 lim − 𝑋→ −1 2𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑁. 𝐸. 2𝑥 𝑥2 − 1 son asíntotas verticales = −2 = − ∞ 0+ Asíntota horizontal 2𝑥 2𝑥 lim 𝑋→ +∞ 𝑥2 − 1 Dado que X = 𝑥 2 se divide el término sin radical entre X y el término con radical 𝑥 = lim 𝑋→ +∞ 𝑥2 𝑥2 − 1 entre 𝑥2 2 = lim 𝑋→ +∞ 1− 𝑥2 Dado que X = 𝑥 2 se divide el término sin radical entre X y el término con radical 1 𝑥2 entre =2 𝑥2 Aplican propiedades de los limites Conclusión y = 2 es una asíntota horizontal. lim 𝑋→ −∞ 2𝑥 𝑥2 − 1 = lim 𝑋→ −∞ 2𝑥 Dado que 𝑋 → −∞ , dividir el numerador −𝑥 entre –X y el denominador entre 𝑥 2 o bien el numerador entre X y el denominador entre 𝑥2 𝑥2 = lim 𝑋→ −∞ Se concluye que y = - 2 − 1 𝑥2 −2 1 − 𝑥2 − 𝑥2 = −2 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑦 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝. 𝑑 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 es una asíntota horizontal y La gráfica sería la siguiente: -1 1 X Ejercicios propuestos: Hallar las asíntotas de las graficas de las siguientes funciones y dibujar la grafica: 1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 𝑥2 − 4 2) 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 3) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥2 − 1 4) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 5) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑥2 − 4 6) 𝑓 𝑥 = 𝑥 4−𝑥 7) 𝑓 𝑥 = 𝑥+1 𝑥−1 Nota: Realizar los ejercicios solo en su cuaderno como práctica para el examen.
