Álgebra Lineal: Guía Didáctica para Administración

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO JOSÉ CHIRIBOGA GRIJALVA
Calidad y excelencia Académica
MODALIDAD PRESENCIAL
Área de
comercialización y ventas
Algebra lineal.
Guía didáctica
Carrera
Administración
Período
académico
II
Autor:
Ing. Rafael Jesús Almaguer Rodríguez.
Asesoría Virtual:
www.tecnologicoitca.edu.ec
Campus Platón
Algebra Lineal
Guía didáctica
Rafael Jesús Almaguer Rodríguez
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR JOSÉ CHIRIBOGA GRIJALVA
Ecuador
Diagramación y diseño digital:
Departamento de Sistemas Instituto Superior Tecnológico José Chiriboga Grijalva
Telf: 593-6-2558 372
www.tecnologicoitca.edu.ec
[email protected]
Ibarra-Ecuador
Primera edición
ISBN: En trámite
11 0ctubre de 2019
2. INDICE
Contenido
2. INDICE........................................................................................................................................ 3
3. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 3
4. APORTACIÓN AL PERFIL PROFESIONAL Y EGRESO .................................................................... 4
4.1. Competencias generales .................................................................................................... 4
4.2. Competencias específicas .................................................................................................. 4
4.3. Resultados de aprendizaje desarrollados por la asignatura .............................................. 5
5. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 5
5.1. BASICA ................................................................................................................................ 5
5.2. COMPLEMENTARIA ............................................................................................................ 6
5.3. REFERENCIAS ELECTRÓNICAS ............................................................................................. 6
6. ORIENTACIONES GENERALES PARA EL ESTUDIO ....................................................................... 7
7. PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DE RESULTADOS DE
APRENDIDAJE ................................................................................................................................ 7
7.1. PLANIFICACIÓN DEL TRABAJO PARA EL ALUMNO.............................................................. 7
7.2. SISTEMA DE EVALUACIÓN .................................................................................................. 8
7.3. ORIENTACIONES ESPECÍFICAS POR UNIDADES .................................................................. 8
9. GLOSARIO ................................................................................................................................ 40
10. ANEXOS ................................................................................................................................. 41
3. INTRODUCCIÓN
El ÁLGEBRA LINEAL, es la parte esencial en el estudio de muchas áreas de la ciencia y la técnica.
Un ejemplo es el Cálculo Científico en computadores que se realiza actualmente, mediante
programas excelentes como el MATLAB (Laboratorio Matricial).
Los fundamentos del álgebra Lineal junto con la Programación Lineal le proporcionan al
Administrador de Empresas instrumentos esenciales para la acertada toma de decisiones en lo
referente a la optimización de recursos escasos.
El álgebra lineal sirve además para que el alumno adquiera cierta capacidad de abstracción y de
formalización de las ideas matemáticas, en un contexto donde los razonamientos lógicos
encadenados son sencillos. También le sirven para adquirir el conocimiento de conceptos y
técnicas de cálculo importantes, potentes y de amplia utilización en diferentes problemas de
Economía y Administración haciendo del álgebra lineal una herramienta imprescindible en la
formación de un estudiante de Administración de Empresas.
La asignatura Álgebra Lineal es un componente de la unidad de organización del campo de
organización de los fundamentos teóricos en la carrera de administración de empresas. El
propósito de la asignatura es aplicar de manera pertinente métodos, conceptos, algoritmos de
trabajos, procedimientos matemáticos mediante los cuales se resuelven situaciones que ayudan
en la toma de decisiones a los administradores de empresas en cuanto al uso adecuado de los
recursos y procesos productivos.
Los fundamentos del álgebra Lineal junto con la Programación Lineal le proporcionan al
Administrador de Empresas instrumentos esenciales para la acertada toma de decisiones en lo
referente a la optimización de recursos escasos.
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores,
matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios
vectoriales y sus transformaciones lineales.
Estructuralmente puedo decir que, durante la primera unidad, conoceremos los tipos de
matrices, las operaciones de suma, resta, potencia, multiplicación por un número real y por otra
matriz. Cálculo de determinantes, matriz inversa y resolución de sistemas de ecuaciones.
En la segunda unidad estudiaremos todo lo referente a los Espacios, subespacios vectoriales y
espacios Euclideos.
En la tercera unidad conoceremos las Transformaciones lineales, matriz de cambio de base, las
operaciones con las TL, el núcleo y la imagen de una TL.
Desearles éxitos en este nuevo semestre, esperando que sea verdaderamente edificante y
puedan culminar con satisfacción el estudio de esta asignatura; recuerde, EL CONOCIMIENTO
NOS EDUCA Y NOS AYUDA A COMBATIR LA IGNORANCIA.
4. APORTACIÓN AL PERFIL PROFESIONAL Y EGRESO
4.1. Competencias generales

Comunicarse eficazmente en un medio social y laboral normalizado,

Asumir obligaciones morales en la búsqueda del bien común,

Innovar y producir una transformación en procesos o servicios en el ámbito de su
profesión y,

Habilidad para buscar, comprender, analizar información y utilizarla en situaciones
nuevas.
4.2. Competencias específicas
Los fundamentos del álgebra Lineal le proporcionan al Administrador de Empresas
instrumentos esenciales para la acertada toma de decisiones en lo referente a la optimización
de recursos escasos.
4.3. Resultados de aprendizaje desarrollados por la asignatura
LOGRO O RESULTADO DE APRENDIZAJE
(Corresponde a los objetivos específicos,
Tipo de
directamente relacionados con lo que el
resultado/objetivo
estudiante sea capaz de hacer al término de
una unidad académica)
Resuelve problemas de aplicación que se
Cognitivo
pueden representar a través de sistemas
de ecuaciones.
Resuelve ejercicios planteados de
espacio y subespacio vectoriales, así
Procedimental
como de espacios Euclídeo con el uso de
teorías y principios de algebra lineal.
Resuelve ejercicios relativos a
transformaciones lineales, usando con
Procedimental
criterio las teorías, leyes y principios del
álgebra lineal.
UNIDAD
ACADÉMICA
Matrices, determinantes y
sistema de ecuaciones
lineales.
Espacios Vectoriales
Transformaciones lineales
5. BIBLIOGRAFÍA
5.1. BASICA
 Colectivo de autores: Algebra Lineal. Editorial FELIX VARELA, tercera edición, Cuba,
2008
El texto consta de 8 capítulos y estos a su vez en secciones, los autores hacen una introducción
en cada uno de sus capítulos, en el primero se refiere a los sistemas de ecuaciones lineales y a
los diferentes métodos de resolución, en el segundo capítulo se refiere a las matrices, conceptos,
algebra de matrices, la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales, la
dependencia lineal entre filas y columnas, el rango de una matriz y matriz inversa.
En el capítulo 3 se refiere al Espacio vectorial Real, a los espacios Euclideos y normados y a los
subespacios vectoriales, en el capítulo 4 trata sobre la dependencia lineal de un conjunto finito
de vectores, en el capítulo 5 hace referencia a los sistemas de vectores generador de un espacio
vectorial, a la base y dimensión de un espacio vectorial. En el capítulo 7 se refiere a las
transformaciones o aplicaciones lineales, matriz asociada a una TL, imagen y núcleo de una TL.
Al final de cada capítulo, presenta preguntas que permiten realizar una autoevaluación sobre lo
tratado.
5.2. COMPLEMENTARIA
 Fernando Barrera Mora: Álgebra Lineal, editorial Patria, Mexico.2014. disponible en:
http://frelibros.blogspot.com/2016/08/algebra-lineal-fernando-barrera-mora.html
El texto consta de 7 capítulos y estos a su vez en secciones, los autores hacen una introducción
en cada uno de sus capítulos, en el primero se refiere a los sistemas de ecuaciones lineales y a
los diferentes métodos de resolución, en el segundo capítulo se refiere a las matrices, conceptos,
algebra de matrices, matriz inversa y aplicaciones.
En el capítulo 3 se refiere a los vectores en R², R³ y Rⁿ, la combinación lineal, la dependencia
lineal, Espacio vectorial, subespacios vectoriales, operaciones entre subespacios vectoriales en
el capítulo 4 trata sobre las transformaciones lineales (TL), matrices de cambio de base de una
TL, rango y núcleo de una TL. En el capítulo 5 refiere a los determinantes, propiedades,
diferentes métodos para el cálculo. En cada capítulo aparecen ejercicios propuestos.
 Stanley I. Grossman S. y José Job Flores Godoy: Algebra Lineal, editorial EDUCACIÓN,
México, 2012.
https://www.academia.edu/33382023/%C3%81lgebra_Lineal_7ma_Edici%C3%B3n__Stanley_Grossman
El libro Algebra lineal consta de 8 capítulos, en el primero hace referencia a los sistemas de
ecuaciones lineales, resolución de los SEL por Gauss- Jordan Y Gauss. El segundo capítulo trata
sobre Vectores y Matrices, Matrices y sistemas de ecuaciones lineales, Inversa de una matriz
cuadrada. Transpuesta de una matriz. Matrices elementales y matrices inversa. En el capítulo 3
trata de los determinantes, Definiciones, propiedades de los determinantes, determinantes e
inversas. Regla de Cramer y demostración de tres teoremas importantes y algo de historia. En el
capítulo 5 trata los Espacios Vectoriales, definición y propiedades básicas, subespacios
vectoriales, combinación lineal y espacio generado, Independencia lineal, Bases y dimensión,
Cambio de bases. En el capítulo 7 hace referencia a las Transformaciones Lineales (TL), Definición
y ejemplos. Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo. En cada capítulo
aparecen ejercicios propuestos.
5.3. REFERENCIAS ELECTRÓNICAS
 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal, disponible en:
https://www.youtube.com/watch?v=cyuGo5FFfek
[consulta 12 mar. 2018]
 Matrices y operaciones con matrices, disponible en:
https://www.youtube.com/watch?v=n6ZbDKquQoA&t=12s
[consulta 18 dic. 2017]
 Espacios Vectoriales, disponible en:
https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU&t=39s
[consulta 17 mar. 2014]
6. ORIENTACIONES GENERALES PARA EL ESTUDIO
Tengo el gusto de dirigirme a usted como docente de la asignatura Álgebra Lineal y darle la
bienvenida a este nuevo semestre (octubre 2019- febrero 2020). Me permito hacerle algunas
sugerencias que contribuirán para el éxito en los estudios de esta asignatura, las cuales se
resumen de la siguiente manera:
 Le recomiendo revisar siempre los textos básicos, eje central del aprendizaje y
complementarios recomendados en la bibliografía complementaria para ampliar su
conocimiento de cada tema.
 Tomar en cuenta las técnicas de estudio que usted aprendió en el componente
educativo, para que pueda llevar en forma adecuada y efectiva los aprendizajes.
 El uso del aula virtual, facilita el aprendizaje. Este recurso utiliza de manera especial
una plataforma de internet en donde el alumno puede beneficiarse de algunos
recursos importantes para interactuar con el docente como es: foros, subir archivos,
realizar evaluaciones y exámenes.
 Recuerde que es necesario trabajar de manera sistemática, organizada y coherente, es
importante desarrollar las autoevaluaciones que contiene al final de cada unidad, este
es un estudio ordenado y progresivo.
7. PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE PARA EL LOGRO DE
RESULTADOS DE APRENDIDAJE
7.1. PLANIFICACIÓN DEL TRABAJO PARA EL ALUMNO
En la siguiente tabla describa la planificación del trabajo, todo lo que usted escriba en la tabla,
debe coincidir con lo que usted planificó en el PEA.
RESULTADOS DE
APRENDIZAJE
Resuelve
problemas de
aplicación que
se pueden
representar a
través de
sistemas de
ecuaciones.
CONTENIDOS
Unidad 1:
Matrices,
determinantes y
sistema de
ecuaciones
lineales
* Matrices
* Determinantes
* Matriz inversa
TIEMPO
ESTIMAD
O (horas)
12
ACTIVIDADES DE
APRENDIZAJE
RECURSOS
EVALUACIÓN
Clases
presenciales,
Demostración de
ejercicios
Resolución de
ejercicios con las
operaciones con
matrices,
determinantes,
matriz inversa y
resolución de
Materiales
didácticos:
Pizarra, textos
guía y
complementar
io, aula virtual,
TIC`s, material
digital e
impreso
Presentación
, discusión
de ejercicios
de
aplicación.
Exposición,
Preguntas en
clases.
* Sistemas de
ecuaciones
lineales
Resuelve
ejercicios
planteados de
espacio y
subespacio
vectoriales, así
como de
espacios
Euclídeos con el
uso de teorías y
principios de
algebra lineal.
Resuelve
ejercicios
relativos a
transformacion
es lineales,
usando con
criterio las
teorías, leyes y
principios del
álgebra lineal.
Unidad 2:
Espacios
Vectoriales
* Espacios y
subespacios
vectoriales
* Espacios
Euclídeos.
21
Unidad 3:
Transformaciones
lineales
* Matriz de
cambio de base
* Operaciones
con
transformaciones
lineales
* Núcleo e
imagen
12
sistemas de
ecuaciones
lineales de 3x3.
Videos Tutoriales.
Clases
presenciales,
Demostración de
ejercicios.
Resolución de
ejercicios en
forma grupal
sobre espacios y
subespacios
vectoriales.
Proyección de
videos tutoriales.
Clases
presenciales,
Demostración de
ejercicios.
Recopilación de
datos y resolución
de ejercicios
basados en
operaciones con
transformaciones
lineales.
Videos tutoriales.
Materiales
didácticos:
Pizarra, textos
guía y
complementar
io, aula virtual,
TIC`s, material
digital e
impreso
Presentación
, discusión
de ejercicios
de
aplicación.
Materiales
didácticos:
Pizarra, textos
guía y
complementar
io, aula virtual,
TIC`s, material
digital e
impreso
Presentación
, discusión
de ejercicios
de
aplicación.
Exposición,
Preguntas en
clases.
Exposición,
Preguntas en
clases.
7.2. SISTEMA DE EVALUACIÓN
La evaluación del aprendizaje se realizará a través de: Examen de logros de aprendizaje,
examen bimestral y tareas asignadas en cada unidad. Para lo cual se diseñará los instrumentos
respectivos y se asignará la escala de valoración-evaluación.
7.3. ORIENTACIONES ESPECÍFICAS POR UNIDADES
7.3.1 UNIDAD 1: Matrices
Para revisar este tema revisemos el siguiente concepto.
Matriz es una tabla o arreglo rectangular dispuestos en filas y columnas, cuyos elementos
pueden ser números reales o letras.
Podemos decir que la notación de una matriz mxn con elementos que aparece en el renglón i
y la columna j de una matriz A se denota por aij. Para mayor comprensión la notación de
general de una matriz con m filas y n columnas es:
Así, una matriz 3x4 general se describe de la siguiente forma:
𝒂𝟏𝟏
A= 𝒂𝟐𝟏
𝒂𝟑𝟏
𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟐
𝒂𝟑𝟐
𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟑
𝒂𝟏𝟒
𝒂𝟐𝟒
𝒂𝟑𝟒
𝒂𝟏𝟏
B= 𝒂𝟐𝟏
𝒂𝟑𝟏
𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟐
𝒂𝟑𝟐
𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟑
𝒂𝟏𝟒
𝒂𝟐𝟒
𝒂𝟑𝟒
Términos básicos
Bien, ahora que hemos conceptualizado algunos términos importantes reflexione
sobre las siguientes interrogantes:
¿Conoce, los tipos de matrices?
¿Cuáles son los tipos de matrices que existen?
Para dar respuesta a esta inquietud analicemos el siguiente tema:
Tipos de matrices
Elementos de una matriz
Diagonal principal. En una matriz cuadrada se denomina diagonal principal a la
formada por los elementos a11, a22 ,…, amn.
𝒂𝟏𝟐
A= 𝒂𝟐𝟐
𝒂𝟑𝟐
𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟑
𝒂𝟏𝟒
𝒂𝟐𝟒
𝒂𝟑𝟒
−𝟕 𝟒 𝟐
B= 𝟖
𝟐 𝟒
𝟏𝟏 𝟐𝟓 𝟕
₃×₃
En la matriz D los elementos de la diagonal principal están formados por -7, 2,7.
𝒂𝟏𝟐
A= 𝒂𝟐𝟐
𝒂𝟑𝟐
𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟑
𝒂𝟑𝟑
𝒂𝟏𝟒
𝒂𝟐𝟒
𝒂𝟑𝟒
−𝟕 𝟒 𝟐
B= 𝟖
𝟐 𝟒
𝟏𝟏 𝟐𝟓 𝟕
₃×₃
En la matriz B los elementos de la diagonal secundaria están formado por 2, 2,11.
Clases especiales de matrices cuadradas
Son matrices cuadradas que poseen formas especiales denominadas triangulares.
Esquematizado el tema es hora de revisar la siguiente tarea
Ahora que tiene una idea general del tema le invito a
profundizarlo en el texto básico en la página 100 a la
página 103.
7.3.2 Operaciones con matrices
Las matrices son un medio eficiente para resolver sistemas lineales de
ecuaciones, por ello es importante también conocer la aritmética entre
matrices como sumar, restar y multiplicar matrices.
7.3.3 Suma y resta
Para realizar la operación de suma o resta de dos o más matrices es importante
considerar la regla de igualdad en la que Anton. (2011) dice “Dos matrices son iguales si
son del mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales”. Esto dará como
resultado una matriz de igual orden.
Ejemplo 1. Sumar y Restar la matriz A con la matriz B
A= [
2 4
]
2 9
−1 8
B= [
]
−4 −5
A+B= [
2 + (−1)
4+8
1 12
]=[
]
2 + (−4) 9 + (−5) −2 4
2 − (−1)
4−8
3 −4
A-B= [
]=[
]
2 − (−4) 9 − (−5) 6 13
RECUERDE: si las matrices tienen tamaño diferente NO puede realizar
las operaciones de suma o resta entre matrices, su orden siempre
debe ser nxn.
7.3.4. Multiplicación de un escalar por una matriz
Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto kA se realiza multiplicando
todos los elementos de A por k, en la que resulta otra matriz del mismo tamaño.
Ejemplo 2. Multiplicar el escalar 3 por la matriz A
k= 3
2
A= −3
4
6
K*A= −9
12
7.3.4 Producto de matrices
En el producto de matrices A x B es importante tomar en cuenta:

El orden de las matrices, así: el número de columnas de A debe ser igual al número
de filas de B.

Luego, multiplicar cada elemento de cada fila de la primera matriz por el
elemento de la columna de la segunda matriz.

Sumar los resultados, obteniendo la matriz C resultante.
Ejemplo 3. Realizar la multiplicación de la matriz A por la matriz B.
2 −1 3
A= 5 0 2
2X3
2 3
B= 1 5
3 4
3X2
Paso 1: realizamos la suma del producto cada elemento de la fila 1 por cada elemento de la
columna
A . B = 2 ∗ 2 + −1 ∗ 1 +(3 ∗ 3) 2 ∗ 3 + −1 ∗ 5 + (3 ∗ 4)
5 ∗ 2 + 0 ∗ 1 + (2 ∗ 3)
5 ∗ 3 + 0 ∗ 5 + (2 ∗ 4)
Paso 2: realizamos la suma y ubicamos cada elemento obtenido en la matriz
12
16
A. B= [
13
]
23
7.3.5 DETERMINANTES
“No medimos la importancia que cada instante
tiene, dejamos perder una hora, dos, olvidando
que jamás las recobraremos”.
Piedad Aguirre Asanza
Al continuar con el estudio de álgebra lineal, le invito a trabajar en el capítulo 2 del texto
básico, correspondiente a “Determinantes”, comience realizando una lectura comprensiva de
los siguientes temas:

Características y propiedades de los determinantes.

Formas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por determinantes.
7.3.5.1 Características de los determinantes
Calcular el determinante de una matriz permite simplificar operaciones
matriciales y ahorrar tiempo de esperas innecesario, por ejemplo, permite
calcular la matriz inversa. Sea la matriz A.
𝑎
A= [
𝑐
𝑏
]
𝑑
2X2
Es invertible si, ad-bc≠0. Ahora ad-bc es denominado determinante
de la matriz A, el mismo que su denotación es det(A) o |A|. Por lo tanto,
el determinante de una matriz de orden 2x2 es:
𝑎
A= [
𝑐
𝑏
]
𝑑
2X2
det(A)=ad-­­cb
El determinante de una matriz con orden 3 es:
𝒂 𝒃
B= 𝒅 𝒆
𝒈 𝒉
𝒄
𝒇
𝒊
₃×₃
|A|= aei + bfg + cdh-ceg-afh –bdi
7.3.5.2 Propiedades de los determinantes
 No se alterará el determinante al intercambiar las filas y las columnas.
 El determinante cambiará de signo si intercambia dos filas o columnas.
 El valor del determinante es cero si dos filas o columnas son iguales.
 El determinante es nulo si los elementos de una fila o columna de un
determinante son múltiplos de los correspondientes de otra fila o columna.
 El determinante es nulo si los elementos de una fila o columna son cero.
 El determinante no se altera si al multiplicar los elementos de una fila o
columna de un determinante por un mismo número y sumar los
productos a los elementos correspondientes de otra fila o columna.
 Si a todos los elementos de la fila o columna de un determinante se los
multiplica por un mismo número real, el determinante queda
multiplicado por dicho número.
Una vez revisadas las propiedades de los determinantes es necesario continuar con el
siguiente tema referente a:
4.3.6. Matriz traspuesta
Se denomina matriz traspuesta de A, a la matriz que resulta de intercambiar las filas por las columnas en
T
la matriz A dada. Una matriz traspuesta es denotada por A .
T
Ejemplo 4. Siendo A la matriz compuesta determinar la A :
2
A= 5
−1 3
0 2
2X3
2 5
𝐴𝑡 = -1 0
3 2
3X2
 La traspuesta de la traspuesta de cualquier matriz será la matriz inicial.
((A)T)T=A.
 La traspuesta del producto de un escalar por una matriz es igual al
escalar por la traspuesta de la matriz: (kA)T=k(A)T, donde k es cualquier
escalar.
 La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las
traspuestas de las matrices en orden inverso, es decir, (ABT=BT AT
4.3.7 Inversa de una matriz
La inversa de una matriz se puede determinar únicamente cuando la matriz es de orden cuadrada
-1
(nxn), si la misma tiene inversa esta será única, su representación se manifiesta de la forma A , tal
que:
-1
AxA = In.
Para poder determinar la inversa de una matriz existen dos métodos, siendo así:
-1
Método directo: el mismo que consiste en determinar A a través de un sistema de ecuaciones.
Ejemplo 5. Determinar la inversa de la matriz A.
1 2
]
−1 1
𝐴−1 =[
A=[
-1
Se tiene que cumplir que A x A =I
Paso 1. Reemplazamos:
1 0
1 2
] X 𝐴−1 =[𝑋 𝑌]= [
]
𝑍 𝑇
0 1
−1 1
A=[
𝑋
𝑍
𝑌
]
𝑇
Paso 2. Realizar la operación AX 𝐴−1 = [
𝑋 + 2𝑍
−𝑋 + 𝑍
1
𝑌 + 2𝑇
]= [
−𝑌 + 𝑇
0
0
]
1
Paso 3. Se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones:
X + 2 Z = 1 (1)
Y + 2T = 0(2)
−X + Z = 0 (3)
-y + t = 1(4)
Paso 4: resolver el sistema de ecuaciones en la que se encuentra dos sistemas de dos ecuaciones
cada uno.
Paso 5: sumar la ecuación 1 y 3 y despejar z
(1) + (3): 3 z = 1
Entonces
z = 1/3
(5);
Paso 6: sumar la ecuación 2 y 4 y despejar t
(2) + (4): 3t = 1,
de
donde t
= 1/3 (6);
Paso 7: reemplazar el valor de z en ecuación
1
(5) reemplazo en (1):
x + 2z = 1,
Paso 8: determinar el valor de
x
Entonces x = 12(1/3) Luego, x= (32) /3= 1/3, es decir,
x= 1/3 (7)
(6) en (2): y + 2t = 0
tenemos y = -2t
Paso 9: determinar el valor de
y
luego y = 2(1/3) y= -2/3
(8)
Paso 10: reemplazamos en la matriz
Con estos datos se obtiene la inversa de A es:
𝐴−1 = [
1/3 −2/3
1
]=1/3 [
1/3 1/3
1
−2
]
2
 Método Gauss Jordan: para determinar la inversa de una matriz A, es necesario una
sucesión de operaciones elementales en las filas, de manera que la matriz A se reduzca a la
-1
matriz identidad y luego efectuar las mimas operaciones en In para obtener A .
El proceso a seguir es:
1. Adjuntar a la derecha de la matriz a la matriz identidad, con lo que se obtiene una
matriz de la forma: [A |I].
2. Luego, se aplican operaciones en los renglones a la matriz hasta que el lado
izquierdo se reduce a la matriz identidad I;
-1
3. Estas operaciones convierten el lado derecho en A , resultando la matriz final de la
-1
forma: [I|A ].
En el texto guía puede encontrar ejercicios resueltos de
forma clara de la aplicación de este método, por lo que
invito a revisar la sección 2.06 en la página 134 Algebra
-1
Lineal y un método para determinar A
Ejercicios:
Señor estudiante, es momento de revisar y reforzar nuestros
conocimientos resolviendo y analizando los ejercicios de la página 173
a la 180. Esto le permitirá a Ud. prepararse y desarrollar con más
destreza y habilidades. ¡Éxitos!
TÉRMINOS IMPORTANTES
Como revisión de contenidos es importante recordar y definir algunos términos como, por
ejemplo:
Denotación y representación de una matriz: se denota a las matrices con letras mayúsculas y
sus elementos con minúsculas y representación de una matriz con sus elementos A(ij).
Diagonal principal, se denomina diagonal principal a la formada por los elementos a11 , a22,…,
amn.
Matriz traspuesta: matriz que resulta de intercambiar las filas por las columnas en la matriz.
PREGUNTAS DE REFLEXIÓN
Es momento de relacionar y reflexionar en algunos temas de importante diferenciación como:
 La diferencia entre representación y denotación de una matriz.
 Las reglas para sumar y multiplicar matrices.
 La diferencia entre matriz traspuesta y matriz inversa.
Reflexiones que concluirán nuestros conocimientos adquiridos hasta ahora en
esta La lectura reflexiva y compresiva en estas secciones le permitirá tener una
visión clara de temas como tipos de matrices, operaciones y las soluciones que
puede determinarse mediante métodos de aplicación operativa y lógica.
A pesar de que no será tomado en cuenta para evaluación presencial, le sugiero continúe con la
lectura del resto de la unidad 1 del texto básico (matrices simétricas).
Es importante que usted adquiera la costumbre de leer el texto básico completo, lo que
coadyuvará a reforzar sus conocimientos y enriquecer su cultura.
Una vez terminado de estudiar el tema, a pesar de que las autoevaluaciones no tienen
calificación, es importante que las desarrolle, le servirán para verificar sus logros alcanzados y a
la vez como refuerzo.
Recuerde que para valorar sus logros debe resolver las actividades recomendadas y las
autoevaluaciones, le invito a resolver el siguiente cuestionario con el fin de comprobar el avance
de lo aprendido.
4.3.8 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Tú puedes conseguir todo lo que deseas. Búscalo
con sana, justa y propicia acuciosidad
4.3.8.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales
Al iniciar el estudio de Álgebra lineal y las bases conceptuales de la
matemática, diríjase al texto básico, primera unidad y realice una
lectura comprensiva de los siguientes temas:

Ecuación lineal

Incógnitas

Sistema de ecuaciones lineales

Solución
Concluida la lectura demos lectura a lo siguiente.
Ecuación lineal, De manera más general, una ecuación lineal en las n variables x1, x2
... xn, que se puede expresar en la forma:
a 1 x1 + a 2 x2 + ⋯ a nxn = b
Donde a1a2...an y b son constantes reales y no son ambas cero. Por ejemplo:
x+3y=7
Las variables de una ecuación lineal algunas veces se denominan incógnitas.
Sistema de ecuaciones lineales, Es la agrupación de dos o más ecuaciones lineales,
con dos o más variables x1, x2 ... xn. Por ejemplo, el sistema:
4x1 – x2 + 3x3 = −1
3 x1 + x2 + 9 x3 = −4
Solución, una sucesión de números s1 s2 ... sn es una solución de todas y cada uno de
las ecuaciones del sistema, del ejemplo anterior las soluciones para x1=1, x2=2, x3=-1,
debido a que estos valores satisfacen al sistema.
Soluciones inconsistentes, se denomina así a un sistema de ecuaciones que no tiene
soluciones.
Soluciones consistentes, se denomina así a un sistema de ecuaciones que tenga al menos
una solución del sistema. Según este autor, se puede concluir que:
Algunos sistemas de ecuaciones lineales no tienen soluciones, tienen exactamente
una solución o tienen una infinidad de soluciones.
Una Solución: Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe
sólo una solución para las ecuaciones.
Sin Solución: Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, (por
ejemplo, si son paralelas), entonces no existe ninguna solución para las
ecuaciones.
Soluciones Infinitas: Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces
hay un número infinito de soluciones para las ecuaciones.
Ejemplo 1.
Sean las ecuaciones, resuelva el valor de cada variable
Paso 1: Primero numeremos las ecuaciones para poder identificarlas más tarde,
x1 + x2 + 2x3= 8 (1)
− x1 − 2 x2+ 3x3= 1 (2)
3x1−7 x2 + 4x3= 10
(3)
Paso 2: Sumar la ecuación 1 y 2
(1) + (2)
x1 + x2 + 2 x 3 = 8
−x 1 − 2 x 2 + 3x 3 = 1
− x2 + 5 x3 = 9
(4)
Paso 3: La ecuación 1 multiplicar x (-3) y sumar con la ecuación 3.
(-3) x (1) + (3)
− 3x 1 − 3 x 2 − 6 x 3 = −24
3 ! ! − 7 x 2 + 4 x 3 = 10 (3)
−10x 2 − 2 x = −14 (5)
Paso 4: La ecuación 4 multiplicar x (-10) y sumar con la ecuación 5.
(-10) x (4) + (5)
10 x2− 50x 3 = −90
-10 x2−
2x 3 = −14(5)
− 52x 3 = −104(5)
Paso 5: Despejamos x3.
x3 =
−520
52
= 2 (6) es decir,
Paso 6. reemplazamos (6) en (4)
− x2 + 5x3 = 9(4)
− x2+ 5(2) = 9
− x2! + 10 = 9
− x2 = 9 − 10
Paso 7. despejamos x2
x2= 1 (7)
Paso 8: remplazo (6) y (7) en (1)
x 1 + x 2 + 2 x 3 = 8 (1)
x 1 + 1 + 2(2) = 8
x 1 = 8---1---4
x1 = 3
2 (6)
Ejemplo 2
Representar gráficamente el sistema formado por las siguientes ecuaciones
3x1 – 2 x2= 0
6x1 – 4x2 = 0
3x1-2 x2 =0
x1
x2
6x1-4 x2 =0
x1
x2
0
0
0
0
2
3
2
3
-2
-3
-2
-3
Para obtener los valores de x1 y x2 se despeja x1 y se da valores arbitrarios de x2
TÉRMINOS IMPORTANTES
Ahora, le sugiero que en su cuaderno de trabajo realice la primera
tarea del texto básico, escriba su propia definición de los algunos
términos importantes que se han encontrado en este contenido:

Variable

Sistemas de ecuaciones

Tipos de soluciones de una ecuación

Constante

Incógnita
PREGUNTAS DE REFLEXIÓN
Apreciado estudiante, hemos analizado temas interesantes que servirán mucho
para el aprendizaje del siguiente tema, es por ello, que, debemos tener muy claro
algunas interrogantes y respuestas concretas al analizar y plantear temas como:

La diferencia que existe entre una solución y variable de una ecuación

Cuantas variables y soluciones pueden tener un sistema de ecuaciones.

Un sistema inconsistente, ¿puede tener soluciones?
Respuestas que le ayudará a complementar términos y contextos
específicos al momento de dar solución a un problema.
¡Recordemos que en esta sección hemos visto temas básicos e importantes como
sistemas de ecuaciones lineales, la forma general de una ecuación, los tipos de
soluciones, etc., lo cual, estimado estudiante, es un logro más y muy compensatorio para
su meta planteada por ello! ¡Felicitaciones! Ud. es una persona muy capaz de romper y
plantearse nuevos esquemas, lo aprendido es un pilar principal que ha escalado que
servirá de mucho para analizar el siguiente tema que continúa en la siguiente sección
como son métodos de resolución, matrices, etc.
Sin embargo, antes de continuar, le invito a desarrollar los siguientes ejercicios.
Revise y desarrolle algunos ejercicios propuestos del tema,
que se encuentran desde la página 69 hasta la 94 del texto
guía.
4.3.8.2 Métodos de resolución
Eliminación Gaussiana, este método se basa en la idea de reducir la matriz
aumentada a una forma suficientemente simple para que el sistema de
ecuaciones se pueda resolver por inspección.
“Se puede demostrar que toda matriz tiene una forma escalonada
reducida única”. Página 14 a la 34.
Lea el siguiente ejemplo, el que ilustra como desde un sistema de ecuaciones se
puede reducir a una forma escalonada y la forma escalonada reducida de GaussJordan.
Ejemplo 1.
Resolver el siguiente sistema aplicando la eliminación de Gauss-Jordan.
x1 + x2 + 2 x 3 = 8
− x 1 − 2 x 2 + 3x 3 = 1
3 x 1 − 7 x 2 + 4x 3 = 10
Paso 1. Ubicamos en forma de matríz los valores de
las variables
Paso 3. Multiplicar la fila 1 por (-3) y sumar a fila 3
Paso 2. Sumar la fila 1 y fila 2
Paso 4. Multiplicar la fila 2 por (-1)
Paso 5. Multiplicar la fila 2 por (10) y sumar a fila 3
Paso 6. Dividir la fila 3 para (-52) y sumar a fila 3
Paso 7. Multiplicar la fila 3 por (-5) y sumar a fila 2
Paso 8. Multiplicar la fila 3 por (-2) y sumar a fila 1
Paso 9. Multiplicar la fila 2 por (-1) y sumar a fila 1
Respuesta:
TÉRMINOS IMPORTANTES
Como revisión de contenidos es importante recordar y definir
algunos términos:
PREGUNTAS DE REFLEXIÓN

Sistema lineal homogéneo

Matriz escalonada

Eliminación de Gauss-Jordan
Es momento de relacionar y reflexionar en algunos temas de importante
diferenciación como:

La importancia que tienen los métodos de resolución

La diferencia entre eliminación Gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan

Por qué tenemos que dejar al pivote principal el 1 de una matriz
Reflexiones que concluirán nuestros conocimientos adquiridos
hasta ahora en esta sección.
La sección nos ha permitido aprender los métodos de resolución de sistemas de
ecuaciones y la mecánica mental matemática de operar para llegar al proceso de
formar matrices escalonadas, lo cual nos fortalece como seres humanos
capaces de medir objetivos y lograrlo sin lugar a dudas, Señor estudiante, el
estudiar y sacrificarse tiene una recompensa.
Bien, ahora invito a revisar la sección 1.2 del libro básico para solventar e
incrementar nuestros conocimientos que a la vez nos ayudarán para facilitar el
aprendizaje de la siguiente sección “Matrices” y “Operaciones de matrices”.
Luego de comprendida la lectura del texto básico, revise el siguiente tema.
4.3.8.3 Formas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Por cofactores
Dada una matriz cuadrada A de tamaño n se define su determinante
como la suma del producto de los elementos de una línea cualquiera de la
matriz (fila o columna) elegida, por sus correspondientes adjuntos.
≤ n, se tiene que:
Ejemplo 1. Encontrar el determinante de la matriz de orden 3 por cofactores.
−𝟐 𝟒
A= [ 𝟔 𝟕
𝟑 𝟎
𝟓
−𝟑]
𝟐
con la columna 3
Paso 1: multiplicar el elemento de la columna por los cofactores
6
det(A)=5[
3
6
−2 4
−2 4
]-(-3)[
]+2[
]
0
3 0
6 7
Paso 2: sumar el producto de cada elemento
det(A)=5(0-21) +3(0-12) +2(-14-24)
Paso 3: obtener el determinante
det (A)=-105-36-76
det(A)=-217
Bien ahora, realicemos la siguiente tarea
Ahora con la matriz A del ejemplo anterior, encuentre por este método el determinante
eligiendo la segunda fila.
Regla de Cramer Si Ax=b es un determinante de n ecuaciones lineales con n incógnitas tal que
det(A)≠0 entonces el sistema tiene una solución única. Esta solución es:
X1=
det(A1)
;
det(A)
X2=
det(A2)
det(A3)
; X3= det(A)
det(A)
Donde Aj es la matriz que se obtiene al sustituir los elementos de la j-ésima columna de A con los
elementos de la matriz
𝑏1
B=𝑏2
⋮
Autoevaluación 1
b1
!!
Escriba la letra “V” o la letra “F” según sean verdaderos o falsos los siguientes
enunciados.
1.
(
)
Un conjunto de ecuaciones que no tiene soluciones es inconsistente.
2.
(
)
Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, tiene
exactamente una solución o tiene una infinidad de soluciones.
3.
(
)
Uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no es la
eliminación de Gauss Jordan.
4.
(
)
Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con más incógnitas
que ecuaciones tiene cero soluciones.
5.
(
)
No es posible sumar o restar matrices.
6.
(
)
7.
(
)
Para multiplicar dos matrices el número de columnas de A no debe
ser igual al número de filas de B.
Matriz cero es aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a
cero.
8.
(
)
Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 =A.
9.
(
)
La transpuesta de un producto de cualquier número de matrices es
igual al producto de sus transpuestas en orden invertido.
10.
(
)
11.
(
)
Una matriz cuadrada en la que todos sus elementos debajo de la
diagonal principal son ceros se denomina triangular inferior.
Una matriz de orden 2x2 es invertible si ad-bc =0
12.
(
)
El determinante es nulo si los elementos de una fila o columna son
cero.
13.
(
)
Sea A una matriz cuadrada. Si A tiene una columna de ceros o una
fila de ceros, entonces det (A)=-1
14.
(
)
Sea A una matriz nxn. Si B es la matriz que se obtiene cuando se
intercambian dos renglones o dos columnas de A, entonces det(B)= det(A).
15.
(
)
16.
(
)
17.
(
)
No se alterará el determinante al intercambiar las filas y las
columnas.
El determinante no cambia de signo al intercambiar dos filas o
columnas.
Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si det(A)=0
18.
19.
(
(
)
)
20.
(
)
Sea A una matriz cuadrada. Entonces det(A)= det(AT)
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces
det(AB) =det(A)+det(B)
Sea la matriz A=su determinante es det(A)= 20
Verifique sus logros en el solucionario que consta al final de la guía.
¡Felicitaciones! Espero que todas sus respuestas a las autoevaluaciones sean
acertadas.
Revise nuevamente los contenidos del texto básico y unidad didáctica,
en el caso de que haya errado al contestar alguna pregunta, lo que le
ayudará a retroalimentar sus conocimientos.
¿Cómo le fue con el estudio correspondiente a esta unidad? Estoy seguro que le fue
¡Excelente!
Finalizada la unidad 1, es momento de continuar con el estudio correspondiente a la
Hemos terminado la unidad 1, recuerde: “Solo con dedicación y
constancia logrará sus objetivos”, así que lo animo a continuar
el estudio de la siguiente unidad.
Verifique sus logros en el solucionario que consta al final de la guía.
2. Espacios vectoriales.
2.1 Espacios vectoriales generales
Los espacios vectoriales son aquellos espacios que están
conformados por elementos que se pueden formar con matrices,
funciones, aplicaciones de gran importancia dentro de la
aplicabilidad del conocimiento matemático.
Esta unidad de estudio se enuncian un conjunto de axiomas para vectores, se
especifican un conjunto no vacío V tiene dos operaciones que son adición y la
multiplicación por escalares.
Ejemplo 1. Sean
u= [
−2
5
6
]
8
v= [
0
1
−3
]
5
k= 3
Adición vectorial: definida coma la suma de matrices.
−2 + 0 6 + (−3) −2 3
U+v= [
]= [
]
6 13
5+1
8+5
Multiplicación por escalar: Igual como en la adición esta operación es definida como
la multiplicación escalar matricial.
Ejemplo 2. Realice el cálculo de 4v
0
4v=[24
−12
]
52
2.3 Subespacios.
Un subconjunto de W de un espacio vectorial V se denomina subespacio de V si W es en si
mismo un espacio vectorial bajo la adición y la multiplicación escalar definidas sobre V.
Podemos añadir a esto que es posible que dentro de un conjunto determinado de
elementos que constituyen un espacio, existen subconjuntos que particularmente con
las mismas operaciones que caracterizan al espacio universal, por sí mismos
constituyen espacio, siendo en tales circunstancias un subespacio.
Si W es un conjunto formado por uno o más vectores de un espacio V, entonces W
es un subespacio de V si y solo sí se cumple que:
1. Si u y v son vectores en W entonces u+v está W.
2. Si k es un cualquier escalar y u es cualquier vector en W, entonces ku está en W.
Ejemplo 3
Todo espacio vectorial V diferente de cero tiene por lo menos dos subespacios: V es un
subespacio, y el conjunto {0} que consta solo del vector cero en V es un subespacio
denominado subespacio cero.
2.3.1 Combinación lineal de vectores
Un vector constituye una combinación lineal de los demás vectores si se puede
expresar como la suma de estos vectores y como multiplicación respectiva por un
escalar cualquiera específico.
En otra palabras que se exprese de la siguiente forma: x=k1y+k2 z+k3w, considerando a ,b, c los
escalares específicos puntuales para cada vector.
Ejemplo 4. Considerar el vector (7,8,9) es una combinación lineal de los vectores u=(2,1,4) y
v=(1,-1,3) w=(3,2,5)
Paso 1: ubicar los escalares a cada vector y realizar el producto.
(7,8,9)=k1(2,1,4)+k2(1,-1,3)+k3(3,2,5)
(7,8,9)= (2 k1,k1,4 k1)+ (k2,- k2,3 k2)+ (3 k3,2
k3,5 k3) (7,8,9)=( 2 k 1 + k 2 +3 k3, k1- k 2 +2 k3,
4 k 1+3 k 2+5 k3)
Paso 2: igualando a sus componentes.
2 k 1 + k 2 +3
k 3 =7 (1)
k1- k 2 +2
k 3 =8 (2)
4k1+3
k 2 +5 k 3=9
(3)
Paso 3: plantear las ecuaciones y resolver el sistema
Resolver el sistema de ecuaciones y determinar los valores de k1, k2, k3
k1=0, k2=-2, k 3 =3
En efecto es una combinación de los vectores indicados y se expresa de la siguiente forma:
(7,8,9) =k1(2,1,4) +k2(1,-1,3) +k3(3,2,5) (7,8,9) = 0(2,1,4)-2(1,-1,3)+8(3,2,5)
Comprendido el ejemplo, es momento de realizar el siguiente ejercicio:
ACTIVIDAD RECOMENDADA
Dado lo siguiente: (1, 3, 5) es una combinación lineal de los
vectores (4, 1, -3), (1, 2, 3) y (5, 2, 7).
Sigamos con el estudio de la siguiente sección de esta unidad.
2.3.2 Independencia lineal
Un conjunto de vectores de referencia es linealmente independiente si ninguno de ellos se puede
expresar como una combinación lineal de los demás, caso contrario, se dice que son dependientes.
Ejemplo 5: verifique si los vectores: (4, 6, 8), (2, 3, 4), (-2, -3, -4) no son linealmente independientes.
(4, 6, 8) = a(2, 3, 4) + b(-2, -3, -4)
(4, 6, 8) = (2a, 3a, 4a) + (-2b, -3b, -4b)
(4, 6, 8) = (2a - 2b, 3a- 3b 4a - 4b)
2a - 2b = 4
De esto se tiene: 3a - 3b = 6
4a - 4b = 8
3a - 3b + 6c = 24
4a + 3b +5c = 9
7a +11c = 33
Obtenemos la ecuación única a-b = 2, despejando a= 2 + b, de manera que para cualquier valor de a o b,
se tienen los coeficientes que permiten expresar que los valores dados forman combinación lineal,
consecuentemente no son independientes.
Para que Ud. pueda desenvolverse en forma correcta, le invito a desarrollar la siguiente actividad…
Ejercicios:
Señor estudiante, para continuar con el estudio realice la
lectura de la página 237 a la 255 “Independencia lineal” y
desarrolle los ejercicios allí propuestos.
2.3.3 Espacios vectoriales Euclidianos
Estimados estudiantes, en el bimestre anterior realizamos el estudio de vectores de dos y tres
dimensiones, nos introduciremos en el estudio de los vectores euclidianos o conocidos también
como de n dimensiones.
Los vectores euclidianos se definen como aquellos que poseen más de tres dimensiones por
ejemplo (a1, a2, a3, …, an), de donde, n –tuplos ordenados se denomina espacio n dimensional
y es denotado por Rn. En los vectores euclidianos se puede proceder con las mismas operaciones
que se aplican en dos y tres dimensiones.
Recuerde: Las operaciones de adición y multiplicación escalar en esta definición se denominan
operaciones normales sobre Rn. El vector cero en Rn se denota por 0 y se define como el vector
0= (0,0,0). Si u= (u1, u2, …, un) es cualquier vector en Rn, entonces el negativo (o inverso aditivo)
de u se denota por –u y es definido como: -u= (-u1, u2, …, - un). La diferencia de vectores en Rn
se define como: v-u = v+(-u)
Revisado el tema le recomiendo realizar la siguiente actividad.
ACTIVIDAD RECOMENDADA
Para una mejor comprensión realice la lectura de la página 205
a la 2015 “Espacio Vectorial Euclidiano”.
La lectura realizada nos permitirá realizar ejercicios de cada una de las operaciones con
vectores euclidianos.
Ejemplo 1. Sean los vectores u= (-3,2,1,0), v= (4,7,-3,2) y k=4
u+v = (u1+v1, u2+v2, … un+vn) u+v = (-3+4,2+7,1-3,0+2) = (1,9,-2,2)
kv= (kv1, kv2, …, kun) kv=((4x(4)),4x7,4x(-3),4x2) = (16,28,-12,8)
Norma en el espacio euclidiano n dimensional
La norma euclidiana (o longitud euclidiana) de un vector u=(u1, u2, u3,…, un) en Rn se define
como:
Distancia en el espacio euclidiano n dimensional
n
La distancia euclidiana entre los puntos u= (u1, u2, …, un) y v= (v1, v2, …, vn) en R se define
como:
Ortogonalidad de vectores
n
Dos vectores en R se denominan ortogonales si u.v =0.
Ejemplo 2. Encontrar la norma euclidiana del vector u= (3,4,0,-12) Donde u1=3, u2=4,u3=0,u4=-12
entonces
Ejemplo 3. Encontrar la norma euclidiana entre u y v siendo u= (3,-3,-3,0,-3) y v= (-4,1,-1,5,0)
2
d ( u , v ) = ǁ u − v ǁ =√ (u 1 – v 1
+( u 5 – v 5
)
+ (u 2 – v 2
2
)
+ (u 3 – v 3
2
+( u 4 – v 4 )
2
+ ( −3 – 0)
)
2
2
)
d ( u , v ) = ǁ u − v ǁ =√(3 + 4)
d ( u , v ) = ǁ u − v ǁ =√ (7)
2
2
2
+( −3 – 1) + ( −3 + 1)
2
+ (−4) + ( −2)
2
2
+ (−5)
2
+ ( 0 – 5)
2
2
+ (−3)
d ( u , v ) = ǁ u − v ǁ =√ (49 + 16 + 4 + 25 + 9= √ 1 0 3
Ejemplo 4. Demostrar si los vectores son ortogonales siendo u= (-3,5,6,2) y v= (4,-2,3,2)
u.v=(-3)(4)+(5)(-2)+(6)(3)+(2)(2)
u.v= (-12-10+18+4)
u.v= 0 Son vectores ortogonales.
¡Interesante!, ¿verdad?, conocer cómo las operaciones influyen dentro de todo el desarrollo y
el efecto al comparar y obtener resultados. Luego de revisar los vectores euclidianos
procedemos a revisar el tema referente a:
TÉRMINOS IMPORTANTES
Como revisión de contenidos es importante recordar y definir algunos términos:
 Vectores en espacios de dimensiones de orden superior
 Propiedades de las operaciones vectoriales en el espacio n.
PREGUNTAS DE REFLEXIÓN
Es momento de relacionar y reflexionar en algunos temas de importante diferenciación como:
 La ventaja de representar espacios euclidianos, no otra que la de poder realizar un estudio y
analizar el comportamiento real en el espacio tridimensional.
 ¿Las operaciones de proyección, son más utilizadas en espacios tridimensionales?
Es muy importante relacionar esta terminología en cuanto a los espacios en
los que se puede operar vectores de n dimensiones.
Tener presente los datos como norma, producto y distancia de vectores que nos permitan identificar
eficientemente los resultados y procesos a aplicar para su desarrollo. ¡Felicitaciones!
Esto nos permite sembrar en tierra fértil para cosechar en cantidades actitudinales ya que con esto nos
sentiremos satisfechos de haber esperado, no desmayar y continuar con la tarea de estudiar para llegar
a ser grandes de conocimiento y humildes de corazón.
Es por ello, querido estudiante, que le invito a continuar con la siguiente unidad del bimestre. Al terminar
esta unidad 4 es preciso que verifique los avances de sus conocimientos a través del desarrollo de la
siguiente autoevaluación.
Autoevaluación 2
Escriba la letra “V” o la letra “F” según sean verdaderos o falsos
los siguientes enunciados:
1. ( ) Sea V un conjunto cualesquiera de objetos, la adición es la
regla que asocia a cada par de objetos u y v en V un objeto u+v.
2. ( ) Sean V un espacio vectorial, u un vector en V y k un escalar,
entonces: (-1) u ≠ -u
3. ( ) Un subconjunto W de un espacio vectorial V se denomina
subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial bajo la
adición y la multiplicación escalar definidas sobre V.
4. ( ) Un vector w se denomina combinación lineal de los
vectores v1,v2,…,vn, si se puede expresar en la forma: w=k1v1k2v2-…-krvr, donde k1,k2,…,kr son escalares.
5. ( ) Un conjunto S con dos o más vectores es: linealmente
dependiente, si y solo si ningún vector en S se puede expresar como
una combinación lineal de los demás vectores en S.
6. ( ) La dimensión de un espacio vectorial V es el número de
vectores que hay en una base de V.
𝟑 −𝟐
𝟑 −𝟐
7. ( ) Sea u=[
] y v=[
] el producto interior u.v =0
𝟒 𝟖
𝟒 𝟖
8. ( ) Si R2,R3 y R4 con el producto interior euclidiano, el coseno
del ángulo entre u y v siendo: u=(1,-3) v=(2,4) es =−1/√2
9. ( ) Dos vectores u y v en un espacio con producto interior se
denomina ortogonales si <u.v>=0.
10. ( ) Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma
1 se denomina conjunto ortogonal.
11. (
) Los vectores euclidianos se definen como
aquellos que poseen más de tres dimensiones.
12. ( ) Si u=(u1,u2,…,un), v=(v1,v2,…,vn) son vectores
en Rn, y k y m son escalares entonces: k(mu)=(km)u
13. ( ) Si u=(u1,u2,…,un), v=(v1,v2,…,vn) son vectores
cualesquiera en Rn, entonces el producto interior
euclidiano
u.v
se
define
por:
u.v
=(u1v1+u2v2+…+unvn)
14. ( ) El producto interior euclidiano de los vectores
u= (5, -4, 3) y v= (7, 1, 0) es u.v= (-31)
15. ( ) Sean los vectores u= (2, -3, -4, 5) y v= (0, 2, 1,
2) = 0 entonces los vectores no son ortogonales.
UNIDAD 3. TRANSFORMACIONES LINEALES
“Sentiré que nos tomas de la mano, que te haces
cargo de nuestros problemas y harás que brille
sobre nosotros tu bendición”.
Piedad Aguirre
3.1. Transformaciones lineales de Rn a Rm
Las transformaciones lineales es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector
para este convertirlo en otro vector. Su denominación puede ser transformación lineal,
función lineal o aplicación lineal a la función de la forma w=f(x), de donde la variable
n
m
independiente x es un vector en R y la variable dependiente w es un vector en R .
Propiedades de la linealidad
Una transformación T: R
n
m
R es lineal si y solo si las siguientes relaciones se
n
cumplen para todos los vectores u y v en R y para cualquier escalar c.
1. T(u+v) = T(u)+ T(v)
2. T(cu) = c T(u)
Ejemplo 5
𝑥
2𝑥
Sea T= [𝑦] = [
]
𝑥+𝑦
T(u+v) = T(u)+ T(v)
𝒙𝟏
u= [𝒙 ]
𝟐
𝒚𝟏
v= [𝒚 ]
𝟐
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
=
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝒙𝟏
𝒚𝟏
𝒙𝟏
𝒚𝟏
T{[𝒙 ] + [𝒚 ] } = T [𝒙 ] + T [𝒚 ]
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
2 𝒙𝟏
+
𝒙𝟏 + 𝒚 𝟏
2 𝒙𝟏 + 2 𝒙𝟐
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐
2 𝒙𝟐
2 𝒙𝟏 + 2 𝒙 𝟐
=
𝒙𝟐 +𝒚𝟐
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐
=
2 𝒙𝟏 + 2 𝒙𝟐
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐
3.2. Transformaciones lineales generales
En esta última unidad estudiaremos “Las transformaciones lineales” y sus conceptos
en relación a los espacios vectoriales. Estos permiten transformar vectores de una
dimensión a otra a través de una regla de correspondencia establecida entre los
elementos de uno de los espacios en otro lo que constituye una función, cuyo dominio
es un espacio vectorial y cuyo conjunto de llegada es otro, sin que ello implique que
necesariamente los dos espacios deban ser diferentes, caso en el cual la
transformación lineal se denomina operador lineal sobre el espacio respectivo.
Definición. - Se denomina transformación lineal a la función T de referencia definida
del espacio vectorial V en el espacio vectorial W, con V y W, no necesariamente de
diferente dimensión, en la que es lineal si y solo sí cumple las dos relaciones:
a. T(u+v) =T(u)+T(v)
b. T(cu)=cT(u)
Ejemplo 1. Verifique si la T (x, y, z) = (2x-y+z, y-4z) es una
transformación lineal. T (x+y1, y+y1, z+z 1) = (2(x+x1)- (y+y1) +
(z+z1), y+y1-4(z+z1))
= (2x+2x1)- y - y1 + z + z1,
y+y1-4z - 4z1)
T (x1, y1, z1) = (2x1-y1 + z1,
y-4z1)
Paso 1: de esto, por la definición de adición de vectores, se verifica que:
T (x + x1, y + y1, z + z1) = T (x, y, z) + T(x1 + y1 + z1)
Paso 2: ahora verifiquemos si cumple la segunda condición: T(ku) = kT(u)
T(ku) = T (kx, ky, kz) = (2kx-ky + kz, ky-4kz)
= k (2x- y + z, y-4z)
K(Tu) = kT (x, y, z) = k (2x-y + z, y-4z)
Son expresiones iguales, por lo tanto, se cumple la segunda característica, es decir, la
expresión dada constituye una transformación lineal.
ACTIVIDAD RECOMENDADA
Ahora es necesario que revise en el texto básico
“Transformaciones lineales”.
Ahora demos paso al estudio del siguiente tema.
3.3. Núcleo y recorrido
Núcleo, denominado como T: V W, es una transformación lineal, entonces el
conjunto de vectores en V que T transforma en 0, conocido también como (kernel o
espacio nulo) su denotación es Ker(T).
Es decir, el núcleo de una transformación es el conjunto de vectores del espacio que contiene al
dominio respectivo que son transformados por ella en 0.
Recorrido: el conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo T de al menos un vector
en V se denomina recorrido de T, su denotación es R(T).
Es decir, es el conjunto de vectores que son imágenes bajo su aplicación, y que corresponden al
espacio de llegada y que forman parte de la definición de la transformación.
Recuerde:
Tanto el núcleo como el recorrido son subespacios de cada uno
de los espacios vectoriales en los que se define la
transformación, es decir, si se define V en W, el núcleo es
subespacio de V y recorrido de W.
La dimensión del núcleo se denomina nulidad de la
transformación y la del recorrido se llama rango de la
transformación.
Ejemplo 1: encuentre el núcleo y recorrido de la transformación: T (x, y) = (2x-y, -8x + 4y), luego
verifique si el vector (1, -4) está en el núcleo de T y si el vector (-3, 12) está en el recorrido de T.
Solución:
(2x-y, -8x + 4y) = (0, 0) si y solo si y = 2x, por lo tanto, todos los vectores cuya segunda
componente sea el doble de la primera están en el núcleo de la transformación, por ejemplo
(2, 4).
Siendo el vector resultante aquel que tiene la forma (2x-y, -8x + 4y), de acuerdo a la
transformación.
Para concluir y revisar este contenido, realicemos la siguiente actividad:
Entonces el recorrido está formado por todos los vectores cuya segunda componente es el
cuadrúpedo de la primera con signo cambiado, por ejemplo (2, -8), que corresponde al vector
(1, 0) del dominio de la transformación (no confundir núcleo con dominio).
(1, -4) no está en el núcleo ya que (2-4, -8 + 16) = (-2, 8) que no es el vector nulo.
(-3, 12) si está en el recorrido ya que verifica la regla que define al recorrido ya descrita, y
también corresponde al vector (4, 11) del dominio.
Tarea de revisión: sea T: R →R la transformación lineal definida por la expresión:
T (x1, x2, x3, x4) = (4x1 + x2 - 2x3 - 3x4, 2x1 + x2 + x3 - 4x4, 6x1 - 9x3 - 9x4)
¿Cuáles de los siguientes vectores están en R(T)?
a) (0, 0, 6)
b) (1, 3, 0)
c) (2, 4, 1)
4
3
ACTIVIDAD RECOMENDADA. “Revise en el texto básico el
tema Núcleo y recorrido y realice la lectura y ponga
mucho énfasis en los conceptos y las propiedades del
núcleo y recorrido.
Verifique sus logros en el solucionario que consta al final de la guía.
Autoevaluación 3
Escriba la letra “V” o la letra “F” según sean verdaderos o falsos
los siguientes enunciados:
1. ( ) Se llama transformación lineal de V a W si para todos los vectores u y v de V y todos los
escalares c que cumplen lo siguiente: T(u+v) = cT(u)+ T(v) y T(cu) = cT(u)
2. ( ) Recorrido. El conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo T de al menos
un vector en V se denomina recorrido de T, su denotación es R(T).
3. ( ) La dimensión del núcleo se denomina nulidad de la transformación y la del recorrido se
llama recorrido de la transformación.
4. ( ) Si T: V →W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores en V que T
mapea o transforma en un valor negativo se denomina núcleo de T.
5. ( ) El procedimiento para realizar una transformación lineal inversa es: ”Determinar la matriz
estándar”.
6. ( ) Una transformación lineal inversa es inyectiva.
7. ( ) La siguiente función T: V→ R, donde V es un espacio con producto interior y T(u) = ||u||,
es una transformación no lineal.
8. ( ) Sea T: R4→ R3 la transformación lineal definida por la expresión T(x1, x2, x3, x4)= (4x1 +
x2 - 2x3 - 3x4, 2x1 + x2 + x3 - 4x4, 6x1 - 9x3 - 9x4) el vector que está en Ker(T) es (0, 0, 0, 1). 9. (
) Dado que R2→R2 donde (T(x), y) = (y, x) al resolver Ker(T) = 0 y T no es uno a uno.
9. ( ) Dado que R2→R2 donde (T(x), y) = (y, x) al resolver ker(T) = 0 y T no es uno a uno.
1 −1 3
10. ( ) Sea T la multiplicación por la matriz A=[5 6 −4]
7 4
2
el rango es (T)=2 y la nulidad de la matriz nulidad (T)=1.
n
m
11. ( ) Una transformación T: R → R es lineal si y solo si las siguientes relaciones se
n
cumplen para todos los vectores u y v en R y para cualquier escalar c. T(u+v) = T(u)+ T(v)
Verifique sus logros en el solucionario que consta al final de la guía.
Espero que todas sus respuestas a la autoevaluación fueran acertadas. Revise nuevamente el
contenido en el caso de que haya errado al contestar alguna pregunta, lo que le ayudará a
reforzar sus conocimientos
¿Qué le pareció esta unidad?
Interesante, ¿verdad? He tratado de llegar a usted a través de la planificación para el trabajo del
alumno acoplando las unidades de la guía a las unidades del texto básico, y de esta manera
abarcar todos los temas enunciados en la planificación.
¡FELICITACIONES! Hemos finalizado lo planificado dentro de la asignatura de Álgebra Lineal,
espero que todos los conocimientos que con esfuerzo y dedicación usted ha adquirido sean
cimiento firme y bases sólidas en la formación que el ITCA imparte a sus estudiantes y que, desde
donde usted se encuentre desempeñándose como profesional de la educación, contribuya al
mejoramiento de la calidad de la educación ecuatoriana y por supuesto al desarrollo de nuestro
país.
4. Solucionario
A continuación, incluyo las soluciones a las preguntas de las autoevaluaciones para que Ud. pueda
comprobar sus respuestas.
UNIDAD 1
Pregunta
Respuesta
1.
V
2.
V
3.
F
4.
F
5.
F
6.
F
7.
V
8.
V
9.
V
10.
F
11.
F
12.
V
13.
F
14.
V
15.
V
16.
F
17.
F
18.
V
19.
F
20.
F
UNIDAD 2
Pregunta
Respuesta
1.
V
2.
F
3.
V
4.
F
5.
F
6.
V
7.
V
8.
V
9.
V
10.
V
11.
V
12.
V
13.
V
14.
F
UNIDAD 3
Pregunta
Respuesta
1.
V
2.
V
3.
F
4.
F
5.
V
6.
V
7.
F
8.
F
9.
F
10.
V
11.
V
15.
F
9. GLOSARIO
Matríz: Una matriz es un conjunto de números reales, que están dispuestos en «m» filas y
en «n» columnas.
Ecuación lineal: es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y
no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas
y restas de una variable a la primera potencia.
Incógnitas: Son las variables de una ecuación lineal.
Sistema de ecuaciones lineales: es un conjunto de ecuaciones lineales, definidas
sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Solución: Respuesta eficaz a un problema, duda o cuestión.
Sistema lineal homogéneo: es un sistema de la forma Ax = 0.
Matriz escalonada: se dice que es escalonada, escalonada por filas o que está en forma
escalonada si: Todos los renglones cero están en la parte inferior de la matriz. El elemento
delantero de cada renglón diferente de cero está a la derecha del elemento delantero
diferente de cero del renglón anterior.
Eliminación de Gauss-Jordan: llamada así en honor de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm
Jordan es un algoritmo del álgebra lineal que se usa para determinar las soluciones de un
sistema de ecuaciones lineales, para encontrar matrices e inversas.
Determinante de una matriz: es una herramienta que nos permite clasificar los
sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones (Teorema de RouchéFrobenius). La definición formal del determinante no es sencilla, pero existen reglas
que facilitan su cálculo según la dimensión de la matriz.
¿Qué es un cofactor?: se denomina matriz adjunta a la matriz conjugada traspuesta.1
Dada una matriz cuadrada A, su matriz de adjuntos o matriz de cofactores cof(A) es
la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A.
¿Qué es el método de Cramer?: es un teorema del álgebra lineal que da la solución de
un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.
10. ANEXOS
ANEXO 1: álgebra Lineal junto con la Programación Lineal le proporcionan
al Administrador de Empresas instrumentos esenciales para la acertada toma de
decisiones en lo referente a la optimización de recursos escasos.
2- Tipos de métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales: Existen multitud de
métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Los más utilizados en el
álgebra matricial son la eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y la regla de Cramer.
En los dos primeros, tenemos que realizar operaciones elementales entre filas. En el
tercero, tenemos que calcular algunos determinantes.
3- Empleo del determinante de matrices: La función determinante es de gran importancia
en el álgebra ya que, por ejemplo, nos permite saber si un matriz es regular (si tiene
inversa) y, por tanto, si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución. Además, en
el caso de que el sistema de ecuaciones tenga una única solución, podemos calcularla
aplicando determinantes (regla de Cramer). Otras aplicaciones: el cálculo del
producto vectorial de dos vectores y determinar si un conjunto de vectores es
linealmente independiente.