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EJERCICIOS PASO A PASO DEL METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ PARA EL
CÁLCULO DE ESTRUCTURALES ESQUELETALES
EDICSON ALEXANDER ALVAREZ SANCHEZ
POLITECNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
FACULTAD DE INGENIERIA
INGENIERIA CIVIL
MEDELLIN
2009
1
EJERCICIOS PASO A PASO DEL METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ PARA EL
CÁLCULO DE ESTRUCTURALES ESQUELETALES
EDICSON ALEXANDER ALVAREZ SANCHEZ
Trabajo de grado para optar el título de INGENIERO CIVIL.
Asesor Temático:
GIOVANNI MARTÍNEZ MARTÍNEZ
Ingeniero Civil
Especialista en Análisis y Diseño Estructural
Magister en Ingeniería Sismo resistente
Asesor(a) metodológica:
MARTHA ELENA ZAPATA PEREZ
Ing. Civil. Especialista en gestión pública.
POLITECNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
FACULTAD DE INGENIERIA
INGENIERIA CIVIL
MEDELLIN
2009
2
Nota de Aceptación.
__________________________________
Firma del Jurado.
___________________________________
Firma del Jurado.
___________________________________
Firma del Jurado.
____________________________________
Firma Presidente del Jurado.
Medellín, 09 de Diciembre del 2009.
3
DEDICATORIA
A mis padres, hermanos, hija, profesor Giovanni Martínez Martínez y todo el
grupo profesoral tan de buena calidad que ayudaron a mi formación como
ingeniero civil. Por ello les estoy muy agradecido el cual solo les ofrezco el
sentimiento tan invaluable que es el de la alegría humana por el de
acompañarme educacionalmente en un proceso tan vital en mi proyecto de vida
personal y profesional.
4
AGRADECIMIENTOS
Expreso mis más sinceros agradecimientos a:
Mis padres FERNANDO ALVAREZ Y NANCY SANCHEZ que estuvieron a mí lado
durante todo el proceso de formación profesional.
A todo ese grupo de profesionales tan competente del POLITECNICO
COLOMBIANO J.I.C. que hicieron que el proceso como ingeniero civil fuera un
total éxito en especial a:





Giovanni Martínez Martínez
Martha Elena Zapata Pérez.
Daniel Zapata.
Luis Guillermo Montoya Vivas.
Santiago Wilches.
Profesionales tan íntegros tanto personal como profesionalmente, de los cuales
aprendí tanto de lo mencionado anteriormente y obviamente de su cátedra,
espero que perduren mucho más para que sigan ayudando en la formación de
nuevos profesionales en el área de la Ing. Civil.
5
CONTENIDO
Pág.
GLOSARIO.
9
RESUMEN.
10
INTRODUCCION.
11
1. OBJETIVOS.
12
1.1.
OBJETIVO GENERAL.
12
1.2.
OBJETIVOS ESPECIFICOS.
12
2. RESEÑA HISTORICA.
13
3. METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ.
14
4. CONVENCION DE SIGNOS POSITIVO.
19
5. NUMERACION DE GRADOS DE LIBERTAD.
19
6. SISTEMA LOCAL Y GLOBAL DE COORDENADAS.
20
6
6.1.
SISTEMA GLOBAL.
21
6.2.
SISTEMA LOCAL.
21
7. MATRIZ DE
LOCALES.
7.1.
UN
ELEMENTO
TRIDIMENSIONAL
EN
PROPIEDADES DE LA MATRIZ.
COORDENADAS
23
24
8. MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [ λ ].
25
8.1.
MATRIZ DE TRANSFORMACION PORTICO PLANO.
26
8.2.
MATRIZ DE TRANSFORMACION CERCHA PLANA.
27
8.3.
MATRIZ DE TRANSFORMACION CERCHA ESPACIAL.
27
9. DEMOSTRACION DE LA OBTENCION DE LA ECUACION GENERAL
{ F } = [ K ] * { U }.
28
10. DESGLOSE DE LA ECUACION GENERAL.
30
11. MATRIZ EN COORDENADAS GLOBALES CERCHA PLANA.
31
12. MATRIZ EN COORDENADAS GLOBALES PORTICO PLANO.
32
13. MATRIZ EN COORDENADAS GLOBALES ELEMENTO VIGA.
33
7
14. MODIFICACION DE LA ECUACON GENERAL CUANDO SE TIENEN CARGAS
EN LAS LUCES.
34
15. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO Y REACCIONES.
35
16. CONDENSACION MATRICIAL.
37
17. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
39
17.1. EJEMPLO 1. VIGA.
39
17.2. EJEMPLO 2. VIGA.
47
17.3. EJEMPLO 3. PORTICO.
56
17.4. EJEMPLO 4. PORTICO.
69
17.5. EJEMPLO 5. PORTICO 3D.
79
18. CONCLUSIONES.
102
19. RECOMENDACIONES.
103
20. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA.
104
8
GLOSARIO
FLEXIBILIDAD: alargamiento o giro producido por una fuerza o par unidad.
GRADO DE LIBERTAD: es un posible movimiento de un nudo en una estructura.
PORTICO: Un pórtico es un espacio arquitectónico conformado por una galería
de columnas adosada a un edificio, abierta al aire libre, y situado generalmente
ante su acceso principal.
RIGIDEZ: fuerza o par, que aparece ante un alargamiento o giro unitario.
VIGA: En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo
lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina
sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.
9
RESUMEN
Los siguientes temas serán profundizados para la debida interpretación y
aplicación del método matricial de rigidez:
 Se comenzara con una pequeña reseña histórica del método a tratar.
 Se ampliaran cada uno de los conceptos del tema como grados de
libertad, grados de libertad restringidos, grados de libertad libres, modulo
de elasticidad, inercia, etc. Todos los conceptos implícitos en el método.
 Se trataran las matrices para sistemas globales y locales, que son y
cuando se emplean.
 Matriz de rigidez y sus propiedades.
 Matrices de transformación de coordenadas.
Estos serán los temas que comprenderá el método, el cual será dividido en dos
partes para su mejor comprensión las cuales serán:
 Con cargas en los nudos.
 Cargas en las luces.
Cada parte con sus respectivos ejemplos de pórtico, cercha y vigas.
Y el tema más importante que es la condensación matricial ya que mediante este
podemos hallar nuestros desplazamientos de piso cuando nos encontramos
modelando un pórtico muy grande.
10
INTRODUCCION
El método matricial de rigidez, es un método que evoluciono tanto, que en la
actualidad tiene una teoría ampliamente fundamentada con unas bases
definidas y estructuradas lo cual hace de este método un camino para la
implementación de software de modela miento estructural.
Mediante la aplicación de los siguientes ejercicios paso a paso, se pretende dar
una herramienta básica en la solución de pórticos, vigas y cerchas estructurales
mediante la aplicación del método matricial de rigidez. También será a la vez un
asesor a la hora de estudiar para un parcial ya que se enfocara detalladamente a
cada uno de los pasos que se deben efectuar a la hora de solucionar una
estructura, todo ello se llevara a cabo mediante la planteacion y solución de
cada tipo de estructuras como son cerchas, vigas y pórticos.
Todo lo anterior es de suma importancia ya que el método matricial de rigidez es
uno de los temas más importantes de los que abarca el análisis estructural ya
que el 100 % de modeladores de sistemas estructurales se basan en el método,
como por ejemplo el SAP2000.
Se llego a la determinación de los ejercicios paso a paso por la falta de un
manual en el que se explique paso a paso la solución o el cálculo de estructuras
esqueletales como pórticos, cerchas y vigas estructurales aplicando el método
matricial de rigidez, ya que en general solo se usa este método.
11
1. OBJETIVOS
1.1.
OBJETIVO GENERAL:
Realizar una guía práctica para la debida interpretación, análisis y aplicación del
método matricial de rigidez para el cálculo de estructuras esqueletales como
pórticos, vigas y cerchas, mediante la aplicación paso a paso de método
matricial de rigidez.
1.2.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
 Plantear teoría de cómo calcular paso a paso estructuras esqueletales
como pórticos, cerchas y vigas mediante el método matricial de rigidez.
 Aplicar la teoría especificada al cálculo de ejercicios paso a paso a
pórticos, y vigas con cargas distribuidas en las luces.
12
2. RESEÑA HISTORICA
Henry Manderla fue el primero en utilizar los desplazamientos (∆); y rotaciones
(Ѳ) en los nudos como incógnitas en el análisis de una estructura hiperestática.
En 1880 analizo un pórtico de nudos rígidos tomando en consideración las
deformaciones producidas en los elementos de la estructura por la acción de los
momentos flectores y las fuerzas axiales.
Esta técnica no resulto apropiada para la época por la complejidad del sistema
resultante de ecuaciones, expresado en términos de la translación y rotación
desconocidas de los nudos y que pretende describir el efecto de la flexión y de
la fuerza axial sobre cada elemento.
Posteriormente en 1892 Otto Mohr quien había contribuido al desarrollo del
método de flexibilidad para estructuras hiperestáticas, propuso un método
aproximado para el cálculo de los esfuerzos producidos por la flexión en un
pórtico de nudos rígidos. La técnica de Mohr requería la solución de un sistema
de ecuaciones expresado únicamente en términos de las rotaciones (Ѳ) de los
nudos.
En 1914 Alex Bendixen propuso el método pendiente-deflexión para el análisis
de estructuras que requieren la solución de un sistema de ecuaciones
expresado en términos de los desplazamientos (∆) y rotaciones (Ѳ) de los nudos.
En 1915 G. A. Maney dio a conocer el desarrollo formal de las ecuaciones
pendiente-deflexión. El método pendiente-deflexión propuesto por Bendixen y
Maney es semejante al método propuesto anteriormente por Mohr.
En 1930 Hardy Cross difundió el método de distribución de momentos, este
método aproxima progresivamente el valor de los momentos no equilibrados en
los nudos permitiendo de esta forma analizar estructuras planas con nudos
rígidos esta técnica tuvo gran aceptación por cuanto elimino la necesidad de
resolver el sistema de ecuaciones simultaneas lineales requerido en el método
pendiente –deflexión . E método pendiente –deflexión para el análisis de
estructuras hiperestáticas es el predecesor del método más generalizado de
análisis que se utiliza actualmente.
El advenimiento del computador digital para realizar operaciones matemáticas
elimino a la solución de ecuaciones simultáneas como una restricción u
obstáculo para el análisis estructural. Esta ha permitido la utilización de un
método muy general para el análisis de estructuras reticulares (formada por
barras esqueletales).
Las incógnitas de su formulación son los desplazamientos y las rotaciones de
los nudos. Este método de análisis se llama METODO MATRICIAL DE RGIDEZ.
13
3. METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ
Comenzaremos conociendo que significa grado de libertad (GDL): Un grado de
libertad es un posible movimiento de un nudo en una estructura.
De este significado se desglosa:
 Grados de libertad restringidos (GDR): Son aquellos que impiden el
movimiento de los nudos. Estos no lo dan por general los apoyos de la
estructura.
 Grados de libertad libres (GDL): Son aquellos que se desplazan
libremente por lo general son los que no tienen apoyo.
CERCHA PLANA
Ejemplo 1.
La cercha sometida a cualquier tipo de carga.
No de nudos = 8
Un nudo de una cercha tiene 2 posibles movimientos que son Horizontal y
Vertical. Es decir que por nudo tiene 2 GDL.
Δx
Δy
 GDLTotales = No * 2 = 8*2 =16 Ello para cualquier cercha plana.
14
 GDLLibres = 6*2 = 12.
 GDLRestringidos = 2*2 = 4.
Ejemplo 2.
No de nudos = 13, ya que cuando especifican los cruces de barras con círculos
es porque es un nudo de lo contrario no sería nudo.
 GDLTotales = 2*13 = 26.
 GDLLibres = (2*11)+1 = 23.
 GDLRestringidos = 3.
Sabemos que el triangulo es un apoyo que me restringe el desplazamiento
horizontal y vertical y el circulo es un apoyo simple que solo restringe el
desplazamiento vertical.
CERCHA ESPACIAL
Para una cercha en el espacio los GDLTotales = No de nudos * 3
Δy
Δx
Δz
15
PORTICO PLANO (FRAME PLANE)
θZ
Los posibles movimientos que sufre un nudo de un pórtico plano son:
 ∆x = desplazamiento horizontal.
 ∆y = desplazamiento vertical.
 Ѳz = la rotación con respecto al eje z.

GDLTotales = No de nudos * 3
Para el ejemplo GDLT=8*3 =24, GDLR=2*3=6 y los GDLL=6*2=18. Recordemos
que un empotramiento restringe todos los posibles movimientos de un nudo en
una estructura.
θz
Δy
Δx
16
PORTICO ESPACIAL
Los posibles movimientos de un nudo en un pórtico espacial son 6 que son las
tres rotaciones y los tres desplazamientos:
Δy
θy
θx
Δx
θz
Δz
 ∆x = desplazamiento horizontal.
 ∆y = desplazamiento vertical.
 ∆z = desplazamiento con respecto al eje z.
17
 Ѳx = rotación alrededor del eje x.
 Ѳy = rotación alrededor del eje y.
 Ѳz = rotación alrededor del eje z.
Los GDLTotales = No de nudos *6.
Para el ejemplo GDLT=36*6=216, GDLL=27*6=162 y los GDLR=9*3=27.
ELEMENTO VIGA
Las vigas se diferencian del pórtico porque siempre es recta por lo tanto como la
estructura debe ser estable no va a ver desplazamiento horizontal (∆x); es decir
que la axial se desprecia. Por lo tanto para el conteo de los GDL no se tiene en
cuenta el ∆x.
Δy
Θz
Los GDLTotales = No de nudos*2
Para el ejemplo GDLT=14, GDLR=5 y GDLL=9.
La clave es primero observar los tipos de apoyo y sacar de acuerdo a eso los
GDLRestringidos y por ultimo restarlos a los GDLT para así obtener los GDLL.
18
4. CONVENSION DE SIGNOS POSITIVA
La convención que manejaremos de ahora en adelante será:
+
5. NUMERACION DE LOS GRADOS DE LIBERTAD
Primero se numeran los grados de libertad libres y posteriormente los grados de
libertad restringidos y se hará en el siguiente orden.
3
2
1
Primero el horizontal, luego el vertical y por último la rotación.
19
6. SISTEMA LOCAL Y GLOBAL DE COORDENADAS ENUMERACION DE LOS
GRADOS DE LIBERTAD EN AL ESTRUCTURA
PORTICO PLANO
4
1
2
5
6
3
11
9
12
10
8
7
Primero numeramos los grados de libertad libres en la convención ya estipulada
anteriormente y posteriormente los restringidos. (Rojos son los grados de
libertad restringidos).
 GDLT=12
 GDLR=4
 GDLL=8
La matriz total será de 12*12 y la matriz de incógnitas será de 8*8.
20
6.1. SISTEMA GLOBAL
Esta nos hace referencia a los ejes X, Y y Z del plano cartesiano. Este sistema es
utilizado para la ubicación de los desplazamientos en la estructura. Se denota
con letras mayúsculas. (F, U)
F = Fuerzas
U = Desplazamientos
6.2. SISTEMA LOCAL
Este nos hace referencia con el eje X paralelo al eje geométrico del elemento, es
decir que se realiza un giro al sistema global. Este sistema se utiliza para los
diagramas de fuerzas internas en las estructuras. Se denota con letras
minúsculas (f, u).
f = Fuerzas
u = Desplazamientos
Cuando se tienen elementos verticales u horizontales el sistema global coincide
con el sistema local.
F4
f4
f5
F6
f6
GLOBAL
LOCAL
F11
f11
F12
f12
F8
f8
21
F1
F4
GLOBAL
F5
F2
F6
F3
f1
f4
LOCAL
f5
f2
f6
f3
Lo contrario ocurre con los elementos inclinados.
F
f1
f3
F2
F3
f2
LOCAL
GLOBAL
f10
F9
f9
F10
F7
f7
Solo los momentos son los que son iguales. Es decir f7=f7 y f3=f3.
Lo que realiza después es un análisis de elemento por elemento para ir
analizando de acuerdo a la resistencia de materiales cada grado de libertad y así
aplicar principio de superposición para la extracción de la matriz de rigidez en
coordenadas locales de un elemento tridimensional.
Lo anterior no es necesario para el manual ya que este se enfocara directamente
a la aplicación directa de las matrices por lo tanto se irán dando a medida que
evolucionamos en el método.
22
7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO TRIDIMENSIONAL EN COORDENADAS LOCALES
f2
0
2
0
12EIz
L3
f3
0
0
f4
f5
f6
f7
0
0
0
-AE / L
f8
0
f1
1
AE / L
3
0
4
0
5
0
6
0
7
-AE / L
6Eiz / L2 0
8
0
-12Eiz
L3
0
0
/
0
0
0
12Eiy / L3 0
-6Eiy / L2
G Ix /
0
L
0
-6Eiy / L2 0
4Eiy / L
0
0
0
0
0
0
f9
0
0
0
6Eiz / L2
0
-12Eiz /
L3
0
-12Eiy
0
L3
f10
f11
f12
0
0
0
0
0
6Eiz / L2
0
0
0
9
0
10
0
11
0
12
0
u1
0
-12Eiy
L3
0
0
6Eiz / L2
u2
0
-6Eiy / L2 0
u3
/
/
0
0
0
0
4Eiz / L 0
0
AE / L
-6Eiz
/
L2
0
0
0
-6Eiz / L2
0
12Eiz
/
L3
0
6Eiy / L2
0
0
-G Ix / L
0
0
0
0
2Eiy / L
0
0
0
0
2Eiz / L
0
u4
u5
u6
u7
0
0
0
-6Eiz / L2
u8
0
0
0
12Eiy / L3 0
6Eiy / L2
0
u9
0
0
2Eiz / L
0
0
0
0
0
0
6Eiy / L2
-6Eiz / L2 0
0
4Eiy / L
0
0
0
4Eiz / L
u10
u11
u12
/
0
6Eiy / L2
-G Ix /
0
L
0
-6Eiy / L2 0
2Eiy / L
0
0
0
{f}=[k]*{u}
12*1
12*12
12*1
23
G Ix / L
0
0
{ f } = Vector de cargas en los nudos.
{ u } = Vector de desplazamientos.
[ k ] = Matriz de rigidez
7.1. PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
 Simétrica.
 Si aparece el modulo de elasticidad E. El material se comporta en el rango
elástico lineal, es decir que los desplazamientos y las rotaciones son
pequeñas.
 No considera el efecto de la cortante.
 No considera el efecto del pandeo.
 No considera la rigidez de la unión viga-columna (nudos).
 Todos los términos de la diagonal y tienden hacer los mayores valores de
cada fila.
 Es una matriz singular. Es decir que no tiene inversa.
24
8. MATRIZ DE TRANSFORMACION [ λ ]
De la anterior matriz se extraen las matrices correspondientes de elemento
pórtico plano, elemento cercha plana y elemento viga en coordenadas locales.
Que para el manual tampoco es necesario plantearlas ya que las que se utilizan
son e coordenadas globales.
Ello se obtiene de transformar las matrices de coordenadas locales a globales.
Para lograr lo anterior se debe calcular primero una matriz que transforme las
coordenadas. Esta matriz se llama MATRIZDE TRANSFORMACION DE
COORDENADAS [ λ ].
PORTICO PLANO
F6
F5
f5
f6
F4
f4
F2
F2
F3
α
F1
f1
f3
F1 = f1*cosα – f2*senα
F2 = f1*senα + f2*cosα
F3 = f3
F4 = f4cosα – f5*senα
F5 = f4*senα – f5cosα
F6 = f6
Organizando matricialmente considerando cosα = cx y senα = cy obtenemos:
25
8.1. MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS ELEMENTO PORTICO
PLANO
λ=
cx
cy
0
0
0
0
-cy
cx
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cx
cy
0
0
0
0
-cy
cx
0
0
0
0
0
0
1
{ F } = [ λ ] * { f } (1)
{ f } = [ λ ] inv * { F } (2)
Las anteriores formulas son las que se utilizan para la transformación de las
coordenadas.
El ángulo α se mide de local a global (con respecto al eje x). Si es horario α es
negativo y si es anti horario α es positivo.
y
y
α
-
+
x
α
y
x
x
-
(xf,yf)
Yf - yi
(xi,yi)
Xf - xi
26
α
Xf = Coordenada x nudo final
Xi = Coordenada x nudo inicial
Yf = Coordenada y nudo final
Yi = Coordenada y nudo inicial
Cos α = (xf – xi)/L
Sen α = (yf – yi)/L
L = {(xf – xi) 2 + (yf – yi)2}^(1/2)
8.2. MATRIZ DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [ λ ] CERCHA PLANA
λ=
cx
cy
0
0
0
0
0
0
0
0
cx
cy
0
0
0
0
8.3. MATRIZ DE TRANSFORMACION [ λ ] CERCHA ESPACIAL
λ=
CX
CY
CZ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
CX
CY
CZ
27
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cx, cy ,cz son los cosenos directores
Lo que se procede a realizar es transformar cada una de las matrices de
elemento pórtico plano, elementó cercha plana y elemento viga, en matrices en
coordenadas globales. Cabe aclarar que las matrices en coordenadas locales
salen de la matriz de rigidez del elemento tridimensional dada anteriormente que
para el manual no es necesario dicha demostración ya que como se menciono
anteriormente el enfoque es dedicado a la aplicación directa del método, por lo
tanto a continuación se entregan las matrices de cada uno de los elementos en
coordenadas globales que son las que se utilizan a la hora de abarcar un
ejercicio.
28
9. DEMOSTRACION DE LA OBTENCION DE LA ECUACION GENERAL
{F}=[K]*{U}
{f}=[k]*{u}
(1)
{F}=[λ]*{f]
(2)
Como { F } es una cantidad vectorial, también se aplica para los desplazamientos
{U}=[λ]*{u}
(3)
Multiplicando por [ λ ]-1
[ λ ]-1 *{ U } = [ λ ]-1 * [ λ ] *{ u }
[ λ ]-1 * { U } = { u } (4)
4 en 1
{ f } = [ k ] * [ λ ]-1 * { U }
(5)
5 en 2
{F}=[λ]*[k]*[λ]*{U}
K
{ F } = [ K ] * { U } GLOBAL
Esta fórmula se desglosa en dos de la siguiente manera:
P0
P1
KO
K2
K1
K3
U0
U1
Para la partición es de acuerdo al número de GDL libres.
29
10. DESGLOCE DE LA ECUACION GENERAL
10.1. ECUACION 1
Con esta calculamos los desplazamientos en los grados de libertad libres.
{ P0 } = [ K0 ] * { U0 } + [ K1 ] *{ U1 }
10.2. ECUACION 2
Con esta se calculan las reacciones
{ F1 } = [ K2 ] * { U0 } + [ K3 ] * { U1 }
DONDE:
{ F } = Vector de cargas en los grados de libertad libres.
{ F0 } = Vector de cargas en los grados de libertad libres y son conocidos.
{ F1 } = Vector de cargas en los grados de libertad restringidos que
corresponden a las reacciones.
{ U } = Vector de de desplazamientos nodales. Igual al número de GDL totales.
{ U0 ] = Vector de desplazamientos en los GDL libres y son desconocidos.
{ U1 } = Vector de desplazamientos en los GDL restringidos, son conocidos y
puede que sean cero o diferente de cero pero siempre conocidos.
30
11. MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES ELEMENTO CERCHA
PLANA
K = A * E /L
cos2 α
cos α * sen α
-cos α * sen α
sen2 α
-cos2 α
-cos α * sen
α
cos α * sen α
-cos2 α
-cos α * sen α
-cos α * sen α
-sen2 α
cos2 α
cos α * sen α
cos α * sen α
sen2 α
-sen2 α
L = {(xf - xi ) 2 + (yf - yi)2
}^(1/2)
cos α = (xf - xi) / L
sen α = ( yf - yi) / L
31
12. MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES ELEMENTO PORTICO
PLANO
K=
a
b
-c
-a
-b
-c
b
f
h
-b
-f
h
-c
h
k
c
-h
k/2
cos α = ( xf - xi )/ L
-a
-b
c
a
b
c
-b
-f
-h
b
f
-h
sen α = ( yf - yi )/ L
L = { ( xf - xi )2 + ( yf - yi )2 ) }^(1/2)
a =( E*A/L)*cos2α + (12*E*I)/L3)*sen2α
b = { [(E*A)/L] - [(12*E*I)/L3] } * cosα * senα
c =[ (6*E*I)/L2 ] * senα
f =( E*A/L)*sen2α + (12*E*I)/L3)*cos2α
h =[ (6*E*I)/L2 ] * cosα
k = (4*E*I)/L
32
-c
h
k/2
c
-h
k/2
13. MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES ELEMENTO VIGA
K=
12*E*Iz /L3
6*E*Iz /L2
-12*E*Iz /L3
6*E*Iz /L2
6*E*Iz /L2
4*E*Iz /L
-6*E*Iz /L2
2*E*Iz /L
-12*E*Iz /L3
-6*E*Iz /L2
12*E*Iz /L3
-6*E*Iz /L2
33
6*E*Iz /L2
2*E*Iz /L
-6*E*Iz /L2
4*E*Iz /L
14. MODIFICACION DE LA ECUACION GENERAL CUANDO TENEMOS CARGAS
EN LAS LUCES
Mediante las ecuaciones obtenidas anteriormente solo se tenían cargas en los
nudos el cual se tenía lo siguiente:
{F}=[K]*{U}
Ahora con cargas en las luces simplemente lo que se hace es agregarle el vector
de cargas en las luces el cual se denotara { R }, la formula general quedaría
entonces de la siguiente manera:
{F}={R}+[K]*{U}
{F}–{R}=[K]*{U}
{P}=[K]*{U}
Donde { P } = { F } – { R }
Para la de determinación o cálculo de las cargas en las luces { R }, se deben
emplear los momentos de empotramiento y reacciones.
34
15. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO Y REACCIONES
15.1. CARGA RECTANGULAR
Q
QL2/12
2
QL2/12
QL/2
QL/2
L
15.2. CARGA PUNTUAL
Q
Qa2b/L2
2
Qab2/L2
Qb2/L3*(3a+b)
Qa2/L3*(a+3b)
L
a
b
35
15.3. CARGA TRIANGULAR
QL2/20
QL2/30
3QL/20L
7QL/20
L
15.4. CARGA TRAPEZOIDAL
Q2
(L2/60)*(3*Q1+2*Q2)
Q1
(L2/60)*(2*Q1+3*Q2)
(L/20)*(7*Q1+3*Q2)
(L/20)*(3*Q1+7*Q2)
L
36
16. CONDENSACION MATRICIAL
Condensar matricialmente, se refiere a reducir los grados de libertad, cuando se
considera que la diferencia entre los desplazamientos de los nudos de un mismo
nivel son muy parecidos.
Por lo general, lo que se condensa matricialmente son los desplazamientos
horizontales, es decir que solo habrá un grado de libertad por piso, cuando se
realiza manualmente ( y con la ayuda de una hoja de cálculo) es recomendable
enumerar primero los grados de libertad horizontales de los pisos.
Con esta numeración se garantiza tener los grados de libertad horizontales al
principio de la matriz principal o total.
K1 ‘
K0 ‘
K=
K2 ‘
K3 ‘
Si solamente esos grados de libertad tienen cargas horizontales, se
tendría:
F0
0
KO'
K2'
K1'
K3'
U0'
U1'
{ U0’ } = Desplazamientos de piso.
[ K0’ ] = Igual número de pisos.
{ F0 } = [ K0’ ] * { U0’ } + [ K1’ ] * { U1’ ]
{ 0 } = [ K2’ ] * { U0’ } + [ K3’ ] * { U1’ ]
De (2)
[ K3’ ] * { U1’ } = - [ K2’ ] * { U0’ }
37
(1)
(2)
{ U1’ } = -( [ K3’ ] -1) * [ K2’ ] * { U0’ } (3)
(3) en (1)
{ F0 } = [ K0’ ] * { U0’ } – [ K1’ ]* ([ K3’ ]-1) * [ K2’ ] * { U0’ }
{ F0 } =( [ K0’ ] – [ K1’ ]* ([ K3’ ]-1) * [ K2’ ] ) * { U0’ }
[ KC ]
La matriz [ Kc ] es una de las matrices más utilizadas en la modelación
estructural. Esta forma de condensar o modelar es lo que se conoce como
“ DIAFRAGMA RIGIDO “, donde todos los puntos de un mismo nivel se
desplaza horizontalmente lo mismo.
38
17. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL METODO MATRICIAL DE RIGIDEZ
3 T-m
3 Ton
17.1. EJEMPLO 1.
4 T/m
2,5 T/m
1 T/m
2 T/m
0,02 Rad
1 cm
3 cm
5m
4m
4m
2m
Calcular los desplazamientos y las reacciones de la viga con rotación y
desplazamiento cuya sección es de 30 cm * 30 cm con un EI = cte. de 3200 Tonm2
PASO 1. Enumeración de nudos, sentido de análisis de las barras o tramos de
viga.
1
1
2
2
5m
3
3
4m
4
4
4m
5
2m
PASO 2. Enumeración de los grados de libertad, COLOR ROJO SON LOS
RESTRINGIDOS.
4
7
6
1
8
2
39
9
3
10
5
PASO 3. Calculo de las matrices elementales. Ki
ELEMENTO O TRAMO 1
B=
E=
K1=
L=
A=
E*I =
0,3
2000000,0
H=
I=
0,4
0,0
6
7
768,00
2560,00
-768,00
1280,00
8
-307,20
-768,00
307,20
-768,00
768,00
1280,00
-768,00
2560,00
L=
A=
E*I =
307,20
768,00
-307,20
768,00
5,0
0,1
3200,0
m
m2
Ton-m2
1
6
7
8
1
ELEMENTO O TRAMO 2
B=
E=
K2=
4,0
0,1
3200,0
0,3
2000000,0
H=
I=
0,4
0,0
8
1
1200,00
3200,00
-1200,00
1600,00
9
-600,00
-1200,00
600,00
-1200,00
1200,00
1600,00
-1200,00
3200,00
8
1
9
2
L=
A=
E*I =
4,0
0,1
3200,0
600,00
1200,00
-600,00
1200,00
m
m2
Ton-m2
2
ELEMENTO O TRAMO 3
B=
E=
K3=
0,3
2000000,0
H=
I=
0,4
0,0
9
2
1200,00
3200,00
-1200,00
1600,00
10
-600,00
-1200,00
600,00
-1200,00
600,00
1200,00
-600,00
1200,00
40
3
1200,00
1600,00
-1200,00
3200,00
9
2
10
3
m
m2
Ton-m2
ELEMENTO O TRAMO 4
B=
E=
0,3
2000000,0
H=
I=
0,4
0,0
10
3
4800,00
6400,00
-4800,00
3200,00
4
-4800,00
-4800,00
4800,00
-4800,00
4800,00
4800,00
-4800,00
4800,00
K4=
L=
A=
E*I =
2,0
0,1
3200,0
m
m2
Ton-m2
5
4800,00
3200,00
-4800,00
6400,00
10
3
4
5
PASO 4. Calculo de la matriz total de la viga. K
1
K=
5760
1600
0
0
0
768
1280
432
-1200
0
2
1600
6400
1600
0
0
0
0
1200
0
-1200
3
0
1600
9600
-4800
3200
0
0
0
1200
3600
4
0
0
-4800
4800
-4800
0
0
0
0
-4800
5
0
0
3200
-4800
6400
0
0
0
0
4800
41
6
768
0
0
0
0
307
768
-307
0
0
7
1280
0
0
0
0
768
2560
-768
0
0
8
432
1200
0
0
0
-307
-768
907
-600
0
9
10
-1200
0
0
-1200
1200 3600
0
-4800
0
4800
0
0
0
0
-600
0
1200 -600
-600 5400
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PASO 5. Calculo de los vectores de carga y desplazamientos.
VECTOR DE CARGAS NODALES
VECTOR DE CARGAS EN LAS LUCES
0
-3
0
-3
0
F0
R0
F=
F1
R=
F6
F7
F8
F9
F10
R1
0,05
1,60
-3,47
2,60
0,93
2,50
2,08
5,40
10,00
10,50
Para el cálculo del vector de cargas en las luces se debe aplicar los momentos
de empotramiento y reacciones de acuerdo al tipo de carga que se tenga en la
estructura así:
Q
QL2/12
2
QL2/12
QL/2
QL/2
L
Q2
(L2/60)*(3*Q1+2*Q2)
Q1
(L2/60)*(2*Q1+3*Q2)
(L/20)*(7*Q1+3*Q2)
(L/20)*(3*Q1+7*Q2)
L
42
TRAMO 1
1T/m
R1:2,08
R7:2,08
R6=2,5
R8=2,5
5m
TRAMO 2
2,5T/m
R1=2,13
1T/m
R2=2,53
R8=2,90
R9=4,10
4m
TRAMO 3
4T/m
R2=4,13
2,5T/m
R3=4,53
R9=5,90
R10=7,10
4m
TRAMO 4
4T/m
R3=1,07
2T/m
R10=3,40
R5=0,93
R4=2,60
2m
43
VECTOR { P } = { F } – { R }
VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
U0
U1
U2
U3
U4
U5
P0
U=
U1
P=
0
0,02
-0,03
-0,01
0
PASO 6. Planteamiento general del sistema de ecuaciones.
{P} = [k] *{U}
P0
P1
KO
K2
K1
K3
U0
U1
ECUACION 1 Cálculo de los desplazamientos.
{P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1}
{P0}– {[K1]*{U1}*{K0INV}} = {U0}
44
P1
-0,05
-4,60
3,47
-5,60
-0,93
F6 - 2,50
F7 - 2,08
F8 - 5,40
F9 - 10
F10 - 10,5
24,64
-36
K1 * U1
-12
0
0
P0 (K1*U1)
-24,69
31,40
U1
U2
-0,0063
0,0071
Rad
Rad
15,47
-5,60
-0,93
U3=
U4
U5
-0,0025
-0,0103
-0,0066
Rad
m
Rad
ECUACION 2 Calculo de las reacciones.
{P1} = [K2]*{U0} *[K3]*{U1}
K2 * U0
-4,8061
24,576
F6
22,27
-8,0102
5,8136
4,5011
0,0915
74,24
-36,576
6
6
F7
F8=
F9
F10
68,31
-25,36
20,50
16,59
K3 * U1
Ton
Tonm
Ton
Ton
Ton
PASO 7. Dibujo de las reacciones.
25,36 Ton
68,31 Ton-m
22,27 Ton
45
20,50 Ton
16,59 Ton
DIAGRAMAS DE CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE
3 T-m
3 Ton
4 T/m
2,5 T/m
1 T/m
2 T/m
0,02 Rad
1 cm
3 cm
5m
4m
4m
2m
V (Ton)
22,27
17,27
9
5,41
3
8,09
7,59
15,09
M (T-m)
30,54
2,1m
5,05
10,82
13,82
68,31
46
11,83
17.2. EJEMPLO 2.
80 kN/m
40 kN/m
40 kN/m
2m
4m
2m
4m
a). La viga mostrada tiene una sección de 30 cm * 30 cm, y un E = 2E7 kN/m2
calcular la flecha en la mitad de la viga.
b). Calcular la sección transversal de tal forma que la flecha en la mitad sea 2
cm.
PASO 1. Enumeración de nudos, sentido de análisis de las barras o tramos de
viga.
2
1
1
3
2
2m
4
3
4m
4
5
2m
4m
PASO 2. Enumeración de los grados de libertad, COLOR ROJO SON LOS
RESTRINGIDOS.
1
2
9
7
4
5
6
3
47
10
8
PASO 3. Calculo de las matrices elementales. Ki
ELEMENTO O TRAMO 1
B=
E=
K1=
0,3
20000000,0
H=
I=
0,3
0,0
L=
A=
E*I =
1
2
20250,00
27000,00
-20250,00
13500,00
9
-20250,00
-20250,00
20250,00
-20250,00
3
20250,00
13500,00
-20250,00
27000,00
1
2
9
3
4,0
0,1
13500,0
20250,00
20250,00
-20250,00
20250,00
2,0
0,1
13500,0
m
m2
kN-m2
ELEMENTO O TRAMO 2
B=
E=
K2=
0,3
20000000,0
H=
I=
0,3
0,0
L=
A=
E*I =
9
3
5062,50
13500,00
-5062,50
6750,00
4
-2531,25
-5062,50
2531,25
-5062,50
5
5062,50
6750,00
-5062,50
13500,00
9
3
4
5
4,0
0,1
13500,0
4
5
10
6
2531,25
5062,50
-2531,25
5062,50
m
m2
kN-m2
ELEMENTO O TRAMO 3
B=
E=
K3=
0,3
20000000,0
H=
I=
0,3
0,0
L=
A=
E*I =
4
5
5062,50
13500,00
-5062,50
6750,00
10
-2531,25
-5062,50
2531,25
-5062,50
6
5062,50
6750,00
-5062,50
13500,00
2531,25
5062,50
-2531,25
5062,50
48
m
m2
kN-m2
ELEMENTO O TRAMO 4
B=
E=
K4=
0,3
20000000,0
H=
I=
0,3
0,0
L=
A=
E*I =
10
6
20250,00
27000,00
-20250,00
13500,00
7
-20250,00
-20250,00
20250,00
-20250,00
8
20250,00
13500,00
-20250,00
27000,00
20250,00
20250,00
-20250,00
20250,00
2,0
0,1
13500,0
10
6
7
8
m
m2
kN-m2
PASO 4. Calculo de la matriz total de la viga. K
1
20250
20250
20250
0
0
2
20250
27000
13500
0
0
0
0
0
5063
6750
0
0
0
0
0
0
0
-20250
0
3
4
20250
0
13500
0
40500 -5063
-5063 5063
6750
0
0
0
-20250 15188 -2531
0
0
-2531
5
0
0
6750
0
27000
0
5063
6
0
0
0
5063
6750
7
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
40500 20250 13500
20250 20250 20250
13500 20250 27000
0
0
0
15188 20250 20250
-5063
49
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PASO 5. Calculo de los vectores de carga y desplazamientos.
VECTOR DE CARGAS NODALES
F=
F0
F1
VECTOR DE CARGAS EN LAS LUCES
0
0
0
0
0
0
0
0
F9
F10
R0
R1
R=
44,00
15,11
69,33
288,00
0,00
-69,33
44,00
-15,11
172,00
172,00
Para el cálculo del vector de cargas en las luces se debe aplicar los momentos
de empotramiento y reacciones de acuerdo al tipo de carga que se tenga en la
estructura así:
Q2
(L2/60)*(3*Q1+2*Q2)
Q1
(L2/60)*(2*Q1+3*Q2)
(L/20)*(7*Q1+3*Q2)
(L/20)*(3*Q1+7*Q2)
L
TRAMO 1
53,33
R2=15,12
40
R3=16
R1=44
R9=49,33
2m
50
TRAMO 2
80
R3=85,33
53,33
R5=92,44
R9=122,67
R4=144
4m
TRAMO 3
80
R5=92,44
53,33
R4=144
R6=85,33
R10=122,67
4m
TRAMO 4
53,33
R6=16
40
R10=49,33
R8=15,11
R7=44
2m
51
VECTOR {P } = { F } – { R }
P=
P0
P1
VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
-44,00
-15,11
-69,33
-288,00
0,00
69,33
-44,00
15,11
F9 - 172
F10 - 172
U=
PASO 6. Planteamiento general del sistema de ecuaciones.
{P} = [k] *{U}
P0
P1
KO
K2
K1
K3
U0
U1
ECUACION 1 Cálculo de los desplazamientos.
{P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1}
[P0]*[K0INV] = {U0}
52
U0
U1
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
0
0
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
0,1621
-0,0800
-0,0843
-0,2254
0,0000
0,0843
0,1621
0,0800
m
Rad
Rad
m
Rad
Rad
m
Rad
ECUACION 2 Calculo de las reacciones.
{P1} = [K2]*{U0}
F9 - 172
F10 - 172
188
188
F9
F10
360
360
kN
kN
PASO 7. Dibujo de las reacciones.
360 kN
360 kN
53
DIAGRAMAS DE CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE
80 kN/m
40 kN/m
40 kN/m
2m
4m
2m
4m
V (kN)
266,67
93,33
93,33
266,67
M (kN-m)
Mmax=328,89
88,89
88,89
54
b). Para hallar la sección basta cambiar los datos en las matrices de cada
elemento de la viga, ya que estos se encuentran montados en una hoja de
cálculo Excel esto funciona como una iteración.
Realizando lo anterior nos da una flecha de 2 cm, con una sección transversal de
40 cm * 55 cm.
55
17.3. EJEMPLO 3.
0,6 Ton/m = cv
1 Ton/m = cm
10 Ton
0,6 Ton/m = cv
3m
5 Ton
1 Ton/m = cm
3m
4m
4m
4m
Modulo del material concreto = 2E6 Ton/m2
Secciones transversales:
Columnas 40cm * 60cm y vigas de 40cm * 40cm
Combinaciones de carga 1). 1,4cm + 1,7cv 2). Cm + cv
3). Cm + cv + ch
Para la solución de pórtico se procede a realizar primero que todas las
combinaciones el ejercicio solo se calculara con la 1 combinación de carga.
Como ya no dieron cuánto vale cm y cv simplemente se remplazan en cada una
de las combinaciones así.
CARGAS (Ton/m)
CM
CV
CH
1
0,6
0
COMVINACIONES (Ton/m)
1,4CM +
CM +
CM + CV +
174CV
CH
CH
2,42
1
1,6
1
2
3
L=
4 m
CARGAS R
qL/2
4,84
2
3,2
4,840
56
qL2/12
3,227
1,333
2,133
3,227
CON
2
3
1
PASO 1. Numeración de cada elemento, nudo y sentido de los elementos.
7
1
2
8
3m
6
5
9
4
10
5
3
6
3
2
1
3m
4
7
10
8
4m
9
4m
4m
PASO 2 Enumeración de los grados de libertad, COLOR ROJO SON LOS
RESTRINGIDOS.
2
1
5
4
3
7
8
10
13
16
14
15
25
28
27
20
19
57
17
18
26
24
22
23
11
12
9
21
6
30
29
PASO 3. Cálculo de matrices elementales. Ki
ELEMENTO 1
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
0,0
0,0
0,0
0,4
2000000,0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
0,0
3,0
1,0
0,6
0,0
9600,0
19200,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
6400,0
160000,0
9600,0
21
6400,0
0,0
-9600,0
-6400,0
0,0
-9600,0
22
0,0
160000,0
0,0
0,0
-160000,0
0,0
23
-9600,0
0,0
19200,0
9600,0
0,0
9600,0
7
-6400,0
0,0
9600,0
6400,0
0,0
9600,0
8
0,0
-160000,0
0,0
0,0
160000,0
0,0
9
-9600,0
0,0
9600,0
9600,0
0,0
19200,0
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
4,0
0,0
0,0
0,4
2000000,0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
3,0
1,0
0,6
0,0
9600,0
19200,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
6400,0
160000,0
9600,0
24
6400,0
0,0
-9600,0
-6400,0
0,0
-9600,0
25
0,0
160000,0
0,0
0,0
-160000,0
0,0
19
-9600,0
0,0
19200,0
9600,0
0,0
9600,0
10
-6400,0
0,0
9600,0
6400,0
0,0
9600,0
11
0,0
-160000,0
0,0
0,0
160000,0
0,0
12
-9600,0
0,0
9600,0
9600,0
0,0
19200,0
21
22
23
7
8
9
ELEMENTO 2
58
24
25
19
10
11
12
ELEMENTO 3
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
8,0
0,0
0,0
0,4
2000000,0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
3,0
1,0
0,6
0,0
9600,0
19200,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
6400,0
160000,0
9600,0
26
27
0,0
160000,0
0,0
0,0
-160000,0
0,0
20
-9600,0
0,0
19200,0
9600,0
0,0
9600,0
13
-6400,0
0,0
9600,0
6400,0
0,0
9600,0
14
0,0
-160000,0
0,0
0,0
160000,0
0,0
15
-9600,0
0,0
9600,0
9600,0
0,0
19200,0
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
12,0
0,0
0,0
0,4
2000000,0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
12,0
3,0
1,0
0,6
0,0
9600,0
19200,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
6400,0
160000,0
9600,0
28
6400,0
0,0
-9600,0
-6400,0
0,0
-9600,0
29
0,0
160000,0
0,0
0,0
-160000,0
0,0
30
-9600,0
0,0
19200,0
9600,0
0,0
9600,0
16
-6400,0
0,0
9600,0
6400,0
0,0
9600,0
17
0,0
-160000,0
0,0
0,0
160000,0
0,0
18
-9600,0
0,0
9600,0
9600,0
0,0
19200,0
6400,0
0,0
-9600,0
-6400,0
0,0
-9600,0
26
27
20
13
14
15
ELEMENTO 4
59
28
29
30
16
17
18
ELEMENTO 5
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
4,0
3,0
0,0
0,4
2000000,0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
6,0
1,0
0,6
0,0
9600,0
19200,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
6400,0
160000,0
9600,0
10
6400,0
0,0
-9600,0
-6400,0
0,0
-9600,0
11
0,0
160000,0
0,0
0,0
-160000,0
0,0
12
-9600,0
0,0
19200,0
9600,0
0,0
9600,0
1
-6400,0
0,0
9600,0
6400,0
0,0
9600,0
2
0,0
-160000,0
0,0
0,0
160000,0
0,0
3
-9600,0
0,0
9600,0
9600,0
0,0
19200,0
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
8,0
3,0
0,0
0,4
2000000,0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
6,0
1,0
0,6
0,0
9600,0
19200,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
6400,0
160000,0
9600,0
13
6400,0
0,0
-9600,0
-6400,0
0,0
-9600,0
14
0,0
160000,0
0,0
0,0
-160000,0
0,0
15
-9600,0
0,0
19200,0
9600,0
0,0
9600,0
4
-6400,0
0,0
9600,0
6400,0
0,0
9600,0
5
0,0
-160000,0
0,0
0,0
160000,0
0,0
6
-9600,0
0,0
9600,0
9600,0
0,0
19200,0
10
11
12
1
2
3
ELEMENTO 6
60
13
14
15
4
5
6
ELEMENTO 7
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
4,0
6,0
1,0
0,4
2000000,0
0,0
1600,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
6,0
0,0
0,4
0,0
0,0
4266,7
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,2
80000,0
800,0
2133,3
1
2
0,0
800,0
1600,0
0,0
-800,0
1600,0
3
0,0
1600,0
4266,7
0,0
-1600,0
2133,3
4
-80000,0
0,0
0,0
80000,0
0,0
0,0
5
0,0
-800,0
-1600,0
0,0
800,0
-1600,0
6
0,0
1600,0
2133,3
0,0
-1600,0
4266,7
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
0,0
3,0
1,0
0,4
2000000,0
0,0
1600,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
3,0
0,0
0,4
0,0
0,0
4266,7
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,2
80000,0
800,0
2133,3
7
80000,0
0,0
0,0
-80000,0
0,0
0,0
8
0,0
800,0
1600,0
0,0
-800,0
1600,0
9
0,0
1600,0
4266,7
0,0
-1600,0
2133,3
10
-80000,0
0,0
0,0
80000,0
0,0
0,0
11
0,0
-800,0
-1600,0
0,0
800,0
-1600,0
12
0,0
1600,0
2133,3
0,0
-1600,0
4266,7
80000,0
0,0
0,0
-80000,0
0,0
0,0
1
2
3
4
5
6
ELEMENTO 8
61
7
8
9
10
11
12
ELEMENTO 9
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
4,0
3,0
1,0
0,4
2000000,0
0,0
1600,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
3,0
0,0
0,4
0,0
0,0
4266,7
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,2
80000,0
800,0
2133,3
10
11
0,0
800,0
1600,0
0,0
-800,0
1600,0
12
0,0
1600,0
4266,7
0,0
-1600,0
2133,3
13
-80000,0
0,0
0,0
80000,0
0,0
0,0
14
0,0
-800,0
-1600,0
0,0
800,0
-1600,0
15
0,0
1600,0
2133,3
0,0
-1600,0
4266,7
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
8,0
3,0
1,0
0,4
2000000,0
0,0
1600,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
12,0
3,0
0,0
0,4
0,0
0,0
4266,7
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,2
80000,0
800,0
2133,3
13
14
0,0
800,0
1600,0
0,0
-800,0
1600,0
15
0,0
1600,0
4266,7
0,0
-1600,0
2133,3
16
-80000,0
0,0
0,0
80000,0
0,0
0,0
17
0,0
-800,0
-1600,0
0,0
800,0
-1600,0
18
0,0
1600,0
2133,3
0,0
-1600,0
4266,7
80000,0
0,0
0,0
-80000,0
0,0
0,0
10
11
12
13
14
15
ELEMENTO 10
80000,0
0,0
0,0
-80000,0
0,0
0,0
62
13
14
15
16
17
18
PASO 4. Calculo de la matriz total de la estructura. K.
1
2
86400
0
0
160800
9600
1600
-80000
0
0
-800
0
1600
0
0
0
0
0
0
-6400
0
0
-160000
9600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9600 -80000
0
0
0
0
0
-6400
0
9600
0
0
0
0
0
0
1600
0
-800
1600
0
0
0
0
-160000
0
0
0
0
0
0
0
23467
0
-1600 2133
0
0
0
-9600
0
9600
0
0
0
0
0
0
0
86400
0
9600
0
0
0
0
0
0
-6400
0
9600
0
0
0
-1600
0
160800 -1600
0
0
0
0
0
0
0
-160000
0
0
0
0
2133 9600
-1600 23467
0
0
0
0
0
0
-9600
0
9600
0
0
0
0
0
0
0
86400
0
9600 -80000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
160800 1600
0
-800
1600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9600
1600 23467
0
-1600 2133
0
0
0
0
0
0
-9600
0
0
0
-80000
0
0
172800
0
0
-80000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-800
-1600
0
321600
0
0
-800
1600
0
0
0
9600
0
0
0
0
1600
2133
0
0
46933
0
-1600 2133
0
0
0
0
-6400
0
-9600
0
0
0
-80000
0
0
172800
0
0
-80000
0
0
0
0
-160000
0
0
0
0
0
-800
-1600
0
321600
0
0
-800
1600
0
9600
0
9600
0
0
0
0
1600
2133
0
0
46933
0
-1600 2133
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-80000
0
0
86400
0
9600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-800
-1600
0
160800 -1600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1600
2133 9600
-1600 23467
0
0
0
0
0
0
0
9600
0
9600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9600
0
9600
0
0
0
0
0
0
0
-6400
0
-9600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-160000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9600
0
9600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-6400
0
-9600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-160000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-6400
0
-9600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-160000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-6400
0
-9600
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-160000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9600
0
9600
63
19
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9600
0
9600
0
0
0
0
0
0
19200
0
0
0
0
-9600
0
0
0
0
0
0
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9600
0
9600
0
0
0
0
19200
0
0
0
0
0
-9600
0
0
0
0
PASO5. Calculo de los vectores de carga y desplazamientos
VECTOR DE CARGAS NODALES
F=
FO
F1
VECTOR DE CARGAS EN LAS LUCES
10
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
F21
F22
F23
F24
F25
F26
F27
F28
F29
F30
R=
R0
R1
0
4,84
3,227
0
4,84
-3,227
0
4,84
3,227
0
9,68
0
0
9,68
0
0
4,84
-3,227
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Para el cálculo del vector de cargas en las luces se debe aplicar los momentos
de empotramiento y reacciones de acuerdo al tipo de carga que se tenga en la
estructura así:
64
QL2/12
2
QL2/12
QL/2
QL/2
L
R6=3,23
R3=3,23
VIGA 7
R2=4,84
R5=4,84
4m
R9=3,23
R12=3,23
VIGA 8
R11=4,84
R8=4,84
4m
R12=3,23
R15=3,23
VIGA 9
R11=4,84
R14=4,84
4m
VIGA 10
R18=3,23
R15=3,23
R14=4,84
465m
R2=4,84
VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
U=
U0
U1
VECTOR { P } = { F }-{ R }
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
U11
U12
U13
U14
U15
U16
U17
U18
U19
U20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
P=
66
P0
P1
10
-4,84
-3,23
0
-4,84
3,23
5
-4,84
-3,23
0
-9,68
0,00
0,00
-9,68
0
0
-4,84
3,23
0
0
F21
F22
F23
F24
F25
F26
F27
F28
F29
F30
PASO 6. Planteamiento general del sistema de ecuaciones.
{P} = [k] *{U}
P0
P1
KO
K2
K1
K3
U0
U1
ECUACION 1 Cálculo de los desplazamientos.
{P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1}
Como U1 es cero por lo tanto
{P0}= [K0]*{U0}
{P0}*[K0INV] = {U0}
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10 =
U11
U12
U13
U14
U15
U16
U17
U18
U19
U20
0,0061
-0,0001
-0,0012
0,0060
-0,0002
-0,0008
0,0026
0,0000
-0,0011
0,0026
-0,0001
-0,0007
0,0026
-0,0001
-0,0008
0,0025
0,0000
-0,0008
-0,0010
-0,0009
m
m
Rad
m
m
Rad
m
m
Rad
m
m
Rad
m
m
Rad
m
m
Rad
Rad
Rad
67
ECUACION 2 Calculo de las reacciones.
{P1} = [K2]*{U0} *[K3]*{U1}
Como U0 es cero por lo tanto
F21
F22
F23
F24
F25 =
F26
F27
F28
F29
F30
-5,7457
1,8977
14,1261
-0,7361
11,8745
-0,2804
17,4758
-8,2379
7,4721
16,2250
{P1} = [K2]*{U0}
Ton
Ton
Ton*m
Ton
Ton
Ton
Ton
Ton
Ton
Ton*m
PASO 7. Dibujo de las reacciones.
5,75 Ton
1,898 Ton
8,24 Ton
0,28 Ton
0,74 Ton
11,88 Ton
17,48 Ton
14,13 Ton-m
7,47 Ton
16,23 Ton-m
68
17.4. EJEMPLO 4.
10 kN/m
5 kN/m
5 kN/m
3m
3m
4m
4m
Aplicar el método matricial al pórtico propuesto cuyas columnas y vigas tienen
una sección transversal de 40 cm * 40 cm y un E = 2E7 kN/m.
69
PASO 1. Numeración de cada elemento, nudo y sentido de los elementos.
2
3
3
3m
2
4
1
3m
4
1
5
4m
4m
PASO 2 Enumeración de los grados de libertad, COLOR ROJO SON LOS
RESTRINGIDOS.
4
6
5
1
7
2
3
8
9
13
10
11
14
12
15
70
PASO 3. Cálculo de matrices elementales. Ki
ELEMENTO 1
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
13
2370,4
0,0
-7111,1
-2370,4
0,0
-7111,1
0,0
0,0
0,0
0,4
20000000,
0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
0,0
6,0
1,0
0,4
L=
A=
6,0
0,2
I=
c=
k=
0,0
7111,1
28444,4
a=
f=
k/2 =
2370,4
533333,3
14222,2
14
0,0
533333,3
0,0
0,0
-533333,3
0,0
15
-7111,1
0,0
28444,4
7111,1
0,0
14222,2
1
-2370,4
0,0
7111,1
2370,4
0,0
7111,1
2
0,0
-533333,3
0,0
0,0
533333,3
0,0
3
-7111,1
0,0
14222,2
7111,1
0,0
28444,4
0,0
6,0
0,8
0,4
20000000,
0
305233,9
8192,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
4,0
9,0
0,6
0,4
L=
A=
5,0
0,2
I=
c=
k=
0,0
6144,0
34133,3
a=
f=
k/2 =
411074,6
233021,4
17066,7
2
305233,9
233021,4
8192,0
-305233,9
-233021,4
8192,0
3
-6144,0
8192,0
34133,3
6144,0
-8192,0
17066,7
4
-411074,6
-305233,9
6144,0
411074,6
305233,9
6144,0
5
-305233,9
-233021,4
-8192,0
305233,9
233021,4
-8192,0
6
-6144,0
13
14
15
1
2
3
ELEMENTO 2
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
1
411074,6
305233,9
-6144,0
-411074,6
-305233,9
-6144,0
71
8192,0
17066,7
6144,0
-8192,0
34133,3
1
2
3
4
5
6
ELEMENTO 3
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
4
411074,6
-305233,9
6144,0
-411074,6
305233,9
6144,0
4,0
9,0
0,8
0,4
20000000,
0
-305233,9
8192,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
8,0
6,0
-0,6
0,4
L=
A=
5,0
0,2
I=
c=
k=
0,0
-6144,0
34133,3
a=
f=
k/2 =
411074,6
233021,4
17066,7
5
-305233,9
233021,4
8192,0
305233,9
-233021,4
8192,0
6
6144,0
8192,0
34133,3
-6144,0
-8192,0
17066,7
7
-411074,6
305233,9
-6144,0
411074,6
-305233,9
-6144,0
8
305233,9
-233021,4
-8192,0
-305233,9
233021,4
-8192,0
9
6144,0
8192,0
17066,7
-6144,0
-8192,0
34133,3
8,0
0,0
0,0
0,4
20000000,
0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
8,0
6,0
1,0
0,4
L=
A=
6,0
0,2
I=
c=
k=
0,0
7111,1
28444,4
a=
f=
k/2 =
2370,4
533333,3
14222,2
11
0,0
533333,3
0,0
0,0
-533333,3
0,0
12
-7111,1
0,0
28444,4
7111,1
0,0
14222,2
7
-2370,4
0,0
7111,1
2370,4
0,0
7111,1
8
0,0
-533333,3
0,0
0,0
533333,3
0,0
9
-7111,1
4
5
6
7
8
9
ELEMENTO 4
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
10
2370,4
0,0
-7111,1
-2370,4
0,0
-7111,1
72
0,0
14222,2
7111,1
0,0
28444,4
10
11
12
7
8
9
PASO 4. Calculo de la matriz total de la estructura. K.
1
413445
305234
967
-411075
-305234
-6144
0
K=
0
0
0
0
0
-2370
0
7111
2
3
4
5
6
305234 967 411075 305234 -6144
766355 8192 305234 233021 8192
8192 62578 6144
-8192 17067
305234 6144 822149
0
12288
233021 -8192
0
466043
0
8192 17067 12288
0
68267
0
0
411075 305234 -6144
0
0
305234 233021 -8192
0
0
6144
8192 17067
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-7111
533333
0
0
14222
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
8
9
0
0
0
1
0
0
2
3
6144
4
8192
17067
5
6
967
7
-8192
62578
-7111
8
9
10
0
14222
0
11
12
13
0
0
14
15
0
0
0
0
411075 305234
305234 233021
-6144 -8192
413445 305234
305234 766355
967
-8192
-2370
0
0
533333
7111
0
0
0
0
0
0
0
73
10
11
12
13
14
15
PASO 5. Calculo de los vectores de cargas y desplazamientos.
VECTOR DE CARGAS NODALES
F0
F1
F=
VECTOR DE CARGAS EN LAS LUCES
0
0
0
0
0
0
0
-33,00
10
4,42
-28,50
0
-6,50
-7,5
0
0
F10
F11
F12
F13
F14
F15
-10
-10,42
0
0
0
-6,00
0
8,00
R0
R1
R=
Para el cálculo del vector de cargas en las luces se debe aplicar los momentos
de empotramiento y reacciones de acuerdo al tipo de carga que se tenga en la
estructura así:
QL2/12
2
QL2/12
QL/2
QL/2
L
QL2/20
QL2/30
3QL/20L
7QL/20
L
74
Q2
(L2/60)*(3*Q1+2*Q2)
Q1
(L2/60)*(2*Q1+3*Q2)
(L/20)*(7*Q1+3*Q2)
(L/20)*(3*Q1+7*Q2)
L
Calculo de cada elemento con su respectiva carga distribuida.
6,67 kN/m
R3=12
R15=8
R13=6
R1=14
6m
10
R3=6
6,67
R6=6,50
R1=11,50
R4=13,50
3m
R6=10,42
R6=10,42
R4=7,5
R4=7,5
R5=10
12,50
12,50
R5=10
R3=10,42
R7=7,5
R1=7,5
R9=10,42
12,50
R2=10
12,50
R8=10
75
VECTOR {P} = [F]-{R}
VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
33,00
-10,00
-4,42
28,50
0,00
6,50
7,50
P=
P0
P1
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
10,00
10,42
F10
F11
F12
F13 + 6
F14
F15 - 8
U=
PASO 6. Planteamiento general del sistema de ecuaciones.
{P} = [k] *{U}
P0
P1
KO
K2
K1
K3
U0
U1
76
U0
U1
U8
U9
0
0
0
0
0
0
ECUACION 1 Cálculo de los desplazamientos.
{P0} = [K0]*{U0} + [K1]*{U1}
Como U1 es cero por lo tanto
{P0}= [K0]*{U0}
{P0}*[K0INV] = {U0}
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
0,025
0,000
-0,003
0,024
0,001
0,002
0,023
0,000
-0,003
m
m
Rad
m
m
Rad
m
m
Rad
ECUACION 2 Calculo de las reacciones.
{P1} = [K2]*{U0} *[K3]*{U1}
Como U0 es cero por lo tanto
F10
F11
F12
F13 + 6
F14
F15 - 8
-32,006
19,428
118,531
-36,994
-19,428
133,049
{P1} = [K2]*{U0}
F10
F11
F12
F13
F14
F15
77
-32,01
19,43
118,53
-42,99
-19,43
141,05
kN
kN
kN-m
kN
kN
kN-m
PASO 7. Dibujo de las reacciones.
42,99 kN
141,05 kN-m
32,01 kN
19,43 kN
19,43 kN
118,53 kN-m
78
17.5. EJEMPLO 5.
3m
40ton
3m
30ton
3m
20ton
40ton
3m
10ton
30ton
3m
5ton
20ton
10ton
4m
5ton
4m
4m
4m
4m
4m
4m
Aplicar el método matricial y condensar matricialmente para calcular los
desplazamientos por piso sabiendo que hay unas fuerzas por piso en dirección x
y dirección y, mostradas en la figura.
E = 2E6Ton/m2 sección de columnas 40 * 40 y sección de vigas 40 * 30.
79
PASO 1. Numeración de cada elemento, nudo y sentido de los elementos.
6
5
33
7
32
8
18
34
6
5
4
27
17
28
26
10
21
11
2
25
15
22
14
1
18
24
2
2
23
23
19
11
12
4m
21
12
10
1
29
13
9
2
20
17
16
8
3
16
30
14
9
3
19
15
31
7
4
35
20
13
4m
80
24
4m
PASO 2 Enumeración de los grados de libertad, COLOR ROJO SON LOS
RESTRINGIDOS.
PORTICO PLANO CONDENSADO
5
7
6
9
8
11
10
13
12
17
16
19
18
21
20
25
24
26
26
29
28
33
32
35
34
37
2
35
41
40
2
43
2
42
45
2
44
4
15
14
23
22
3
2
31
30
39
2
38
1
46
48
52
49
47
51
54
50
81
55
53
57
56
PASO 3. Cálculo de matrices elementales. Ki
ELEMENTO 1 columna
Xi =
0,0
Yi =
0,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
0,0
3,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
47
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
48
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
1
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
38
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
39
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
ELEMENTO 2 columna
Xi =
0,0
Yi =
3,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
0,0
6,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
39
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
2
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
30
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
31
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
46
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
1
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
38
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
82
46
47
48
1
38
39
1
38
39
2
30
31
ELEMENTO 3 columna
Xi =
Yi =
Cos α =
B=
E=
b=
h=
0,0
6,0
0,0
0,4
2000000,0
0,0
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
0,0
9,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
2
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
30
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
31
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
3
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
22
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
23
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
ELEMENTO 4 columna
Xi =
0,0
Yi =
9,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
0,0
12,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
23
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
4
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
14
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
15
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
3
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
22
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
83
2
30
31
3
22
23
3
22
23
4
14
15
ELEMENTO 5 columna
Xi =
0,0
Yi =
12,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
0,0
15,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
14
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
15
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
5
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
6
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
7
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
ELEMENTO 6 columna
Xi =
4,0
Yi =
12,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
15,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
17
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
5
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
8
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
9
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
4
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
4
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
16
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
84
4
14
15
5
6
7
4
16
17
5
8
9
ELEMENTO 7 columna
Xi =
4,0
Yi =
9,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
12,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
24
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
25
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
4
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
16
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
17
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
ELEMENTO 8 columna
Xi =
4,0
Yi =
6,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
9,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
33
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
3
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
24
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
25
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
3
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
2
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
32
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
85
3
24
25
4
16
17
2
32
33
3
24
25
ELEMENTO 9 columna
Xi =
4,0
Yi =
3,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
6,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
40
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
41
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
2
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
32
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
33
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
ELEMENTO 10
columna
Xi =
4,0
Yi =
0,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
3,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
49
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
51
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
1
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
40
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
41
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
1
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
50
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
86
1
40
41
2
32
33
49
50
51
1
40
41
ELEMENTO 11
columna
Xi =
8,0
Yi =
0,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
3,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
53
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
54
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
1
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
42
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
43
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
ELEMENTO 12
columna
Xi =
8,0
Yi =
3,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
6,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
1
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
43
-2844,4
0,0
5688,9
2844,4
0,0
2844,4
2
-1896,3
0,0
2844,4
1896,3
0,0
2844,4
34
0,0
-106666,7
0,0
0,0
106666,7
0,0
35
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
52
1896,3
0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
-2844,4
42
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
87
52
53
54
1
42
43
1
42
43
2
34
35
ELEMENTO 13
columna
Xi =
8,0
Yi =
6,0
Cos α =
0,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
0,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
9,0
1,0
0,4
0,0
2844,4
5688,9
L=
A=
a=
f=
k/2 =
3,0
0,2
1896,3
106666,7
2844,4
34
0,0
106666,7
0,0
0,0
-106666,7
0,0
35
-2844,4
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2844,4
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ELEMENTO 14
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-1896,3
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27
-2844,4
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4
-1896,3
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18
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0,0
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19
-2844,4
0,0
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5688,9
2
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88
2
34
35
3
26
27
3
26
27
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18
19
ELEMENTO 15
columna
Xi =
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-2844,4
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0,0
0,0
-106666,7
0,0
19
-2844,4
0,0
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0,0
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5
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11
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
ELEMENTO 16
columna
Xi =
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Yi =
12,0
Cos α =
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B=
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18
19
5
10
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4
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12
13
ELEMENTO 17
columna
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21
-2844,4
0,0
2844,4
2844,4
0,0
5688,9
ELEMENTO 18
columna
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29
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20
21
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28
29
ELEMENTO 19
columna
Xi =
12,0
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36
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0,0
0,0
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-2844,4
0,0
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0,0
5688,9
ELEMENTO 20
columna
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12,0
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5688,9
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0,0
-2844,4
-1896,3
0,0
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0,0
0,0
106666,7
0,0
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-2844,4
0,0
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5688,9
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1
44
45
2
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37
55
56
57
1
44
45
ELEMENTO 21 Viga
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ELEMENTO 22 Viga
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675,0
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-675,0
900,0
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0,0
60000,0
0,0
0,0
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0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
41
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
Xf =
Yf =
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0,0
1800,0
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a=
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39
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1
40
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1
42
43
ELEMENTO 23 Viga
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0,0
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675,0
ELEMENTO 24 Viga
Xi =
8,0
Yi =
6,0
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1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
2
60000,0
0,0
0,0
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0,0
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0,0
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675,0
0,0
-337,5
675,0
Xf =
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H=
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-675,0
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-675,0
0,0
337,5
-675,0
45
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
Xf =
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Sen α =
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0,0
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0,0
675,0
1800,0
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0,0
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-675,0
0,0
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-675,0
37
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
93
1
42
43
1
44
45
2
34
35
2
36
37
ELEMENTO 25 Viga
Xi =
4,0
Yi =
6,0
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1,0
B=
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2
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0,0
0,0
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0,0
32
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
ELEMENTO 26 Viga
Xi =
0,0
Yi =
6,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
2
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
30
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
6,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
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337,5
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33
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
2
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
34
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
35
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
6,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
31
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
2
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
32
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
33
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
94
2
32
33
2
34
35
2
30
31
2
32
33
ELEMENTO 27 Viga
Xi =
0,0
Yi =
9,0
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1,0
B=
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b=
0,0
h=
675,0
3
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
22
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
ELEMENTO 28 Viga
Xi =
4,0
Yi =
9,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
3
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
24
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
9,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
23
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
3
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
24
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
25
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
9,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
25
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
3
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
26
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
27
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
95
3
22
23
3
24
25
3
24
25
3
26
27
ELEMENTO 29 Viga
Xi =
8,0
Yi =
9,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
3
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
26
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
ELEMENTO 30 Viga
Xi =
8,0
Yi =
12,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
4
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
18
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
12,0
9,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
27
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
3
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
28
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
29
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
12,0
12,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
19
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
4
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
20
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
21
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
96
3
26
27
3
28
29
4
18
19
4
20
21
ELEMENTO 31 Viga
Xi =
4,0
Yi =
12,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
4
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
16
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
ELEMENTO 32 Viga
Xi =
0,0
Yi =
12,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
4
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
14
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
12,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
17
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
4
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
18
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
19
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
12,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
15
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
4
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
16
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
17
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
97
4
16
17
4
18
19
4
14
15
4
16
17
ELEMENTO 33 Viga
Xi =
0,0
Yi =
15,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
5
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
6
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
ELEMENTO 34 Viga
Xi =
4,0
Yi =
15,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
5
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
8
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
4,0
15,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
7
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
5
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
8
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
9
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
8,0
15,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
9
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
5
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
10
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
11
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
98
5
6
7
5
8
9
5
8
9
5
10
11
ELEMENTO 35 Viga
Xi =
8,0
Yi =
15,0
Cos α =
1,0
B=
0,4
E=
2000000,0
b=
0,0
h=
675,0
5
60000,0
0,0
0,0
-60000,0
0,0
0,0
10
0,0
337,5
675,0
0,0
-337,5
675,0
Xf =
Yf =
Sen α =
H=
I=
c=
k=
12,0
15,0
0,0
0,3
0,0
0,0
1800,0
L=
A=
a=
f=
k/2 =
4,0
0,1
60000,0
337,5
900,0
11
0,0
675,0
1800,0
0,0
-675,0
900,0
5
-60000,0
0,0
0,0
60000,0
0,0
0,0
12
0,0
-337,5
-675,0
0,0
337,5
-675,0
13
0,0
675,0
900,0
0,0
-675,0
1800,0
5
10
11
5
12
13
PASO 4. Calculo de la matriz total de la estructura. K.
Se procede a ensamblar la matriz K total de 70 * 70. No se adicionara por la
extensión de la matriz para que no quede el documento tan extenso. Solo
mostraremos [ Kc ]
122467
-4175
1563
-470
615
-4175
369477
-6900
2068
-470
1563
-6900
370674
-6900
1563
-470
2068
-6900
369477
-4175
99
615
-470
1563
-4175
362467
PASO 5. Calculo de los vectores de cargas y desplazamientos.
VECTOR DE CARGAS NODALES
F1
F2
F3
F4
F5
5
10
20
30
40
Ton
Ton
Ton
Ton
Ton
VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
{ U } = [ Kc ]Inv. * { F }
U1
U2
U3
U4
U5
0,00004
0,00003
0,00006
0,00008
0,00011
m
m
m
m
m
Estos son los desplazamientos por piso en dirección x.
Luego se procede a analizar el pórtico en dirección y de la misma manera que en
dirección x, por lo tanto estos son los desplazamientos por piso en dirección y,
con su respectiva matriz [ Kc ].
480495
-5954
2270
-600
761
-5954
492381
-9950
2558
-563
2270
-9950
490718
-7517
1827
-600
2558
-7517
492025
-5322
100
761
-563
1827
-5322
483171
VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS
U1
U2
U3
U4
U5
0,00001
0,00002
0,00004
0,00006
0,00008
m
m
m
m
m
101
18. CONCLUSIONES

Se pudo observar mediante las matrices totales de los ejemplos, que son
la imagen fotográfica de la estructura.

Cuando en una estructura se encuentran acciones de desplazamientos en
los apoyos, la matriz total de la estructura se debe calcular completamente,
caso contrario ocurre cuando en los apoyos los desplazamientos son nulos.

Cuando en una estructura a porticada se desprecian las deformaciones
axiales de las vigas, todos los nudos de un mismo piso sufren el mismo
desplazamiento horizontal, esto fue lo de condensación matricial o también
conocido diafragma rígido.

Trabajar con las matrices en coordeadas globales.
102
19. RECOMENDACIONES


Plasmar la estructura en el primer cuadrante del plano cartesiano con el
fin de que todas las coordenadas sean positivas.
Llevar las unidades de fuerza, longitud y esfuerzos a un solo sistema.

Aplicar cada paso estipulado en los ejercicios de propuestos y
solucionados del manual.

Trabar todos los elementos de la estructura con un mismo sentido y
ubicar estos sentidos en la misma dirección.
103
20. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA
 http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/matricial.pdf
 http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3rtico
 ROCHEL AWAD. Roberto. Análisis matricial de estructuras.
104