Formulario de ecuaciones diferenciales por Alfredo Alonso Rodríguez Ing. Civil Formulario de solución de Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Por: Alfredo Alonso Rodríguez Ingeniería Civil Método de exactas 𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 Condición para ser una ecuación diferencial exacta: Separables 𝑔(𝑥 = ℎ(𝑥 o bien 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = ℎ(𝑥 𝑔(𝑥 𝑑𝑥 ℎ(𝑥 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝑑𝑦 𝑔(𝑦 o bien = = 𝑀 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ó = 𝑁 2. Derivar e igualar Se dice que es de variables separables: 𝑑𝑦 𝑔(𝑦 = 1. Integrar para encontrar f(x,y) Ecuación diferencial de la forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ℎ(𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 =𝑁 𝜕𝑓 𝜕𝑥 ó =𝑀 Factores integrantes Método de lineales 𝑓(𝑥, 𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 Resolver una ecuación diferencial lineal 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Factor de integración 𝑓(𝑥, 𝑦 no es unico: + 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥 1. Solo depende de x: Encontrar el factor integrante 𝜇(𝑥 = 𝑒 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 Multiplicar la ecuación diferencial por 𝜇(𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 𝑦= 𝑦= 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑒 𝑓(𝑥 𝑒 𝑓(𝑥 𝑒 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2. Solo depende de y: + 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝜇(𝑥 𝑑𝑥 𝑑(𝑒 𝐹(𝑥 = 𝑒 𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑁 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑐 𝐹(𝑦 = 𝑒 𝜕𝑁 𝜕𝑀 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑀 𝑑𝑦 3. Ecuación diferencial de la forma: 𝑝𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑞𝑑𝑦 = 0 , 𝑝, 𝑞 𝜖 ℝ Entonces 𝑓(𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑝−1 𝑦 𝑞−1 ∃ 𝑓(𝑥, 𝑦 ∋ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =𝑀, Bernoulli Homogéneas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 + 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑦 𝑛 Sustitución: 𝑤 = 𝑦1−𝑛 Transformar a una ecuación lineal 𝑑𝑤 𝑑𝑥 + (1 − 𝑛 𝑝(𝑥 𝑤 = (1 − 𝑛 𝑓(𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 =𝑁 Si tiene la propiedad que 𝑀 𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 = 𝑡 𝑛 𝑀(𝑥, 𝑦 , 𝑁 𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 = 𝑡 𝑛 𝑁(𝑥, 𝑦 es ecuación homogénea. Método de solución; usar una de las siguientes situaciones: Resolver con el método de lineales 𝑦 = 𝑢𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 Sustituir w por su respectivo valor 𝑥 = 𝑣𝑦, 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣 Formulario de ecuaciones diferenciales Formulario de solución de Ecuaciones Diferenciales de orden superior Por: Alfredo Alonso Rodríguez Ingeniería Civil por Alfredo Alonso Rodríguez Ing. Civil Método de variación de parámetros 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 Encontrar 𝑢1 y 𝑢2 tal que 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 Sea una solución particular de la ecuación no homogénea: Homogéneas 𝑦´´ + 𝑃(𝑥 𝑦´ + 𝑄(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥 Raíces diferentes: 𝑦1 𝑦2 𝑊= 𝑦 ´ 𝑦 ´ 1 2 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚2 𝑥 Raíces iguales: 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑚𝑥 𝑦2 𝑓(𝑥 𝑊 𝑢1 = − 𝑑𝑥 Raíces imaginarias: 𝑦𝑐 = 𝑒 ∝𝑥 (𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥 𝑢2 = dn y dxn Reducción de orden Elaboración de una segunda solución a partir de una solución conocida. 𝑒 − 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑦1 2 𝑦2 = 𝑦1 𝑦1 𝑓(𝑥 𝑊 + Pn−1 (x 𝑢𝑛 = dn−1 y dxn−1 𝑑𝑥 + Pn−2 (x dn−2 y dxn−2 + ⋯ + P1 (x dy dx + P0(x y = f(x 𝑊𝑛 𝑑𝑥 𝑊 Transformada de Laplace Útil para resolver problemas de valor inicial lineales Donde p(x) es el coeficiente que acompaña a la primera derivada. Transformada Integral: 𝑏 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡 𝑑𝑡 = ℒ 𝑓(𝑡 0 No Homogéneas 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑦 = solución general 𝑦𝑐 = solución de la homogénea 𝑦𝑝 = soluciónparticular Operador anulador 𝐷 𝑛 → 1, 𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛−1 → 𝑒 ∝𝑥 𝑥𝑒 ∝𝑥 , 𝑥 2 𝑒 ∝𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥 𝐷 2 − 2 ∝ 𝐷 + (∝2 + 𝛽 2 ∝𝑥 ℒ 𝑦´´(𝑡 = 𝑠 2 ʏ(𝑠 − 𝑠 𝑦(0 − 𝑦´(0 ℒ 𝑦´´´(𝑡 = 𝑠 3 ʏ(𝑠 − 𝑠 2 𝑦(0 − 𝑠 𝑦´(0 − 𝑦´´(0 = 𝒔𝒏 ʏ(𝒔 − 𝒔𝒏−𝟏 𝒚(𝟎 − 𝒔𝒏−𝟐 𝒚´(𝟎 −. . . 𝒚(𝒏−𝟏 (𝟎 𝓛−𝟏 ʏ(𝒔 D : operador diferencial lineal 𝑛 = 𝑠 ʏ(𝑠 − 𝑦(0 𝓛 𝒚𝒏 (𝒕 𝑑𝑛 𝑦 = 𝐷2 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 (𝐷−∝ ℒ 𝑦´(𝑡 ∝𝑥 2 ∝𝑥 𝑛 → 𝑒 cos 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒 cos 𝛽𝑥 , 𝑥 𝑒 cos 𝛽𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , 𝑥 2 𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 = 𝒚(𝒕
